結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)課件5

1、1/86結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)第第5 5章章動(dòng)力反應(yīng)數(shù)值分析方法動(dòng)力反應(yīng)數(shù)值分析方法2/86主要內(nèi)容主要內(nèi)容：q 數(shù)值算法中的基本問題數(shù)值算法中的基本問題q 分段解析法分段解析法q 中心差分法中心差分法q 一般時(shí)域逐步積分法的構(gòu)造一般時(shí)域逐步積分法的構(gòu)造q Newmark 法法q Wilson 法法q 時(shí)域逐步積分算法的新發(fā)展時(shí)域逐步積分算法的新發(fā)展q 結(jié)構(gòu)非線性反應(yīng)分析結(jié)構(gòu)非線性反應(yīng)分析3/865.1 數(shù)值算法中的基本問題數(shù)值算法中的基本問題4/865.1 數(shù)值算法中的基本問題前面介紹了二種結(jié)構(gòu)動(dòng)力反應(yīng)分析方法： 時(shí)域分析方法Duhamel積分法， 頻域分析方法Fourier變換法。這兩種方法

2、適用于處理線彈性結(jié)構(gòu)的動(dòng)力反應(yīng)問題。當(dāng)外荷載p(t)為解析函數(shù)時(shí)，采用這兩種方法一般可以得到體系動(dòng)力反應(yīng)的解析解，當(dāng)荷載變化復(fù)雜時(shí)無法得到解析解，通過數(shù)值計(jì)算可以得到動(dòng)力反應(yīng)的數(shù)值解。這兩種分析方法的特點(diǎn)是均基于疊加原理，要求結(jié)構(gòu)體系是線彈性的，當(dāng)外荷載較大時(shí)，結(jié)構(gòu)反應(yīng)可能進(jìn)入物理非線性物理非線性(彈塑性)，或結(jié)構(gòu)位移較大時(shí)，結(jié)構(gòu)可能進(jìn)入幾何非線性幾何非線性，這時(shí)疊加原理將不再適用。此時(shí)可以采用時(shí)域逐步積分法求解運(yùn)動(dòng)微分方程。 5/865.1 數(shù)值算法中的基本問題時(shí)域逐步積分法Step-by-step methods結(jié)構(gòu)動(dòng)力反應(yīng)分析的時(shí)域直接數(shù)值計(jì)算方法： （1）分段解析法；（2）中心差分法；

3、（3）平均常加速度法；（4）線性加速度法；（5）Newmark 法；（6）Wilson 法； 時(shí)域逐步積分法是結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析問題中一個(gè)得到廣泛研究的課題，也是得到廣泛應(yīng)用的計(jì)算方法。 6/865.1 數(shù)值算法中的基本問題采用疊加原理的時(shí)域和頻域分析方法（Duhamel積分，F(xiàn)ourier變換），假設(shè)結(jié)構(gòu)在全部反應(yīng)過程中都是線性的，而時(shí)域逐步積分法，只假設(shè)在一個(gè)時(shí)間步距內(nèi)是線性的，相當(dāng)于用分段直線來逼近實(shí)際的曲線。時(shí)域逐步積分法研究的是離散時(shí)間點(diǎn)上的值，例如位移和速度為：而這種離散化正符合計(jì)算機(jī)存貯的特點(diǎn)。與運(yùn)動(dòng)變量的離散化相對應(yīng)，體系的運(yùn)動(dòng)微分方程也不一定要求在全部時(shí)間上都滿足，而僅要求在離散時(shí)

4、間點(diǎn)上滿足，這相當(dāng)于放松了對運(yùn)動(dòng)變量的約束。( ) ,( ) ,1, 2,iiiiuu tuu ti7/865.1 數(shù)值算法中的基本問題采用等時(shí)間步長離散時(shí)，ti=it，i=1, 2, 3,。體系的運(yùn)動(dòng)微分方程僅要求在離散時(shí)間點(diǎn)上滿足。t離散時(shí)間步長離散時(shí)間步長8/865.1 數(shù)值算法中的基本問題 一種逐步積分法的優(yōu)劣，主要由以下四個(gè)方面判斷：收 斂 性：當(dāng)：當(dāng)t0時(shí)，數(shù)值解是否收斂于精確解；時(shí)，數(shù)值解是否收斂于精確解；計(jì)算精度：截?cái)嗾`差與時(shí)間步長截?cái)嗾`差與時(shí)間步長t 的關(guān)系，若誤差的關(guān)系，若誤差 O(tn)，則稱方法具有，則稱方法具有n階精度；階精度；穩(wěn) 定 性：隨時(shí)間步數(shù)：隨時(shí)間步數(shù)i的增

