彈性力學(xué)課件第二章平面問(wèn)題的基本理論

1、 建立平面問(wèn)題的基本方程和方程的求解方法建立平面問(wèn)題的基本方程和方程的求解方法 包括：平衡微分方程；幾何方程；物理方程；變形協(xié)調(diào)方程；包括：平衡微分方程；幾何方程；物理方程；變形協(xié)調(diào)方程； 邊界條件的描述；方程的求解方法等邊界條件的描述；方程的求解方法等一、一、 平面問(wèn)題平面問(wèn)題 平面應(yīng)力問(wèn)題、平面應(yīng)變問(wèn)題平面應(yīng)力問(wèn)題、平面應(yīng)變問(wèn)題二、二、 平衡微分方程平衡微分方程三、三、 斜面上的應(yīng)力斜面上的應(yīng)力四、四、 力邊界條件力邊界條件五、五、 幾何方程幾何方程 剛體位移、斜方向的正應(yīng)變剛體位移、斜方向的正應(yīng)變六、六、 物理方程物理方程七、七、 邊界分類(lèi)及邊界條件邊界分類(lèi)及邊界條件八、八、 圣維南原理

2、圣維南原理九、彈性力學(xué)問(wèn)題的求解方法九、彈性力學(xué)問(wèn)題的求解方法十、十、 按位移求解平面問(wèn)題按位移求解平面問(wèn)題十一、按應(yīng)力求解平面問(wèn)題十一、按應(yīng)力求解平面問(wèn)題 相容方程相容方程十二、常體力情況下的簡(jiǎn)化十二、常體力情況下的簡(jiǎn)化 相容方程相容方程十三、應(yīng)力函數(shù)十三、應(yīng)力函數(shù) 相容方程相容方程 逆解法與半逆解法逆解法與半逆解法一、平面問(wèn)題一、平面問(wèn)題 平面應(yīng)力問(wèn)題、平面應(yīng)變問(wèn)題平面應(yīng)力問(wèn)題、平面應(yīng)變問(wèn)題1. 1. 平面應(yīng)力問(wèn)題平面應(yīng)力問(wèn)題(1)(1)幾何特征：幾何特征：等厚薄板等厚薄板yzxytba 特殊的幾何形狀特殊的幾何形狀 平面應(yīng)力問(wèn)題平面應(yīng)力問(wèn)題空間問(wèn)題空間問(wèn)題 平面問(wèn)題平面問(wèn)題 特殊的受力情

3、況特殊的受力情況 平面應(yīng)變問(wèn)題平面應(yīng)變問(wèn)題 受力特征：受力特征： 板表面不受力。板邊沿受的面力和體內(nèi)受的板表面不受力。板邊沿受的面力和體內(nèi)受的 體力平行于板面作用，沿體力平行于板面作用，沿 z 方向不變化。方向不變化。 (3) (3)應(yīng)力特征：由于板面上不受力，有：應(yīng)力特征：由于板面上不受力，有： 獨(dú)立的應(yīng)力分量只有三個(gè)應(yīng)力分量，且僅為獨(dú)立的應(yīng)力分量只有三個(gè)應(yīng)力分量，且僅為 x、y 的函數(shù)，與的函數(shù)，與z無(wú)關(guān)。即無(wú)關(guān)。即 符合以上三條的彈性力學(xué)問(wèn)題成為符合以上三條的彈性力學(xué)問(wèn)題成為平面應(yīng)力問(wèn)題平面應(yīng)力問(wèn)題),(yxxyyxxy),(yxxx),(yxyy其它應(yīng)變分量、位移分量也僅為其它應(yīng)變分量

4、、位移分量也僅為 x x、y y 的函數(shù)，與的函數(shù)，與 z z 無(wú)關(guān)。無(wú)關(guān)。0z0zx0zy2. 2. 平面應(yīng)變問(wèn)題平面應(yīng)變問(wèn)題(1)(1)幾何特征：幾何特征：無(wú)限長(zhǎng)、等截面棱柱體無(wú)限長(zhǎng)、等截面棱柱體水壩水壩 外力特征：外力特征：外力（體力、面力）平行于橫截面作用，且沿外力（體力、面力）平行于橫截面作用，且沿 長(zhǎng)度長(zhǎng)度 z 方向不變化。方向不變化。 (3)(3)應(yīng)變、應(yīng)力特征：應(yīng)變、應(yīng)力特征：任一橫截面都是對(duì)稱(chēng)面，則有，任一橫截面都是對(duì)稱(chēng)面，則有，w=0, 即即0z0yzzy0 xzzx應(yīng)力分量有應(yīng)力分量有 ，其中，其中 不獨(dú)立，可以用不獨(dú)立，可以用 表示。表示。xyzyx,z獨(dú)立的應(yīng)力分量?jī)H

