高中數(shù)學(xué)復(fù)數(shù)教學(xué)案例

1、案例分析尉氏縣第三高級(jí)中學(xué)姚翠玲一、案例背景1、教材分析本節(jié)課是復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算的第二課時(shí)，是四則運(yùn)算的重點(diǎn)，也是本章的重點(diǎn).復(fù)數(shù)的乘法法則是規(guī)定的，其合理性表現(xiàn)在：這種規(guī)定與實(shí)數(shù)乘法的法則是一致的，而且實(shí)數(shù)乘法的有關(guān)運(yùn)算律在這里仍然成立.由除法是乘法的逆運(yùn)算的這種規(guī)定，可以得到復(fù)數(shù)除法的運(yùn)算法則.教材在內(nèi)容編排上使用問題探究式的方法，引導(dǎo)學(xué)生能夠自己探究新知，發(fā)現(xiàn)新知，理解新知學(xué)生不僅學(xué)到了知識(shí)，而且培養(yǎng)了學(xué)習(xí)興趣，提高了學(xué)習(xí)積極性.2、學(xué)情分析高二的學(xué)生3、教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)：知識(shí)與技能：理解并掌握復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的乘法與除法運(yùn)算法則，深刻理解它是乘法運(yùn)算的逆運(yùn)算+過程與方法：理解并掌握復(fù)數(shù)

2、的除法運(yùn)算實(shí)質(zhì)是分母實(shí)數(shù)化類問題情感、態(tài)度與價(jià)值觀：復(fù)數(shù)的幾何意義單純地講解或介紹會(huì)顯得較為枯燥無味，學(xué)生不易接受，教學(xué)時(shí)，我們采用講解或體驗(yàn)已學(xué)過的數(shù)集的擴(kuò)充的，讓學(xué)生體會(huì)到這是生產(chǎn)實(shí)踐的需要從而讓學(xué)生積極主動(dòng)地建構(gòu)知識(shí)體系。教材內(nèi)容及重點(diǎn)、難點(diǎn)分析教學(xué)重點(diǎn)：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算。教學(xué)難點(diǎn)：對(duì)復(fù)數(shù)除法法則的運(yùn)用。教學(xué)設(shè)想：如果兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別相等，那么我們就說這兩個(gè)復(fù)數(shù)相等即：如果a，b，c，dR，那么a+bi=c+dia=c，b=d，只有當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)不全是實(shí)數(shù)時(shí)才不能比較大小4、教學(xué)思路本節(jié)課的教學(xué)以建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論為指導(dǎo)，以學(xué)生為中心，以問題為出發(fā)點(diǎn)，使課堂教學(xué)過程成為學(xué)生自主地

3、進(jìn)行信息加工、知識(shí)意義構(gòu)建、創(chuàng)新能力發(fā)展的。教師在教學(xué)過程中則適時(shí)介入，引導(dǎo)、啟發(fā)、組織、幫助、促進(jìn)。設(shè)計(jì)創(chuàng)造性思維問題。所謂創(chuàng)造性思維問題即是指利于學(xué)生創(chuàng)造性思維發(fā)展的問題。創(chuàng)造性思維問題的設(shè)計(jì)應(yīng)遵循這樣幾個(gè)原則：題型具有開放性、解題富有挑戰(zhàn)性。5、教學(xué)手段互動(dòng)法：老師提出問題，由學(xué)生回答，并從知識(shí)中獲得啟迪，從而解決問題。任務(wù)驅(qū)動(dòng)教學(xué)法：將所要學(xué)習(xí)的新知識(shí)隱含在一個(gè)或向個(gè)問題之中，學(xué)生通過對(duì)所提的任務(wù)進(jìn)行分析、討論，并在老師的指導(dǎo)、幫助下找出解決問題的方法，最后通過任務(wù)的完成而實(shí)現(xiàn)對(duì)所學(xué)知識(shí)的意義建構(gòu)。二、案例描述1、新課導(dǎo)入提出問題：試計(jì)算5(2i)活動(dòng)設(shè)計(jì)：先由學(xué)生獨(dú)立思考，然后交流看