5、大，數(shù)值解是否變得無窮的增大，數(shù)值解是否變得無窮 大（遠(yuǎn)離精確解）；大（遠(yuǎn)離精確解）；計(jì)算效率：數(shù)值計(jì)算中所花費(fèi)的計(jì)算時(shí)間的多少數(shù)值計(jì)算中所花費(fèi)的計(jì)算時(shí)間的多少。一個(gè)好的方法首先必須是收斂的、有足夠的精度(例如2階，滿足工程要求)、良好的穩(wěn)定性、較高的計(jì)算效率。在發(fā)展逐步積分法中，也的確發(fā)展了一些高精度但很費(fèi)時(shí)的方法，在實(shí)際中得不到應(yīng)用和推廣。 9/865.1 數(shù)值算法中的基本問題根據(jù)是否需要聯(lián)立求解耦聯(lián)方程組，逐步積分法可分為兩大類：隱式方法：逐步積分計(jì)算公式是耦聯(lián)的方程組，需聯(lián)立求解，計(jì)算工作量大，通常增加的工作量與自由度的平方成正比，例如Newmark法、Wilson法。顯式方法：逐步積

6、分計(jì)算公式是解耦的方程組，無需聯(lián)立求解，計(jì)算工作量小，增加的工作量與自由度成線性關(guān)系，如中心差分方法(無阻尼時(shí))。下面重點(diǎn)介紹兩種常用的時(shí)域逐步積分法中心差分法和Newmark法，同時(shí)也介紹Wilson法，最后介紹非線性問題分析方法。10/865.3中心差分法中心差分法(Central Difference Method) 11/865.3 中心差分法 中心差分方法用有限差分代替位移對時(shí)間的求導(dǎo)(即速度和加速度)。如果采用等步長，ti=t，則i時(shí)刻速度和加速度的中心差分近似為：tuuuiii2112112tuuuuiiii iiiiiiipkutuuctuuum2211211)()()()(i

7、iiitptkutuctum )()()()(iiiiiiiitpptuutuutuu 11222222iiiimcmmcupkuuttttt12/865.3 中心差分法多自由度體系的中心差分法逐步計(jì)算公式為：11222222iiiimcmmcupkuuttttt ( )( )( )( )iiiiiiiiuu tuu tuu tpp t 112111212iiiiiiiuuutuuuut 212211122112iiiiMCuttpKMuMCuttt13/865.3 中心差分法 單步法和多步法的概念單步法單步法：采用時(shí)域逐步積分法計(jì)算某一時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)時(shí)，僅需已知前一時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)。多步法多步法：需要

8、前兩個(gè)或兩個(gè)以上時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)。中心差分法在計(jì)算ti+1時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)ui+1時(shí)，需要已知ti和ti-1兩個(gè)時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)ui和ui-1，因此，中心差分法屬于兩步法；而分段解析法僅需要已知ti時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)，因此為單步法。11222222iiiimcmmcupkuuttttt1111iiiiiiiiiipDpCuBuAuDpCpuBAuu14/865.3 中心差分法 時(shí)域逐步積分法計(jì)算中起步的概念用兩步法進(jìn)行計(jì)算時(shí)存在起步問題，因?yàn)閮H根據(jù)已知的初始位移和速度，并不能自動(dòng)進(jìn)行運(yùn)算，而必需給出兩個(gè)相鄰時(shí)刻的位移值，方可開始逐步計(jì)算。在初始時(shí)刻需要建立兩個(gè)起步時(shí)刻（即i0, -1）的位移值，這即是逐步積分的起步問題

