二次函數(shù)壓軸題分類精選---矩形

1、1.如圖，已知二次函數(shù)y=m2x2-2mx-3 （m是常數(shù)，m>0）的圖象與x軸分別相 交于點A、B （點A位于點B的左側(cè)），與y軸交于點C,對稱軸為直線l .點C關(guān)于 l的對稱點為D,連接AD.點E為該函數(shù)圖象上一點，AB平分/ DAE（1）線段AB的長為m求點E的坐標(biāo)；（、中的結(jié)論均用含 m的代數(shù)式表示）（2）設(shè)M是該函數(shù)圖象上一點，點N在l上.探索：是否存在點M.使得以A、E、 M、N為頂點的四邊形是矩形？如果存在， 求出點M坐標(biāo)；如果不存在，說明理由.【分析】（1）令y=0,求出拋物線與x軸的交點坐標(biāo)；根據(jù)拋物線解析式確定出對稱軸，和 y軸交點坐標(biāo)；（2）先設(shè)出M點的坐標(biāo)，分兩種

2、情況計算，利用矩形的對角線互相平分來確定出 點M的坐標(biāo)，再用勾股定理計算即可.【解答】解：（1）令y=0,則（mx- 3） （mx+1） =0,x=-或 x, m m .A （一工 0）, B （-, 0）, mid AB二，故答案為巴；m,二次函數(shù) y=m2x2 - 2mx- 3,C (0, 3),對稱軸 l: x,. D (2, - 3) m. AB 平分 / DAE,點D關(guān)于x軸的對稱點Q (一, 3)在直線AE上,直線AE的解析式為y=mx+1,.點E是拋物線和直線AE的交點，E (&, 5). m(2)設(shè) M (x, m2x2-2mx-3), N (, a). A (-L 0

3、), E (2 5). rnm以A、E、M、N為頂點的四邊形是矩形，以AE, MN為對角線時，AE, MN的中點重合,- -+=x+, mm mx=2x IDM （二，-3）, 皿v MA2+ME2=A,Q425 _ 曰9/+64哆+25, mnim - m=- t-（舍）,或 m=7j-M （4, -3）,以AN, ME為對角線時,AN, ME的中點重合,x=-IDM (-，21),mAE2+AM2=ME2,+256,2D,以AM, NE為對角線時, .AM, NE的中點重合，x+ ( -) -+-, in m m6x, IDM (, 21), mA片+EM2=AM2,25n*225+J_+

4、256='1Jro m+441,此方程無解,即：存在，M (4, 3)或有121).【點評】此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了拋物線與坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)， 對稱軸, 勾股定理，矩形的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是用角平分線得到直線AB解析式.2.如圖，拋物線y= - x2+2x+3與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左邊)，與y軸 交于點C,點D和點C關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，直線 AD與y軸交于點E.備用國L函用置2(1)求直線AD的解析式；(2)如圖1,直線AD上方的拋物線上有一點 F,過點F作FG，AD于點G,彳FH 平行于x軸交直線AD于點H,求4FGH周長的最大值；(3)點M是拋物線的頂點，點

5、P是y軸上一點，點Q是坐標(biāo)平面內(nèi)一點，以A, M, P, Q為頂點的四邊形是以AM為邊的矩形.若點T和點Q關(guān)于AM所在直線對 稱，求點T的坐標(biāo).【分析】(1)先求出C (0, 3), A ( - 1, 0), B (3, 0),再利用配方法得y=- (x -1) 2+4,則拋物線對稱軸為直線x=1,于是可確定D (2, 3),則可利用待定系數(shù) 法求直線AD的解析式；(2)由E (0, 1)可判斷 OAE為等腰直角三角形，則/ EAO=45,由于FH/ OA, 則可得到 FGH為等腰直角三角形，過點F作FN±x軸交AD于N,如圖，則 FNH 為等腰直角三角形，所以 GH=NG于是彳FG

