【學(xué)案導(dǎo)學(xué)設(shè)計(jì)】2020學(xué)年高中數(shù)學(xué)2.2.2用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征(2)學(xué)案新人教A版必修3

1、.2.2.2用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征（二）【明目標(biāo)、知重點(diǎn)】1 .理解樣本數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的意義，會(huì)計(jì)算樣本平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差.（平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差）估計(jì)總體的基2 .體會(huì)用樣本估計(jì)總體的思想，會(huì)用樣本的基本數(shù)字特征本數(shù)字特征.【填要點(diǎn)、記疑點(diǎn)】1.標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離，般用 s表布.s標(biāo)準(zhǔn)差白平方S2叫做方差.010-0 0 s =n【(X1 x ) +(X2 x ) + (Xn X ) ( Xn是樣本數(shù)據(jù)，n是樣本谷重，x是樣【探要點(diǎn)、究所然】 探究點(diǎn)一標(biāo)準(zhǔn)差問題平均數(shù)向我們提供了樣本數(shù)據(jù)的重要信息，但是平均數(shù)有時(shí)也會(huì)使我們作出對(duì)總體的片面判斷，因?yàn)檫@個(gè)平均數(shù)掩蓋了一些

2、極端的情況，而這些極端情況顯然是不能忽視如：有兩位射擊運(yùn)動(dòng)員在一次的.因此，只有平均數(shù)還難以概括樣本數(shù)據(jù)的實(shí)際狀態(tài).射擊測(cè)試中各射靶10次，每次命中的環(huán)數(shù)如下:甲：7879549 10 74乙：9578768677如果你是教練，你應(yīng)當(dāng)如何對(duì)這次射擊作出評(píng)價(jià)?思考1甲、乙兩人本次射擊的平均成績(jī)分別為多少環(huán)?，、，“，r 17+4) = 7,同理可得 x乙=7.思考2經(jīng)計(jì)算得：xy奇7+8+7+9+5+4+9+10+觀察下圖中兩人成績(jī)的頻率分布條形圖，你能說明其水平差異在哪里嗎?班率S0.答 直觀上看，還是有差異的.如：甲成績(jī)比較分散，乙成績(jī)相對(duì)集中.思考3對(duì)于甲乙的射擊成績(jī)除了畫出頻率分布條形圖

3、比較外，還有沒有其它方法來說明兩組數(shù)據(jù)的分散程度？答 還經(jīng)常用甲乙的極差與平均數(shù)一起比較說明數(shù)據(jù)的分散程度.甲的環(huán)數(shù)極差=10 4=6,乙的環(huán)數(shù)極差=95= 4.它們?cè)谝欢ǔ潭壬媳砻髁藰颖緮?shù)據(jù)的分散程度， 與平 均數(shù)一起，可以給我們?cè)S多關(guān)于樣本數(shù)據(jù)的信息. 顯然，極差對(duì)極端值非常敏感， 注意 到這一點(diǎn)，我們可以得到一種“去掉一個(gè)最高分，去掉一個(gè)最低分”的統(tǒng)計(jì)策略.思考4如何用數(shù)字去刻畫這種分散程度呢？答 考察樣本數(shù)據(jù)的分散程度的大小，最常用的統(tǒng)計(jì)量是標(biāo)準(zhǔn)差.標(biāo)準(zhǔn)差是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離，一般用s表示.思考5所謂“平均距離”，其含義如何理解？答 假設(shè)樣本數(shù)據(jù)是 X1, X2,，Xn,

4、T表示這組數(shù)據(jù)的平均數(shù).Xi到7的距離是|x-7|( i =1,2 ,，n).于是，樣本數(shù)據(jù)是 X1, X2,，Xn到工"的“平均距離”是| X1 X | + |X2 X | + |Xn X |s=n.由于上式含有絕對(duì)值，運(yùn)算不太方便，因此，通常改用如下公式來計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差：s= "1 X1 X 2+ X2 X 2+ Xn X 2.思考6標(biāo)準(zhǔn)差的取值范圍如何？若 s=0表示怎樣的意義？答 從標(biāo)準(zhǔn)差的定義可以看出，標(biāo)準(zhǔn)差 s>0,當(dāng)s = 0時(shí)，意味著所有的樣本數(shù)據(jù)等于 樣本平均數(shù).探究點(diǎn)二方差思考1方差的概念是怎樣定義的?答人們有時(shí)用標(biāo)準(zhǔn)差的平方 S2一方差來代替標(biāo)準(zhǔn)差，

5、作為測(cè)量樣本數(shù)據(jù)分散程度的工21 2 22具，萬差：s =n ( Xi x ) +(X2 x ) + (Xn x ) .思考2 對(duì)于一個(gè)容量為2的樣本：Xi, X2(X1VX2),它們的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差如果分別用"X和a表示，那么x和a分別等于什么?11x=2(xi + X2), a=2(X2-xi).思考3在數(shù)軸上，x和a有什么幾何意義？由此說明標(biāo)準(zhǔn)差的大小對(duì)數(shù)據(jù)的離散程度有何影響？答 式和a的幾何意義如下圖所示.說明了標(biāo)準(zhǔn)差越大離散程度越大，數(shù)據(jù)較分散;標(biāo)準(zhǔn)差越小離散程度越小，數(shù)據(jù)較集中在平均數(shù)周圍.J|下JC1+的與工足丁思考4 現(xiàn)實(shí)中的總體所包含的個(gè)體數(shù)往往是很多的，總體的平均

