(完整版)量子力學(xué)總結(jié)

1、量子力學(xué)總結(jié)第一部分量子力學(xué)基礎(chǔ)（概念）量子概念所謂“量子"英文的解釋為：afixedamount（份份、不連續(xù)），即量子力學(xué)是用不連續(xù)物理量來描述微觀粒子在微觀尺度下運(yùn)動(dòng)的力學(xué)，量子力學(xué)的特征簡單的說就是不連續(xù)性。描述對(duì)象：微觀粒子微觀特征量以原子中電子的特征量為例估算如下：1137“精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)”（電磁作用常數(shù)），e2=7297x10-3旋2原子的電子能級(jí)廠（e2丫me4e2“Emc2=27eV（屁方2a0即：數(shù)10eV數(shù)量級(jí)3原子尺寸：玻爾半徑：力2a=0me20.53a般原子的半徑1A速率:e2cVc-22x106m/sc137時(shí)間：原子中外層電子沿玻爾軌道的“運(yùn)行”周期t。

2、単15x10-16秒角頻率®4.2x1016秒C,0即每秒繞軌道轉(zhuǎn)1016圈（電影膠片21張/S,日光燈頻率50次/S）6角動(dòng)量：Jamv工me2e2方1、光電效應(yīng)2、康普頓效應(yīng)3、原子結(jié)構(gòu)的波爾理論波爾2個(gè)假設(shè)：定態(tài)軌道定態(tài)躍遷4、物質(zhì)波及德布洛意假設(shè)（德布洛意關(guān)系）任何物體的運(yùn)動(dòng)伴隨著波，而且不可能將物質(zhì)的運(yùn)動(dòng)和波的傳播分開”,認(rèn)為物體若以大小為P的動(dòng)量運(yùn)動(dòng)時(shí)，則伴隨有波長為九的波動(dòng)。九：p,h為普朗克常數(shù)同時(shí)滿足關(guān)系E=hv=°因?yàn)槿魏挝镔|(zhì)的運(yùn)動(dòng)都伴隨這種波動(dòng)，所以稱這種波動(dòng)為物質(zhì)波(或德布羅意波)。Eh稱u萬幾p德布羅意波關(guān)系例題：設(shè)一個(gè)粒子的質(zhì)量與人的質(zhì)量相當(dāng)，約

3、為50kg，并以12秒的百米速度作直線運(yùn)動(dòng)，求粒子相應(yīng)的德布羅意波長。說明其物理意義。答：動(dòng)量p=波長九=h/p=h/(gv)=6.63x10-34/(50x12)=11x10-36m晶體的晶格常數(shù)約為lOTm，所以，題中的粒子對(duì)應(yīng)的德布羅意波長<<晶體的晶格常數(shù)，因此，無法觀測到衍射現(xiàn)象。5、波粒二象性(1) 電子衍射實(shí)驗(yàn)1926年戴維遜(CJDavisson)和革末(LHGevmer)第一觀察到了電子在鎳單晶表面的衍射現(xiàn)象，證實(shí)了電子的波動(dòng)性，求出電子的波長九=0.167nm趣電流計(jì)電子菓54V人射電丁蟲Hu-甲湯姆遜(GPThomson)用高速電子穿過金屬衍進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，也獲得了

4、電子衍射的圖樣。如錯(cuò)誤!未找到引用源。是電子在Au多晶的衍射圖樣。23(2) 電子干涉實(shí)驗(yàn)2、鮎個(gè)電子產(chǎn)比的*渺陽r產(chǎn)比冏一砂剛何伽q牛電r產(chǎn)生的1%圖(兒百丿個(gè)電r產(chǎn)外的：軫開干涉實(shí)驗(yàn)說明：.大量電子的一次性行為與單個(gè)電子的多次性行為表現(xiàn)出同樣的波動(dòng)性。.干涉圖像的出現(xiàn)體現(xiàn)了微觀粒子的共同特性，它并不是由微觀粒子相互之間作用產(chǎn)生的，而是微觀粒子其個(gè)性的集體表現(xiàn)。結(jié)論：.干涉、衍射現(xiàn)象是波動(dòng)本質(zhì)的體現(xiàn)，波動(dòng)是無條件的，干涉、衍射現(xiàn)象的觀測是有條件的。.干涉圖像的出現(xiàn)體現(xiàn)了微觀粒子的共同特性，它并不是由微觀粒子相互之間作用產(chǎn)生的，而是微觀粒子其個(gè)性的集體表現(xiàn)。.粒子的波粒二象性，從量子觀點(diǎn)看，所

