高中數(shù)學(xué)選修1-2學(xué)生學(xué)案教師版

1、第一章統(tǒng)計(jì)案例回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用IPETU|線性回歸方程1.回歸分析(1) 函數(shù)關(guān)系是一種確定性關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系,即自變量取值一定時(shí)，因變量的取值帶有一定的隨機(jī)性的兩個(gè)變量之間的關(guān)系叫做相關(guān)關(guān)系.(2) 回歸分析是對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的一種常用方法，回歸分析的基本步驟是畫(huà)出兩個(gè)變量的散點(diǎn)圖，求回歸直線方程，并用回歸直線方程進(jìn)行預(yù)報(bào).2線性回歸模型(1) 線性回歸模型y=bx+a+e，其中a_和°是模型的未知參數(shù)，e稱為隨機(jī)誤差自變量x稱為解釋變量，因變量y稱為預(yù)報(bào)變量.(2) 在回歸方程y=bx+a中，AAA一b=，a=y-bx.其中x=

2、，y=i,(x，y)稱為樣本點(diǎn)的中心.線性回歸方程中系數(shù)b的含義(1) b是回歸直線的斜率的估計(jì)值，表示x每增加一個(gè)單位，y的平均增加單位數(shù)，而不是增加單位數(shù).(2) 當(dāng)b>0時(shí)，變量y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系；當(dāng)bv0時(shí)，變量y與x具有負(fù)的線性相關(guān)關(guān)系.在殘差圖中分析殘差特性.殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說(shuō)明選用的模型比較合適，這樣的帶狀區(qū)域的寬度越窄，說(shuō)明模型擬合精度越高，回歸方程的預(yù)報(bào)精度越2相關(guān)指數(shù)我們可以用相關(guān)指數(shù)R來(lái)刻畫(huà)回歸的效果，其計(jì)算公式是：氏=.氏越大，殘差平方和越小，即模型的擬合效果越好;氏越小，殘差平方和越大，即模型的擬合效果越差在線性回歸模型中，氏的取值

3、范圍為0,1，氏表示解釋變量對(duì)于預(yù)報(bào)變量變化的貢獻(xiàn)率，1-氏表示隨機(jī)誤差對(duì)于預(yù)報(bào)變量變化的貢獻(xiàn)率.R1.殘差分析殘差：樣本點(diǎn)(Xn，yn)的隨機(jī)誤差ei=yi-bx-a，其估計(jì)值為ei=yi-yi=yi-bxi-a，ei稱為相應(yīng)于點(diǎn)(Xi，y)的殘差(residual).(以上i=1,2，n)殘差圖：作圖時(shí)，縱坐標(biāo)為殘差，橫坐標(biāo)可以選為樣本編號(hào)，或Xi數(shù)據(jù)，或yi數(shù)據(jù)，這樣作出的圖形稱為殘差圖.殘差分析：殘差分析即通過(guò)殘差發(fā)現(xiàn)原始數(shù)據(jù)中的可疑數(shù)據(jù)，判斷所建立模型的擬合效果，其步驟為：計(jì)算殘差一一畫(huà)殘差圖一一越接近于1，表示回歸的效果越好.殘差分析的注意點(diǎn)在殘差圖中，可疑數(shù)據(jù)的特征表現(xiàn)為：(1)

4、 個(gè)別樣本點(diǎn)的殘差過(guò)大，即大多數(shù)的殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，而個(gè)別殘差點(diǎn)偏離該區(qū)域過(guò)于明顯，需要確認(rèn)在采集這些樣本點(diǎn)的過(guò)程中是否有人為的錯(cuò)誤，如果采集數(shù)據(jù)有錯(cuò)誤，那么需要糾正，然后重新利用線性回歸模型擬合數(shù)據(jù)；如果數(shù)據(jù)采集沒(méi)有錯(cuò)誤，那么需要尋找其他原因.(2) 殘差圖有異常，即殘差呈現(xiàn)不隨機(jī)的規(guī)律性，此時(shí)需要考慮所采用的線性回歸模型是否合適.例1某種產(chǎn)品的廣告費(fèi)支出x(單位：百萬(wàn)元)與銷售額y(單位：百萬(wàn)元)之間有如下對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)：X24568y3040605070(1) 試根據(jù)數(shù)據(jù)預(yù)報(bào)廣告費(fèi)支出1000萬(wàn)元的銷售額；(2) 若廣告費(fèi)支出1000萬(wàn)元的實(shí)際銷售額為8500萬(wàn)元，求誤差.

5、解：(1)從畫(huà)出的散點(diǎn)圖(圖略)可看出，這些點(diǎn)在一條直線附近，可以建立銷售額y對(duì)廣告費(fèi)支出x的線性回歸方程.由題中數(shù)據(jù)計(jì)算可得x=5，y=50，由公式計(jì)算得b=，a=，所以y對(duì)x的線性回歸方程為y=+.因此，對(duì)于廣告費(fèi)支出為1000萬(wàn)元(即10百萬(wàn)元)，由線性回歸方程可以預(yù)報(bào)銷售額為y=x10+=(百萬(wàn)元).(2)8500萬(wàn)元即85百萬(wàn)元，實(shí)際數(shù)據(jù)與預(yù)報(bào)值的誤差為85-=(百萬(wàn)元).求線性回歸方程的步驟(1) 列表表示Xi，yi，Xiyi;(2) 計(jì)算X勺，(3) 代入公式計(jì)算a，b的值；(4) 寫(xiě)出回歸直線方程.例2某車間為了規(guī)定工時(shí)定額，需要確定加工零件所花費(fèi)的時(shí)間，為此進(jìn)行了10次試驗(yàn)，

6、測(cè)得的數(shù)據(jù)如下:編號(hào)12345678910零件數(shù)X/個(gè)102030405060708090100加工時(shí)間y/分626875818995102108115122(1) 建立零件數(shù)為解釋變量，加工時(shí)間為預(yù)報(bào)變量的回歸模型，并計(jì)算殘差；(2) 你認(rèn)為這個(gè)模型能較好地刻畫(huà)零件數(shù)和加工時(shí)間的關(guān)系嗎解(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)畫(huà)出散點(diǎn)圖，如圖所示.y130七120、110°*r«94閒*r上1>1H丄Jkj0102030-10SO6070SO90100*零件歡/牛由圖可看出，這些點(diǎn)在一條直線附近，可以用線性回歸模型來(lái)擬合數(shù)據(jù).計(jì)算得加工時(shí)間對(duì)零件數(shù)的線性回歸方程為y=+.殘差數(shù)據(jù)如下表:

7、編號(hào)12345殘差e一一編號(hào)678910殘差e一一一(2)以零件數(shù)為橫坐標(biāo)，殘差為縱坐標(biāo)畫(huà)出殘差圖如圖所示.第19頁(yè)共32頁(yè)t的數(shù)據(jù)表:0,1Q.ZO-O.Ea40.60.8m加加40甸60TO80比100no塞件地*Xiyi5xyi=1所以b=522Xi5xi=16205X18X16605X182t421y161252:1作出y與t的散點(diǎn)圖如圖所示.由圖可知，殘差點(diǎn)分布較均勻，即用上述回歸模型擬合數(shù)據(jù)效果很好但需注意，由殘差圖可以看出，第4個(gè)樣本點(diǎn)和a=+x18=,第5個(gè)樣本點(diǎn)的殘差比較大，需要確認(rèn)在采集這兩個(gè)樣本點(diǎn)的過(guò)程中是否有人為的錯(cuò)誤.類題通法殘差分析應(yīng)注意的問(wèn)題利用殘差分析研究?jī)蓚€(gè)變

8、量間的關(guān)系時(shí)，首先要根據(jù)散點(diǎn)圖來(lái)粗略判斷它們是否線性相關(guān)，是否可以用線性回歸模型來(lái)擬合數(shù)據(jù)然后通過(guò)圖形來(lái)分析殘差特性，用殘差；，：2,Ayiyi0一一yiy一一一所以所求回歸直線方程是y=+.列出殘差表:J1614-L2108IfiI1IZ卜-f0i23den來(lái)判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)，用R2來(lái)刻畫(huà)模型擬合的效果.活學(xué)活用已知某種商品的價(jià)格x（元）與需求量y（件）之間的關(guān)系有如下一組數(shù)據(jù)：x1416182022y12107535A5_所以（yiyi）=,（yiy）=,i=1i=15A2yiyii=1氏=1，5一2yiyi=1所以回歸模型的擬合效果很好由圖可知y與t呈近似的線性相關(guān)關(guān)系.5

9、52又t=,y=,tiyi=,ti=5,i=1i=1tiy5ty5i=1i=1求y關(guān)于x的回歸直線方程，并說(shuō)明回歸模型擬合效果的好壞.1解：x=（14+16+18+20+22）=18,51y=（12+10+7+5+3）=,5X2=142+162+182+202+222=1660,i=1xy=14X12+16X10+18X7+20X5+22X3=620,i=1x124y1612521例3在一次抽樣調(diào)查中測(cè)得樣本的5個(gè)樣本點(diǎn)，數(shù)值如下表：試建立y與x之間的回歸方程.解作出變量y與x之間的散點(diǎn)圖如圖所示.IB14L2108623-1*由圖可知變量y與x近似地呈反比例函數(shù)關(guān)系.k1設(shè)y=一，令t=-，

10、貝Vy=kt.由y與x的數(shù)據(jù)表可得y與xx=錯(cuò)誤！4,AA-a=ybt=4X，Ay=4t+.所以y與x的回歸方程是y=錯(cuò)誤！+.類題通法非線性回歸分析的步驟非線性回歸問(wèn)題有時(shí)并不給出經(jīng)驗(yàn)公式.這時(shí)我們可以畫(huà)出已知數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，把它與學(xué)過(guò)的各種函數(shù)（幕函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等）圖象作比較，挑選一種跟這些散點(diǎn)擬合得最好的函數(shù)，然后采用適當(dāng)?shù)淖兞孔儞Q，把問(wèn)題化為線性回歸分析問(wèn)題，使之得到解決.其一般步驟為：活學(xué)活用t/s012345678910UV100755540302015101055某電容器充電后，電壓達(dá)到100V，然后開(kāi)始放電，由經(jīng)驗(yàn)知道，此后電壓U隨時(shí)間t變化的規(guī)律用公式U=Aebt(b

11、v0)表示，現(xiàn)測(cè)得時(shí)間t(s)時(shí)的電壓U(V)如下表：x012345678910y試求：電壓U對(duì)時(shí)間t的回歸方程.(提示：對(duì)公式兩邊取自然對(duì)數(shù)，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線性回歸分析問(wèn)題)解：對(duì)U=Aebt兩邊取對(duì)數(shù)得InU=InA+bt,令y=InU,a=InA,x=t，則y=a+bx,y與x的數(shù)據(jù)如下表：5-4-'*.321-“12345678930*根據(jù)表中數(shù)據(jù)畫(huà)出散點(diǎn)圖，如圖所示，從圖中可以看出，y與x具有較好的線性相關(guān)關(guān)系，由表中數(shù)據(jù)求得x=5,y，由公式計(jì)算得b,a=ybx=，所以y對(duì)x的線性回歸方程為y=F.AA所以InU=+,即U=e=e,因此電壓U對(duì)時(shí)間t的回歸方程為U=e.典例下

12、列現(xiàn)象的線性相關(guān)程度最高的是()A. 某商店的職工人數(shù)與商品銷售額之間的相關(guān)系數(shù)為B. 流通費(fèi)用率與商業(yè)利潤(rùn)率之間的相關(guān)系數(shù)為一C. 商品銷售額與商業(yè)利潤(rùn)率之間的相關(guān)系數(shù)為D. 商品銷售額與流通費(fèi)用率之間的相關(guān)系數(shù)為解析|r|越接近于1，相關(guān)程度越高.答案B易錯(cuò)防范1本題易錯(cuò)誤地認(rèn)為r越接近于1，相關(guān)程度越高，從而誤選A.2.變量之間線性相關(guān)系數(shù)r具有如下性質(zhì)：(1) r2w1,故變量之間線性相關(guān)系數(shù)r的取值范圍為1,1.(2) |r|越大，變量之間的線性相關(guān)程度越高；|r|越接近0，變量之間的線性相關(guān)程度越低.(3) 當(dāng)r>0時(shí)，兩個(gè)變量的值總體上呈現(xiàn)出同時(shí)增減的趨勢(shì)，此時(shí)稱兩個(gè)變量正