9、。 11222222iiiimcmmcupkuuttttt15/86中心差分方法計(jì)算中的起步處理方法初始條件為 ：)0(),0(00uuuu tuuu2110210102tuuuu 020012utu tuu )(10000kuucpmu 11222222iiiimcmmcupkuuttttt16/86 中心差分法計(jì)算步驟：(1). 基本數(shù)據(jù)準(zhǔn)備和初始計(jì)算 (2). 計(jì)算等效剛度和中心差分計(jì)算公式中的系數(shù) (3). 根據(jù)i及i以前時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)，計(jì)算i+1時(shí)刻的運(yùn)動(dòng) (4). 下一步計(jì)算用i+1代替i，重復(fù)(2)至(3)中的計(jì)算步驟。已知和00uu)(20002001kuucpmtu tuu111

10、1222iiiiiiiuuutuuuut2222,22mcmmckakbttttt11 /iiiiiippaubuupk11222222iiiimcmmcupkuuttttt17/865.3 中心差分法 中心差分法的精度和數(shù)值穩(wěn)定性以上給出的中心差分逐步積分公式具有如下特點(diǎn)： 是收斂的； 具有2階精度，即誤差 O(t2) ； 是有條件穩(wěn)定，穩(wěn)定條件tTn/； 具有較高的計(jì)算效率。18/86中心差分法的數(shù)值穩(wěn)定性 (tTn/)穩(wěn)定性的含義：當(dāng)滿足穩(wěn)定性條件時(shí)，計(jì)算值穩(wěn)定性的含義：當(dāng)滿足穩(wěn)定性條件時(shí)，計(jì)算值u為有限值；為有限值；當(dāng)不滿足穩(wěn)定性條件時(shí)，隨著當(dāng)不滿足穩(wěn)定性條件時(shí)，隨著t，u。 19/8

11、6中心差分法的數(shù)值穩(wěn)定性證明設(shè)體系為無阻尼，并設(shè)外荷載p=0 (算法的穩(wěn)定性與外荷載無關(guān)),則中心差逐步積分法的遞推公式可以寫成如下形式： 令i時(shí)刻位移為：代入運(yùn)動(dòng)方程：得到：從ui=Ai 可直觀看出，為保證 i（即t）時(shí)，ui有界，要求|1。僅當(dāng)24時(shí)，|=1，其余情況均有|1。則穩(wěn)定性條件要求：niiituuu,)2(121iiAu01)2(22)4(2212222iitstsiistAeAAetiuuAetu)()()(11222222iiiimcmmcupkuuttttt20/86中心差分法的數(shù)值穩(wěn)定性證明中心差分法的數(shù)值穩(wěn)定性證明 穩(wěn)定性表達(dá)式為: 雖然中心差分逐步積分法是有條件穩(wěn)定

12、的，但由于其所具有計(jì)算效率高的優(yōu)點(diǎn)，在很多情況下得到廣泛的應(yīng)用。例如，大壩在地震作用下的動(dòng)力反應(yīng)分析，核電站和人防結(jié)構(gòu)在沖擊荷載下的動(dòng)力反應(yīng)問題計(jì)算等等。nt2nnTt221/86為構(gòu)造有阻尼體系動(dòng)力分析的顯式中心差分法， Clough給出了如下形式的逐步積分計(jì)算格式，并不加證明地給出其穩(wěn)定性條件為：Clough格式的實(shí)際穩(wěn)定性條件如右圖所示 2111()()22()iiiiiiiiiituutupcukumuuuutnnTt2 222111121122iiiiMCupKMuMCuttttt22/86中心差分法的數(shù)值穩(wěn)定性證明中心差分法的數(shù)值穩(wěn)定性證明一般情況下，逐步積分格式的穩(wěn)定性分析采用如

13、下方法，將逐步積分格式寫成下式： 則穩(wěn)定性條件為 = (A) 1， 稱為傳遞矩陣A的譜半徑，即傳遞矩陣的最大特征值 。目前對顯式中心差分逐步積分法格式的研究取得了進(jìn)展，已發(fā)展了幾種有阻尼體系的差分格式，可以在近幾年的文獻(xiàn)中找到。但普遍存在的問題是穩(wěn)定條件要比一般的中心差分法的穩(wěn)定條件 tTn/ 更嚴(yán)格。 iiiiipBuuAuu1123/86一般時(shí)域逐步積分法的構(gòu)造一般時(shí)域逐步積分法的構(gòu)造 24/86一般時(shí)域逐步積分法的構(gòu)造 從前面介紹的中心差分法給出的逐步積分公式可以發(fā)現(xiàn)，所謂的時(shí)域逐步積分方法就是構(gòu)造出根據(jù)某一時(shí)刻及其以前時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)，推算下一時(shí)刻運(yùn)動(dòng)的遞推計(jì)算公式。具體情況可表述為，設(shè)體系