5、謂粒子性是它具有質(zhì)量、能量、動(dòng)量等粒子屬性。所謂波動(dòng)性是指其具有頻率、波長，至二定條件下，可觀察出干涉和衍射,波和粒子性是物質(zhì)同時(shí)具有的兩個(gè)屬性（但是不能同時(shí)觀測），如同硬幣的兩面。備注：宏觀粒子（如子彈）仍然具有波動(dòng)的屬性（“任何物體的運(yùn)動(dòng)伴隨著波，而且不可能將物質(zhì)的運(yùn)動(dòng)和波的傳播分開”，認(rèn)為物體若以大小為P的動(dòng)量運(yùn)動(dòng)時(shí)，則伴隨有波長為九的波動(dòng)）但是，觀察不到干涉現(xiàn)象。（1）波函數(shù)：表示一個(gè)體系的粒子狀態(tài)，即用粒子坐標(biāo)和時(shí)間為變量的波函數(shù)作為體系粒子狀態(tài)全面的數(shù)學(xué)描述。幾率密度|屮|2：解釋為給定時(shí)間，在一定空間間隔內(nèi)發(fā)生一個(gè)粒子的幾率或在一定空間間隔內(nèi)的幾率密度）（3）幾率|屮bdt：空間

6、di體積內(nèi)的幾率備注：波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)詮釋：|e|2解釋為“光子密度的幾率量度”首先考察光的雙縫干涉圖樣。由波動(dòng)圖像，屏幕上某點(diǎn)的強(qiáng)度I由下式給出I=£cIE|2（2-13）0式中：E為該點(diǎn)的電場強(qiáng)度；8為真空介電常數(shù)；c為光速。另0一方面，由光子圖像，屏幕上一點(diǎn)的強(qiáng)度為I=hvN式中：hv是一個(gè)光子的能量;N為打在屏幕上該點(diǎn)的光子通量（單位時(shí)間通過單位面積的光子數(shù)），雖然單個(gè)光子到達(dá)屏幕什么地方無法預(yù)測，但亮帶光子到達(dá)的幾率大，暗帶光子到達(dá)的幾率小，在屏幕上一點(diǎn)的光子通量N便是該點(diǎn)附近發(fā)現(xiàn)光子幾率的一個(gè)量度。因?yàn)镮=8cIE|2=hvN，所以N*1E|20上式說明，在某處發(fā)現(xiàn)一個(gè)光子的

7、幾率與光波的電場強(qiáng)度的平方成正比。這就是愛因斯坦早在1907年對(duì)光輻射的量子統(tǒng)計(jì)解釋。剛2解釋為給定時(shí)間，在一定空間間隔內(nèi)發(fā)生一個(gè)粒子的幾率由于電子也產(chǎn)生類似的干涉條紋，幾率大的地方，出現(xiàn)的電子多，形成明條波；在幾率小的地方，出現(xiàn)的電子少，形成暗條紋。與愛因斯坦把|E|2解釋為“光子密度的幾率量度”相似，玻恩把I屮|2解釋為給定時(shí)間，在一定空間間隔內(nèi)發(fā)生一個(gè)粒子的幾率。玻恩指出“對(duì)應(yīng)空間的一個(gè)狀態(tài)，就有一個(gè)由伴隨這狀態(tài)的德布羅意波確定的幾率”。玻恩由此獲得了1954年諾貝爾物理獎(jiǎng)。4）微觀物體任意運(yùn)動(dòng)狀態(tài)（任意態(tài)）的描述（非定態(tài)波函數(shù)）及普遍物理詮釋按照態(tài)迭加原理，非征態(tài)屮可以表示成本征態(tài)的迭

