浙江省杭州市2021屆新高考第一次模擬數(shù)學(xué)試題含解析

1、浙江省杭州市2021屆新高考第一次模擬數(shù)學(xué)試題、選擇題：本題共 12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知實(shí)數(shù)a0,b 1 滿足 a b= 5,21 一則的最小值為（a b 1)A 3 2夜B 3 4夜C 3 272D 3 4/4466-2所求一 a1,、 一， ，的分母特征，利用ab 11 21b= 5變形構(gòu)造a (b 1) 4,再等價(jià)變形 一( )a (b 1),4 a b 1利用基本不等式求最值解：因?yàn)閍 0,b 1滿足a b=5,2121則 2，(2 ) a b 1a b 1 a b 11(3 2回, 4當(dāng)且僅當(dāng)2 b 13時(shí)取等號(hào),a

2、 b 1故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查通過拼湊法利用基本不等式求最值.拼湊法的實(shí)質(zhì)在于代數(shù)式的靈活變形，拼系數(shù)、湊常數(shù)是關(guān)鍵.（1）拼湊的技巧，以整式為基礎(chǔ)，注意利用系數(shù)的變化以及等式中常數(shù)的調(diào)整，做到等價(jià)變形；（2）代數(shù)式的變形以拼湊出和或積的定值為目標(biāo)（3）拆項(xiàng)、添項(xiàng)應(yīng)注意檢驗(yàn)利用基本不等式的前提2.已知a R若（1-ai ） （ 3+2i ）為純虛數(shù)，則a的值為 （）A. 3B, 3C.2D.工2233【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則化簡(jiǎn)可得3+2a 2 3a i ,根據(jù)純虛數(shù)的概念可得結(jié)果【詳解】由題可知原式為3+2a2 3a i ,該復(fù)數(shù)為純虛數(shù),3+2a所以2 3a故選

3、：A本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算和復(fù)數(shù)的分類，屬基礎(chǔ)題.f Xln 1XD. -1 + 5i2 22-3i3. 1 i人1 5.A.i2 2【答案】BB. -1-5i2 2利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案.2 3i z 1 i2 3i 1 i1 5i25.一i .2故選B.本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題.4.設(shè)函數(shù)f x ln1. 一 .3 ,則使得f1X2f 1成立的x的取值范圍是（A. 1,B.1,c.1,1D.1,00,1由奇偶性定義可判斷出為偶函數(shù)，由單調(diào)性的性質(zhì)可知 f X在0,上單調(diào)遞增，由此知f x在 ,0上單調(diào)遞減,從而將所求不等式化為1 ,解絕對(duì)值不

4、等式求得結(jié)果由題意知：f X定義域?yàn)镽,1ln 1 x-1f x .2211 x1 Xf X為偶函數(shù),當(dāng)x 0時(shí)，f xIn 1 x1y In 1 x在0,上單調(diào)遞增，y 2在0,上單倜遞減,1 xf x在0,上單調(diào)遞增，則 f x在 ,0上單調(diào)遞減，由f x f 1得：x 1,解得：x 1或x 1 ,二x的取值范圍為 ，1 U 1,.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性求解函數(shù)不等式的問題；奇偶性的作用是能夠確定對(duì)稱區(qū)間的單調(diào)性，單調(diào)性的作用是能夠?qū)⒑瘮?shù)值的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為自變量的大小關(guān)系，進(jìn)而化簡(jiǎn)不等式5.已知函數(shù)x是R上的偶函數(shù)，且當(dāng)0,時(shí)，函數(shù)f x是單調(diào)遞減函數(shù)，則 f

5、log2 5 ,C.10g31，5f 10g3f logs3嗨3的大小關(guān)系是（logs3f log 2 5B. f10g35血5f也310g35f log 2 5D. f血5f log5 3利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得10g2 5 10g 3 5log5 3,再根據(jù)f x的單調(diào)性和奇偶性可得正確的選項(xiàng)因?yàn)?10g3 5 log 3 3 1, 010g 5 1 10g 5 3故 log 3 510g53 0.又 log 2 5log2 4 2 10g39故 10g25 log 3 5 10g53.因?yàn)楫?dāng)x0, 時(shí)，函數(shù)x是單調(diào)遞減函數(shù),所以 f 10g2 5 f 10g35f 10g 5 3 .因?yàn)?/p>