13、相關(guān)；當(dāng)rv0時(shí)，一個(gè)變量增加，另一個(gè)變量有減少的趨勢(shì)，稱兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)；當(dāng)r=0時(shí)，稱兩個(gè)變量線性不相關(guān).成功破障變量X與Y相對(duì)應(yīng)的一組數(shù)據(jù)為(10,1),2),3),4),(13,5);變量U與V相對(duì)應(yīng)的一組數(shù)據(jù)為(10,5),4),3),2),(13,1).r1表示變量Y與X之間的線性相關(guān)系數(shù)，2表示變量V與U之間的線性相關(guān)系數(shù)，貝U()A.r1V0B.0vr2vr1C.r2V0vr1D.r2=r1解析：選C對(duì)于變量X與Y而言，Y隨X的增大而增大，故變量Y與X正相關(guān)，即r1>0;對(duì)于變量U與V而言，V隨U的增大而減小，故變量V與U負(fù)相關(guān)，即0.故0vr1.y與x正相關(guān)且y=+；y與

14、x正相關(guān)且y=.其中一定不正確的結(jié)論的序號(hào)是()A.B.C.D.解析：選D中y與x負(fù)相關(guān)而斜率為正，不正確；中y與x正相關(guān)而斜率為負(fù)，不正確.2關(guān)于回歸分析，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()A. 在回歸分析中，變量間的關(guān)系若是非確定性關(guān)系，那么因變量不能由自變量唯一確定B. 線性相關(guān)系數(shù)可以是正的也可以是負(fù)的C. 在回歸分析中，如果r2=1或r=±1,說(shuō)明x與y之間完全線性相關(guān)D. 樣本相關(guān)系數(shù)r(1,1)解析：選D樣本的相關(guān)系數(shù)應(yīng)滿足Kr<1.3. 在研究氣溫和熱茶銷售杯數(shù)的關(guān)系時(shí)，若求得相關(guān)指數(shù)氏，則表明氣溫解釋了的熱茶銷售杯數(shù)變化，而隨機(jī)誤差貢獻(xiàn)了剩余的,所以氣溫對(duì)熱茶銷售杯數(shù)的效應(yīng)

15、比隨機(jī)誤差的效應(yīng)大得多.解析：由相關(guān)指數(shù)R2的意義可知，R2表明氣溫解釋了85%而隨機(jī)誤差貢獻(xiàn)了剩余的15%.答案：85%15%4. 若施肥量x(kg)與小麥產(chǎn)量y(kg)之間的回歸直線方程為y=250+4x，當(dāng)施肥量為50kg時(shí)，預(yù)計(jì)小麥產(chǎn)量為解析：把x=50代入y=250+4x，可求得y=450.答案：450kg5.某工廠為了對(duì)新研究的一種產(chǎn)品進(jìn)行合理定價(jià)，將該產(chǎn)品按事先擬定的價(jià)格進(jìn)行試銷，得到如下數(shù)據(jù):自主演練一西煤方城鋼單價(jià)x(元)隨堂即時(shí)演練1.(湖北高考)四名同學(xué)根據(jù)各自的樣本數(shù)據(jù)研究變量y之間的相關(guān)關(guān)系，并求得回歸直線方程，分別得到以下四個(gè)結(jié)論： y與x負(fù)相關(guān)且y=； y與x負(fù)相

16、關(guān)且y=+;x,銷量y(件)89084838075968(1) 求回歸直線方程y=bx+a,其中b=20,a=b；(2) 預(yù)計(jì)在今后的銷售中，銷量與單價(jià)仍然服從(1)中的關(guān)系，且該產(chǎn)品的成本是4元/件，為使工廠獲得最大利潤(rùn)，該產(chǎn)品的單價(jià)應(yīng)定為多少元(利潤(rùn)=銷售收入一成本)解：(I)x=6(8+9)=,y=6(90+84+83+80不超過(guò)小概率獨(dú)立性檢驗(yàn)的步驟+75+68)=80,從而a=y+20x=80+20X=250,故y=-20x+250.2(2)由題意知，工廠獲得利潤(rùn)z=(x-4)y=-20x+330x332331000=20x+,所以當(dāng)X=時(shí)，Zmax=(兀).即當(dāng)該產(chǎn)品的單價(jià)定為元時(shí)

17、，工廠獲得最大利潤(rùn).2獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及其初步應(yīng)用性格內(nèi)向性格外向總計(jì)考前心情緊張332213545考前心情不緊張94381475總計(jì)4265941020P(K>ko)koP(K?>k0)k°獨(dú)立性檢驗(yàn)的具體做法(1)根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的需要確定容許推斷“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”犯錯(cuò)誤概率的上界a，然后查下表確定臨界值ko.導(dǎo)入新知1.分類變量變量的不同“值”表示個(gè)體所屬的不同類別，像這樣的變量稱為分類變量.2.2X2列聯(lián)表假設(shè)有兩個(gè)分類變量X和Y,它們的取值分別為劉，X2和y1,y2，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(也稱2X2列聯(lián)表)為：(2)利用公式a+bnadbee+da+eb+d計(jì)算

18、隨機(jī)變量K2的觀測(cè)值k.相應(yīng)的等高條形圖如圖所示:y1y2總計(jì)X1aba+bX2ede+d總計(jì)a+eb+da+b+e+d(3)如果k>k。，就推斷“X與Y有關(guān)系”，這種推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)a；否則，就認(rèn)為在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下不能推斷“X與Y有關(guān)系”，或者在樣本數(shù)據(jù)中沒(méi)有發(fā)現(xiàn)足夠證據(jù)支持結(jié)論“X與Y有關(guān)系”.化解疑難詳析獨(dú)立性檢驗(yàn)3. 等高條形圖將列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)用高度相同的兩個(gè)條形圖表示出來(lái)，其中兩列的數(shù)據(jù)分別對(duì)應(yīng)不同的顏色，這就是等高條形圖.4. K2統(tǒng)計(jì)量(1)通過(guò)列聯(lián)表或觀察等高條形圖判斷兩個(gè)分類變量之間有關(guān)系，屬于直觀判斷，不足之處是不能給出推斷“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”犯錯(cuò)