14、在ti及ti以前時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)已知，求ti1時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)。 （tiit）體系在ti1時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)包括：位移、速度和加速度，需要有三個(gè)方程(條件)求這三個(gè)量。因此，除體系的運(yùn)動(dòng)方程外，還需補(bǔ)充兩個(gè)方程（條件） 。)()()()(tptkutuctum 25/86一般時(shí)域逐步積分法的構(gòu)造 兩個(gè)補(bǔ)充方程可以通過對運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的假設(shè)得到。例如可以假設(shè)在ti和ti1時(shí)刻，即t時(shí)間段內(nèi)，體系的加速度為常數(shù)a，則積分(不定積分)得到體系的速度和位移為：其中, 為由ti時(shí)刻起算的局部時(shí)間坐標(biāo), c1和c2為積分常數(shù)。1212( )1( )2uacuacc26/86一般時(shí)域逐步積分法的構(gòu)造 積分常數(shù)c1和c2可由0時(shí)的初值

15、條件確定，最后得：當(dāng)t，即tti1時(shí)刻，體系得運(yùn)動(dòng)狀態(tài)為：1212( )1( )2uacuacc(0)|,(0)it tiiuuuuu2( )1( )2iiiuauuauu12112iiiiiua tuua tutu 27/86一般時(shí)域逐步積分法的構(gòu)造 如果假設(shè)：ti 和ti1時(shí)間段內(nèi)的常加速度a=(i+1+i)/2，則得到：再加上ti1時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)方程：可以求得ti1時(shí)刻的位移、速度和加速度。12112iiiiiua tuua tutu 11211()2()4iiiiiiiiituuuutuuuutu 1111iiiimucukup28/86一般時(shí)域逐步積分法的構(gòu)造 以上方法也稱為平均加速度法

16、。 即假設(shè)加速度為ti和ti1時(shí)間段內(nèi)的平均值：也可以假設(shè)加速度a為其它形式的變化規(guī)律，例如為線性變化：則采用同樣的分析步驟可以得到線性加速度法的時(shí)域逐步積分公式。11()2iiauu1()iiiauuut29/86平均加速度法和線性加速度法的基本假設(shè)和補(bǔ)充公式 平均加速度法 線性加速度法30/865.4Newmark 法法31/865.4 Newmark 法 Newmark 同樣將時(shí)間離散化，運(yùn)動(dòng)方程僅要求在離散的時(shí)間點(diǎn)上滿足。假設(shè)在ti時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)均已求得, 然后計(jì)算 ti+1時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)。 與中心差分法不同的是，它不是用差分對ti時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)方程展開，得到外推計(jì)算ui+1的公式，而是通過對加速

17、度的假設(shè)，以ti時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)量為初始值，通過積分得到計(jì)算ti+1時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)公式。 與平均加速度法和線性加速度法不同的是，它用不同的加速度假設(shè)條件給出速度和位移的計(jì)算公式。32/865.4 Newmark 法tauuii1atu tuuiii2121Newmark 法假設(shè)在時(shí)間段ti，ti+1內(nèi)，加速度為一常量，記為a 。經(jīng)過簡單積分計(jì)算可以得到速度、位移與a之間的關(guān)系式：2( )1( )2iiiuauuauu33/865.4 Newmark 法10,)1 (1iiuua 2/10,2)21 (1iiuua tauuii1atu tuuiii212111)1 (iiiiu tu tuu 1221)

18、21(iiiiiututu tuu 分別代入速度和位移中34/865.4 Newmark 法tuuuutuuutuutuiiiiiiiiii )21 ()1 ()() 121(1)(1111211111iiiipkuucum 11iipuk122111)21()1 (iiiiiiiiiututu tuuu tu tuu 35/865.4 Newmark 法tuuuutuuutuutuiiiiiiiiii )21 ()1 ()() 121(1)(11112111iipukctmtkk21cutuutmuututppiiiiiiii)2(2) 1() 121(11211 36/865.4 Newm