6、f x為偶函數(shù)，故f，1，一10g 3 5f10g3 5f log 3 5 ,【點(diǎn)睛】所以 f log25f log3 g f logs 3 .故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查抽象函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性以及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性在大小比較中的應(yīng)用，比較大小時(shí)注意選擇合適的中間數(shù)來傳遞不等關(guān)系，本題屬于中檔題6.在 ABC中，a, b, c分別為角A, B, C的對(duì)邊，若 ABC的面為S ,且4，3sa b 2 c2 ,則 sin C ()4A1B萬C娓叵 D粕衣AIBCD【答案】D【解析】【分析】根據(jù)三角形的面積公式以及余弦定理進(jìn)行化簡(jiǎn)求出C的值，然后利用兩角和差的正弦公式進(jìn)行求解即可.【詳解】解：由 4&

7、gt;/3S a b 2 c2,得 4石 1 absin C a2 b2 c2 2ab , 2 a2 b2 c2 2abcosC ,2.3absinC 2abcosC 2ab ,即,3 sin C cosC 1即 2sin C -1 ,6C ，即 C_31 _2622222463貝U sin C sin sin coscossin 4343434故選D.本題主要考查解三角形的應(yīng)用，結(jié)合三角形的面積公式以及余弦定理求出C的值以及利用兩角和差的正弦公式進(jìn)行計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵.7.已知復(fù)數(shù)z滿足1 1 i ,則z的值為（）zA. 1B. J2C. D. 222【答案】C【解析】【分析】由復(fù)數(shù)的除法

8、運(yùn)算整理已知求得復(fù)數(shù)z,進(jìn)而求得其模.【詳解】1 吊.11 i 1 1121-2 /2因?yàn)橐? i z 2 i,所以 z I z1 i 1 i22 2 z 222故選：C【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算與求復(fù)數(shù)的模，屬于基礎(chǔ)題8.函數(shù)=（二）=4二廠 + 之的定義域?yàn)椋ǎ〢. + 3) U ( 3, +川B. (-8, 3) U ( 3, +9C. 7， +8）D. （3, +8）【答案】A【解析】【分析】根據(jù)哥函數(shù)的定義域與分母不為零列不等式組求解即可【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)_=E_三工.,二函數(shù)口士的定義域?yàn)镠，W）UD”），故選A.定義域的三種類型及求法：(1)已知函數(shù)的解析式，則構(gòu)造使解析式有意

9、義的不等式(組)求解；(2)對(duì)實(shí)際問題：由實(shí)際意義及使解析式有意義構(gòu)成的不等式(組)求解；(3)若已知函數(shù)的定義域?yàn)椋汗へ?則函數(shù)二匚(m)的定義域由不等式 匚 inicw玄(求出.9.若函數(shù)f(x) x14則f (x)極大值f - 石，f2 , 2 7由于f (2) f (x)極大值，所以f(x)在區(qū)間0,2上的最大值為2.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)極值的性質(zhì)以及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在連續(xù)的閉區(qū)間上的最值問題的基本思路，屬于中檔題.10. 2020年是脫貧攻堅(jiān)決戰(zhàn)決勝之年，某市為早日實(shí)現(xiàn)目標(biāo)，現(xiàn)將甲、乙、丙、丁 4名干部派遣到 A、B、C三個(gè)貧困縣扶貧，要求每個(gè)貧困縣至少分到一人，則甲被派遣

10、到A縣的分法有()A. 6 種B. 12 種C. 24 種D. 36 種【答案】B【解析】【分析】分成甲單獨(dú)到 A縣和甲與另一人一同到 A縣兩種情況進(jìn)行分類討論，由此求得甲被派遣到A縣的分法數(shù).【詳解】 如果甲單獨(dú)到 A縣，則方法數(shù)有 C； A2 6種. mx2 2x(m R)在x 1處有極值，則f(x)在區(qū)間0,2上的最大值為()A. 14B. 2C. 1D. 327【答案】B【解析】【分析】根據(jù)極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為零先求出m的值，然后再按照求函數(shù)在連續(xù)的閉區(qū)間上最值的求法計(jì)算即可.【詳解】2 5解：由已知得f (x)3x2mx 2,f(1) 32m 2 0, m 3 ,經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意.3 5

