復(fù)變函數(shù)與積分變換總復(fù)習學習教案

1、會計學1復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)(hnsh)與積分變換總復(fù)習與積分變換總復(fù)習第一頁，共25頁。二二.冪與方根冪與方根(fnggn)）（1, 1 , 02sin2cos. 2)sin(cos)sin(cos. 1 nknkinkrzerninrzreirznninnnni 第1頁/共24頁第二頁，共25頁。三三.解析解析(ji x)函數(shù)函數(shù)xvyuyvxuRiemannCauchyyxyxvyxuyxyxivyxuzf ,),(),(),(),(),(),()(. 1方程：方程：且滿足且滿足處具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，處具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，在點在點與與處可導(dǎo)處可導(dǎo)在點在點函數(shù)函數(shù)xyyyyxxxivviuviuuiv

2、uzfDzfDzfyxzfyxzf )()()(),()(),()(. 2且且內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo)在區(qū)域在區(qū)域函數(shù)函數(shù)內(nèi)解析內(nèi)解析在區(qū)域在區(qū)域函數(shù)函數(shù)處可導(dǎo)處可導(dǎo)在點在點函數(shù)函數(shù)處解析處解析在點在點函數(shù)函數(shù)第2頁/共24頁第三頁，共25頁。四四.初等初等(chdng)函數(shù)函數(shù) 1)2(argln)(. 31)(arglnln)2(arglnln. 2)()sin(cosexp. 1 bbbkzizbbLnzbzzzxzbzzzeezzLnzLnzzizzkziziArgzzLnzeeeyiyeez且且，及及負負實實軸軸的的平平面面內(nèi)內(nèi)解解析析的的各各個個分分支支在在除除去去原原點點冪冪函函數(shù)數(shù)且且，及

3、及負負實實軸軸的的平平面面內(nèi)內(nèi)解解析析的的各各個個分分支支在在除除去去原原點點對對數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù)的的主主值值對對數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù)析析，且且在在整整個個復(fù)復(fù)平平面面上上處處處處解解指指數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù)記記作作 第3頁/共24頁第四頁，共25頁。zzzzzzzzzzzzzieezeezizizizizsin1csc,cos1secsincoscot,cossintansin)(cos,cos)(sin2cos,2sin. 4 且且處處處處解解析析的的周周期期函函數(shù)數(shù)，它它們們是是在在整整個個復(fù)復(fù)平平面面上上三三角角函函數(shù)數(shù)第4頁/共24頁第五頁，共25頁。五五.復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)(hnsh)的積分的積分內(nèi)內(nèi)的

4、的兩兩個個點點為為其其中中）（內(nèi)內(nèi)任任意意一一條條封封閉閉曲曲線線為為）（內(nèi)內(nèi)解解析析，則則在在單單連連通通區(qū)區(qū)域域若若函函數(shù)數(shù)DzzzfzFzFzFdzzfDCdzzfDzfzzC1001,)()(),()()(2, 0)(1)(. 110 NoImage nkkCnzzfsidzzfCzzzDzf121),(Re2)(,)(. 2 簡簡單單閉閉曲曲線線，則則向向是是包包圍圍諸諸奇奇點點的的一一條條正正外外處處處處解解析析，內(nèi)內(nèi)除除有有限限個個孤孤立立奇奇點點在在區(qū)區(qū)域域若若函函數(shù)數(shù)第5頁/共24頁第六頁，共25頁。六六.解析解析(ji x)函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系關(guān)系內(nèi)的調(diào)和函

5、數(shù)內(nèi)的調(diào)和函數(shù)為區(qū)域為區(qū)域則稱則稱方程：方程：偏導(dǎo)數(shù)并且滿足偏導(dǎo)數(shù)并且滿足內(nèi)具有二價連續(xù)內(nèi)具有二價連續(xù)在區(qū)域在區(qū)域若二元實變函數(shù)若二元實變函數(shù)DyxyxLaplaceDyx),(0),(. 12222 內(nèi)內(nèi)均均為為調(diào)調(diào)和和函函數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)域域與與則則內(nèi)內(nèi)解解析析，在在區(qū)區(qū)域域若若函函數(shù)數(shù)DyxvyxuDyxivyxuzf),(),(),(),()(. 2 積積分分法法主主要要有有偏偏積積分分法法與與不不定定的的方方法法：求求解解析析函函數(shù)數(shù)或或已已知知調(diào)調(diào)和和函函數(shù)數(shù)ivuzfyxvyxu )(),(),(. 3第6頁/共24頁第七頁，共25頁。此此方方法法稱稱為為不不定定積積分分法法則則若若