19、誤的概率，而獨(dú)立性檢驗(yàn)可以彌補(bǔ)這個(gè)不足.為了使不同樣本容量的數(shù)據(jù)有統(tǒng)一的評(píng)判標(biāo)準(zhǔn),我們構(gòu)造(2)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)是樣本數(shù)據(jù)，它只是總體的代表，具有隨機(jī)性，因此，需要用獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法確認(rèn)所得結(jié)論在多大程度上適用于總體.一個(gè)隨機(jī)變量nadbec+da+e圖中陰影部分表示考前心情緊張與考前心情不緊張中性格內(nèi)向的比例.從圖中可以看出考前緊張的樣本中性格內(nèi)向占的比例比考前心情不緊張樣本中性格內(nèi)向占的比例高，可以認(rèn)為考前緊張與性格類型有關(guān).類題通法細(xì)解等高條形圖(1) 繪制等高條形圖時(shí)，列聯(lián)表的行對(duì)應(yīng)的是高度，兩行的數(shù)據(jù)不相等，但對(duì)應(yīng)的條形圖的高度是相同的；兩列的數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)不同的顏色.(2) 等高條形圖中有

20、兩個(gè)高度相同的矩形，每一個(gè)矩形中都有兩種顏色，觀察下方顏色區(qū)域的高度，如果兩個(gè)高度相差ae比較明顯即亍和市相差很大，就判斷兩個(gè)分類變量之間有關(guān)系.活學(xué)活用為了研究子女吸煙與父母吸煙的關(guān)系，調(diào)查了一千多名n=a+b+e+d為樣本容量.5.獨(dú)立性檢驗(yàn)利用隨機(jī)變量K2來(lái)確定是否能以給定把握認(rèn)為“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”的方法，稱為兩個(gè)分類變量獨(dú)立性檢驗(yàn).化解疑難反證法原理與獨(dú)立性檢驗(yàn)原理的比較反證法原理一一在假設(shè)H下，如果推出一個(gè)矛盾，就證明了H)不成立.獨(dú)立性檢驗(yàn)原理一一在假設(shè)H)下，如果出現(xiàn)一個(gè)與H)相矛盾的小概率事件，就推斷不成立，且該推斷犯錯(cuò)誤的概率列聯(lián)表和等高條形圖的應(yīng)用例1某學(xué)校對(duì)高三學(xué)生作

21、了一項(xiàng)調(diào)查，發(fā)現(xiàn)：在平時(shí)的模擬考試中，性格內(nèi)向的學(xué)生426人中有332人在考前心情緊張，性格外向的學(xué)生594人中有213人在考前心情緊張.作出等高條形圖，利用圖形判斷考前心情緊張與性格類別是否有關(guān)系.解作列聯(lián)表如下：青少年及其家長(zhǎng)，數(shù)據(jù)如下:父母吸煙父母不吸煙總計(jì)子女吸煙23783P320子女不吸煙6785221200總計(jì)9156051520利用等高條形圖判斷父母吸煙對(duì)子女吸煙是否有影響解：等高條形圖如下：子女嘰JWJM由圖形觀察可以看出子女吸煙者中父母吸煙的比例要比父梅子女不吸煙者中父母吸煙的比例高，因此可以在某種程度上認(rèn)為“子女吸煙與父母吸煙有關(guān)系”.例2打鼾不僅影響別人休息，而且可能與患

22、某種疾病有關(guān)下表是一次調(diào)查所得的數(shù)據(jù)：患心臟病未患心臟病總計(jì)每晚都打鼾30224254不打鼾2413551379總計(jì)5415791633根據(jù)列聯(lián)表的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下認(rèn)為每晚都打鼾與患心臟病有關(guān)系解由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得k2的觀測(cè)值為2k_1633X30X1355224X24254X1379X54X1579.因此，在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下，認(rèn)為每晚都打鼾與患心臟病有關(guān)系.類題通法解決獨(dú)立性檢驗(yàn)問(wèn)題的思路解決一般的獨(dú)立性檢驗(yàn)問(wèn)題，首先由題目所給的2X2列聯(lián)表確定a,b,c,d,n的值，然后代入隨機(jī)變量K?的計(jì)算公式求出觀測(cè)值k，將k與臨界值ko進(jìn)行對(duì)比，確定有多大的把

23、握認(rèn)為“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”.活學(xué)活用某生產(chǎn)線上，質(zhì)量監(jiān)督員甲在生產(chǎn)現(xiàn)場(chǎng)時(shí)，990件產(chǎn)品中有合格品982件，次品8件；不在生產(chǎn)現(xiàn)場(chǎng)時(shí)，510件產(chǎn)品中有合格品493件，次品17件.能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下認(rèn)為質(zhì)量監(jiān)督員甲在不在生產(chǎn)現(xiàn)場(chǎng)與產(chǎn)品質(zhì)量好壞有關(guān)系解：根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)得如下2X2列聯(lián)表：合格品次品總計(jì)甲在生產(chǎn)現(xiàn)場(chǎng)9828990甲不在生產(chǎn)現(xiàn)場(chǎng)49317510總計(jì)1475251500B類工人總計(jì)a+bnadbc2c+da+c由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得K?的觀測(cè)值為21500X982X178X493k=>.990X510X1475X25因此，在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下，認(rèn)為質(zhì)量監(jiān)督員甲