6、數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差是不知道的.如何求得總體的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差呢？答通常的做法是用樣本的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差去估計(jì)總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差.這與前面用樣本的頻率分布來近似地代替總體分布是類似的.只要樣本的代表性好，這樣做就是合理的，也是可以接受的.例1求出問題中的甲乙兩運(yùn)動(dòng)員射擊成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差，并說明他們的成績(jī)誰比較穩(wěn)定？1甲=而(7 + 8+7+9+5+ 4+9+10+7+4) = 7,同理可得x乙=7.根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的公式，s 甲=M107- 7 2+8-7 2+4-7 2=2;同理可得s乙=1.095.所以s甲s乙.因此說明甲的成績(jī)離散程度大，乙的成績(jī)離散程度小.由此可以估計(jì)，乙比甲的射擊成績(jī)穩(wěn)定.反思與感悟標(biāo)準(zhǔn)差

7、能夠衡量樣本數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性，標(biāo)準(zhǔn)差越大，數(shù)據(jù)的離散程度就越大，也就越不穩(wěn)定.標(biāo)準(zhǔn)差越小，數(shù)據(jù)的離散程度就越小，也就越穩(wěn)定.跟蹤訓(xùn)練10 K 910 3 5則該運(yùn)動(dòng)員在這五如圖所示是某學(xué)校一名籃球運(yùn)動(dòng)員在五場(chǎng)比賽中所得分?jǐn)?shù)的莖葉圖,場(chǎng)比賽中得分的方差為答案 6.8解析 從莖葉圖中求出運(yùn)動(dòng)員在5次比賽中的分?jǐn)?shù)，結(jié)合方差公式求解.依題意知，運(yùn)動(dòng)員在5次比賽中的分?jǐn)?shù)依次為8,9,10,13,15,其平均數(shù)為8+9+10+ 13 + 15511.由方差公式得 s2=1(8 11)2+(911)2+(10 11)2+(13 11)2+(15 11)2 =(9 + 554+1+4+16) =6.8.探究點(diǎn)三標(biāo)

8、準(zhǔn)差及方差的應(yīng)用例2畫出下列四組樣本數(shù)據(jù)的條形圖，說明它們的異同點(diǎn).(1)5,5,5,5,5,5,5,5,5;(2)4,4,4,5,5,5,6,6,6;(3)3,3,4,4,5,6,6,7,7;(4)2,2,2,2,5,8,8,8,8.解四組樣本數(shù)據(jù)的條形圖如下：J=5 f=O.(TOI K F i«， E f. loooftooooo 岫四組數(shù)據(jù)的平均數(shù)都是 5.0,標(biāo)準(zhǔn)差分別是：0.00, 0.82, 1.49, 2.83.它們有相同的平均數(shù)，但它們有不同的標(biāo)準(zhǔn)差，說明數(shù)據(jù)的分散程度是不一樣的.反思與感悟比較兩組數(shù)據(jù)的異同點(diǎn)，一般情況是從平均數(shù)及標(biāo)準(zhǔn)差這兩個(gè)方面考慮.跟蹤訓(xùn)練2從

9、甲、乙兩種玉米中各抽10株，分別測(cè)得它們的株高如下：甲：25、41、40、37、22、14、19、39、21、42;乙：27、16、44、27、44、16、40、40、16、40;(1)哪種玉米的苗長(zhǎng)得高？(2)哪種玉米的苗長(zhǎng)得齊？11解 (1) x 甲=而(25 +41 + 40+37 + 22+ 14+ 19+39+21+42) =30, *乙=而(27+16+ 44 + 27+44 + 16+40 + 40+ 16 + 40) =31,7甲僅乙即乙種玉米的苗長(zhǎng)得高. 121222一一 2(2)由萬差公式得：s甲=訶(25 -30) +(41 -30) + (42 30) = 104.2，

10、同理 $乙=128.8 ,s2 < s 1.即甲種玉米的苗長(zhǎng)得齊.答 乙種玉米苗長(zhǎng)得高，甲種玉米苗長(zhǎng)得齊.例3甲、乙兩人同時(shí)生產(chǎn)內(nèi)徑為25.40 mm勺一種零件.為了對(duì)兩人的生產(chǎn)質(zhì)量進(jìn)行評(píng)比，從他們生產(chǎn)的零件中各抽出20件，量得其內(nèi)徑尺寸如下(單位:mm)甲25. 46 25.3225.4525.3925.3625. 34 25.4225.4525.3825.4225. 39 25.4325.3925.4025.4425. 40 25.4225.3525.4125.39乙25. 40 25.4325.4425.4825.4825. 47 25.4925.4925.3625.3425. 3