5、有獨(dú)立的應(yīng)力分量?jī)H有 ，僅為，僅為x,y的函數(shù)，與的函數(shù)，與z無(wú)關(guān)無(wú)關(guān)xyyx,符合以上三條的彈性力學(xué)問(wèn)題成為符合以上三條的彈性力學(xué)問(wèn)題成為平面應(yīng)變問(wèn)題平面應(yīng)變問(wèn)題yx,其它應(yīng)變分量、位移分量也僅為其它應(yīng)變分量、位移分量也僅為 x x、y y 的函數(shù)，與的函數(shù)，與 z z 無(wú)關(guān)。無(wú)關(guān)。xyxyxyPBACDdyyyxyxdxxxxdyyyyxyOyfxfdxxxyxy 0DMyxxy剪應(yīng)力互等剪應(yīng)力互等0 xF11)(dydydxxxxx11)(dxdxdyyyxyxyx01dydxfx0 xyxxfyx0yF0yxyyfxyyfxf為體力分量為體力分量其中，其中，二、平衡微分方程二、平衡微分

6、方程（1 1）斜面上應(yīng)力在坐標(biāo)方向的分量）斜面上應(yīng)力在坐標(biāo)方向的分量斜面外法線斜面外法線N 在坐標(biāo)中的方向余弦：在坐標(biāo)中的方向余弦：l,m myN),cos(lxN),cos(ldsdymdsdx, 0 xF0111dspdxdyxyxxxyyylmp0111dspmdsldsxyxxyxxxmlp, 0yF（2-4）xyOdxdydsPABPNyxxyxy外法線外法線 xpypxpyp三、斜面上的應(yīng)力三、斜面上的應(yīng)力xyNmplp yxNmplp xyyxNlmml222xyxyNmllm)()(22（2 2）斜面上的正應(yīng)力與剪應(yīng)力）斜面上的正應(yīng)力與剪應(yīng)力xyOdxdydsPABPNyxxy

7、xyNNxpypyxppPNN根據(jù)合矢量投影定理根據(jù)合矢量投影定理 正應(yīng)力正應(yīng)力剪應(yīng)力剪應(yīng)力（3 3）主應(yīng)力與主應(yīng)力方向：）主應(yīng)力與主應(yīng)力方向： 參考材料力學(xué)自習(xí)參考材料力學(xué)自習(xí)xyOdxdydsPABNyxxyxy外法線外法線 xfyfyyxyfmlxyxxfmlf類(lèi)似于斜面上應(yīng)力分量分析過(guò)程類(lèi)似于斜面上應(yīng)力分量分析過(guò)程平面問(wèn)題的應(yīng)力邊界條件平面問(wèn)題的應(yīng)力邊界條件yfxf為面力分量為面力分量其中，其中，四、力邊界條件四、力邊界條件1. 1. 幾何方程幾何方程一點(diǎn)的變形：一點(diǎn)的變形：線段的線段的伸長(zhǎng)或縮短伸長(zhǎng)或縮短；線段間的相對(duì)線段間的相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)；xyOPPABBvuAdxxvvdxxuud

8、yyuudyyvvdyPB dxPA變形前變形前變形后變形后PABBPAuvdxxvvdxxuudyyuudyyvv注：略去了二階以上高階無(wú)窮小量。注：略去了二階以上高階無(wú)窮小量。五、幾何方程五、幾何方程 剛體位移、斜方向的應(yīng)變剛體位移、斜方向的應(yīng)變xyOPPABABuvdxxvvdxxuudyyuudyyvvPAPA的正應(yīng)變：的正應(yīng)變：dyvdyyvvyvyPBPB的正應(yīng)變：的正應(yīng)變：dxudxxuuxuxP P點(diǎn)的剪應(yīng)變：點(diǎn)的剪應(yīng)變：P點(diǎn)兩點(diǎn)兩直角線段夾角直角線段夾角的變化的變化yuxvxyyudyudyyuutantanxvdxvdxxvvxy幾何方程幾何方程yuxvyvxuxyyx2.

9、 2. 剛體位移剛體位移 ： 自習(xí)自習(xí)3. 3. 斜方向的正應(yīng)變斜方向的正應(yīng)變問(wèn)題：?jiǎn)栴}：已知已知 ，求任意方向的線，求任意方向的線應(yīng)變應(yīng)變r(jià)r 和線段夾角的變化。和線段夾角的變化。xyyx, 設(shè)設(shè) P P 點(diǎn)的坐標(biāo)為點(diǎn)的坐標(biāo)為 (x(x，y)y)，N N 點(diǎn)的坐標(biāo)為點(diǎn)的坐標(biāo)為（x+dxx+dx，y+dyy+dy），），PNPN 的長(zhǎng)度為的長(zhǎng)度為 drdr，PNPN 的方向余弦為：的方向余弦為：myPNlxPN),cos(,),cos(于是于是PNPN在坐標(biāo)軸上的投影為：在坐標(biāo)軸上的投影為：mdrdyldrdx,xyOP(x,y)NP1N1vudyyvdxxvvdvvvNdyyudxxuudu