4、法學(xué)情預(yù)測(cè)：學(xué)生可能類比單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法來計(jì)算活動(dòng)成果：(板書)5(2+i)=(2+i)+(2+i)+(2+i)+(2+i)+(2+i)=10+5i.2、講解新課設(shè)計(jì)意圖通過比較分別運(yùn)用實(shí)數(shù)集中乘法的意義和復(fù)數(shù)的加法法則計(jì)算所得的結(jié)果，得到結(jié)論：m(a+bi)=ma+mbi，其中m，a，bR.引出新課.兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘又該如何計(jì)算探究新知提出問題：如何計(jì)算(2+i)(3+2i)活動(dòng)設(shè)計(jì)：先讓學(xué)生獨(dú)立思考，然后小組交流，教師巡視指導(dǎo)，并注意與學(xué)生交流.學(xué)情預(yù)測(cè)：學(xué)生可能類比兩個(gè)多項(xiàng)式的乘法來計(jì)算.活動(dòng)成果：(板書)(1) 規(guī)定，復(fù)數(shù)的乘法法則：設(shè)乙=a+bi,Z2=c+di是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，那么它

5、們的積：(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2=(acbd)+(ad+bc)i.(2) (2+i)(3+2i)=6+3i+4i+2i2=4+7i.設(shè)計(jì)意圖遇到問題就得解決問題，但是復(fù)數(shù)又是一個(gè)全新的知識(shí)，它是實(shí)數(shù)集的擴(kuò)充，所以在不違背原有知識(shí)的基礎(chǔ)上規(guī)定了復(fù)數(shù)的乘法法則，使學(xué)生體會(huì)知識(shí)的創(chuàng)新與發(fā)展的過程理解新知提出問題1：怎樣理解復(fù)數(shù)的乘法法則它可能滿足哪些運(yùn)算律活動(dòng)設(shè)計(jì)：學(xué)生獨(dú)立思考，然后同學(xué)間交流學(xué)情預(yù)測(cè)：學(xué)生可以獨(dú)立理解復(fù)數(shù)的乘法法則，并寫出它滿足的運(yùn)算律活動(dòng)成果：(1) 可以看出，兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘，類似于兩個(gè)多項(xiàng)式相乘，只要在所得的結(jié)果中把i2換成-1，并且把實(shí)部與虛部分

6、別合并即可.兩個(gè)復(fù)數(shù)的積是一個(gè)確定的復(fù)數(shù)(2) 實(shí)數(shù)集上的乘法滿足的運(yùn)算律，可以直接推廣到復(fù)數(shù)集上的乘法運(yùn)算中：對(duì)于任意Z1，Z2，Z3C,有Z1Z2=Z2Z1,(Z1Z2)Z3=Z1(Z2Z3),Z1(Z2+Z3)=Z1Z2+Z1Z3.設(shè)計(jì)意圖準(zhǔn)確地把握法則及其滿足的運(yùn)算律，為正確熟練地運(yùn)用打下良好的基礎(chǔ)提出問題2：計(jì)算i5,i6,i7,i8的值，你能推測(cè)in(nN*)的值有什么規(guī)律嗎活動(dòng)設(shè)計(jì)：學(xué)生獨(dú)立思考，然后同學(xué)間交流結(jié)果，教師巡視指導(dǎo)學(xué)情預(yù)測(cè)：學(xué)生能夠計(jì)算出四個(gè)值,并說出周期性活動(dòng)成果：i5=i,i6=1,i7=i,i8=1,推測(cè)i4n+1=i,i4n+2=1,i4n+3=i,i4n+

7、4=1(nN*).設(shè)計(jì)意圖了解i的幕的周期性，培養(yǎng)學(xué)生的觀察和歸納能力.運(yùn)用新知例1計(jì)算：(1) (1i)2;(2)(12i)(3+4i)(1+2i).思路分析：第題可以用復(fù)數(shù)的乘法法則計(jì)算，也可以用實(shí)數(shù)系中的乘法公式計(jì)算；第(2)題可以按從左到右的運(yùn)算順序計(jì)算，也可以結(jié)合運(yùn)算律來計(jì)算.解：(1)解法一：(1i)2=(1i)(1i)=1i-i+i2=2i；解法二：(1i)2=12i+i2=2i.(2) 解法一:(12i)(3+4i)(1+2i)=(3+4i6i8i2)(1+2i)=(112i)(1+2i)=(11+4)+(222)i=15+20i;解法二：(12i)(3+4i)(1+2i)=(