8、加：屮=YC屮nn'1Cn12代表總的幾率，可見1Cn12就是屮態(tài)中本征態(tài)屮n的相對(duì)強(qiáng)度（成分），也就是屮態(tài)部分地處于屮n的相對(duì)幾率。1Cn12=在態(tài)屮中力學(xué)量F的取值九n的幾率，這就是對(duì)波函數(shù)屮的普遍物理詮釋。備注：可以認(rèn)為屮是部分地處于*，部分地處于屮2,因此F的取值可以是入.，也可以是九2總之，只要v=VCv中存在屮項(xiàng)，相對(duì)應(yīng)的nnn12本征值入就是F的一個(gè)取值。n由（4-22）式C的公式知C=JvVdTnn對(duì)（4-21）取共軛后：v*=VC*v*nn4-23）（4-21）與（4-23）相乘，再積分|C|2nmnmnnnnmnnJv*vdT=JdTVC*v*VCv=VVC*C8=

9、VC*C=Vnnmmnm如果屮是歸一化的,VIC|2=1n如果屮沒有歸一化,nmnm即JvVdT=1，則4-24)（本征態(tài)的正交歸一性JvvdT=8）4-25)VIC|21二=1Jv叩dTnC|2nn就是V態(tài)中本征態(tài)V的相對(duì)強(qiáng)度（成分），也就是v態(tài)部分地處于vnn由（4-24）式和（4-25）式得出V|C|2代表總的幾率，可見|的相對(duì)幾率。IC|2=在態(tài)屮中力學(xué)量F的取值入n的幾率，這就是對(duì)波函數(shù)v的n普遍物理詮釋。7、波函數(shù)的性質(zhì)波函數(shù)及其一次微商在全部分布空間中都必須有限，單值、連續(xù)的，平方可積。 “有限”的要求是從波函數(shù)的幾率詮釋產(chǎn)生出來的，因?yàn)?，?屮代表幾率，而幾率總是有限的。 “單

10、值”是從波函數(shù)作為狀態(tài)的全面數(shù)學(xué)描述提出的要求，如果波函數(shù)“連續(xù)”的要求是多值函數(shù)，狀態(tài)性質(zhì)就無法確定了。 “連續(xù)”可以從定態(tài)一維薛定諤方式：-方屮+V(x)屮=E屮中直接得出，則上式變?yōu)椋?mdx2d即=2"V(x)-EN，-E)Vdxdx2九2dx力2不管被積函數(shù)(V-E)屮是否連續(xù)，(有時(shí)V(x)不連續(xù)，在個(gè)別點(diǎn)有躍變)，只要它是有限的，則其積分總是連續(xù)的，因此紜是連續(xù)的。 “平方可積”：為了計(jì)算方便，常引入一些不是平方可積的波函數(shù)(相當(dāng)于粒子運(yùn)動(dòng)范圍實(shí)際上沒有限制，粒子可以達(dá)無限遠(yuǎn)處)，這時(shí)只要作合理數(shù)門屮|2dT=有限值學(xué)處理，仍可用，歸一化幾率。8、波函數(shù)的疊加原理從經(jīng)典

11、物理中波的概念知，波具有干涉、衍射現(xiàn)象，滿足疊加原理，微觀粒子具有波粒二象性，即具有波動(dòng)的特性，因此，微觀粒子的波函數(shù)也同樣具有疊加性，稱之為態(tài)疊加原理。疊迭加性表現(xiàn)在：任何一個(gè)態(tài)(波函數(shù)屮)總可以看成是由其他某些態(tài)(巴，屮2)線性疊加而成:w=C屮+C屮+1122C，C為復(fù)數(shù)12如果波函數(shù)”，屮2，是可以實(shí)現(xiàn)的態(tài)時(shí)，則它們的線性疊加式屮='Cn屮n總是一個(gè)可以實(shí)現(xiàn)的態(tài)。n當(dāng)粒子處于疊加態(tài)屮時(shí)，可以認(rèn)為它是部分地處于巴態(tài)，部分地處于屮2態(tài)，部分地處于態(tài).9、幾率密度與幾率流密度幾率密度w：w(r,t)=f(r,t)2(2T7)幾率流密度j=-二(屮*V屮-屮V屮*)2mw+Vj=0t(