10、uuNN N點(diǎn)位移：點(diǎn)位移：變形后的變形后的P1N1在坐標(biāo)方向的投影：在坐標(biāo)方向的投影： 設(shè)設(shè)PN變形后的長(zhǎng)度變形后的長(zhǎng)度 P1N1=dr， PN 方向的應(yīng)變?yōu)榉较虻膽?yīng)變?yōu)閞r，由應(yīng)變的定義：由應(yīng)變的定義：dyyvdxxvdyvvdyNdyyudxxudxuudxNdrdrrdrdrdrrdr或22drdrrdr22)()(dyyvdxxvdydyyudxxudx兩邊同除以兩邊同除以 (dr)2，得得222)1(drdyyvdrdxxvdrdydrdyyudrdxxudrdxr2211xvlyvmyumxul略去二階小量后略去二階小量后xvlmyvmyulmxulr2)21 (2)21 (21

11、22xyyxrlmml22簡(jiǎn)化后簡(jiǎn)化后應(yīng)用：電測(cè)時(shí)應(yīng)用：電測(cè)時(shí) 應(yīng)變花應(yīng)變花物理方程也稱(chēng)：本構(gòu)方程、本構(gòu)關(guān)系、物性方程。物理方程也稱(chēng)：本構(gòu)方程、本構(gòu)關(guān)系、物性方程。 簡(jiǎn)單胡克定律簡(jiǎn)單胡克定律+ +泊松比效應(yīng)泊松比效應(yīng)+ +基本假設(shè)基本假設(shè)= =廣義胡克定律：廣義胡克定律：)(1yxzzE)(1zxxxE)(1xzyyEzxzxG1yzyzG1xyxyG1其中：其中：E為拉壓彈性模量；為拉壓彈性模量；G為剪切彈性模量；為剪切彈性模量；為側(cè)向收為側(cè)向收縮系數(shù)，又稱(chēng)泊松比?？s系數(shù)，又稱(chēng)泊松比。)1 (2EG六、物理方程六、物理方程1 1、平面應(yīng)力問(wèn)題的物理方程、平面應(yīng)力問(wèn)題的物理方程注：注：(1)

12、0z)(yxzE(2) 物理方程的另一形式物理方程的另一形式)(12xyyE)(12yxxExyxyE)1 (2由于平面應(yīng)力問(wèn)題由于平面應(yīng)力問(wèn)題中中0zxyzz)(1xyyE)(1yxxExyxyE)1 (22 2、平面應(yīng)變問(wèn)題的物理方程、平面應(yīng)變問(wèn)題的物理方程在平面應(yīng)變問(wèn)題在平面應(yīng)變問(wèn)題中中由第三式，得由第三式，得)(yxz0zxyzz注：注：(2)(2)平面應(yīng)變問(wèn)題平面應(yīng)變問(wèn)題 物理方程的另一形式物理方程的另一形式 (1)(1) 平面應(yīng)變問(wèn)題中平面應(yīng)變問(wèn)題中0z，但，但)(yxz兩類(lèi)平面問(wèn)題物理方程的轉(zhuǎn)換：自習(xí)兩類(lèi)平面問(wèn)題物理方程的轉(zhuǎn)換：自習(xí))1(12yxxExyxyE)1 (2)1(12

13、xyyE邊界條件：邊界條件：建立建立邊界上的物理（幾何）量邊界上的物理（幾何）量與與內(nèi)部物理（幾何）內(nèi)部物理（幾何）量量間的關(guān)系是間的關(guān)系是力學(xué)計(jì)算模型力學(xué)計(jì)算模型建立的重要環(huán)節(jié)。建立的重要環(huán)節(jié)。xyOqfuSSuSSS邊界分類(lèi)邊界分類(lèi)（1）位移邊界）位移邊界SuS（2）應(yīng)力邊界）應(yīng)力邊界（3）混合邊界）混合邊界三類(lèi)邊界三類(lèi)邊界1 1、位移邊界條件、位移邊界條件位移分量已知的邊界位移分量已知的邊界 位移邊界位移邊界 用用us 、 vs表示邊界上的位移分量，表示邊界上的位移分量， 表示邊界上位表示邊界上位移分量的已知函數(shù)，則位移邊界條件可表達(dá)為：移分量的已知函數(shù)，則位移邊界條件可表達(dá)為：vu,v