19、ark 法多自由度體系Newmark 法的逐步積分公式 111121111211112iiiiiiiiiiiiKupuuuututuuuuutt 2211111112122iiiiiiiiKKMCttppMuuutttCuuut 37/865.4 Newmark 法在Newmark 法中，控制參數(shù) 和 的取值影響著算法的精度和穩(wěn)定性，可以證明，只有當(dāng) 取1/2時(shí)，這個(gè)方法才具有二階精度。因此一般均?。?=1/2, 0 1/4Newmark 法的穩(wěn)定性條件：當(dāng)=1/2, =1/4時(shí)，t，即成為無條件穩(wěn)定的。nTt212138/865.4 Newmark 法通過對Newmark 法中控制參數(shù) 取不

20、同的值也可以得到其它時(shí)域逐步積分方法。下表給出了 取不同值時(shí)Newmark 法所對應(yīng)的逐步積分法。參數(shù)取值 對應(yīng)的逐步積分法 穩(wěn)定性條件 41,21 平均常加速度法 無條件穩(wěn)定 61,21 線性加速度法 nnTTt551. 03 0,21 中心差分法 nTt1 39/865.4 Newmark 法在動(dòng)力問題研究中，常采用=1/2， =1/4的所謂無條件穩(wěn)定的Newmark法，實(shí)際上就是平均(常)加速度方法。Newmark法為單步法不需要格外處理計(jì)算的“起步”問題，屬于自起步方法。 40/865.5Wilson 法法41/865.5 Wilson 法 Wilson 法是基于線性加速度法的基礎(chǔ)之上

21、發(fā)展的。 42/865.5 Wilson 法 當(dāng)參數(shù) 1.37時(shí)， Wilson 法是無條件穩(wěn)定的。初略分析，采用了線性加速度假設(shè)比平均常加速度法更精確，而且算法是無條件穩(wěn)定的，應(yīng)是一種優(yōu)秀的逐步積分法。在時(shí)域逐步積分法發(fā)展的早期，Wilson 法曾得到廣泛的推捧和應(yīng)用。但隨著對數(shù)值算法特性研究的深入，發(fā)現(xiàn)Wilson 法存在一系列弊病，特別是無條件穩(wěn)定的Wilson 法。對于一些強(qiáng)沖擊問題，Wilson 法可能無法完成計(jì)算。 43/86 不同方法的振幅衰減AD(Amplitued decay)和周期延長PE(Period elongation) 44/86不同方法的計(jì)算精度(單自由度體系無阻

22、尼自由振動(dòng), t/Tn=0.1)45/86Newmark 法，特別是=1/4的無條件穩(wěn)定格式得到廣泛應(yīng)用。中心差分法，雖然穩(wěn)定性略差，但因其所具有的簡單、高效的特點(diǎn)也得到一系列的應(yīng)用。Wilson 法，由于過高的算法阻尼，在實(shí)際中的使用越來越少。對于一些特殊的問題，計(jì)算精度的要求有時(shí)嚴(yán)于或等于穩(wěn)定性條件，此時(shí)，中心差分法將具有更大的優(yōu)勢。46/865.6結(jié)構(gòu)非線性反應(yīng)分析結(jié)構(gòu)非線性反應(yīng)分析47/865.6 結(jié)構(gòu)非線性反應(yīng)分析非線性： 幾何非線性 材料非線性 (物理非線性)恢復(fù)力： 非線性位移和抗力關(guān)系ukfS0)(uffSS 48/865.6 結(jié)構(gòu)非線性反應(yīng)分析采用中心差分法求解非線性反應(yīng) 當(dāng)