11、3 25.4325.4325.3225.4725. 31 25.3225.3225.3225.48從生產(chǎn)的零件內(nèi)徑的尺寸看，誰生產(chǎn)的質(zhì)量較高？(結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后 3位)解用計(jì)算器計(jì)算可得x 甲= 25.401, x 乙=25.406; s 甲= 0.037, s 乙=0.068.從樣本平均數(shù)看，甲生產(chǎn)的零件內(nèi)徑比乙的更接近內(nèi)徑標(biāo)準(zhǔn)(25.40mm),差異很??；從樣本標(biāo)準(zhǔn)差看，由于 s甲vs乙，因此甲生產(chǎn)的零件內(nèi)徑尺寸比乙的穩(wěn)定程度高得多.于是，可以作出判斷，甲生產(chǎn)的零件的質(zhì)量比乙的高一些.反思與感悟 從上述例子我們可以看到，盡管總體是同一個(gè)， 但由于樣本不同，相應(yīng)的樣本頻率分布與平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差

12、等都會(huì)發(fā)生改變，這就會(huì)影響到我們對(duì)總體情況的估計(jì).如果樣本的代表性差，那么對(duì)總體所作出的估計(jì)就會(huì)產(chǎn)生偏差；樣本沒有代表性時(shí)，對(duì)總體作出錯(cuò)誤估計(jì)的可能性就非常大.跟蹤訓(xùn)練3甲、乙兩種水稻試驗(yàn)品種連續(xù)5年的平均單位面積產(chǎn)量如下 (單位：t/hm2),試根據(jù)這組數(shù)據(jù)估計(jì)哪一種水稻品種的產(chǎn)量比較穩(wěn)定品種第1年第2年第3年第4年第5年甲9.89.910.11010.2乙9.410.310.89.79.8解甲品種的樣本平均數(shù)為10,樣本方差為(9.8 10)2+(9.910)2+(10.1 10)2+(10 10)2+(10.2 10)21+5=0.02.乙品種的樣本平均數(shù)也為10,樣本方差為(9.4 1

13、0)2+(10.3 10)2+(10.8 10) 2+(9.7 10)2+(9.8 10) 2 + 5= 0.244.因?yàn)?.244>0.02 ,所以，由這組數(shù)據(jù)可以認(rèn)為甲種水稻的產(chǎn)量比較穩(wěn)定.【當(dāng)堂測(cè)、查疑缺】1.下列說法正確的是()A.在兩組數(shù)據(jù)中，平均值較大的一組方差較大B.平均數(shù)反映數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)，方差則反映數(shù)據(jù)離平均值的波動(dòng)大小C.方差的求法是求出各個(gè)數(shù)據(jù)與平均值的差的平方后再求和D.在記錄兩個(gè)人射擊環(huán)數(shù)的兩組數(shù)據(jù)中，方差大的表示射擊水平高答案 B解析 A中平均值和方差是數(shù)據(jù)的兩個(gè)特征，不存在這種關(guān)系；C中求和后還需取平均數(shù)；D中方差越大，射擊越不平穩(wěn)，水平越低.2.將某選手的

14、9個(gè)得分去掉1個(gè)最高分，去掉1個(gè)最低分，7個(gè)剩余分?jǐn)?shù)的平均分為 91. 現(xiàn)場(chǎng)作的9個(gè)分?jǐn)?shù)的莖葉圖后來有 1個(gè)數(shù)據(jù)模糊，無法辨認(rèn)，在圖中以x表示：則7個(gè)剩余分?jǐn)?shù)的方差為()A.116936C. 36D.6 .77答案 B-4的,87+94+90+ 91+ 90+90+x+91 后“曰，2 1“r解析 由題思知 7=91,解得 x=4.所以 s =-(87 91)2+(94 91)2+(90 91)2 + (91 91)2 + (90 91)2+(94 91)2+(91 91) 21= ,(16 + 9+1 + 0+ 1 + 9 + 0)36 =7 .3.已知一組數(shù)據(jù)X1, x2, X3, X4,

15、 X5的平均數(shù)是x =2,方差是:，那么另一組數(shù)據(jù) 3x1 2,3x2 3 2,3x3 2,3x42,3x52的平均數(shù)和方差分別為()A. 2, 1B. 2,1C. 4, 1D. 4,33 3答案 D解析 因?yàn)?x =2, s2 = -;所以 X = 3 x 2 = 4, S2=9s2=3,故選 D. 34 .某學(xué)員在一次射擊測(cè)試中射靶10次，命中環(huán)數(shù)如下：7,8,7,9,5,4,9,10,7,4.則：(1)平均命中環(huán)數(shù)為;(2)命中環(huán)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為 .答案(1)7(2)2解析(1) £ =專7+8+7+ 9+5+4+ 9+10+7+4)=10=7._212_22_222_2_(2) s = (7 -7) +(87) +(77) +(97) +(5-7) +(47) +(97) +(10 7)2+(7-7)2+(4-7) 2 = 4,，