談圓錐曲線教學(xué)中學(xué)生思維品質(zhì)的培養(yǎng)

1、談圓錐曲線教學(xué)中學(xué)生思維品質(zhì)的培養(yǎng)豐順縣教育局教研室劉超平豐順縣教師進(jìn)修學(xué)校陳典型眾所周知，人的能力有大小之分，中學(xué)生的思維能力也是如此，表現(xiàn)出參差不齊，其中最能體現(xiàn)思維能力差異的是學(xué)生表現(xiàn)出來的思維品質(zhì).數(shù)學(xué)的教學(xué)過程，就是要根據(jù)教材內(nèi)容，不斷挖掘其潛能，對學(xué)生進(jìn)行思維品質(zhì)的培養(yǎng)，才能有效地啟迪學(xué)生的思維，提高課堂教學(xué)效率.下面就圓錐曲線教學(xué)中，如何培養(yǎng)學(xué)生思維品質(zhì)，談?wù)勎覀兊囊恍┳龇?一、揭示概念內(nèi)涵數(shù)學(xué)概念具有不同程度的抽象性和系統(tǒng)性，圓錐曲線這部分內(nèi)容中，包含有許多概念，在這些概念的教學(xué)中，通過揭示概念的內(nèi)涵，引導(dǎo)學(xué)生理解其實質(zhì)，深入廣泛地思考，全面深刻地分析有關(guān)問題，從而有效地培養(yǎng)學(xué)

2、生思維的廣闊性 .例如，在雙曲線概念的教學(xué)中，在前面學(xué)習(xí)“橢圓”定義的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步得出雙曲線的概念：“平面內(nèi)與兩定點 F 1、 F2 的距離之差的絕對值是常數(shù)（小于|F1F 2|）的點的軌跡，叫做雙曲線” .得出這一結(jié)論后，可向?qū)W生提出下列問題，幫助學(xué)生理解這一概念的內(nèi)涵.1平面內(nèi)與兩定點的距離之差等于一個常數(shù)的動點軌跡，是否一定都是雙曲線？2在雙曲線概念中，將“絕對值”去掉，其余不變，結(jié)論有何不同？3在雙曲線概念中，將括號內(nèi)“小于|F 1F 2|”改為大于（或等于）|F 1F 2|，其余不變，結(jié)論有何變化？4若概念中的常數(shù)為零，動點的軌跡是什么？通過這樣的引導(dǎo)與啟發(fā)，使學(xué)生對雙曲線概念中的

3、“絕對值”和“常數(shù)”（小于 |F 1F 2|）等內(nèi)涵有了較全面、較深刻的認(rèn)識和理解 .二、重視概念的靈活運(yùn)用靈活運(yùn)用概念進(jìn)行解題，是學(xué)習(xí)概念的目的之一， 也是解題的重要途徑.在圓錐曲線的教學(xué)中， 有目的地引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用概念進(jìn)行解題，幫助學(xué)生觀察、聯(lián)想、探索理解概念的本質(zhì)，使學(xué)生能靈活、熟練地用圓錐曲線定義解決有關(guān)問題，達(dá)到快捷，簡潔的效果.從而培養(yǎng)思維的深刻性 .例 1 已知 P 是橢圓 x2y2 1上的一點 , F1 、 F2 分別是它的左、右兩個焦點.以 |PF 2|為直徑的圓與a2b 2長軸為直徑的圓的位置關(guān)系是（）A 外切B 內(nèi)切C相交D 相離分析：解決本題的關(guān)鍵是找出兩圓的圓心距與兩圓

4、半徑的關(guān)系.如圖 1，設(shè) PF 2 的中點為 A，連 PF 1，則 |OA|是兩圓的圓心距，且|OA|1|PF1|,又根據(jù)橢圓定義.聯(lián)想到2|PF1 | PF2| 2a,得|PF 1|=2a |PF2|. 因此有|OA|1 (2a| PF2 |)a1 | PF2 | . 由于圓心距等于半徑之差，故兩22圓內(nèi)切，從而問題得到解決 .為了加深學(xué)生對概念的運(yùn)用，還可以給出下列思考題，鞏固學(xué)生對本題的理解 .思考一：若本例中，橢圓改為雙曲線，長軸改為實軸，其余不變，結(jié)論如何？思考二：若本例中的橢圓改為拋物線，長軸改為y 軸（或 x 軸），結(jié)論又如何？ 1思考三：若已知曲線x2y 21的右焦點為 F ，

5、點 A（ 1，2）是一定點， P 是曲線上一點，那么 |PA|1612 2|PF|的最小值是多少？經(jīng)過這些問題的訓(xùn)練與解決，使學(xué)生對運(yùn)用概念解題有了較深刻的認(rèn)識.三、培養(yǎng)學(xué)生的獨立見解獨立見解是指善于根據(jù)客觀事實，獨立發(fā)現(xiàn)問題、 分析問題和解決問題.對所遇到的問題能設(shè)法獨立解決，不盲目迷信或照搬現(xiàn)成的答案.例 2 已知實數(shù) x、 y 滿足 4x25xy 4 y 25, 設(shè) S x 2y 2 , 則 11（） .Smax Smin（ 1993 年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）本題的一般解法是構(gòu)造函數(shù)、 方程或利用均值不等式， 或通過三角換元等方法求解 .但下面的解法卻獨樹一幟，簡明快捷 .解：設(shè)xcos

6、 ,(其中 2x 2y 2 )ysin ,代入已知式化簡整理得：2 1085 sin 2當(dāng) sin 21時 , Smax2max當(dāng) sin 21時 , Smin2min10 .310 .13問題至此，已迎刃而解，可見，利用極坐標(biāo)法解決二次函數(shù)的最值問題，方法新穎別致，給人以耳目一新的感覺 .用此方法還可求解一些類似的高考試題，如：設(shè)實數(shù) x、 y 滿足 (x2) 2 y 2 3, 則 y 的最大值是.（ 1990 年全國高考試題）.x四、克服定勢思維的影響學(xué)生的定勢思維既可能對學(xué)生繼續(xù)學(xué)習(xí)產(chǎn)生積極作用；也可能對學(xué)生繼續(xù)學(xué)習(xí)產(chǎn)生消極作用；數(shù)學(xué)的教學(xué)過程，應(yīng)注意最大限度地克服學(xué)生的定勢思維對學(xué)習(xí)的

7、干擾，從而促進(jìn)思維的發(fā)展，培養(yǎng)其思維的靈活性 .例 3已知過橢圓 x2y21的中心的直線與橢圓交于A、B 兩點（圖a2b22），求以 AB 為底邊，底角為 （定值）的等腰三角形ABC 的頂點 C 軌跡方程 .本題若按常規(guī)解法，顯得較為呆板、繁瑣 .若排除定勢思維的影響，敢于打破常規(guī)，借助復(fù)平面，利用復(fù)數(shù)的幾何意義求解，就能收到既準(zhǔn)又快的功效 .事實上，A、B關(guān)于復(fù)平面原點對稱，因此，COAB，且 2COtg .又向量 OC與向量 OB 按順時針 （或逆時針） 方向旋轉(zhuǎn) 90 后得到的向量共線，由復(fù)數(shù)的幾何OB意義得：Z CZ B tg(cos90i sin 90 ),ZCitgZ B .利用 B 在橢圓上，容易求出C 點的軌跡方程是：y 2x21.b2