2014高考全國2卷數(shù)學(xué)文科試題及答案詳解解析

1、2014年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)第I卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。2(1)已知集合A(2,012,Bx|xX20,則ab=(A)(B)2(C)0(D)2考點(diǎn)：交集及其運(yùn)算.分析：先解出集合B,再求兩集合的交集即可得出正確選項(xiàng).解答：解：:A=-2,0,2,B=x|x2-x-2=0=T,2,.AAB=2.故選：B點(diǎn)評：本題考查交的運(yùn)算，理解好交的定義是解答的關(guān)鍵.1 3i1i()(A)12i(B)12i(C)1-2i(D)1-2i考點(diǎn)：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算.分析：分子分母同乘以分母的共軻復(fù)數(shù)1+i化簡即可.解答：解：化

2、簡可得=-1+2i故選：B點(diǎn)評：本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的化簡，分子分母同乘以分母的共軻復(fù)數(shù)是解決問題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題.(3)函數(shù)fx在xx。處導(dǎo)數(shù)存在，若p:f(x0)0；q：xx。是fx的極值點(diǎn)，則()(A)P是q的充分必要條件(B)p是q的充分條件，但不是q的必要條件(op是q的必要條件，但不是q的充分條件(D)p既不是q的充分條件，也不是q的必要條件考點(diǎn)：必要條件、充分條件與充要條件的判斷.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有分析：根據(jù)可導(dǎo)函數(shù)的極值和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，利用充分條件和必要條件的定義即可得到結(jié)論.解答：函數(shù)f(x)=x3的導(dǎo)數(shù)為f(x)=3x2,由f'(x0)=0,得x0=0,但此時(shí)函數(shù)f(

3、x)單調(diào)遞增，無極值，充分性不成立.根據(jù)極值的定義和性質(zhì)，若x=x0是f(x)的極值點(diǎn)，則f'(x0)=0成立，即必要性成立，故p是q的必要條件，但不是q的充分條件，故選：C點(diǎn)評：本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，利用函數(shù)單調(diào)性和極值之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，比較基礎(chǔ).(4)設(shè)向量a,b滿足忸+b1=JT0,|a-b1=J6,則a,b=()(A)1(B)2(C)3(D)5考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算.分析：將等式進(jìn)行平方，相加即可得到結(jié)論.解答:|b|=V10,|9b|=V6,t21=«I22)=«*2，分別平方得，+2若?b+b=10,0-2d?b+b=6,兩

4、式相減得4?a?b=l0-6=4,即：a?b=l,故選：A點(diǎn)評：本題主要考查向量的基本運(yùn)算，利用平方進(jìn)行相加是解決本題的關(guān)鍵，比較基礎(chǔ).(5)等差數(shù)列an的公差為2,若比，a4,a8成等比數(shù)列，則an的前n項(xiàng)Sn=()(A)(B)nn1nn1(C) 2(D)2考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì).分析：由題意可得a42=(a4-4)(a4+8),解得a4可得a1,代入求和公式可得.解答：由題意可得a42=a2?a8,即a42=(a44)(a4+8),解得a4=8,a1=a4-3X2=2,1. Sn=na1+d,=2n+x2=n(n+1),故選：A點(diǎn)評：本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式，屬基礎(chǔ)題.如圖，網(wǎng)格紙上

5、正方形小格的邊長為1(表示1cm),圖中粗線畫出的是某零件的三視圖，該零件由一個(gè)底面半徑為3cm,高為6cm的圓柱體毛坯切削得到，則切削掉部分的體積與原來毛坯體積的比值為()175101(A)27(B)9(C)27(D)3考點(diǎn)：由三視圖求面積、體積.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有分析：由三視圖判斷幾何體的形狀，通過三視圖的數(shù)據(jù)求解幾何體的體積即可.解答：幾何體是由兩個(gè)圓柱組成，一個(gè)是底面半徑為3高為2,一個(gè)是底面半徑為2,高為4,組合體體積是：32%?2+22兀？4=34兀.底面半徑為3cm,高為6cm的圓柱體毛坯的體積為：327tx6=54兀切削掉部分的體積與原來毛坯體積的比值為：=.故選：C.點(diǎn)評：本題考