11、22f (x) x2x2x,f (x) 3x5x 2.2 _2由 f (x) 0 得x 1 ；由 f (x) 0得 x 或 x 1 .3 3一 22所以函數(shù)f(x)在0,-上遞增，在 一,1上遞減，在1,2上遞增.33如果甲與另一人一同到 A縣，則方法數(shù)有 c3 A 6種.故總的方法數(shù)有6 6 12種.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查簡(jiǎn)答排列組合的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題11 .歷史上有不少數(shù)學(xué)家都對(duì)圓周率作過研究，第一個(gè)用科學(xué)方法尋求圓周率數(shù)值的人是阿基米德，他用圓內(nèi)接和外切正多邊形的周長(zhǎng)確定圓周長(zhǎng)的上下界，開創(chuàng)了圓周率計(jì)算的幾何方法，而中國(guó)數(shù)學(xué)家劉徽只用圓內(nèi)接正多邊形就求得的近似值，他的方法被后人稱

12、為割圓術(shù).近代無窮乘積式、無窮連分?jǐn)?shù)、無窮級(jí)數(shù)等各種值的表達(dá)式紛紛出現(xiàn)，使得值的計(jì)算精度也迅速增加.華理斯在1655年求出一個(gè)公式:-2 2 4 4 6 6,根據(jù)該公式繪制出了估計(jì)圓周率冗的近似值的程序框圖，如下圖所示，執(zhí)行該2 1 3 3 5 5 7程序框圖，已知輸出的 T 2.8,若判斷框內(nèi)填入的條件為k m?,則正整數(shù) m的最小值是A. 2B. 3【答案】B【解析】【分析】C. 4D. 5【詳解】2 2 8初始：k 1, T 2,第一次循環(huán)：T 2 一一 一 2.8, k 2,繼續(xù)循環(huán)；1 3 38 4 4 128 _ _第一次循環(huán)：T - 2.8, k 3,此時(shí)T 2.8 ,滿足條件，

13、結(jié)束循環(huán),3 3 5 45所以判斷框內(nèi)填入的條件可以是k 3?,所以正整數(shù) m的最小值是3,故選B.22-2212 .已知在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，圓C1 ： x m y m 62與圓C2： x 1 y 21交于A, B兩點(diǎn)，若OA OB ,則實(shí)數(shù)m的值為（）A. 1B. 2C. -1D. -2【解析】【分析】由OA OB可得,O在AB的中垂線上，結(jié)合圓的性質(zhì)可知 O在兩個(gè)圓心的連線上，從而可求【詳解】因?yàn)镺A OB ,所以O(shè)在AB的中垂線上，即 O在兩個(gè)圓心的連線上,O 0,0 , C1 m,m 6 ,C21,2三點(diǎn)共線，所以 m62,得m 2,故選mD.本題主要考查圓的性質(zhì)應(yīng)用，幾何性質(zhì)

14、的轉(zhuǎn)化是求解的捷徑二、填空題：本題共 4小題,13.四邊形ABCD中,每小題56，5分，共20分。512D BC32 ,則AC的最小值是在ABC中利用正弦定理得出AC2sin 512sin CAB,進(jìn)而可知，當(dāng) CAB一時(shí)，AC取最小值，進(jìn)而計(jì) 2算出結(jié)果.5.sin - 12sin 4 6sin-cos- cos-sin- -2,如圖，在ABC中，由正弦定理可得BCsin CAB,5即2sin 12 ,故當(dāng)sin CABCAB一時(shí)，AC取到最小值為 2故答案為：6 ''22本題考查解三角形，同時(shí)也考查了常見的三角函數(shù)值，考查邏輯推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.14. ABC內(nèi)

15、角A，B, C的對(duì)邊分別為a, b, c,若2ccosB 2a b,則 C 【答案】120【解析】a2 c2 b200°- 2ccosB 2a b,，2c 2a b,即 a2 b2 c2ab ,2ac222abc1一cosC -,C 120.2ab215 .三對(duì)父子去參加親子活動(dòng)，坐在如圖所示的6個(gè)位置上，有且僅有一對(duì)父子是相鄰而坐的坐法有種（比如：B與D、B與C是相鄰的，A與D、C與D是不相鄰的）.【答案】192【解析】【分析】根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：，在三對(duì)父子中任選1對(duì)，安排在相鄰的位置上，將剩下的4人安排在剩下的4個(gè)位置，要求父子不能坐在相鄰的位置，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答

16、案.【詳解】根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：，在三對(duì)父子中任選 1對(duì)，有3種選法，由圖可得相鄰的位置有 4種情況，將選出的1對(duì)父子安排在相鄰的位置，有3 4 12種安排方法；，將剩下的4人安排在剩下的4個(gè)位置，要求父子不能坐在相鄰的位置，有2 2 2 2 16種安排方法，則有且僅有一對(duì)父子是相鄰而坐的坐法16 12 192種；故答案為：192【點(diǎn)睛】本題考查排列、組合的應(yīng)用，涉及分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.16 .已知A B C、P是同一球面上的四個(gè)點(diǎn)，其中 PA 平面ABC, /ABC是正三角形，PA AB 3,則該球的表面積為.【答案】21【解析】【分析】求得等邊三角形ABC的外接圓半徑，利

