全等三角形培優(yōu)講義

1、全等三角形常見輔助線作法精準(zhǔn)診查【知識導(dǎo)圖】概念三邊之和大于等于第三邊穩(wěn)定性高與三角形有關(guān)的線段中線角平分線三角形與三角形有關(guān)的角三角形內(nèi)角和定理三角形的外角性質(zhì)直角三角形判定多邊形及其內(nèi)角和【導(dǎo)學(xué)】全等三角形第一部分：知識點回顧常見輔助線的作法有以下幾種：1）遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題，思維模式是全等變換中的“對折”.2）遇到三角形的中線，倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)” .3）遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對折”，所考知識點常常是角平分線的性

2、質(zhì)定理或逆定理.4）過圖形上某一點作特定的平分線，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊”5）截長法與補短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長，是 之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說明.這種作法，適合于證明線段的和、差、 倍、分等類的題目.特殊方法：在求有關(guān)三角形的定值一類的問題時，常把某點到原三角形各頂點的線段連接起來，利用 三角形面積的知識解答.第二部分：例題剖析一、倍長中線（線段）造全等例1、（“希望杯”試題）已知，如圖 ABC中，AB=5, AC=3則中線AD的取值范圍是 例2、如圖， ABC中，E、F分別在

3、 AR AC上，DEL DF, D是中點，試比較 BE+CF與EF的大小.例3、如圖， ABC中，BD=DC=ACE是DC的中點，求證： AD平分/ BAE.二、截長補短1、如圖， ABC 中，AB=2AC AD平分 BAC ,且 AD=BD 求證：CD! AC2、如圖，AC/ BD, EA,EB 分別平分/ CAB,/DBA CD過點 E,=AC+BDB求證;AB3、如圖，已知在VABC內(nèi),BAC 60 , C 40°, P,Q分別在 BC CA上，并且 AP, BQ別是BAC,ABC的角平分線。求證:BQ+AQ=AB+BP4、如圖，在四邊形 ABCM,BO BA,AA CD BD

4、平分 ABC ,求證： A C 180°A5、如圖在 ABC中，AB> AC /1 = /2, P為 AD上任意一點，求證；AB-AC>PB-PCA應(yīng)用:如圖.在四辿號AHCD中川口/口配點E是加 上一個動戊，若ZJf二60二他二M, n. / DEC =60,判聯(lián)")f4g H鶻的關(guān)系并出明你的結(jié)論.跖、平移變換例1 AD為 ABC的角平分線，直線 MNL AD于A.E為MNLh一點， ABC周長記為PA, EBC周長記為PB.求證 Pb > Pa.例2如圖，在 ABC的邊上取兩點 D E,且BD=CE求證：AB+AC>AD+AE.四、借助角平分線

5、造全等1、如圖，已知在 ABC中，/ B=602、如圖， ABC中，AD平分/ BAC(1)說明BE=CF的理由；(2)如果, ABC的角平分線AD,CE相交于點Q求證：OE=ODDDGL BC且平分 BC, DEI AB于 E, D。AC于 F.AB=a , AC=b ,求 AE、BE 的長.五、旋轉(zhuǎn)例1正方形 ABCM, E為BC上的一點，F(xiàn)為CD上的一點，BE+DF=EF求/ EAF的度數(shù).例2如圖，ABC是邊長為3的等邊三角形，BDC是等腰三角形，且BDC 1200,以D為頂點做一個600角，使其兩邊分別交 AB于點M交AC于點N連接MN則 AMN的周長為；例3 設(shè)點E、F分別在正方形

6、 ABCD勺邊BG CD上滑動且保持/ EAF=46,AP)± EF于點 P,(1) 求證：AP=AB (2)若 AB=5,求 A ECF的周長。R變式練習(xí)1、如圖所示，正方形 ABCM BC邊上有一點E, / DAE的平分線交CD于F,試用旋轉(zhuǎn)的思想方法說明 AE=DF+BE3. (1)如圖 11-1, 4ADE中，AE=AD且/ AEDh ADE / EAD=90 , EG DB分別平分/ AED / ADE 交AD. AE于點C、B,連接BC.請你判斷AR AC是否相等，并說明理由；(2) 4ADE的位置保持不變，將 ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)至圖11 2的位置，AR BE相交于。

7、，請你判斷線段BE與CD的關(guān)系，并說明理由.圖 11 21.如圖，在【課后作業(yè)】ABC中，/ ACB= 90° , AC= BC直線l經(jīng)過頂點 C,過A、B兩點分別作l的垂線 AE BF,E、F為垂足.(1)當(dāng)直線l不與底邊 AB相交時，求證：EF= AE+ BF.(2)如圖，將直線l繞點C順時針旋轉(zhuǎn)，使l與底邊AB交于點D,請你探究直線l在如下位置時,EF AE BF之間的關(guān)系. AD> BD AD- BD A* BD2 .如圖 3, RtABC 中，/ ACB=90 , AC=BC ADL CD BF71 CD, AB 交 CD于 E. 求證：DF=CD-AD.3 .如圖，已知AC=BC / ACB=90 , D為AB上任意一點,AE± CD延長線于 E, BF± CD于 F.求證：EF=BF-AE.4 .如圖，在 ABC中，AC± BC,AC=BC