23、采用中心差分法進(jìn)行時(shí)域逐步積分計(jì)算時(shí)，無需對計(jì)算格式和軟件做大的變化，僅是對計(jì)算抗力的公式進(jìn)行改動(dòng)，其余的與線性反應(yīng)分析的相同。)(0uffukfssS12212222iiiiutctmutmkputctm1221222)(2iiisiiutctmutmufputctm49/865.6 結(jié)構(gòu)非線性反應(yīng)分析采用中心差分法求解非線性反應(yīng) 穩(wěn)定性條件穩(wěn)定性條件：在用中心差分逐步積分法計(jì)算時(shí)，由于結(jié)構(gòu)一般都是軟化結(jié)構(gòu)，即隨變形的增加而變軟，剛度k降低，但質(zhì)量m不變，則結(jié)構(gòu)的自振周期Tn變長，計(jì)算的穩(wěn)定性變好。1221222)(2iiisiiutctmutmufputctm2nmTknnTt250/86

24、5.6 結(jié)構(gòu)非線性反應(yīng)分析采用Newmark求解非線性反應(yīng) 全量型逐步積分計(jì)算公式：11iipukcutuutmuututppctmtkkiiiiiiii)2(2) 1() 121(1112112 51/865.6 結(jié)構(gòu)非線性反應(yīng)分析采用Newmark求解非線性反應(yīng) 用Newmark法進(jìn)行結(jié)構(gòu)非線性動(dòng)力計(jì)算，采用增量平衡方程較合適。分別給出ti和ti+1時(shí)刻運(yùn)動(dòng)方程：由ti+1減去ti時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)方程得運(yùn)動(dòng)的增量平衡方程：1111iiiiiiiimucukupmucukupiiSiipfucum)( iiiiSiSiSiiiiiiiiipppfffuuuuuuuuu11111)()()(, 52

25、/865.6 結(jié)構(gòu)非線性反應(yīng)分析采用Newmark求解非線性反應(yīng) 增量運(yùn)動(dòng)平衡方程：當(dāng)時(shí)間步長t取得足夠小，可以認(rèn)為在titi+1區(qū)間內(nèi)結(jié)構(gòu)的本構(gòu)關(guān)系是線性的，則：kis ti, ti+1點(diǎn)之間的割線剛度。 iiSiipfucum)( iiiiSiSiSiiiiiiiiipppfffuuuuuuuuu11111)()()(, isiiSukf)( 53/865.6 結(jié)構(gòu)非線性反應(yīng)分析采用Newmark求解非線性反應(yīng) 增量運(yùn)動(dòng)平衡方程：但由于ui+1未知，因此kis不能預(yù)先準(zhǔn)確估計(jì)，這是可以采用切線剛度ki代替割線剛度kis iisiiipukucum iiiiipukucum 54/865.6

26、 結(jié)構(gòu)非線性反應(yīng)分析采用Newmark求解非線性反應(yīng) 增量運(yùn)動(dòng)平衡方程：是一個(gè)線性運(yùn)動(dòng)方程，系數(shù)m、c、ki和外荷載pi均為已知。增量形式的Newmark法逐步積分方程為： iiiiipukucum cutumuutppctmtkkpukiiiiiiiiiii)2(221112 55/865.6 結(jié)構(gòu)非線性反應(yīng)分析采用Newmark求解非線性反應(yīng) 增量形式的Newmark法逐步積分方程： 求得ui后，則可以計(jì)算ti+1時(shí)刻的總位移，再利用Newmark 法中的兩個(gè)基本公式 ：得到ti+1時(shí)刻體系的全部運(yùn)動(dòng)量。 iiipukiiiuuu1121111(1)2(1)(1)2iiiiiiiiuuuu

27、ttuuuutt1iiiuuu56/86采用采用Newmark求解非線性反應(yīng)求解非線性反應(yīng) 在用以上步驟計(jì)算時(shí)的主要誤差，是用切線剛度代替割線剛度引起的，這是非線性分析中的共性。注意到方程從形式上看與靜力問題的方程完全一樣?？梢杂渺o力問題中的非線性分析方法進(jìn)行迭代求解，例如采用NewtonRaphson或修正的NewtonRaphson法求解。NewtonRaphson方法在每一迭代步中，剛度是變化的，而修正的NewtonRaphson法，在不同迭代步中的剛度不變，因此，也常稱： NewtonRaphson法為變剛度迭代法變剛度迭代法； 修正的NewtonRaphson方法為常剛度迭代法常剛度