8、12i)(1+2i)(3+4i)=5(3+4i)=15+20i.點(diǎn)評(píng)：此題主要是鞏固復(fù)數(shù)乘法法則及運(yùn)算律，以及乘法公式的推廣應(yīng)用.特別要提醒其中(一2i)4i=8,而不是一8.探究新知提出問題1:在例1中12i與1+2i的積恰好是一個(gè)實(shí)數(shù)，觀察這兩個(gè)復(fù)數(shù)之間有何聯(lián)系活動(dòng)設(shè)計(jì)：學(xué)生獨(dú)立思考，然后交流.學(xué)情預(yù)測(cè)：在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生能夠得出兩個(gè)復(fù)數(shù)的異同.活動(dòng)成果：一般地，當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)時(shí)，這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù).虛部為0的兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)也叫共軛虛數(shù).注意：z的共軛復(fù)數(shù)常用z表示.即：若z=a+bi，貝Uz=abi.設(shè)計(jì)意圖例1(2)為引出共軛復(fù)數(shù)的概念提供了實(shí)例支持，從而

9、得出共軛復(fù)數(shù)的定義，使學(xué)生對(duì)知識(shí)的接受變得自然.提出問題2:類比實(shí)數(shù)的除法，聯(lián)系復(fù)數(shù)減法法則的引入過程，探求復(fù)數(shù)除法的法則.活動(dòng)設(shè)計(jì)：引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用乘法法則以及復(fù)數(shù)相等的概念來得到除法法則.活動(dòng)成果：(1)規(guī)定復(fù)數(shù)的除法是乘法的逆運(yùn)算，即把滿足(c+di)(x+yi)=a+bi(c+di豐0)復(fù)數(shù)x+yi,叫做復(fù)數(shù)a+bi除以c+di的商.(2)經(jīng)計(jì)算可得(exdy)+(dx+cy)i=a+bi.根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義，有exdy=a,dx+cy=b.由此得x=ac+bdc2+d2，bcady=.ac+bdbcad于是得到復(fù)數(shù)除法的法則是:(a+bi)十(+di)二c2+d2+c2+d2i.由此可見

10、，兩個(gè)復(fù)數(shù)相除(除數(shù)不為0),所得的商是一個(gè)確定的復(fù)數(shù).理解新知提出問題1：若Z1,Z2是共軛復(fù)數(shù)，那么在復(fù)平面內(nèi)，它們所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)有怎樣的位置關(guān)系(2) zi是一個(gè)怎樣的數(shù)(3) 若zi是實(shí)數(shù)，則它的共軛復(fù)數(shù)是怎樣的數(shù)活動(dòng)設(shè)計(jì)：學(xué)生獨(dú)立探究，然后再小組交流.教師巡視指導(dǎo).學(xué)情預(yù)測(cè)：學(xué)生通過獨(dú)立思考，然后與同學(xué)交流看法，最后能夠得出正確的結(jié)論.活動(dòng)成果：(1)兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱；(2) Z1Z2=|Zl|2=|Z2|2；(即zz=|z|2=|z|2)(3) Z1的共軛復(fù)數(shù)仍是Z1,即實(shí)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是它本身.設(shè)計(jì)意圖使學(xué)生加深對(duì)共軛復(fù)數(shù)概念的了解.提出問題2:在實(shí)際進(jìn)行復(fù)數(shù)運(yùn)算時(shí)，每

11、次都按照乘法逆運(yùn)算的辦法來求商，這是十分麻煩的.如何簡(jiǎn)化求商的過程這種簡(jiǎn)化的求商過程與實(shí)數(shù)系中作何種運(yùn)算的過程相類似活動(dòng)設(shè)計(jì)：起初學(xué)生會(huì)無從下手，可以提示他們觀察商的實(shí)部和虛部的分母與除數(shù)的關(guān)系，從而得解.學(xué)情預(yù)測(cè)：學(xué)生在教師的指導(dǎo)下，基本上能發(fā)現(xiàn)規(guī)律.活動(dòng)結(jié)果：(1)在進(jìn)行復(fù)數(shù)除法運(yùn)算時(shí)，通常先把(a+bi)十(cdi)寫成齊&的形式，再把分子與分母都乘以分母的共軛復(fù)數(shù)c-di，化簡(jiǎn)整理后即可.(2)這種求商過程與作根式除法時(shí)的處理是很類似的在作根式除法時(shí)，分子、分母都乘以分母的有理化因式”從而使分母有理化”這里分子和分母都乘以分母的實(shí)數(shù)化因式”共軛復(fù)數(shù))，從而使分母實(shí)數(shù)化”設(shè)計(jì)意圖