6、查三視圖與幾何體的關(guān)系，幾何體的體積的求法，考查空間想象能力以及計(jì)算能力.正三棱柱ABCA1BQi的底面邊長為2,側(cè)棱長為庭,D為BC中點(diǎn)，則三棱錐ABQC1的體積為()3Z3(A)3(B)2(C)1(D)2考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有分析：由題意求出底面B1DC1的面積，求出A到底面的距離，即可求解三棱錐的體積.解答：二.正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長為2,側(cè)棱長為，D為BC中點(diǎn)，底面B1DC1的面積：=,A到底面的距離就是底面正三角形的高：三棱錐A-B1DC1的體積為：=1.故選：C.點(diǎn)評：本題考查幾何體的體積的求法，求解幾何體的底面面積與高是解題的關(guān)鍵.(8)執(zhí)行

7、右面的程序框圖，如果如果輸入的考點(diǎn)分析解答(A) 4程序框圖.根據(jù)條件,若x=t=2,(B) 5x,t均為2,則輸出的S=()(C) 6(D)7菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有依次運(yùn)行程序，即可得到結(jié)論.是否(9)設(shè)x,y滿足的約束條件xy3y30,則zx2y的最大值為()(A)考點(diǎn)：分析：8(B)7(C)2(D)1簡單線性規(guī)劃.作出不等式對應(yīng)的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識(shí)，通過平移即可求z的最大值.解答:作出不等式對應(yīng)的平面區(qū)域，由z=x+2y,彳導(dǎo)y=1-2平移直線y=一,由圖象可知當(dāng)直線y=-22經(jīng)過點(diǎn)a時(shí)，直線y=一2的截距最大，此時(shí)z最y1-0大.由3-3尸3二0,得,即A(3,2),則第一次循環(huán)，1

8、W2成立，則M=,S=2+3=5,k=2,第二次循環(huán)，2W2成立，則M=,S=2+5=7,k=3,此時(shí)3<2不成立，輸出S=7,故選：D.點(diǎn)評：本題主要考查程序框圖的識(shí)別和判斷，比較基礎(chǔ).此時(shí)z的最大值為z=3+2X2=7,故選：B.點(diǎn)評：本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃題目的常用方法=()(10)設(shè)F為拋物線C：y23x的焦點(diǎn)，過F且傾斜角為30°的直線交于C于A，B兩點(diǎn)，則AB.30(A)3(B)6(C)12(D)*3考點(diǎn)：拋物線的簡單性質(zhì).分析：求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用點(diǎn)斜式求出直線的方程，代入拋物線的方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系，由弦長公式求得|AB|.解答

9、：由y2=3x得其焦點(diǎn)F(4,0),準(zhǔn)線方程為x=-4._3<33則過拋物線y2=3x的焦點(diǎn)F且傾斜角為30°的直線方程為y=tan30°(x-4)=3(x-4).代入拋物線方程，消去V,得16x2-168x+9=0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)貝Ux1+x2=162,333321所以|AB|=x1+x2+=+f=12故答案為：12.點(diǎn)評：本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡單性質(zhì)的應(yīng)用，弦長公式的應(yīng)用，運(yùn)用弦長公式是解題的難點(diǎn)和關(guān)鍵.(11)若函數(shù)f(x)kx1nx在區(qū)間(1,+)單調(diào)遞增，則k的取值范圍是()(A),2(B),1(C)2，(D)1,考點(diǎn)：函數(shù)單

10、調(diào)性的性質(zhì).分析：由題意可得，當(dāng)x>1時(shí)，f'(x)=k->0,故k-1>0,由此求得k的范圍.解答：函數(shù)f(x)=kx-lnx在區(qū)間(1,+°0)單調(diào)遞增，當(dāng)x>1時(shí)，f'(x)=k->0,k-1>0,l.k>1,故選：D.點(diǎn)評：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.y1上存在點(diǎn)N,使得OMN45，則Xo的取值范圍是()2(12)設(shè)點(diǎn)M(x0,1),若在圓O：X1,1(A)1,1(B)22考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有分析：根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論.解答：由