12、2-22)幾率連續(xù)性方程，其積分形式為fwdt=-j!jdSdtVsS(2-23)j的物理意義：(幾率流密度)(2-23)式中：左邊代表在封閉區(qū)域V中找到粒子的總幾率(或S粒子數(shù))在單位時(shí)間內(nèi)的增量，右邊(注意符號(hào)!)內(nèi)通過則應(yīng)代表單位時(shí)間VS的封閉表面S而流入V的內(nèi)的幾率(粒子數(shù))，所以jS具有幾率流(粒子流)密度的意義，是一個(gè)矢量。這個(gè)表達(dá)式的物理意義是十分清楚的，即單位時(shí)間內(nèi)空間某一區(qū)域V中增加的幾率等于該區(qū)域邊界S流入的幾率。9、定態(tài)(幾率)、束縛態(tài)(波函數(shù)為零)、本征態(tài)10、本征方程、本征函數(shù)、本征值11、算符的對(duì)易性12、常用力學(xué)量算符(能量E=說A、哈密頓算符dtH-h2V2+V

13、(r)、動(dòng)量PT-滴V、動(dòng)能TT尿V2、勢能V(r)TV(r)、2m2m坐標(biāo)rTr、角動(dòng)量、角動(dòng)量z軸分量),，13、力學(xué)量算符的性質(zhì)(線性、厄米)14、線性算符的性質(zhì)15、厄米算符的性質(zhì)(1) 、厄米量算符的本征值為實(shí)數(shù)(2) 、厄米量算符不同本征值對(duì)應(yīng)的本征函數(shù)正交，歸一。(3) 、厄米算符在一定條件下，厄米算符的本征函數(shù)組成完備系。13、14、15結(jié)論：(1) 、力學(xué)量算符的本征值為實(shí)數(shù)(2) 、力學(xué)量算符不同本征值對(duì)應(yīng)的本征函數(shù)正交，歸一。(3) 、在一定條件下，力學(xué)量算符的本征函數(shù)組成完備系。16、隧道效益、塞曼效益、史塔克效益17、微擾的含義18、全同粒子、費(fèi)米子、波色子、洪特法則

14、、泡利不相容原理19、海森堡測不準(zhǔn)關(guān)系(兩個(gè)物理量同時(shí)測量測不準(zhǔn))20、兩個(gè)物理量同時(shí)測準(zhǔn)的條件第二部基本公式1、薛定諤方程量子波動(dòng)方程，稱薛定諤方程。三維情況：V2-工+二+二稱拉普拉斯算符ex2dy2dz2八h2定義：日=麗V2+V(r)稱為哈密頓算符dwh2三維薛定諤方程:訕貢-麗V2+V(r，t)wihdw=HHwdt2、定態(tài)薛定諤方程在勢能項(xiàng)V中不含時(shí)間t時(shí)，哈密頓算符H也不顯含時(shí)間。將屮(r,t)中與時(shí)間有關(guān)的因子分離出來，令屮(r,t)二屮(r)f(t)分離變量后得：f(t)=ce-iEt?c為常數(shù)。因此，薛定諤方程的解可以表示為屮（r,t）=屮（r）eiEt片波函數(shù)的空間部分屮

15、（r）滿足方程：2-15)H屮(r)=V2+V(r加=EIm粒子處于該狀態(tài)時(shí)能量為EE與r、t無關(guān)是個(gè)常量，取確定值，所以由式（2-14）表示的狀態(tài)叫（能量）定態(tài)，這種形式的波函數(shù)叫定態(tài)波函數(shù)。方程（2-15又叫定態(tài)薛定諤方程。定態(tài)波函數(shù)屮（r，t）=屮（r）e-前特點(diǎn)（判斷依據(jù)）：幾率密度W二屮叩勻屮12T屮（r）|2與時(shí)間無關(guān)（駐波）。而含時(shí)間的薛定諤方程（2-12）的一般解，可以表示為這些定態(tài)波函數(shù)的線性疊加：2-16a)屮（r,t）=工c屮（r）e-叫莊nnn式中cn為常數(shù)。3、一維無限深勢阱勢的解（能量本征方程、能量定態(tài)）4、諧振子的能量本征方程及其解（能量定態(tài)）5、動(dòng)量本征方程及其