14、vuuss七、邊界分類(lèi)及邊界條件七、邊界分類(lèi)及邊界條件2 2、應(yīng)力邊界條件、應(yīng)力邊界條件給定面力分量給定面力分量邊界邊界 應(yīng)力邊界應(yīng)力邊界由前面斜面的應(yīng)力分析，得由前面斜面的應(yīng)力分析，得yyxyfmlxyxxfml其中，其中，l、m 為邊界外法線方向余弦，為邊界外法線方向余弦，yfxf為面力分量為面力分量3 3、混合邊界條件、混合邊界條件(1)物體上的一部分邊界為位移邊界，另一部為應(yīng)力邊界。物體上的一部分邊界為位移邊界，另一部為應(yīng)力邊界。(2) 在同一部分邊界上，其中一個(gè)為位移邊界條件，另一為應(yīng)力邊界條件。在同一部分邊界上，其中一個(gè)為位移邊界條件，另一為應(yīng)力邊界條件。圖圖(a)：0yf位移邊界

15、條件位移邊界條件應(yīng)力邊界條件應(yīng)力邊界條件0uus圖圖(b)：0 xf0 vvs位移邊界條件位移邊界條件應(yīng)力邊界條件應(yīng)力邊界條件例例1、圖示水壩，試寫(xiě)出其邊界條件。圖示水壩，試寫(xiě)出其邊界條件。由應(yīng)力邊界條件公式，有由應(yīng)力邊界條件公式，有ysxysyxsxysxflmfml)()()()(sin)cos()sin(yxyycos)sin()cos(yxyx左側(cè)面：左側(cè)面：sin,cosmlsinyfycosyfxtanyx右側(cè)面：右側(cè)面：sin,cosmltanyx 0yxff0cossinxyyx0sincosxyx解、解、例例2、如圖所示，試寫(xiě)出其邊界條件。如圖所示，試寫(xiě)出其邊界條件。xyah

16、hq(1), 0 x00ssvu0, 0 xvyu(2), ax 0, 0sxysx0, 0sxysy(4), hy(3), hy0,sxysyq注：注： x = 0 的邊界條件，是有矛盾的。由此只能求出結(jié)果：的邊界條件，是有矛盾的。由此只能求出結(jié)果：. 0, 0vu例例3、圖示薄板，在圖示薄板，在y方向受均勻拉力作用，證明：方向受均勻拉力作用，證明：在板中間突出部分的尖點(diǎn)在板中間突出部分的尖點(diǎn)A處無(wú)應(yīng)力存在。處無(wú)應(yīng)力存在。解：解：平面應(yīng)力問(wèn)題，在平面應(yīng)力問(wèn)題，在 AC、AB 邊界上無(wú)面力作用。邊界上無(wú)面力作用。由應(yīng)力邊界條件公式由應(yīng)力邊界條件公式AB 邊界：邊界：111sin,cosml（1

17、）0cossin0sincos1111xyyxyx0cossin0sincos1111xyyxyxAC 邊界：12122sincoscosml（2）0yxffA 點(diǎn)同處于點(diǎn)同處于 AB 和和 AC 的邊界，的邊界，同時(shí)滿足式（同時(shí)滿足式（1）和（）和（2），解得），解得 A 點(diǎn)處無(wú)應(yīng)力作用點(diǎn)處無(wú)應(yīng)力作用0 xyyxyyxyfmlxyxxfmlPPP問(wèn)題的提出：?jiǎn)栴}的提出：求解彈性力學(xué)問(wèn)題時(shí)，使應(yīng)求解彈性力學(xué)問(wèn)題時(shí)，使應(yīng)力分量、形變分量、位移分量完全力分量、形變分量、位移分量完全滿足滿足8 8個(gè)個(gè)基本方程相對(duì)容易基本方程相對(duì)容易，但要使，但要使邊界條件邊界條件完全滿足，往往很困難完全滿足，往往很

18、困難。如圖所示，其。如圖所示，其力的作用點(diǎn)處的邊界條件無(wú)法列寫(xiě)。力的作用點(diǎn)處的邊界條件無(wú)法列寫(xiě)。1. 1. 靜力等效的概念靜力等效的概念 兩個(gè)力系，若它們的主矢量、主矩相等，則兩個(gè)力系為兩個(gè)力系，若它們的主矢量、主矩相等，則兩個(gè)力系為靜力等效力系靜力等效力系。)(iOOFmMiFR 這種等效只是從平衡的觀點(diǎn)而言的，對(duì)剛體來(lái)而言完全這種等效只是從平衡的觀點(diǎn)而言的，對(duì)剛體來(lái)而言完全正確，但對(duì)變形體而言一般是不等效的。正確，但對(duì)變形體而言一般是不等效的。八、圣維南原理八、圣維南原理2.2.圣維南原理圣維南原理(Saint-Venant Principle)原理：原理：若把物體的若把物體的一小部分邊界