6、已已知知則則若若已已知知表表示示成成表表示示成成 CdzzVdzzfzfzVivvzfyxvCdzzUdzzfzfzUiuuzfyxuxyyx)()()()()(),()2()()()()()(),()1(izzyzzx2,2 第7頁/共24頁第八頁，共25頁。七七.數(shù)項級數(shù)數(shù)項級數(shù)(j sh) 必發(fā)散必發(fā)散則則若若為條件收斂為條件收斂發(fā)散，則稱發(fā)散，則稱收斂，而收斂，而若若為絕對收斂為絕對收斂收斂，則稱收斂，則稱若若都收斂都收斂與與收斂收斂收斂于收斂于復(fù)數(shù)列復(fù)數(shù)列 111111111, 0lim. 5. 4. 3. 2lim,lim. 1nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn

7、babbaaibaiba 第8頁/共24頁第九頁，共25頁。八八.冪級數(shù)冪級數(shù)級數(shù)必發(fā)散。級數(shù)必發(fā)散。的的則對滿足則對滿足級數(shù)發(fā)散，級數(shù)發(fā)散，級數(shù)必絕對收斂，若在級數(shù)必絕對收斂，若在，的的收斂，則對滿足收斂，則對滿足在在若級數(shù)若級數(shù),)0(. 100000zzzzzzzzzzzcnnn nnnnnnnnncRccRzc1limlim)1(.210 根根值值法法：比比值值法法：收收斂斂半半徑徑的的求求法法收收斂斂半半徑徑與與收收斂斂圓圓第9頁/共24頁第十頁，共25頁。RzzzzcRzzcnnnnnn 0000)()2(的的收收斂斂圓圓為為的的收收斂斂圓圓為為以以逐逐項項求求導(dǎo)導(dǎo)與與逐逐項項求求

8、積積是是個個解解析析函函數(shù)數(shù)，而而且且可可在在收收斂斂圓圓內(nèi)內(nèi)不不僅僅的的和和函函數(shù)數(shù)冪冪級級數(shù)數(shù))()(. 300zfzzcnnn 奇奇點點的的最最短短距距離離的的所所有有到到是是其其中中級級數(shù)數(shù)，即即一一定定可可以以展展開開成成內(nèi)內(nèi)在在處處解解析析，則則在在若若函函數(shù)數(shù)級級數(shù)數(shù))(, 2 , 1 , 0),(!1)()()()()1(. 400)(0000zfzRnzfnczzczfTaylorRzzzfzzfTaylornnnnn 第10頁/共24頁第十一頁，共25頁。質(zhì)質(zhì)來來展展開開再再利利用用冪冪級級數(shù)數(shù)的的運運算算性性級級數(shù)數(shù)展展開開式式，函函數(shù)數(shù)的的間間接接展展開開法法：利利用用

9、已已知知級級數(shù)數(shù)的的方方法法函函數(shù)數(shù)展展開開成成TaylorTaylor)2()1(1,111,)!2()1(!41!211cos,)!12()1(!51!31sin,!1!31!211032024201253032 zRzzzzzRnzzzzRnzzzzzRznzzzeTaylornnnnnnnnnnz級級數(shù)數(shù)展展開開式式：已已知知函函數(shù)數(shù)的的第11頁/共24頁第十二頁，共25頁。曲曲線線的的任任何何一一條條正正向向簡簡單單閉閉為為在在圓圓環(huán)環(huán)域域內(nèi)內(nèi)繞繞其其中中級級數(shù)數(shù)展展開開式式則則內(nèi)內(nèi)處處處處解解析析，在在圓圓環(huán)環(huán)域域若若級級數(shù)數(shù)0100201), 2, 1, 0( ,)()(21)(

10、)()()1(. 5zCndzficLaurentzzczfRzzRzfLaurentCnnnnn 級級數(shù)數(shù)不不同同的的可可以以展展開開成成函函數(shù)數(shù)在在不不同同的的圓圓環(huán)環(huán)域域內(nèi)內(nèi)展展開開法法級級數(shù)數(shù)的的展展開開方方法法：間間接接LaurentLaurent)3(求求積積且且可可以以逐逐項項求求導(dǎo)導(dǎo)和和逐逐項項內(nèi)內(nèi)解解析析，級級數(shù)數(shù)的的和和函函數(shù)數(shù)在在圓圓環(huán)環(huán)域域Laurent)2(第12頁/共24頁第十三頁，共25頁。九九.留數(shù)留數(shù)多負冪項多負冪項級數(shù)展開式中含有無窮級數(shù)展開式中含有無窮本性奇點：本性奇點：項負冪項項負冪項級數(shù)展開式中含有級數(shù)展開式中含有級極點：級極點：項項級數(shù)展開式中不含負