11、題意畫出圖形如圖：.點(diǎn)M(x0,1),若在圓O:x2+y2=1上存在點(diǎn)N,使得/OMN=45°,OMN=45數(shù)形結(jié)合是快速解得本題的策略之一.，圓上的點(diǎn)到MN的距離的最大值為1,要使MN=1,才能使得/圖中M'顯然不滿足題意，當(dāng)MN垂直x軸時(shí)，滿足題意，.x0的取值范圍是-1,1.故選：A點(diǎn)評：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，直線與直線設(shè)出角的求法,第n卷本卷包括必考題和選考題兩部分。第13題第21題為必考題，每個(gè)考試考生都必須做答。第22題第24題為選考題，考生根據(jù)要求做答。填空題：本大題共4小題，每小題5分。(13)甲、已兩名元?jiǎng)訂T各自等可能地從紅、白、藍(lán)3種顏色的運(yùn)動(dòng)服種選

12、擇1種，則他們選擇相同顏色運(yùn)動(dòng)服的概率為.考點(diǎn)：相互獨(dú)立事件的概率乘法公式.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有分析：所有的選法共有3X3=9種，而他們選擇相同顏色運(yùn)動(dòng)服的選法共有3種，由此求得他們選擇相同顏色運(yùn)動(dòng)服的概率.解答：有的選法共有3X3=9種，而他們選擇相同顏色運(yùn)動(dòng)服的選法共有3種，31故他們選擇相同顏色運(yùn)動(dòng)服的概率為9=31故答案為：3.點(diǎn)評：本題主要考查相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，屬于基礎(chǔ)題.(14)函數(shù)f(x)6mx)2sincosx的最大值為.考點(diǎn)：三角函數(shù)的最值.分析：展開兩角和的正弦，合并同類項(xiàng)后再用兩角差的正弦化簡，則答案可求.解答：解：f(x)=sin(x+(j)2sin()cosx=s

13、inxcos()+cosxsin(j)2sin()cosx=sinxcos(j)sin()cosx=sin(x().，f(x)的最大值為1.故答案為：1.點(diǎn)評：本題考查兩角和與差的正弦，考查了正弦函數(shù)的值域，是基礎(chǔ)題.(15)已知函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x2對稱，f3則f(1).考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì).專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.分析：根據(jù)函數(shù)奇偶性和對稱性的性質(zhì)，得到f(x+4)=f(x),即可得到結(jié)論.解答：解：因?yàn)榕己瘮?shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱，所以f(2+x)=f(2-x)=f(x-2),即f(x+4)=f(x),貝Uf(T)=f(-1+4)=f=3,故答案為：3點(diǎn)評：本題主

14、要考查函數(shù)值的計(jì)算，利用函數(shù)奇偶性和對稱性的性質(zhì)得到周期性f(x+4)=f(x)是解決本題的關(guān)鍵，比較基礎(chǔ).1an1,a22(16)數(shù)歹U前滿足1%，貝IJa1=_考點(diǎn)：數(shù)列遞推式.11_a分析：根據(jù)a8=2,令n=7代入遞推公式an+1=求得a7,再依次求出a6,a5的結(jié)果，發(fā)現(xiàn)規(guī)律,求出a1的值.1-a解答：由題意得，an+1=丘，a8=2,“1"a7一令n=7代入上式得，a8=,解得a7=;人*“令n=6代入彳導(dǎo),a7=,解得a6=-1;令n=5代入彳導(dǎo),a6自5,解得a5=2;1根據(jù)以上結(jié)果發(fā)現(xiàn)，求得結(jié)果按2,2,-1循環(huán)，18+3=22,故a1=21故答案為：2.點(diǎn)評：本題

15、考查了數(shù)列遞推公式的簡單應(yīng)用，即給n具體的值代入后求數(shù)列的項(xiàng)，屬于基礎(chǔ)題.解答題：解答應(yīng)寫出文字說明過程或演算步驟。(17)(本小題滿分12分)四邊形ABCD的內(nèi)角A與C互補(bǔ)，AB=1,BC=3,CD=DA=2.(I)求C和BD；(n)求四邊形ABCD的面積。解：(I)由題設(shè)及余弦定理得222BDBCCD2BCCDcosC1312cosCBD2AB2DA22ABDAcosA54cosCc1-由，得2,故。60，BD用(n)四邊形ABCD的面積-11_S-ABDAsinA-BCCDsinC221 1.(1232)sin602 22、S(18)(本小題滿分12分)如圖，四凌錐PABCD中，底面AB