19、一小部分邊界上的面力上的面力，變換為分布不同但，變換為分布不同但靜力靜力等效的面力等效的面力，則，則近處近處的應(yīng)力分布將有顯著改變的應(yīng)力分布將有顯著改變，而，而遠(yuǎn)處遠(yuǎn)處所受的影響所受的影響可忽略不計(jì)?？珊雎圆挥?jì)。PPP/2P/2APAPPAP3.3.圣維南原理的應(yīng)用圣維南原理的應(yīng)用（1）對(duì)）對(duì)復(fù)雜的力邊界復(fù)雜的力邊界，用靜力等效的分布面力代替。，用靜力等效的分布面力代替。（2）有些）有些位移邊界位移邊界不易滿足時(shí)，也可用靜力等效的分布面力代替。不易滿足時(shí)，也可用靜力等效的分布面力代替。注意事項(xiàng)：注意事項(xiàng)：（1）必須滿足）必須滿足靜力等效靜力等效條件；條件；（2）只能在）只能在次要邊界上次要邊界

20、上用圣維南原理，在用圣維南原理，在主要邊界主要邊界上不能使用。上不能使用。如：如：AB主要邊界主要邊界PAP次要邊界次要邊界例例4、矩形截面水壩，其右側(cè)受靜水壓力，頂部矩形截面水壩，其右側(cè)受靜水壓力，頂部受集中力作用。試寫(xiě)出水壩的應(yīng)力邊界條件。受集中力作用。試寫(xiě)出水壩的應(yīng)力邊界條件。解：左側(cè)面：解：左側(cè)面：0, 1ml代入應(yīng)力邊界條件公式代入應(yīng)力邊界條件公式0hxxyhxxy右側(cè)面：右側(cè)面：0, 1ml0,YyX代入應(yīng)力邊界條件公式，有代入應(yīng)力邊界條件公式，有00hxxyhxx上端面：上端面：為次要邊界，可由圣維南原理求解。為次要邊界，可由圣維南原理求解。y方向力等效：方向力等效：dxyhhy

21、0)(sinP對(duì)對(duì)O點(diǎn)的力矩等效：點(diǎn)的力矩等效：xdxyhhy0)(sin2hPx方向力等效：方向力等效：dxyhhyx0)(cosPyyx注意：注意：xyy,必須按正向假設(shè)！必須按正向假設(shè)！yyxyfmlxyxxfml0yxff1 1、按位移求解、按位移求解位移法位移法以以u(píng)、v 為基本未知函數(shù)，將平衡方程和邊界條件都用為基本未知函數(shù)，將平衡方程和邊界條件都用u、v 表示，并求出表示，并求出u、v ，再由幾何方程、物理方程求出應(yīng)力與再由幾何方程、物理方程求出應(yīng)力與形變分量。形變分量。2 2、按應(yīng)力求解、按應(yīng)力求解力法力法以以應(yīng)力分量應(yīng)力分量 為基本未知函數(shù)，將所有方程都用為基本未知函數(shù)，將所

22、有方程都用應(yīng)力分量應(yīng)力分量表示，并求出表示，并求出應(yīng)力分量應(yīng)力分量 ，再由幾何方程、物理方程求出形變?cè)儆蓭缀畏匠獭⑽锢矸匠糖蟪鲂巫兎至颗c位移。分量與位移。九、彈性力學(xué)問(wèn)題的求解方法九、彈性力學(xué)問(wèn)題的求解方法1 1、將平衡方程用位移表示、將平衡方程用位移表示)(12xyyE)(12yxxExyxyE)1 (2由應(yīng)變表示的物理方程由應(yīng)變表示的物理方程將幾何方程代入，有將幾何方程代入，有xuyvEy21yvxuEx21yuxvExy)1 (2再代入平衡方程，化簡(jiǎn)有再代入平衡方程，化簡(jiǎn)有021211021211222222222222yxfyxuxvyvEfyxvyuxuE十、按位移求解平面問(wèn)題十、按

23、位移求解平面問(wèn)題2 2、將邊界條件用位移表示、將邊界條件用位移表示（）位移邊界條件：（）位移邊界條件：（）應(yīng)力邊界條件：（）應(yīng)力邊界條件：xuyvEy21yvxuEx21yuxvExy)1 (2（a）將式（將式（a）代入，得）代入，得yyxyfmlxyxxfmlvvuuss,yssxssfyuxvlxuyvmEfxvyumyvxulE21121122、位移法的優(yōu)缺點(diǎn)、位移法的優(yōu)缺點(diǎn)缺點(diǎn)：數(shù)學(xué)求解困難重重缺點(diǎn)：數(shù)學(xué)求解困難重重優(yōu)點(diǎn)：三類(lèi)邊值問(wèn)題都可解優(yōu)點(diǎn)：三類(lèi)邊值問(wèn)題都可解應(yīng)用：工程中常用此法進(jìn)行數(shù)值計(jì)算應(yīng)用：工程中常用此法進(jìn)行數(shù)值計(jì)算按應(yīng)力求解平面問(wèn)題的未知函數(shù)：按應(yīng)力求解平面問(wèn)題的未知函數(shù)：