28、迭代法。57/865.6 結(jié)構(gòu)非線性反應(yīng)分析NewtonRaphson法（變剛度迭代法）iiipukpuu(1)u(2)u(3)f (1)f (2)f (3)R(2)R(3)R(4)kT(1)p123(b)kT(2)kT(3)58/865.6 結(jié)構(gòu)非線性反應(yīng)分析修正的NewtonRaphson方法（常剛度迭代法）puu(1)u(2)u(3)f (1)f (2)f (3)R(2)R(3)R(4)kTp123(a)59/865.6 結(jié)構(gòu)非線性反應(yīng)分析采用Newmark求解非線性反應(yīng) 用以上迭代方法求得ui(1), ui(2)，以后，疊加得， 收斂條件：當(dāng)進(jìn)行了l 次迭代計(jì)算后，令： 如果，則認(rèn)為迭

29、代收斂，達(dá)到要求的精度，停止迭代計(jì)算。 為一個(gè)給定的小量，例0.001等。一般情況下，經(jīng)過有限次的迭代計(jì)算都可以收斂。 (1)(2)iiiuuu ljjiuu1)(uuli)(puu(1)u(2)u(3)f (1)f (2)f (3)R(2)R(3)R(4)kT(1)p123(b)kT(2)kT(3)60/865.7時(shí)域逐步積分算法的新發(fā)展時(shí)域逐步積分算法的新發(fā)展61/865.7 時(shí)域逐步積分算法的新發(fā)展1、差分方法的發(fā)展1李算法李算法 2杜算法杜算法222111111111222222iiiiiiiiiitttum pm k utm c utttuumppkc ukc u 222111121

30、122iiiiMCupKMuMCuttttt22111121111111111(1)()22221111()()2222iiiiiiiiittttum pm km c um cutt m c uttum pm c um km c utt 62/865.7 時(shí)域逐步積分算法的新發(fā)展3張算法張算法4克拉夫克拉夫(Clough)算法算法 231211111111111112612()()iiiiiiiiiiiiiiiiiuutut ut uuutut uumpcukuumpcuku 22211111112222iiiiiiiitttum pm k utm c uuuuut 63/865.7 時(shí)域逐步

31、積分算法的新發(fā)展 算法的精度和穩(wěn)定性010nnuuTTADPEuT：振幅衰率周期延率減長-u0 tuTnT數(shù)值解數(shù)值解精確解精確解ADu0064/8600.050.10.150.20.250.3-0.5-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.5AD(振振幅幅衰衰減減率率)文獻(xiàn)文獻(xiàn)1算法算法文獻(xiàn)文獻(xiàn)2算法算法 中心差分法中心差分法 線性加速度法線性加速度法 Newmark- 法法文獻(xiàn)文獻(xiàn)3算法算法文獻(xiàn)文獻(xiàn)4算法算法 t/TnWilson- 法法( =1.4) 65/8600.050.10.150.20.250.3-0.2-0.15-0.1-0.0500.050.10.150

32、.20.250.3 t/TnPE(周周期期延延長長率率)Wilson- 法法( =1.4) 文獻(xiàn)文獻(xiàn)4算法算法 Newmark- 法法 線性加速度法線性加速度法文獻(xiàn)文獻(xiàn)1算法算法文獻(xiàn)文獻(xiàn)2算法算法 中心差分法中心差分法文獻(xiàn)文獻(xiàn)3算法算法 66/86幾種算法的穩(wěn)定性0.00.20.40.60.81.00.00.51.01.52.02.53.03.54.0 = n t 文獻(xiàn) 文獻(xiàn)1算法算法 文獻(xiàn) 文獻(xiàn)2算法算法 文獻(xiàn) 文獻(xiàn)3算法算法 文獻(xiàn) 文獻(xiàn)4算法算法 中心差分法中心差分法 線性加速度法線性加速度法67/8605101520-1.5-1.0-0.50.00.51.01.52.0 解析解解析解 文獻(xiàn)文獻(xiàn)1算法算法 文獻(xiàn)文獻(xiàn)2算法算法 文獻(xiàn)文獻(xiàn)3算法算法 文獻(xiàn)文獻(xiàn)4算法算法 中心差分法 中心差分法 線性加速度法線性加速度法 Newmark- - 法 法 Wilson- - 法 法 ( ( =1.4) )ut(s)幾種算法的精度u(0)=1，u (0)=0，=0，t=0.1Tn 68/8605