12、簡(jiǎn)化求解過程，有利于熟練運(yùn)用法則.運(yùn)用新知例2計(jì)算(1+2i)十-4i).1 +2i思路分析：先把(1+2i)十(34i)寫成廠才的形式，然后分子、分母都乘以3+4i,計(jì)算整理即可.解:(1+2i)寧(34i)1+2i3-4i3+4i3+4i38+6i+4i_5+10i_12.32+42_25_-5+5i點(diǎn)評(píng)：例2是復(fù)數(shù)除法的計(jì)算題，目的是讓學(xué)生熟練操作上述作除法的簡(jiǎn)便過程.鞏固練習(xí)計(jì)算:(1)3+?(2)(''3+-；2i)(-：3+,：2i);1+i2+ii解:7+i3+4i34i3-4i2525i252i+2i+i23+i(2)(：'3+*2i)(.-'3

13、+.；2i)_(:'2i)2(,''3)2_2i23_23_5;3+ii._13i.i變練演編1.已知：-_1+2i，則橫線上可以填的條件是什么(可以多寫幾種）2 計(jì)算：口；并自己編制一道類似的題目.答案：+2i,3-4i或5,1-2i等等.（先寫出被除數(shù)或除數(shù)中的一個(gè)，然后求另一個(gè)）3 +4i3+4i4+3i25i2解法一:=i；4-3i4-3i4+3i25'；解法3+4i_3+4ii_3+4ii4-3i_4-3ii_3+4i編制的題目：35+5i，（編制的原則設(shè)分子是zi_a+bi，則分母為Z2_b-ai,即分母與i的乘積就是分子，可直接約分，從而達(dá)到分母實(shí)

14、數(shù)化）.設(shè)計(jì)意圖第一個(gè)題目的設(shè)計(jì)不僅是為了訓(xùn)練學(xué)生靈活處理問題，熟練運(yùn)用知識(shí)的能力，而且可以培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維與集中思維的能力，還可以考查學(xué)生對(duì)知識(shí)、問題理解的深刻性和思維的深刻性、全面性題型的新穎性、開放性更是不言而喻第二個(gè)題的目的是使學(xué)生更深刻理解復(fù)數(shù)的除法就是分母的實(shí)數(shù)化.3、拓展延伸1復(fù)數(shù)a+bi與c+di的積是實(shí)數(shù)的充要條件是（）A.ad+be_0B.ae+bd_0+i.C.ae_bdD.ad_be23+i1+2,3i20102.已知(1+2i)z_4+3i，求z.計(jì)算解析：1.若(a+bi)(e+di)_(acbd)+(ad+be)i是實(shí)數(shù)，則只需虛部ad+be_0.故答案為A.2.

15、由已知可得；_帛_-J%冒_10-5i_2-i，所以z_2+010=i1+S3i+1+23ip21005=i+1005=i+i1005=i+i4x25+1=i+i=2i.4、高考連線復(fù)數(shù)在高考中占有很重要的地位。高考中多以選擇題形式出現(xiàn)，屬易得分題型，要求學(xué)生必須掌握。5、課堂小結(jié)對(duì)給定的三個(gè)復(fù)數(shù)Z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i，你能研究些什么用什么樣的方法來研究（數(shù)系的擴(kuò)充,當(dāng)復(fù)數(shù)的虛部為0時(shí)，復(fù)數(shù)也就是特殊的實(shí)數(shù)；復(fù)數(shù)的分類；復(fù)數(shù)相等的概念;復(fù)數(shù)的幾何意義；復(fù)數(shù)的模；復(fù)數(shù)的運(yùn)算;復(fù)數(shù)的運(yùn)算律；任一個(gè)復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)及性質(zhì)等本章所學(xué)的所有知識(shí)用類比、轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、化