24、平衡微分方程：平衡微分方程：xyyx,0yyyxfyx0 xxyxfyx2個(gè)方程方程，個(gè)方程方程，3個(gè)未知量，為超靜定問(wèn)題。需尋求補(bǔ)充方程，個(gè)未知量，為超靜定問(wèn)題。需尋求補(bǔ)充方程，從從幾何方程幾何方程、物理方程物理方程建立補(bǔ)充方程。建立補(bǔ)充方程。十一、按應(yīng)力求解平面問(wèn)題十一、按應(yīng)力求解平面問(wèn)題 相容方程相容方程1.1.變形協(xié)調(diào)方程變形協(xié)調(diào)方程相容方程相容方程將幾何方程：將幾何方程：xvyuyvxuxyyx,作如下運(yùn)算：作如下運(yùn)算：2323xyvyxu2322yxuyx2322xyvxyxvyuxyyxxy22顯然有：顯然有：yxxyxyyx22222 形變協(xié)調(diào)方程相容方程形變協(xié)調(diào)方程相容方程即

25、：即： 必須滿足上式才能保證位移分量必須滿足上式才能保證位移分量 u、v 的存在與協(xié)的存在與協(xié)調(diào)，才能求得這些位移分量。調(diào)，才能求得這些位移分量。xyyx,2. 2. 變形協(xié)調(diào)方程的應(yīng)力表示變形協(xié)調(diào)方程的應(yīng)力表示（1 1）平面應(yīng)力情形）平面應(yīng)力情形將將物理方程物理方程代入代入相容方程相容方程，得：，得：yxxyxyxyyx22222)1 (2)()(利用平衡方程將上述化簡(jiǎn)：利用平衡方程將上述化簡(jiǎn)：xXxxyxxy222XxyxxyYyxyxyyYxXyxyxyxxy222222將上述兩邊相加：將上述兩邊相加：yYyyxyxy222ab將將 (b) (b) 代入代入 (a) (a) ，得：，得：

26、yYxXxyyx)1 ()(2222將將 上式整理得，上式整理得，平面應(yīng)力情況的用平面應(yīng)力情況的用應(yīng)力表示的相容方程應(yīng)力表示的相容方程：yYxXyxxyyxxyyx22222222)1 ()()(（2 2）平面應(yīng)變情形）平面應(yīng)變情形當(dāng)體力為常數(shù)時(shí)，兩種平面問(wèn)題的相容方程相同，即當(dāng)體力為常數(shù)時(shí)，兩種平面問(wèn)題的相容方程相同，即將上式中的泊松比將上式中的泊松比代為：代為： ，可以得到，可以得到平面應(yīng)變平面應(yīng)變情形情形應(yīng)力表示的相容方程應(yīng)力表示的相容方程1yYxXyxyx11)(22220)(2222yxyx例例5、下面給出平面應(yīng)力問(wèn)題（單連通域）的應(yīng)力場(chǎng)和應(yīng)變場(chǎng)，試分別判斷它們下面給出平面應(yīng)力問(wèn)題（

27、單連通域）的應(yīng)力場(chǎng)和應(yīng)變場(chǎng)，試分別判斷它們是否為可能的應(yīng)力場(chǎng)與應(yīng)變場(chǎng)（不計(jì)體力）。是否為可能的應(yīng)力場(chǎng)與應(yīng)變場(chǎng)（不計(jì)體力）。（1）（2）;,41,233422xyyyxxyyx;2,),(222CxyCyyxCxyyx（a）（b）例例5解、解、（1）將式（將式（a）代入平衡方程：）代入平衡方程：0Yyxyyx0Xyxxyx03322xyxy033 yy 滿足滿足將式（將式（a）代入相容方程：）代入相容方程：0)(2222yxyx)4123(422yyxyx)(2222yyyx0333222yxy式（式（a a）不是一組可能的）不是一組可能的應(yīng)力場(chǎng)。應(yīng)力場(chǎng)。例例5解、解、（2 2）將式（將式（b

28、b）代入應(yīng)變表示的相容方程：）代入應(yīng)變表示的相容方程：yxxyxyyx2222202222222CCyxxyxyyxCyx222022xyCyxxy22式（式（b b）滿足相容方程，）滿足相容方程，（b b）為可能的應(yīng)變分量。）為可能的應(yīng)變分量。例例6、圖示矩形截面懸臂梁，在自由端受集中力圖示矩形截面懸臂梁，在自由端受集中力P作用，不計(jì)體力。試根據(jù)材料作用，不計(jì)體力。試根據(jù)材料力學(xué)公式，寫(xiě)出彎曲應(yīng)力力學(xué)公式，寫(xiě)出彎曲應(yīng)力 和剪應(yīng)力和剪應(yīng)力 的表達(dá)式，并取擠壓應(yīng)力的表達(dá)式，并取擠壓應(yīng)力 =0，然后說(shuō)明這些表達(dá)式是否代表正確解。然后說(shuō)明這些表達(dá)式是否代表正確解。xyxy解解材料力學(xué)解答：材料力學(xué)解