6、H周長等于 FGN的周長，由于 FG=GN=1TN,則4FGN周長=(1+6)FN,所以當(dāng)FN最大時，zFGN周長的最大， 設(shè) F (x, x2+2x+3),貝U N (x, x+1),貝U FN=- x2+2x+3 - x - 1,利用二次函數(shù)的最 值問題可得當(dāng)x=1時，F(xiàn)N有最大值, 于是 FGN周長的最大值為受警；(3)直線AM交y軸于R, M (1, 4),利用待定系數(shù)法求出直線 AM的解析式為 y=2x+2,則R (0, 2),然后分類討論：當(dāng) AQ為矩形AMPQ的對角線，如圖1,利 用RtAAOKRtAPOA可計算出OP卷 則P點坐標(biāo)為(0,-接著利用平移 可得到Q (2, 5),

7、于是由點T和點Q關(guān)于AM所在直線對稱，根據(jù)線段中點坐標(biāo)公式易得T點坐標(biāo)為(0,");當(dāng)AP為矩形APQM的對角線，反向延長QA交y軸 11于S,如圖2,同理可得S點坐標(biāo)為(0,易得R點為AM的中點，則R點為PS的中點，所以PM=SA, P (0, Z),加上PM=AQ,則AQ=AS于是可判斷點Q關(guān)于AM的對稱點為S,即T點坐標(biāo)為(0, -1).【解答】解：(1)當(dāng) x=0 時，y= - x2+2x+3=3,貝U C (0, 3),當(dāng) y=0 時，一x2+2x+3=0,解得 xi = - 1, x2=3,貝U A ( 1, 0), B (3, 0),. y=-x2+2x+3=- (x-

8、 1) 2+4,拋物線對稱軸為直線x=1,而點D和點C關(guān)于直線x=1對稱， D (2, 3),設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b,把A ( - 1 , 0), D (2, 3)分別代入得(-解得2k+b=3 b=l直線AD的解析式為y=x+1;(2)當(dāng) x=0 時，y=x+1=1,則 E (0, 1),v OA=OE . OAE為等腰直角三角形， ./ EAO=45,v FH/ OA, .FGH為等腰直角三角形，過點F作FN±x軸交AD于N,如圖，F(xiàn)N± FH, .FNH為等腰直角三角形，而 FG± HN,GH=NG .FGH周長等于 FGN的周長， FG=GN=二

9、FN, 2 .FGN周長=(1+/2) FN, 當(dāng)FN最大時， FGN周長的最大，設(shè) F (x, - x2+2x+3),則 N (x, x+1),. FN=- x2+2x+3- x- 1 = - (x-1-) 2+1,當(dāng)xg時，F(xiàn)N有最大值日， .FGN周長的最大值為( 1或)x=,即4FGH周長的最大值為"返；(3)直線 AM 交 y 軸于 R, y= -x2+2x+3= (x1) 2+4,貝U M (1, 4) 設(shè)直線AM的解析式為y=mx+n,把A ( - 1 , 0)、M (1, 4)分別代入得1 甲,解得上, nr+'ii二 4i n2直線AM的解析式為y=2x+2

10、,當(dāng) x=0時，y=2x+2=2,則 R (0, 2),當(dāng)AQ為矩形APQM的對角線，如圖1,/ RAP=90, 而 AO± PR, RttA AOR RtA POA,解得OP專，向右平移2個單位得到M (1, 4), 向右平移2個單位得到Q (2, 1), AO: OP=OR OA,即 1: OP=2: 1, .P點坐標(biāo)為(0, 點A(- 1, 0)向上平移4個單位， 點P (0, -)向上平移4個單位， 點T和點Q關(guān)于AM所在直線對稱，一.T點坐標(biāo)為(0,當(dāng)AP為矩形AMPQ的對角線，反向延長QA交y軸于S,如圖2,同理可得S點坐標(biāo)為（0, -1） .R點為AM的中點， .R點為

11、PS的中點， . PM=SA P （0,卷），PM=AQ, AQ=AS 點Q關(guān)于AM的對稱點為S, 即T點坐標(biāo)為（0, -i-）.綜上所述，點T的坐標(biāo)為（0,卷）或（0, -L）.爸用圖1曾用圖2*【點評】本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)與 軸的交點問題和矩形的性質(zhì)；會利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；靈活運用相似三角 形的性質(zhì)計算線段的長；記住坐標(biāo)系中點平移的規(guī)律.3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=a4-2ax- 3a (a<0)與x軸交于A, B兩點(點A在點B的左側(cè))，經(jīng)過點A的直線l: y=kx+b與y軸交于點C,與拋物 線的另一個交點為 D,且