16、虛為實(shí)等思想方法來研究.）6布置作業(yè)習(xí)題A組4、5題.7、補(bǔ)充練習(xí)基礎(chǔ)練習(xí)復(fù)數(shù)(15+&)(12i)的值為已知復(fù)數(shù)zi=3+4i,72=t+i，且zi2是實(shí)數(shù),則實(shí)數(shù)t等于（）4C.3D.復(fù)數(shù)z=：+2：在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)不可能位于A.第一象限B.第二象限C第三象限D(zhuǎn).第四象限z1若Z1=a+2i，z2=34i且為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)，z2111已知乙=5+10i，Z2=34i，一=一+一，求z.，zZ1z2a的值為答案：38i5.2i.拓展練習(xí)已知2i3是關(guān)于x的方程2x2+px+q=0的一個(gè)根，求實(shí)數(shù)p,q的值.思路分析：2i-3是方程的根，代入方程后根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義，化虛為實(shí)，即可求

17、得.解：由已知得：2(2i3)bb2b2cb2b24acb2:x2+2x2a+(2a)2(2a)2a，(x+2a)2，(x+2a)2+p(2i3)+q=0,103p+q0,從而(10-3p+q)+(2p24)i0.于是，有解得p12,q2p240，26.點(diǎn)評(píng)：解決復(fù)數(shù)問題的關(guān)鍵就是轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問題來處理，復(fù)數(shù)相等就是實(shí)現(xiàn)這一轉(zhuǎn)化的很好的工具.三、案例反思本節(jié)課是本章的重點(diǎn)內(nèi)容，同時(shí)復(fù)數(shù)乘、除法的法則的理解更是難點(diǎn).故在本節(jié)課的設(shè)計(jì)上多次采取類比的方法，使知識(shí)在不失其本質(zhì)的情況下，更易于理解.同時(shí)這種處理方法可以使新知識(shí)與所學(xué)知識(shí)建立聯(lián)系性，有利于知識(shí)的網(wǎng)絡(luò)化和系統(tǒng)化.在整個(gè)設(shè)計(jì)上突出了問題驅(qū)動(dòng)式

18、的教學(xué)方法，以問題為主線，以學(xué)生為主體，隨著問題的提出與解決，教學(xué)內(nèi)容也被隨之很好地學(xué)習(xí)與理解.在例題和習(xí)題的設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)上，力求突出本節(jié)課的重點(diǎn)：熟練掌握復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算以及數(shù)學(xué)思維方式與技能形成的培養(yǎng).例題的選題目的有三：一是鞏固所學(xué)法則及運(yùn)算律；二是通過一題多解培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力；三是培養(yǎng)計(jì)算能力，以形成技能.變練演編的第1題考查學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)、發(fā)散思維及逆向思維的能力；第2題則是使學(xué)生更加深刻地體會(huì)復(fù)數(shù)除法的實(shí)質(zhì)就是分母實(shí)數(shù)化”，培養(yǎng)學(xué)生問題理解的深刻性、全面性.為了進(jìn)一步鞏固所學(xué)，又設(shè)計(jì)了鞏固練習(xí)、達(dá)標(biāo)檢測(cè)和補(bǔ)充練習(xí)等環(huán)節(jié).在補(bǔ)充練習(xí)中為學(xué)有余力的同學(xué)安排了拓展練習(xí)，增加思維量的同時(shí)也開闊了視野.我們知道，對(duì)于實(shí)系數(shù)一元二次方程ax2+bx+c0，如果b24ac<0,那么它在實(shí)數(shù)集R內(nèi)沒有實(shí)根.現(xiàn)在把實(shí)數(shù)集R擴(kuò)充為復(fù)數(shù)集C，再來考察這一問bc題.經(jīng)過變形，原方程可以化為x2+X-，aab24ac由于b24ac2a2是正實(shí)數(shù)，我們可以得到±-b24ac"2a.所以當(dāng)b24ac<0時(shí)，實(shí)系數(shù)一元二次方程ax2+bx+c=0在復(fù)數(shù)集C內(nèi)有b±/b24aci且只有兩個(gè)根x="b24ac<0.2a