二次函數(shù)求最值方法總結(jié)

1、XX教育輔導(dǎo)教案學(xué)生姓名性別年級(jí)數(shù)學(xué)授課教師上課時(shí)間年 月曰第（）次課共（）次課課時(shí)：課時(shí)教學(xué)課題二次函數(shù)求最大值和最小值教學(xué)目標(biāo)利用二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)特點(diǎn)，求函數(shù)的最大值和最小值教學(xué)重點(diǎn) 與難點(diǎn)含有參數(shù)的二次函數(shù)最值求解。課堂引入：1）由二次函數(shù)應(yīng)用題最值求解問題引申至一般二次函數(shù)求最值問題，闡述二次函數(shù)求最值問題方 法的重要性（初高中銜接、高中必修一重點(diǎn)學(xué)習(xí)內(nèi)容）。2）當(dāng)2ExE2時(shí)，求函數(shù)y x2 2x3的最大值和最小值.（引導(dǎo)學(xué)生用初中所學(xué)的二次函數(shù)知識(shí)求解，為下而弓1出二次函數(shù)求最值方法總結(jié)做鋪墊）二次函數(shù)求最值方法總結(jié)：一、設(shè)yax +bx+c（a=0）,當(dāng)mxWn時(shí)，求y的最大

2、值與最小值。1、當(dāng)a>0時(shí)，它的圖象是開口向上的拋物線，數(shù)形結(jié)合可求得y的最值：， 21）當(dāng)m= - wn時(shí)，x- 口寸，y取取小值：ymin -； y的取大值在x- m x- nft2a2a4a取到。2）若-'em,二次函數(shù)在m Mx Mn時(shí)的函數(shù)圖像是遞增的，則x = m時(shí)，y取最小值；則x=n2a時(shí)，y取最大值。若_._b_>n,二次函數(shù)在m Ex wn時(shí)的函數(shù)圖像是遞減的，則x = n時(shí)，y取最小值；則x = m 2a時(shí)，y取最大值。1）當(dāng)mM-bMn時(shí)，x = -b時(shí)，y取最大值：ymax=4ac"b ; y的最小值在x = m或x = n處 2a2a4

3、a取到。2）若-b-<m,二次函數(shù)在m Ex Wn時(shí)的函數(shù)圖像是單調(diào)遞減的，則 x = n時(shí)，y取最小值；則 2ax = m時(shí)，y取最大值。若-2>門，二次函數(shù)在m Wx Wn時(shí)的函數(shù)圖像是單調(diào)遞增的，則 x = m時(shí)，y取最小值；則 2ax=n時(shí)，y取最大值。二、二次函數(shù)最值問題常見四種考察題型：1）對(duì)稱軸定、X取值范圍定；2）對(duì)稱軸定、x取值范圍動(dòng)；3）對(duì)稱軸動(dòng)、x取值范圍定；4）對(duì)稱軸動(dòng)、x取值范圍動(dòng)。【例題解析】例1.當(dāng)2EXE4時(shí)，求函數(shù)y =x2 -2x + 1的最大值和最小值.分析：作出函數(shù)在所給范圍的及其對(duì)稱軸的草圖，觀察圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，由此得到函 數(shù)的最大值

4、、最小值及函數(shù)取到最值時(shí)相應(yīng)自變量 x的值.解：作出函數(shù)的圖象.當(dāng)x=2時(shí)，ymin=1,當(dāng)x = 4時(shí)，ymax=9.【變式訓(xùn)練】變式1、當(dāng)1ExE2時(shí)，求函數(shù)y = -x2 - x + 1的最大值和最小值.分析：作出函數(shù)在所給范圍的及其對(duì)稱軸的草圖，觀察圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，由此得到函 數(shù)的最大值、最小值及函數(shù)取到最值時(shí)相應(yīng)自變量 x的值.解：作出函數(shù)的圖象.當(dāng)x=1時(shí)，ymax = -1,當(dāng)x = 2時(shí)，ymin=-5.【例題解析】例2、當(dāng)tEXMt+1時(shí)，求函數(shù)y=；x1 t2 -3,t <02-3,0 <t <1 t2 -t -5 ,t >1 2x5的最小值(

5、其中t為常數(shù)).分析：由于X所給的范圍隨著t的變化而變化，所以需要比較對(duì)稱軸與其范圍的相對(duì)位置.1 25解：函數(shù)y = -x2 -x-的對(duì)稱軸為x=1.回出其草圖.2 2 當(dāng)對(duì)稱軸在所給范圍左側(cè).即 51時(shí)：當(dāng)x=t時(shí)，ymin =32-t-E； 22(2)當(dāng)對(duì)稱軸在所給范圍之間.即t W1 Wt+1= 0 Wt W1時(shí)：當(dāng) X=1 時(shí)，ymin = - x 12 -1 - - = -3； 22 當(dāng)對(duì)稱軸在所給范圍右側(cè).即t+1 <1= t M0時(shí)：當(dāng) x =t +1 時(shí)，ymin =1(t +1)2 -(t +1)_2 =1t2 -3 .222綜上所述：y =【變式訓(xùn)練】1c 5變式2、當(dāng)twxwt十1時(shí)，求函數(shù)y=1x2-X-5的最小值（其中t為常數(shù)）.方法總結(jié)：1、圖像法求二次函數(shù)最值；2、利用分類討論思想和二次函數(shù)圖像特點(diǎn)求解二次函數(shù)最值。（對(duì)稱軸、X取值范圍、函數(shù)圖像增