12、CD=4AC(1)直接寫出點A的坐標(biāo)，并求直線l的函數(shù)表達式(其中k, b用含a的式子表 示)；(2)點E是直線l上方的拋物線上的一點，若 ACE的面積的最大值為總，求a的 值；(3)設(shè)P是拋物線對稱軸上的一點，點 Q在拋物線上，以點A, D, P, Q為頂點的四邊形能否成為矩形？若能，求出點 P的坐標(biāo)；若不能，請說明理由.備用圖【分析】(1)由拋物線y=a/-2ax-3a (a<0)與x軸交于兩點A、B,求得A點的坐標(biāo)，作DF, x軸于F,根據(jù)平行線分線段成比例定理求得 D的坐標(biāo)，然后利用待 定系數(shù)法法即可求得直線l的函數(shù)表達式.(2)設(shè)點 E (m, a (m+1) (m-3), y

13、AE=kix+bi,利用待定系數(shù)法確定 yAE=a (m3) x+a (m 3),從而確定 & ace= (m+1) a (m 3) a匚(m三)2 -a, 上ZZo根據(jù)最值確定a的值即可；(3)分以AD為對角線、以AC為邊，AP為對角線、以AC為邊，AQ為對角線三種情況利用矩形的性質(zhì)確定點P的坐標(biāo)即可.【解答】解：(1)令y=0,則ax2-2ax- 3a=0,解得 x1=-1, x2=3點A在點B的左側(cè),A ( 1, 0),如圖1,作DF，x軸于F,DF/ OC,1 口 OA AC'v CD=4AC.,.=4, OA ACV OA=1,OF=42 .D點的橫坐標(biāo)為4,代入 y

14、=aX2 - 2ax - 3a 得，y=5a,3 D (4, 5a),把A、D坐標(biāo)代入y=kx+b得解得b=a直線l的函數(shù)表達式為y=ax+a.(2)如圖1,過點E作EN±y軸于點N設(shè)點 E (m, a (m+1) (m 3), yAE=k1x+b1,解得:CkpaGn-S:yAE=a (m 3) x+a (m 3), M (0, a (m 3) . MC=a(m 3) a, NE=m(m+1) a (m 3)&ace=&acm+S1CEM=i- a (m - 3) - a+y- a (m - 3) - a m有最大值一(3)令 裳-2ax- 3a=ax+a,即 ax

15、2 - 3ax- 4a=0,解得 Xi=- 1, X2=4,D (4, 5a),y=a/- 2ax- 3a,拋物線的對稱軸為x=1,設(shè) Pi (1, m),若AD是矩形的一條邊，由AQ/ DP知Xd-Xp=xa Xq,可知Q點橫坐標(biāo)為-4,將x=- 4帶入拋物線方程得Q (-4, 21a),m=yD+yQ=21a+5a=26a,貝U P (1, 26a),.四邊形 ADPQ為矩形,./ADP=90,.aD2+pd2=ap?,. AD2=4 (1) 2+ (5a) 2=52+ (5a) 2,PD2= (1-4) 2+ (26a- 5a) 2=52+ (5a) 2,.4 (1) 2+ (5a) 2

16、+ (1-4) 2+ (26a- 5a) 2=( -1-1) 2+ (26a) 2,a2=7T, a<0, . a=一P1 (1,圖2圖3若AD是矩形的一條對角線，則線段AD的中點坐標(biāo)為(一，爭)，Q (2, - 3a),m=5a ( 3a) =8a,貝U P (1, 8a),.四邊形ADPQ為矩形, ./APD=90,AP2+PD2=AD2,AF2= 1 - (1) 2+ (8a) 2=22+ (8a) 2,PD2= (4-1) 2+ (8a-5a) 2=32+ (3a) 2,AD2=4- (1) 2+ (5a) 2=52+ (5a) 2,22+ (8a) 2+32+ (3a) 2=5

17、2+ (5a) 2,解得 a2', / a<0,，a=-二，42P (1, -4).綜上可得，P點的坐標(biāo)為P1 (1, -4), P2 (1, -2誓).圖1【點評】本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，二次 函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，以及矩形的判定，根據(jù)平行線分線段成比例定理求得D的坐標(biāo)是本題的關(guān)鍵.4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=a4+bx+c (a<0)與x軸交于A (-2, 0)、B (4, 0)兩點，與y軸交于點C,且OC=2OA(1)試求拋物線的解析式；(2)直線y=kx+1 (k> 0)與y軸交于點D,與拋物線交于點P,與直線