29、答：式（式（a）滿足）滿足平衡方程平衡方程、相容相容方程和邊界條件？方程和邊界條件？0yxyIPyIMx2242yhIPIBQSxy（a）, yIPxx, yIPyxy, 0 xxy, 0yy0YX（1）代入）代入平衡微分方程平衡微分方程：0Yyxyyx0Xyxxyx顯然，顯然，平衡微分方程平衡微分方程滿足。滿足。00 yIPyIP0000式（式（a）滿足）滿足相容方程。相容方程。（3）再驗(yàn)證是否滿足）再驗(yàn)證是否滿足邊界條件？邊界條件？0, 022hyyxhyy 滿足滿足00 xx滿足滿足Plydylxhhx22Pdyxhhxy022Pdylxhhxy22022dylxhhx近似滿足近似滿足近

30、似滿足近似滿足0)(2222yxyx（2）代入）代入相容方程：相容方程：02222xyIPyx0上、下側(cè)邊界：上、下側(cè)邊界：右側(cè)邊界：右側(cè)邊界：左側(cè)邊界：左側(cè)邊界：結(jié)論：式（結(jié)論：式（a）為正確解）為正確解1. 常體力下平面問(wèn)題的相容方程常體力下平面問(wèn)題的相容方程令：令：22222yx 拉普拉斯（拉普拉斯（Laplace）算子）算子則相容方程可表示為：則相容方程可表示為：yYxXyx11)(2yYxXyx)1()(2 平面應(yīng)力情形平面應(yīng)力情形 平面應(yīng)變情形平面應(yīng)變情形當(dāng)體力為常數(shù)時(shí)，當(dāng)體力為常數(shù)時(shí)，兩種平面問(wèn)題的相容方程相同兩種平面問(wèn)題的相容方程相同，即，即0)(2yx十二、常體力情況下的簡(jiǎn)化

31、十二、常體力情況下的簡(jiǎn)化 相容方程相容方程2.常體力下平面問(wèn)題的基本方程常體力下平面問(wèn)題的基本方程（1）平衡方程）平衡方程0yyyxfyx0 xxyxfyx（2）相容方程）相容方程（3）邊界條件）邊界條件0)(2yx（4）位移單值條件）位移單值條件 對(duì)多連通問(wèn)題而言。對(duì)多連通問(wèn)題而言。（1）0)(2yx Laplace方程，或稱(chēng)方程，或稱(chēng)調(diào)和方程。調(diào)和方程。（2） 常體力下，方程中不含常體力下，方程中不含E、（a） 相同，相同， ）不同。）不同。兩種平面問(wèn)題，計(jì)算結(jié)果兩種平面問(wèn)題，計(jì)算結(jié)果xxyy,yxzvuxy,（但（但（b）不同材料不同材料，具有相同，具有相同外力和外力和邊界條件邊界條件時(shí)

32、，其計(jì)算結(jié)果相同。時(shí)，其計(jì)算結(jié)果相同。 光彈性實(shí)驗(yàn)原理。光彈性實(shí)驗(yàn)原理。（3）用用平面應(yīng)力試驗(yàn)平面應(yīng)力試驗(yàn)?zāi)Ｐ停婺Ｐ?，代替平平面?yīng)變?cè)囼?yàn)面應(yīng)變?cè)囼?yàn)?zāi)Ｐ停瑸閷?shí)驗(yàn)應(yīng)力分模型，為實(shí)驗(yàn)應(yīng)力分析提供理論基礎(chǔ)。析提供理論基礎(chǔ)。滿足：滿足： 的函數(shù)的函數(shù)0),(2yxf),(yxf稱(chēng)為調(diào)和函數(shù)（解析函數(shù)）。稱(chēng)為調(diào)和函數(shù)（解析函數(shù)）。yyxyfmlxyxxfml3.常體力下體力與面力的變換常體力下體力與面力的變換0Xyxxyx0Yyxyxy平衡方程平衡方程:0)(2yx相容方程相容方程:YlmXmlsxysysxysx)()()()(邊界條件邊界條件:令：令：常體力下，常體力下， 滿足的方程：滿足的方程：

33、xyyx,XxxxYyyyxyxy(a)將式將式(b)代入平衡方程、相容方程、邊界條件，有代入平衡方程、相容方程、邊界條件，有0yxxyx0yxyxy0)(2yxmYyYlmlXxXmlsxysysxysx)()()()(b)(c)表明：表明：（1）變換后的平衡方程、相容方程均為）變換后的平衡方程、相容方程均為齊次方程齊次方程（容易求解）；（容易求解）；（2）變換后問(wèn)題的）變換后問(wèn)題的邊界面力邊界面力改變?yōu)椋焊淖優(yōu)椋簂XxXXmYyYY當(dāng)體力當(dāng)體力X =常數(shù)，常數(shù)，Y =常數(shù)時(shí)，可先求解常數(shù)時(shí)，可先求解無(wú)體力無(wú)體力而而面力面力為：為：lXxXXmYyYY轉(zhuǎn)換問(wèn)題的解為：轉(zhuǎn)換問(wèn)題的解為：xyyx