17、用勾股定理求得三棱錐P ABCD外接球的半徑，進(jìn)而求得外接球的表面積1一一設(shè)Oi是等邊三角形的外心，則球心O在其正上方一PA處.設(shè)OlC r,由正弦定理得22r 3sin 3-3- 2.3,rJ3+ABCD外接球的半徑J3.所以得三棱錐2RO OO12_01c 2J 1 PAO1C29-3J21，所以外接球的表面積為4 R2 4 214故答案為：21【點(diǎn)睛】本小題主要考查幾何體外接球表面積的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題17.解答題:已知向量70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。22sin x, 43 ,b cosx,2cos x 1 , f xla(1)求f x的最小正周期；(2)若 ABC的內(nèi)

18、角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且a 瓜 b 1, f A = J3 ,求 ABC的面積.【答案】(1)； (2) &或巨22【解析】【分析】(1)利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得由(1)可求sin(2A ) 1,結(jié)合范圍 32f(x) 2sin(2x ),利用正弦函數(shù)的周期性即可求解；(2)3-2A ,可求A的值，由余弦定理可求 c的值, 3 '3 % 3進(jìn)而根據(jù)三角形的面積公式即可求解.【詳解】(i)f x a bsin 2x _3cos2x2sin(2x -)2sin xcosx J3(2cos 2 x 1)一，2，最小正周期T 一2(2)由(1)知 f x2sin

19、2x , 3f A 2sin 2a 3,3sin 2A 3、322又一 2A32-2A 或2A =.解得A 或A 3 33 332當(dāng)A 一時(shí)，由余弦定理得 a2 b2 c2 2bccos A 322c 2 1 ccos,解得 c=2 .3此時(shí) S ABC bcsin A 1 1 2sin 3 . 2232當(dāng)A 一時(shí)，由余弦定理得 a22,22b c 2bccos A.此時(shí)S ABC12 c2 2 1 ccos ,解得 c=也.21-bcsin A22 sin 22本題主要考查了平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算、正弦函數(shù)的周期性，考查余弦定理、三角形的面積公式在解 三角形中的綜合應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想和分

20、類討論思想，屬于基礎(chǔ)題.18.在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為:t te et 2 t (其中t為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為 e e22 L m .52,5m(其中m為參數(shù))(1)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求曲線C的極坐標(biāo)方程;(2)若曲線C與直線l交于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為2,0，求PA PB的值.【答案】(1)2 cos21( -,-) (2) 54 4【解析】【分析】(1)首先消去參數(shù)得到曲線的普通方程，再根據(jù)x cos , y sin ，得到曲線的極坐標(biāo)方程;(2)將直線的參數(shù)方程代入曲線的直角坐標(biāo)方程，利用直線的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義得解;t te

21、 e解：(1)曲線C ：t 2 t消去參數(shù)t得到：x2 y2 1(x 1), e e由 x cos , y sin得 2 cos22 sin21(,)4 4所以 2 cos2 1(一,)4 41x 2 - m(2)非代入x2 y2 1,2y sm 54,J 3設(shè) PA m1, PBm2,由直線的參數(shù)方程參數(shù)的幾何意義得:【解析】PA PB m2ml 5本題考查參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程、普通方程的互化，以及直線參數(shù)方程的幾何意義的應(yīng)用，屬于中檔題.19.在a 2,a b 2,b c 2這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，求 ABC的面 積的值(或最大值).已知&ABC的內(nèi)角A, B, C

22、所對(duì)的邊分別為a, b, c,三邊a , b, c與面積 S滿足關(guān)系式：4S b2 c2 a2 ,且,求ABC的面積的值(或最大值).【解析】【分析】【詳解】若選擇，結(jié)合三角形的面積公式，得 4s 4 Ibcsin A b2 c2 a2,化簡(jiǎn)得到222b c a sin A cosA,貝U tan A2bc,222將 a 2 代入 b一c cosA,得 b1 22bc1,又0 A 180 ,從而得到A 45 , c2 V2bc 4 .又、/2bc 4 b20.如圖，四棱錐P ABCD中，平面PAD 平面ABCD,底面ABCD為梯 形.AB/CD.AD 2DC 2 J3,且|PAD與、ABD均為