24、在不在生產(chǎn)現(xiàn)場(chǎng)與產(chǎn)品質(zhì)量好壞有關(guān)系.1.獨(dú)立性檢驗(yàn)與統(tǒng)計(jì)的綜合應(yīng)用典例（12分）某工廠有工人1000名，其中250名工人參加過(guò)短期培訓(xùn)（稱為A類工人），另外750名工人參加過(guò)長(zhǎng)期培訓(xùn)（稱為B類工人）.現(xiàn)用分層抽樣的方法（按A類、B類分兩層）從該工廠的工人中抽取100名工人，調(diào)查他們的生產(chǎn)生產(chǎn)能力110,120)120,130130,140140,150)分組)人數(shù)8x32表2:B類工人生產(chǎn)能力的頻數(shù)分布表生產(chǎn)能力分組110,120)120,130)130,140)140,150)人數(shù)6y2718表1:A類工人生產(chǎn)能力的頻數(shù)分布表（1）確定x,y的值;能力（此處生產(chǎn)能力指一天加工的零件數(shù)），結(jié)果

25、如下表.（2）完成下面2X2列聯(lián)表，并回答能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下認(rèn)為工人的生產(chǎn)能力與工人的類別有關(guān)系、生產(chǎn)能力分工人類別110,130)130,150)總計(jì)A類工人P(K>k。)k0解題流程1.(I（i>4丄.，的慎.町樞眾甘圧汕厲fi也站i5i的軽卡羊妞it'"d的説訊卜認(rèn)肖I人的I沽I.人啊&二果I'1A'；：I勺人AMt*聲気«ll>r的樸j'a4AJr.、l界戍射K-的與輛I算n蠡屮壽可叩.1/|lll»nLMi吐的人故*JLJ征-JkiiwK'對(duì)It規(guī)范解答T從該工廠的工人中抽取

26、1W名工人*且該工廠中有250名A餐工人石0ZB矣工人*要從A類工人中抽取名，從”類工人屮抽歌為名*<2j=25-S-3-212o,=名師批注要斑定的值*應(yīng)先確定A養(yǎng)工人及B類工人屮總各抽取$少人.此虻易謂認(rèn)為K=鮎一7廠從丙導(dǎo)戲解題錯(cuò)75-6-27-18=21,（I分）（2）根據(jù)所給的數(shù)據(jù)可以完成列聯(lián)表，如下表所示:、生產(chǎn)能力、一分組工人類別、'、110,130)130,150)總計(jì)A類工人20525B類工人304575總計(jì)5050100名，男6分由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得K2的觀測(cè)值為1（）0z-（2/45jX3（）=12>10.512&（10分）因此.在犯錯(cuò)謀的概車

27、不廻過(guò)0.001的詢提下認(rèn)為工人的生產(chǎn)能力與工人的類別有關(guān)系*（12分）活學(xué)活用電視傳媒公司為了解某地區(qū)觀眾對(duì)某類體育節(jié)目的收視情況，隨機(jī)抽取了100名觀眾進(jìn)行調(diào)查，其中女性有55名.下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時(shí)間的頻率分布直方圖：非體育迷體育迷總計(jì)男301545女451055總計(jì)7525100中女性有55名，女“體育迷”有10名，所以男性有45“體育迷”有15名，從而可完成2X2列聯(lián)表，如下表：a+21=73，解析：選C由a+2=b，3獨(dú)立性檢驗(yàn)所采用的思路是：彼此相關(guān)，首先假設(shè)這兩類變量彼此a=52,得b=54.要研究AB兩類型變量.在此假設(shè)下構(gòu)那么在一定程度上說(shuō)明0.

28、025QJQ22O.QQO0.01ftaoioaoos&060分鐘將日均收看該體育節(jié)目時(shí)間不低于40分鐘的觀眾稱為“體育迷”，已知“體育迷”中有10名女性.根據(jù)已知條件完成下面的2X2列聯(lián)表，并據(jù)此資料你是否認(rèn)為“體育迷”與性別有關(guān)10203010非體育迷體育迷總計(jì)男女總計(jì)附:卄>ko)ko解：由頻率分布直方圖可知，在抽取的100名觀眾中，“體育迷”有25名，“非體育迷”有75名，又已知100名觀眾由2X2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得K2的觀測(cè)值為2=100X30X1015X45k=45X55X75X25.因?yàn)閂，所以沒(méi)有充分的證據(jù)表明“體育迷”與性別有關(guān).隨堂即時(shí)演練1觀察下列各圖，其中

29、兩個(gè)分類變量X,y之間關(guān)系最強(qiáng)的是（）u7i為A解析：選明顯，說(shuō)明兩個(gè)分類變量之間關(guān)系最強(qiáng)，故選2.下面是一個(gè)2X2列聯(lián)表：DD圖中兩個(gè)深色條的高相差最D.y1y2總計(jì)X1a2173X222527總計(jì)b46b處的值分別為（）則表中a,A.94,96C.52,54B.52,50D.54,52造隨機(jī)變量K2,如果K?的觀測(cè)值較大，假設(shè).答案：無(wú)關(guān)不成立4. 在吸煙與患肺病是否相關(guān)的判斷中，有下面的說(shuō)法：若K2的觀測(cè)值k>，則在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下，認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系，那么在100個(gè)吸煙的人中必有99人患有肺?。粡莫?dú)立性檢驗(yàn)可知，在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下，認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系時(shí)

30、，若某人吸煙，則他有'患有肺??；從獨(dú)立性檢驗(yàn)可知，在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下，認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系時(shí)，是指有5%的可能性使得推斷錯(cuò)誤.其中說(shuō)法正確的是.解析：K?是檢驗(yàn)吸煙與患肺病相關(guān)程度的量，是相關(guān)關(guān)系，而不是確定關(guān)系，是反映有關(guān)和無(wú)關(guān)的概率，故說(shuō)法不正確；說(shuō)法中對(duì)“確定容許推斷犯錯(cuò)誤概率的上界”理解錯(cuò)誤；說(shuō)法正確.答案：5. 在一次天氣惡劣的飛機(jī)航程中，調(diào)查了男女乘客在飛機(jī)上暈機(jī)的情況：男乘客暈機(jī)的有24人，不暈機(jī)的有31人；女乘客暈機(jī)的有8人，不暈機(jī)的有26人.能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下推斷：在天氣惡劣的飛機(jī)航程中，男乘客比女乘客更容易暈機(jī)解：由已知條件得出下列2X2列