18、BC交于點M ,記m=-,試求m的最大值及此時點P的坐標(biāo)； DM(3)在(2)的條件下，點Q是x軸上的一個動點，點N是坐標(biāo)平面內(nèi)的一點，是 否存在這樣的點Q、N,使得以P、D、Q、N四點組成的四邊形是矩形？如果存在， 請求出點N的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由.【分析】(1)因為拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A (-2, 0)、B (4, 0)兩點，所以可以 假設(shè)y=a (x+2) (x-4),求出點C坐標(biāo)代入求出a即可；(2)由ACMDsFMP,可得m=PM =PF ,根據(jù)關(guān)于m關(guān)于x的二次函數(shù)，利用二 DM DC次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問題；(3)存在這樣的點Q、N,使得以P、D、Q、N四點組成

19、的四邊形是矩形.分兩種 情形分別求解即可：當(dāng)DP是矩形的邊時，有兩種情形；當(dāng) DP是對角線時；【解答】解：(1)因為拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A (-2, 0)、B (4, 0)兩點， 所以可以假設(shè)y=a (x+2) (x-4), v OC=2OA OA=2,. C (0, 4),代入拋物線的解析式得到a=- y=一(x+2) (x 4)或 y=x2+x+4 或 y=-(xT)(2)如圖1中，作Pnx軸于E,交BC于F.v CD/ PE,.CMDs AFMP, .m叁里、直線y=kx+1 (k>0)與y軸交于點D,則D (0, 1),: BC的解析式為y=- x+4,設(shè) P (n,

20、- n2+n+4)，貝U F (n, - n+4), .PF=- -Ln2+n+4- ( - n+4)=(n-2) 2+2, 22.m=-=-工 (n-2) 2+-, CD 63- L o, 6當(dāng)n=2時，m有最大值，最大值為一，此時P (2, 4). 3(3)存在這樣的點Q、N,使得以P、D、Q、N四點組成的四邊形是矩形.當(dāng)DP是矩形的邊時，有兩種情形，a、如圖2-1中，四邊形DQNP是矩形時,有(2)可知P (2, 4),代入y=kx+1中，得到直線DP的解析式為y=1x+1,可得D (0, 1), EiZ-10),由DOa zQOD可得OQ 0D . OD2=OE?OQ9 . 1?OQ,

21、 .OQ=1, Q (二，0).根據(jù)矩形的性質(zhì)，將點P向右平移!個單位，向下平移1個單位得到點N,2. N (2+4, 4 - 1),即 N (工，3), Q (8, 0),根據(jù)矩形的性質(zhì)可知，將點D向右平移6個單位，向下平移4個單位得到點N, N (0+6, 1-4),即 N (6, - 3).當(dāng) DP是對角線時，設(shè) Q (x, 0),則 QD2=x2+1, QP2= (x-2) 2+42, PD2=13,.Q是直角頂點,QD2+QP2=PD2, X2+1+ (x- 2) 2+16=13,整理得x2 - 2x+4=0,方程無解，此種情形不存在，綜上所述，滿足條件的點N坐標(biāo)為(不，3)或(6,

22、 -3).【點評】本題考查二次函數(shù)綜合題、一次函數(shù)的應(yīng)用、平行線的性質(zhì).相似三角形 的判定和性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會構(gòu)建二次函數(shù)解決最 值問題，學(xué)會用分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題.5.如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，O是坐標(biāo)原點，拋物線y=- x2+bx+c (c>0)的頂點為D,與y軸的交點為C,過點C作CA/ x軸交拋物線于點A,在AC 延長線上取點B,使BCAC,連接OA, OB, BD和AD.（1）若點A的坐標(biāo)是（-4, 4）.求b, c的值；試判斷四邊形AOBD的形狀，并說明理由；請直接寫出一個符（2）是否存在這樣的點A,使得四邊形AOBD是矩形？若存在, 合條件的點A的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.c的值；再根據(jù)勾股定理可【分析】（1）將拋物線上的點的坐標(biāo)代入拋物線即可求出 b、