34、,XxxxYyyyxyxy而原問(wèn)題的解為：而原問(wèn)題的解為：例如：圖示深梁在重力作用下的應(yīng)力分析。例如：圖示深梁在重力作用下的應(yīng)力分析。原問(wèn)題：原問(wèn)題：體力：體力：pYX , 0邊界面力：邊界面力：0, 0YX所求應(yīng)力：所求應(yīng)力：xyyx,變換后的新問(wèn)題：變換后的新問(wèn)題：0, 0YX體力：體力：邊界面力：邊界面力：00 xllXxXXmYyYYmpy 0(1)AF , m=1, y = 0:(2) DE, m=-1, y = h:00) 1(pYphhpY)() 1(phhpY2)2() 1(3) BC，m=-1, y = 2h：所求得的應(yīng)力：所求得的應(yīng)力：xyyx,xyxyxxxXxpyYyy

35、yyxyFABCDEhh(a)p(4) EF，m=0：000ypY(5) AB，m=0：000ypYxyABCFDEhh(b)ph2ph(5)(4)(3)(2)(1)0Xyxxyx0Yyxyxy0)(2yxYlmXmlsxysysxysx)()()()(0yxxyx0yxyxy0)(2yxmYyYlmlXxXmlsxysysxysx)()()()(常體力下體力與面力轉(zhuǎn)換的優(yōu)點(diǎn)：常體力下體力與面力轉(zhuǎn)換的優(yōu)點(diǎn)：原原問(wèn)問(wèn)題題的的求求解解方方程程變變換換后后問(wèn)問(wèn)題題的的求求解解方方程程常體力問(wèn)題常體力問(wèn)題無(wú)體力問(wèn)題無(wú)體力問(wèn)題作用：作用：(1) 方便分析計(jì)算（齊次方程易求解）。方便分析計(jì)算（齊次方程易求

36、解）。(2) 實(shí)驗(yàn)測(cè)試時(shí)，一般體力不易施加，可用加面力的方法替代加體力。實(shí)驗(yàn)測(cè)試時(shí)，一般體力不易施加，可用加面力的方法替代加體力。注意：注意：面力轉(zhuǎn)換公式：面力轉(zhuǎn)換公式： 與坐標(biāo)系的選取有關(guān)，因此，與坐標(biāo)系的選取有關(guān)，因此，適當(dāng)選取坐標(biāo)系，可使面力表達(dá)式簡(jiǎn)單。適當(dāng)選取坐標(biāo)系，可使面力表達(dá)式簡(jiǎn)單。mYyYYlXxXX,常體力下問(wèn)題的基本方程：常體力下問(wèn)題的基本方程：0Xyxxyx0Yyxyxy0)(2222yxyx非齊次方程非齊次方程通解通解 = = 非齊次方程非齊次方程特解特解 + +對(duì)應(yīng)齊次方程對(duì)應(yīng)齊次方程通解通解。(1)(1)非齊次方程非齊次方程特解特解常體力下特解形式：常體力下特解形式：

37、(2)(2)對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)齊次方程齊次方程通解通解對(duì)應(yīng)的齊次方程：對(duì)應(yīng)的齊次方程：(1); 0 xy(2); 0,xyyxYyXx;, 0, 0YxXyxyyx(3),YyXxYyXxyx00yxyxyxyxyxyyxyfmlxyxxfmlvvuu,平衡方程平衡方程相容方程相容方程面力條件面力條件位移條件位移條件十三、應(yīng)力函數(shù)十三、應(yīng)力函數(shù) 相容方程相容方程 逆解法與半逆解法逆解法與半逆解法)(xyxyxyyx由微分方程理論，必存在一函由微分方程理論，必存在一函數(shù)數(shù) A(x , y)，使得使得yyxAx),()(yxyxyxxyxyxAxy),(yyxBxy),(xyxBy),(也必存在一函數(shù)也必存在一函數(shù) B(x , y)，使得使得對(duì)應(yīng)的齊次方程第一式改寫(xiě)為：對(duì)應(yīng)的齊次方程第一式改寫(xiě)為：對(duì)應(yīng)的齊次方程第二式改寫(xiě)為：對(duì)應(yīng)的齊次方程第二式改寫(xiě)為：t1t2yyxBxyxA),(),(比較式比較式t1與與t2，有，有由微分方程理論，必存在一函數(shù)由微分方程理論，必存在一函數(shù) (x,y)，使得，使得xyxyxB),()