31、聯(lián)表：暈機(jī)不暈機(jī)總計(jì)男乘客:243155女乘客82634總計(jì)325789由公式可得K?的觀測(cè)值k=nadbea+be+da+eb+d28924X2631X8=>55X34X32X57-99%的可能故在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下，認(rèn)為“在天氣惡劣的飛機(jī)航程中，男乘客比女乘客更容易暈機(jī)”.類比推理例1已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為S,a1=-且S+3第二章推理與證明2.合情推理歸納推理如圖(甲)是第七屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)(簡(jiǎn)稱ICME-7)的會(huì)徽?qǐng)D案，會(huì)徽的主體圖案是由如圖(乙)的一連串直角三角形演化而成的，其中OAA1A2A2A3一AzAb1,如果把圖(乙)中的直角三角形依此規(guī)律繼續(xù)作下去，記OA

32、,OA,，OA的長(zhǎng)度構(gòu)成數(shù)列an,問(wèn)題1：試計(jì)算a1,a2,a3,a4的值.提示：由圖知：a1OA1,a2OAO/A+AA:'1+1i.2,a3OAO/A+AA=：$*：:2+1；：.3,a4OAO/A+AbAi'32+1242.問(wèn)題2:由問(wèn)題1中的結(jié)果，你能猜想出數(shù)列an的通項(xiàng)公式an嗎提示：能猜想出an(nN).問(wèn)題3:直角三角形、等腰三角形、等邊三角形的內(nèi)角和都是180°,你能猜想出什么結(jié)論提示：所有三角形的內(nèi)角和都是180°.問(wèn)題4：以上兩個(gè)推理有什么共同特點(diǎn)提示：都是由個(gè)別事實(shí)推出一般結(jié)論.導(dǎo)入新知1. 歸納推理的定義由某類事物的部分對(duì)象具有某些特

33、征,推出該類事物的全部對(duì)象都具有這些特征的推理,或者由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理，稱為歸納推理.2. 歸納推理的特征歸納推理是由部分到整體、由個(gè)別到一般的推理.化解疑難歸納推理的特點(diǎn)(1) 由歸納推理得到的結(jié)論具有猜測(cè)的性質(zhì)，結(jié)論是否正確，還需經(jīng)過(guò)邏輯證明和實(shí)踐檢驗(yàn)，因此，歸納推理不能作為數(shù)學(xué)證明的工具；(2) 一般地，如果歸納的個(gè)別對(duì)象越多，越具有代表性，那么推廣的一般性結(jié)論也就越可靠.提出問(wèn)題問(wèn)題1:在三角形中，任意兩邊之和大于第三邊，那么，在四面體中，各個(gè)面的面積之間有什么關(guān)系提示：四面體中任意三個(gè)面的面積之和大于第四個(gè)面的面積.1S+2=an（n2），計(jì)算S,S2,S,S4,并猜想S

34、的表達(dá)式.KME-7圖(叩問(wèn)題2:三角形的面積1等于底邊與高乘積的，那么在四面體中，如何表示四面體的體積提示：四面體的體積等1于底面積與高乘積的3.問(wèn)題3:以上兩個(gè)推理有什么共同特點(diǎn)提示：根據(jù)三角形的特征，推出四面體的特征.問(wèn)題4:以上兩個(gè)推理是歸納推理嗎提示：不是歸納推理是從特殊到一般的推理，而以上兩個(gè)推理是從特殊到特殊的推理.導(dǎo)入新知1. 類比推理的定義由兩類對(duì)象具有某些類似特征和其中一類對(duì)象的某些已_知特征,推出另一類對(duì)象也具有這些特征的推理,稱為類比推理.2. 類比推理的特征類比推理是由特殊到特殊的推理.化解疑難對(duì)類比推理的定義的理解(1) 類比推理是兩類對(duì)象特征之間的推理.(2) 對(duì)

35、象的各個(gè)性質(zhì)之間并不是孤立存在的，而是相互聯(lián)系和相互制約的，如果兩個(gè)對(duì)象有些性質(zhì)相似或相同，那么它們另一些性質(zhì)也可能相似或相同.(3) 在數(shù)學(xué)中，我們可以由已經(jīng)解決的問(wèn)題和已經(jīng)獲得的知識(shí)出發(fā)，通過(guò)類比提出新問(wèn)題和獲得新發(fā)現(xiàn).2解當(dāng)n1時(shí)，Sa1-；1°4§-2-S飛,15S-2-$-；,16S4-2-S-5,n+1*而，nN.n=2時(shí),n=3時(shí),n=4時(shí),所以所以所以S，-4；453 -5；54- -?S46.類題通法歸納推理的一般步驟歸納推理的思維過(guò)程大致是：實(shí)驗(yàn)、觀察t概括、推廣t猜測(cè)一般性結(jié)論該過(guò)程包括兩個(gè)步驟：(1) 通過(guò)觀察個(gè)別對(duì)象發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；(2) 從已知

36、的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表述的一般性命題(猜想).活學(xué)活用將全體正整數(shù)排成一個(gè)三角形數(shù)陣：12345678910按照以上排列的規(guī)律，求第n行(n3)從左向右數(shù)第3個(gè)數(shù).解：前(n1)行共有正整數(shù)1+2+(n1)個(gè)，即22nnnn個(gè)，因此第n行第3個(gè)數(shù)是全體正整數(shù)中第+3個(gè)，2即為n±6.H*-圖形中的歸納推理數(shù)、式中的歸納推理律拼成若干個(gè)圖案,數(shù)是()(1)有兩種花色的正六邊形地面磚，按下圖的規(guī)則第六個(gè)圖案中有菱形紋的正六邊形的個(gè)翻第二牛圖案A.26B.31C.32D.36把1,3,6,10,15,21，這些數(shù)叫做三角形數(shù)，這是因?yàn)閭€(gè)數(shù)等于這些數(shù)目的點(diǎn)可以分別排成一個(gè)正三角形(如圖)