23、正三角形.E為AD的中點(diǎn)，G為|paD重心，AC與BD相交于點(diǎn)F .c22bc，.=bc 4242,當(dāng)且僅當(dāng)b c/42V2 時(shí)等號(hào)成立.11-2-, " S bcsin A(4 2 /2)J21,222故ABC的面積的最大值為J2 1,此時(shí)b c J4 2V2 .若選擇，a b 2,結(jié)合三角形的面積公式，得.222. b c a .一一sin A cosA,貝 U tan A 1,又 02bc45 ,此時(shí)A ABC為等腰直角三角形,1222.一.4S 4 -bcsinA b c a ,化簡(jiǎn)得到A 180 ,從而得到A 45 ,c 1S - 2 2 2.2若選擇，b c 2,則結(jié)合三

24、角形的面積公式，得4S 41一 bcsin A2sin Ab22bccosA，貝U tan A 1,又 0A 180 ,從而得到A 45 ,則(1)求證：GF/平面PDC ;(2)求三棱錐G PCD的體積.(1)見解析(2)【分析】即證GF/平面PDC .(2)第(2)問，主要是利用體積變換,VG PCDVF PCD VP CDFPE SCDF，求得三棱錐 G PCD的體積.(1)第(1)問，連AG交PD于H，連接CH .證明GF HC ,(1)方法一：連 AG交PD于H,連接CH由梯形 ABCD, AB|CD 且 AB 2DC, AF知FC又E為AD的中點(diǎn)，G為 PAD的重心,在AHC中,A

25、G AFGH FC2拓,故 GF /1,AGGHHC .2 彳 2 彳平面 PCD,，GF /平面 PDC .又HC 平面PCD, GF方法二：過 G作GN | AD交PD于N,過F作FM|AD 交CD于M,連接 MN,7 G為FAD的重心，型曳2 GNDE PE 3CD 1 CF又ABCD為梯形，AB|CD, 1 AB2, AFMF12-,MF ：3,GNFM .AD332ED 3又由所作 GN|AD,FM|AD,得 GN FM,所以GNMF為平行四邊形因?yàn)?GF|MN, GF 平面PCD,MN 平面PCD, GF |平面PCD.(2)方法一：由平面PAD 平面ABCD , PAD與 ABD

26、均為正三角形，E為AD的中點(diǎn)PE AD , BE AD ,得 PE 平面 ABCD，且 PE 31 -由（1）知 GF 平面 PDC , Vg PCD Vf PCD Vp CDF PE S CDF 312 L又由梯形 ABCD , AB|CD ,且 AB 2DC 273,知 DF - BD -J3、33又ABD為正三角形，得CDF ABD 60：,，S CDF1CD DF sin BDC2倚 Vp cdfS CDF，三棱錐G PCD的體積為方法二：由平面PAD 平面ABCD ,PAD與ABD均為正三角形,E為AD的中點(diǎn)PE AD ， BEAD ,得 PE 平面 ABCD ,且 PE 3q22由

27、 PG -PE , . Vg pcd-Ve PCD33221二VP CDE 二二 PE S CDE333而又 ABD為正三角形，得EDC 120：,得 SCDECDDE sin EDC3.34VP CDF2 121c 3.33一 一 PE S cdf 3 3 33 342三棱錐G PCD的體積為顯221.在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為x sin 3cos 2y cos 3sin為參數(shù))，坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為sin 2.6(1)求曲線C1的普通方程和曲線C2的直角坐標(biāo)方程；(2)若曲線Ci、C2交于a、B兩點(diǎn)，D是曲線Ci上的動(dòng)點(diǎn)，求

28、4ABD面積的最大值.【答案】(1)Ci：x 2 2y210, C2：x73y4 0; (2) 37101 .【解析】【分析】(1)在曲線C1的參數(shù)方程中消去參數(shù)，可得出曲線 C1的普通方程，將曲線 C2的極坐標(biāo)方程變形為cosJ3 sin 4 0 ,進(jìn)而可得出曲線 C2的直角坐標(biāo)方程；(2)求出點(diǎn)D到直線AB的最大距離，以及直線 C2截圓C1所得弦長(zhǎng) AB ,利用三角形的面積公式可求得4ABD面積的最大值【詳解】x 2 sin 3cos(1)由曲線Ci的參數(shù)方程得，y cos 3sin2222x 2 y sin 3cos cos 3sin 10.2所以，曲線Ci的普通方程為 x 2y2 10