11、冪級數(shù)展開式中不含負冪可去奇點：可去奇點：孤立奇點的分類孤立奇點的分類LaurentmLaurentmLaurent)3()2()1(. 1級級零零點點的的是是級級極極點點的的是是mzfzmzfz)(1)(. 200 的的系系數(shù)數(shù)級級數(shù)數(shù)中中負負冪冪項項心心的的圓圓環(huán)環(huán)域域內(nèi)內(nèi)的的為為中中在在以以孤孤立立奇奇點點是是其其中中留留數(shù)數(shù)1010110)()(,),(Re. 3 zzcLaurentzzfcczzfs 0)()lim(),(Re)()1(. 4000zzzfzzzzfszfz 的的一一級級極極點點，則則為為若若留留數(shù)數(shù)的的計計算算規(guī)規(guī)則則：第13頁/共24頁第十四頁，共25頁。 )(

12、)()(lim)!1(1)()(lim)!1(1),(Re)()2(0110110000mnzfzzdzdnzfzzdzdmzzfsmzfznnnzzmmmzz 級極點，則級極點，則的的為為若若 )()(),(Re)(, 0)()(),(,)()()()3(000000zQzPzzfszfzzPzzQzPzQzPzf 的一級極點，則的一級極點，則為為若若處都解析，且處都解析，且在在設(shè)設(shè) nkkCnzzfsidzzfCzzzDzf121),(Re2)(,)(. 5 簡簡單單閉閉曲曲線線，則則向向是是包包圍圍諸諸奇奇點點的的一一條條正正外外處處處處解解析析，內(nèi)內(nèi)除除有有限限個個孤孤立立奇奇點點在在

13、區(qū)區(qū)域域若若函函數(shù)數(shù)第14頁/共24頁第十五頁，共25頁。 deFFtfdtetftfFFouriertjtj)(21)()()()()(. 1變換的定義：變換的定義：積分變換積分變換(binhun)復(fù)習重點復(fù)習重點一一.Fourier變換變換(binhun) -1-1的的象象原原函函數(shù)數(shù)稱稱為為的的象象函函數(shù)數(shù)，稱稱為為)()()()( FtftfF第15頁/共24頁第十六頁，共25頁。變換對變換對常用的函數(shù)的常用的函數(shù)的變換的計算：變換的計算：FourierFourier)1(. 20t0( ) (0)t0tf te 221 jj 1t 0tt0jte u t1( )j )(21)(200

14、tje)()(sin000 jt)()(cos000t第16頁/共24頁第十七頁，共25頁。 aFaaatfftFFjttfFddjtftFjtfFetfFttfFFtftftnnnnnntjt |1)0()(:)(2)(:)(1d)(:)()()()()(:)()(e)()(:)()()()(:)(0j0212100相相似似對對稱稱積積分分微微分分位位移移線線性性變換的常用性質(zhì)變換的常用性質(zhì)Fourier)2(第17頁/共24頁第十八頁，共25頁。)()()(),0()()()3()()(, )()()2()()()1(. 300 tfdttfttfdttftttudtdtudttt 函數(shù)的

15、性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì) )()()()()2()()()()()1(. 421212121 FFtftfdtfftftf 卷卷積積與與卷卷積積定定理理 第18頁/共24頁第十九頁，共25頁。二二.Laplace變換變換(binhun) 的象原函數(shù)的象原函數(shù)稱為稱為的象函數(shù)，的象函數(shù)，稱為稱為是一個復(fù)參量）是一個復(fù)參量）變換的定義變換的定義)()()()()()()(. 10sFtftfsFsdtetftfsFLaplacest TstsTdtetfetfsFTtf0)(11)()()(. 2則則為為周周期期的的周周期期函函數(shù)數(shù)，是是以以若若 第19頁/共24頁第二十頁，共25頁。變換對變換對常用函數(shù)的

16、常用函數(shù)的變換的計算變換的計算LaplaceLaplace)1(:. 3( )1t ( )( )nnts1( )u ts1ktesks111!nnnts22sinkktsk22cossktsk第20頁/共24頁第二十一頁，共25頁。變換的常用性質(zhì)變換的常用性質(zhì)Laplace)2( stnnnnnnnnnatstdssFttfsFsttfsFdsdtftffsfssFstfasFtfesFettfsFsFtftf)()()(1d)(:)()1()()0()0()0()()(:)()()()(:)()()()(:)1(21)(021210積積分分微微分分位位移移線線性性 第21頁/共24頁第二十二頁，共25頁。留數(shù)法留數(shù)法部分分式法部分分式法逆變換的性質(zhì)逆變換的性質(zhì)變換對與變換對與利用常用函數(shù)的利用常用函數(shù)的逆變換的計算逆變換的計算)3()2()1(. 3LaplaceLaplaceLaplace )()()()()2()()()()()1(, 0.4212102121sFsFtftfdtfftftft 理理區(qū)區(qū)間間上上的的卷