37、，試求第七個(gè)三角形數(shù)是A.(n+1)(n+2)類比推理121+2+11.1266=b1q,.16120=b1q,T12438T6忑=b1q，忑=_T122T8T84,T8=t4T,¥，¥成等比數(shù)列.I4I8I12T12T8.454bq,2T122=T4,T16T1?故T4,答案22Xy匚ab點(diǎn)Mmn)在已知雙曲線2m2=1上,b2,b222mab,yn=2(xm).a,22y+nyn22x+mxm解析(1)選B法一：有菱形紋的正六邊形個(gè)數(shù)如下表：圖案123個(gè)數(shù)6P11P16由表可以看出有菱形紋的正六邊形的個(gè)數(shù)依次組成一個(gè)以6為首項(xiàng)，以5為公差的等差數(shù)列，所以第六個(gè)圖案中有菱

38、形紋的正六邊形的個(gè)數(shù)是6+5X(61)=31.法二：由圖案的排列規(guī)律可知，除第一塊無(wú)紋正六邊形需6個(gè)有紋正六邊形圍繞(圖案1)外，每增加一塊無(wú)紋正六邊形，只需增加5塊菱形紋正六邊形(每?jī)蓧K相鄰的無(wú)紋正六邊形之間有一塊“公共”的菱形紋正六邊形)，故第六個(gè)圖案中有菱形紋的正六邊形的個(gè)數(shù)為：6+5X(61)=31.故選B.(2)第七個(gè)三角形數(shù)為1+2+3+4+5+6+7=28.答案(1)B(2)28類題通法解決圖形中歸納推理的方法解決與圖形有關(guān)的歸納推理問(wèn)題常從以下兩個(gè)方面著手：(1) 從圖形的數(shù)量規(guī)律入手，找到數(shù)值變化與數(shù)量的關(guān)系.(2) 從圖形的結(jié)構(gòu)變化規(guī)律入手，找到圖形的結(jié)構(gòu)每發(fā)生一次變化后，

39、與上一次比較，數(shù)值發(fā)生了怎樣的變化.活學(xué)活用如圖，第n個(gè)圖形是由正n+2邊形“擴(kuò)展”而來(lái)(n=1,2,3，)，則第n個(gè)圖形中的頂點(diǎn)個(gè)數(shù)為()B. (n+2)(nD.n解析：選B第一個(gè)圖形共有12=3X4個(gè)頂點(diǎn)，第二個(gè)圖形共有20=4X5個(gè)頂點(diǎn)，第三個(gè)圖形共有30=5X6個(gè)頂點(diǎn)，第四個(gè)圖形共有42=6X7個(gè)頂點(diǎn)，故第n個(gè)圖形共有(n+2)(n+3)個(gè)頂點(diǎn).例3設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為S,則S,SS,S12S,S16S2成等差數(shù)列，類比以上結(jié)論有：設(shè)等比數(shù)列bn的前n項(xiàng)積為T(mén)n,則T4,¥成等比數(shù)列.112解析由于等差數(shù)列與等比數(shù)列具有類比性，且等差數(shù)列與和差有關(guān)，等比數(shù)列與積商有關(guān)，

40、因此當(dāng)?shù)炔顢?shù)列依次每4項(xiàng)之和仍成等差數(shù)列時(shí)，類比等比數(shù)列為依次每4項(xiàng)的積的商成等比數(shù)列.下面證明該結(jié)論的正確性：設(shè)等比數(shù)列bn的公比為q,首項(xiàng)為b1,貝HT4=b1q6,T8=b1q1+2+7=b?q28,121+2+11T2=b1q161+2+15=b1q8.422t；=b1q，T8即T4T8T4類題通法類比推理的一般步驟類比推理的思維過(guò)程大致是：觀察、比較t聯(lián)想、類推t猜測(cè)新的結(jié)論.該過(guò)程包括兩個(gè)步驟：(1) 找出兩類對(duì)象之間的相似性或一致性；(2) 用一類對(duì)象的性質(zhì)去猜測(cè)另一類對(duì)象的性質(zhì)，得出一個(gè)明確的命題(猜想).活學(xué)活用已知橢圓具有以下性質(zhì)：已知MN是橢圓C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)

41、P是橢圓上任意一點(diǎn)，若直線PMPN的斜率都存在，并記為kpM,kpN,那么kpM與kpN之積是與點(diǎn)P的位置22無(wú)關(guān)的定值.試對(duì)雙曲線舌一¥?=1(a>0,b>0)寫(xiě)出類似的性質(zhì)，并加以證明.22xy解：類似的性質(zhì)為：已知MN是雙曲線一2召=1(a>0,abb>0)上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線上任意一點(diǎn)，若直線PMPN的斜率都存在，并記為kpM,kpN,那么kpM與kpN之積是與點(diǎn)p的位置無(wú)關(guān)的定值.證明如下：設(shè)點(diǎn)Mp的坐標(biāo)為(mn),(x,y)，貝UN點(diǎn)的坐標(biāo)為(一mn).2n.z02盲-E,得n=同理y2=-2x2b2.ayn貝VkpMkpN=xm.

42、222.2bxmb宀,+=2.22=2(疋值).axma-kpM與kpN之積是與點(diǎn)p的位置無(wú)關(guān)的定值.1. 從平面到空間的類比典例三角形與四面體有下列相似性質(zhì)：(1) 三角形是平面內(nèi)由直線段圍成的最簡(jiǎn)單的封閉圖形；四面體是空間中由三角形圍成的最簡(jiǎn)單的封閉圖形.(2) 三角形可以看作是由一條線段所在直線外一點(diǎn)與這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)的連線所圍成的圖形；四面體可以看作是由三角形所在平面外一點(diǎn)與這個(gè)三角形三個(gè)頂點(diǎn)的連線所圍成的圖形.通過(guò)類比推理，根據(jù)三角形的性質(zhì)推測(cè)空間四面體的性質(zhì)，并填寫(xiě)下表：三角形四面體三角形的兩邊之和大于第三邊三角形的中位線的長(zhǎng)等于第三邊長(zhǎng)的一半，且平行于第三邊三角形的三條內(nèi)角平分