16、CD,E為PD的中點(diǎn)。(I)證明：PB/平面AEC；(n)設(shè)置AP1,AD班,三棱錐求A到平面PBD的距離。ABCD為矩形,PABD的體積解:(I)設(shè)BD與AC的交點(diǎn)為0,連接EO因?yàn)锳BCD為矩形，所以0為BD的中點(diǎn),又因?yàn)镋為PD的中點(diǎn)，所以EO/PBE0平面AEC,PB平面AEC,所以PB平面AECV(n)1_13SabdPA-paABADAB366由題設(shè)知做AHPB交PB于H由題設(shè)知BC平面PAB所以BCAH,故AHAH又PAABPB3.13133.13所以A到平面PBC的距離為13(19)(本小題滿分12分)某市為了考核甲、乙兩部門的工作情況，隨機(jī)訪問了50位市民。根據(jù)這50位市民甲

17、部門乙部門3594404489751224566777899766533211060112346889887776655555444333210070011344966552008123345632220901145610000(I)分別估計(jì)該市的市民對甲、乙部門評分的中位數(shù)；(n)分別估計(jì)該市的市民對甲、乙部門的評分做于90的概率；(出)根據(jù)莖葉圖分析該市的市民對甲、乙兩部門的評價(jià)。解：(I)由所給莖葉圖知，50位市民對甲部門的評分由小到大排序，排在第25,26位的是75,75,故樣本中位數(shù)為75,所以該市的市民對甲部門評分的中位數(shù)的估計(jì)值是75.-86750位市民對乙部門的評分由小到大排序

18、，排在第25,26位的是66,68,故樣本中位數(shù)為2,所以該市的市民對乙部門品分的中位數(shù)的估計(jì)值是67.5八，80.1,0.16(n)由所給莖葉圖知，50位市民對甲、乙部門的評分高于90的比率分別為5050，故該市的市民對甲、乙部門的評分高于90的概率的估計(jì)值分別為0.1,0.16.(出)由所給莖葉圖知，市民對甲部門的評分的中位數(shù)高于對乙部門的評分的中位數(shù)，而且由莖葉圖可以大致看出對甲部門的評分的標(biāo)準(zhǔn)差要小于對乙部門的評分的標(biāo)準(zhǔn)差，說明該市市民對甲部門的評價(jià)較高、評價(jià)較為一致，對乙部門的評價(jià)較低、評價(jià)差異較大(注：考生利用其他統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行分析，結(jié)論合理的同樣給分。)(20)(本小題滿分12分)2

19、x設(shè)E,F2分別是橢圓c：a22yb21(a>b>0)的左右焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)且MF2與x軸垂直,直線MF1與C的另一個(gè)交點(diǎn)為No3(I)若直線MN的斜率為4,求C的離心率；(n)若直線MN在y軸上的截距為2且|MN|=5|F1N|，求a,b。解：-2TTM(c,),2b3ac(i)根據(jù)c*b及題設(shè)知ac1c八一2222，-2將bac代入2b3ac,解得a2a(舍去)1故C的離心率為2(n)由題意，原點(diǎn)。為的中點(diǎn),MF2y軸，所以直線MFi與y軸的交點(diǎn)D(0,2)是線段MFi的中點(diǎn)，故b24ab2由|MN|5|FiN|得|DFi|2|N|設(shè)N(xi，yi),由題意知yi°,則32(cxi)cXi2c2yi2即yii9c22代入c的方程，得4a9(a24a)將及c&2討代入得4a2i4a2解得a7，b4a28,故a7,b2.7(2i)(本小題滿分i2分)32已知函數(shù)f(x)x3xax2,曲線yf(X)在點(diǎn)(0,2)處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-2.(I)求a;(n)證明：當(dāng)時(shí)，曲線yf(x)與直線ykx2只有一個(gè)交點(diǎn)。解：2(I)f(x)3x6xaf(