29、,將曲線C2的極坐標(biāo)方程變形為cos33 sin 4 0,所以，曲線C2的直角坐標(biāo)方程為x 73y 4 0；(2)曲線C2是圓心為2,0 ,半徑為r 。而為圓,.2.圓心 2,0至ij直線x 3y 4 0的距離為d7=1 ,.12 3所以，點(diǎn)D到直線x J3y 40的最大距離為d r1 月，AB 2jr2 d26,1 6 1103 而 121因此， ABD的面積為最大值為一 AB d r2本題考查曲線的參數(shù)方程、 極坐標(biāo)方程與普通方程之間的相互轉(zhuǎn)換，同時(shí)也考查了直線截圓所形成的三角 形面積最值的計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于中等題22.已知函數(shù) f x x alnx, a R.(I)當(dāng)a 1時(shí)，求曲

30、線y f (x)在x 1處的切線方程;(n)求函數(shù)f x在1,e上的最小值；13(出)右函數(shù)F x -2 fx,當(dāng)a 2時(shí)，F(xiàn) x的取大值為M ,求證：M . x2【答案】(I)2x y 1 0. (n)見解析；(出)見解析.【解析】試題分析：(I)由題f x x lnx, x 0,.1 . 一 .一 .一 一,所以f x 1 一故f 1 1, f 1 2.，代入點(diǎn)斜式可得曲線 y f x在x 1處的切線方程; xa x a(n)由題 f x 1 -.x x(1)當(dāng)a 0時(shí)，f x在0,上單調(diào)遞增.則函數(shù)f x在1,e上的最小值是f 1 1.(2)當(dāng) a 0時(shí)，令 f x0,即 x a.,令

31、f x 0,即 x a.(i)當(dāng)0 a 1,即a 1時(shí)，f x在1,e上單調(diào)遞增,所以f x在1,e上的最小值是f 11.(ii)當(dāng) 1 a e,即 e a1時(shí)，由f x的單調(diào)性可得f x在1,e上的最小值是f a(出)F xe時(shí)，f x在1,e上單調(diào)遞減,f x在1,e上的最小值是f e e a.1 alnx2-.當(dāng) a x x2 時(shí)，F(xiàn) x2 x 41nx令g x 2 x 41nx，則g x是單調(diào)遞減函數(shù)因?yàn)?g 11 0, g 241n2 0,所以在1,2上存在飛，使得g x00,即 2 xo 41nx0 0.討論可得F x在1,xo上單調(diào)遞增，在xo,2上單調(diào)遞減所以當(dāng)x xo時(shí)，F(xiàn)

32、x取得最大值是MF xoxo 21nxo2xo因?yàn)? x 41nx o,所以M2 xo2xo22111 3一一一由此可證M一xo4162試題解析：(I)因?yàn)楹瘮?shù) f xx a1nx，且 a 1 ,所以 f x x 1nx, x o,1所以f x 1 -. x所以 f 11, f 12.所以曲線在x 1處的切線方程是y 1 2 x 1 ,即 2x y 1 o.(n)因?yàn)楹瘮?shù) f xx a1nx x o ,所以 f x 1 月-ax x(1)當(dāng)a o時(shí)，f xo,所以f x在o,上單調(diào)遞增所以函數(shù)f x在1,e上的最小值是f 11.a.(2)當(dāng)a o時(shí)，令f x o,即x a o,所以x令f x

33、o,即x a o ,所以x a.(i)當(dāng)o a 1,即a 1時(shí)，f x在1,e上單調(diào)遞增,所以f x在1,e上的最小值是f 11.(ii)當(dāng) 1a e,即 e a 1 時(shí)，fx在1, a上單調(diào)遞減，在a,e上單調(diào)遞增,所以f x在1,e上的最小值是f aa a1n a .(iii)當(dāng) a e,即ae時(shí)，f x在1,e上單調(diào)遞減,所以f x在1,e上的最小值是f e e a.綜上所述，當(dāng)a 1時(shí)，f x在1,e上的最小值是f 11.當(dāng)e a 1時(shí)，f x在1,e上的最小值是 f a a aln a .當(dāng)a e時(shí)，f x在1,e上的最小值是f e e a.【解析】1 alnx-2x x(m)因?yàn)楹瘮?shù) F x所以當(dāng)a 2時(shí)，F(xiàn) x1 .2 f x ,所以 F x x2 x 4lnx令g x