43、線交于一點(diǎn)，且這個(gè)點(diǎn)是三角形內(nèi)切圓的圓心例：在平面幾何里，有勾股定理：“設(shè)ABC勺兩邊ABAC互相垂直，則aW+aC=bC”，拓展到空間，類比平面幾何的勾股定理，研究三棱錐的側(cè)面積與底面積間的關(guān)系，可以得出的正確結(jié)論是：“設(shè)三棱錐ABCD勺三個(gè)側(cè)面ABCACDADB兩兩相互垂直，則|Ax0+By>+q解析：類比平面內(nèi)點(diǎn)到直線的距離公式d=盲+B2|AX0+By0+Cz)+D易知答案應(yīng)填你+|Ax0+By°+Cz+D|答案:解析：“直角三角形的直角邊長(zhǎng)、斜邊長(zhǎng)”類比為“直角三棱錐的側(cè)面積、底面積”.答案:SABCSACD+ADB=$BCD三角形四面體三角形的兩邊之和大于第三邊四面

44、體的三個(gè)面的面積之和大于第四個(gè)面的面積三角形的中位線的長(zhǎng)等于第三邊長(zhǎng)的一半，且平行于第三邊四面體的中截面的面積等于1第四個(gè)面的面積的-，且平行于第四個(gè)面三角形的三條內(nèi)角平分線交于一點(diǎn)，且這個(gè)點(diǎn)是三角形內(nèi)切圓的圓心四面體的六個(gè)二面角的平分面交于一點(diǎn)，且這個(gè)點(diǎn)是四面體內(nèi)切球的球心解三角形和四面體分別是平面圖形和空間圖形，三角形的邊對(duì)應(yīng)四面體的面，即平面的線類比到空間為面.三角形的中位線對(duì)應(yīng)四面體的中截面(以任意三條棱的中點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形)，三角形的內(nèi)角對(duì)應(yīng)四面體的二面角，三角形的內(nèi)切圓對(duì)應(yīng)四面體的內(nèi)切球.具體見(jiàn)下表：(2)平行四邊形類比到平行六面體：例：平面幾何中，有結(jié)論：“平行四邊形兩條對(duì)角線的

45、平方和等于四條邊的平方和”.類比這一結(jié)論，將其拓展到空間,可得到結(jié)論多維探究1.解決此類問(wèn)題，從幾何元素的數(shù)目位置關(guān)系、度量等方面入手，將平面幾何的相關(guān)結(jié)論類比到立體幾何中，相關(guān)類比點(diǎn)如下：解析：“平行四邊形的邊、對(duì)角線”類比為“平行六面體的棱、對(duì)角線”.答案：平行六面體四條對(duì)角線的平方和等于十二條棱的平方和(3)圓類比到球：例：半徑為r的圓的面積S(r)=nr周長(zhǎng)C(r)=2nr,若將r看作(0,+s)上的變量，則(nr2)'=2nr， 式可以用語(yǔ)言敘述為：圓的面積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于圓的周長(zhǎng)函數(shù)對(duì)于半徑為R的球，若將R看作(0,+)上的變量，請(qǐng)你寫(xiě)出類似于的式子：, 式可以用語(yǔ)言敘述為：

46、.A+B2+C2隨堂即時(shí)演練1根據(jù)給出的等式猜測(cè)123456X9+7等于(1X9+2=1112X9+3=111123X9+4=11111234X9+5=1111112345X9+6=111111A.1111C.1111解析：選的七位數(shù)，即11B由題中給出的等式猜測(cè)，應(yīng)是各位數(shù)都是1111111.110112B.D.1111112平面內(nèi)平行于同一直線的兩直線平行，由此類比我們可以得到(A.B.C.D.)空間中平行于同一直線的兩直線平行空間中平行于同一平面的兩直線平行空間中平行于同一直線的兩平面平行空間中平行于同一平面的兩平面平行1111131平面圖形占八、線邊長(zhǎng)面積線線角三角形平行四邊形圓空間圖

47、形線面面積體積二面角四面體六面體球2常見(jiàn)的從平面到空間的類比有以下幾種情況，要注意掌握：(1)三角形類比到三棱錐:解析：通過(guò)給出的兩個(gè)量之間的關(guān)系，類比球的體積公式和球的表面積公式，我們不難發(fā)現(xiàn)3nR5'=4n氏，從而使問(wèn)題解決.答案：gnR3'=4n氏球的體積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于球的表面積函數(shù)(4)平面解析幾何類比到空間解析幾何：例：類比平面內(nèi)一點(diǎn)P(xo,yo)到直線Ax+By+C=0(A+BM0)的距離公式，猜想空間中一點(diǎn)P(x0,y。，z。)到平面Ax+By+Cz+D=0(A+B+Cm0)的距離公式為d=解析：選D利用類比推理，平面中的直線和空間中的平面類比.3在平面上，若兩

48、個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)比為1:2,則它們的面積比為1:4.類似地，在空間中，若兩個(gè)正四面體的棱長(zhǎng)比為1:2,則它們的體積比為.1V13Sh1S解析：V2=W護(hù)2h1111h2=4X2=8.答案：1:84.觀察下列等式：13+23=32,13+23+33=62,13+23+33+43=102,，根據(jù)上述規(guī)律，第五個(gè)等式為.解析：觀察等式，發(fā)現(xiàn)等式左邊各指數(shù)幕的指數(shù)均為3,底數(shù)之和等于右邊指數(shù)幕的底數(shù)，右邊指數(shù)幕的指數(shù)為2，故猜想第五個(gè)等式應(yīng)為13+23+33+43+53+63=(1+2+3+4+5SaABCSaABCS人ABC“面積法”，可用h',h分別為兩個(gè)VO-BCD因?yàn)?7=V/-BCDOV(其中四面體的高)，O-VCD同理OBVOvBDOCVOVBCODVD-VBCDD問(wèn)題2:第二句又說(shuō)的什么提示：都說(shuō)的特殊示例.從一般性的原理出發(fā),稱為演繹推理.問(wèn)題3：第三句呢提示：由一般原理對(duì)特殊示例作導(dǎo)入新知1演繹推理的概念推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論的推理大前提已知的一般原小前提所研究的特殊結(jié)論一一根據(jù)一般原理，對(duì)(1)是奇數(shù).所以MN/PQ又2