16、解（動(dòng)量定態(tài)）6、角動(dòng)量本征方程及其解(角動(dòng)量定態(tài))7、中心力場問題的解(三維)8、算符的對(duì)易性一般來說，若算符A和B滿足AB=BA，則稱為“可對(duì)易”類似乘法的互易性；如果AB豐BA，則稱為A和B“不可對(duì)易”定義A-B三AB-BA對(duì)易關(guān)系式當(dāng)A-B0時(shí)，稱對(duì)易式當(dāng)A-B豐0時(shí)，稱不對(duì)易式9、動(dòng)量與坐標(biāo)、能量與時(shí)間的測不準(zhǔn)關(guān)系10、任意態(tài)的波函數(shù)、其所含本征態(tài)系數(shù)及幾率表達(dá)公式設(shè)力學(xué)量F的正交歸一本征函數(shù)系為屮n,由于其完備性，任意一個(gè)波函數(shù)屮(r)都可以展開為屮(r)工c屮(r)(4-21)nnn展開式系數(shù)cn與位置矢r無關(guān)，以屮*乘(4-21)式兩端，并對(duì)全空間積分兩端，并對(duì)nm全空間積分，

17、考慮到正交歸一條件即得mncm4-22)4-23)Jv*(r)屮(r)dT*(r)cv(r)du工cJv*(r)v(r)du工c6mmnnnmnnn將cTcmncJv*(r)v(r)dTnn可得展開式系數(shù)C的公式對(duì)(4-21)取共軛后：V*=C*V*nn(4-21)與(4-23)相乘，再積分|2JvVdT=Jdp工C*V*工CVC*C6-工C*C-工ICnnmmnmnmnnnnmnmnn(本征態(tài)的正交歸一性JvvdT=6)nmnm如果屮是歸一化的，即J屮*KdP=1，則4-24)如果屮沒有歸一化，則|C|2n屮叩dT4-25)11、任意態(tài)物理量值的平均值公式F=工九ICI2=工九CC*=工C/

18、J屮屮*dTnnnnnnnn=JdT屮*工C九屮nnn=JdT屮*工CFVnn=JdTV*F工CVnn=JdTV*Fv上式為平均值公式，即F=工九IC|2=*屮*FVdTnn4-29)據(jù)此公式知，只要知道波函數(shù)屮，就可以直接計(jì)算任何力學(xué)量F的平均值，而不需要預(yù)先求出F的全部本征值（進(jìn)而求加權(quán)平均）和本征函數(shù)。若屮沒有歸一化，則_工九IC|2Fnn乙IC|2n4-30)戸dTJv*VdT4-31)第三部分習(xí)題1、求最大幾率半徑3-8第一激發(fā)態(tài)諧振子2a解由V()=axe-a2x2/2知1冗1/4a2x2e-«2x22a幾率密度w(x)=IV|2=1J冗6-3令=aX，貝yw(X)TX(

19、g)=2e-g22a2g2eg2=x=±1/a(=±1V=:er/a°兀a30Qr=fv*VdT=fv叩rr2drd0-4兀r3e2r/a0dr=-a30兀a200Qr兀a300"Sse-g2(lg2)3=a204e21!e2sa30(2)2a0QrTr+dr球索內(nèi)出現(xiàn)電子的概率4w(r)dr=4兀V*Vr2=r2e2ra0dra30幾率密度w(r)=r2e2ra0a30dw428r由=(2re2r/a0r2e2r/a0)=re2ra0(1)=0dra30a30r=0,1r=g,2r=a30進(jìn)一步討論可知，只有r=a0才是最大值處,所以最可幾半徑r=a。

20、2、定態(tài)方程（能量本征態(tài)方程）求解3-7一維勢阱°，定態(tài)方程為1)2)令a2=竽,E>0，所以a為實(shí)數(shù)，2d2屮+a2屮=0dx2其通解為：屮(x)=Asinax+Bcosax由連續(xù)條件x=a:方程1)3)4)化為x=a:5)(6)若B=0,2a=nK0=Asinaa+Bcosaa0=Asinaa+Bcosaa2Bcosaa=0則AhO,sinaa=05)6)(7)nK屮Asinxna(6)(5)得2Asinax0若A=0,貝UBhO,cosaa=0K1所以aa(2n+1)-(n+)兀22(n+)2兀2Ea22n2卩n2卩a28)9)(n+1)kx屮(x)=Bcos-na7)、

21、(9)兩式可改寫為10)口=(2n)2兀2力2En8卩a2CT)門(2n+1)2兀2力2En8卩a2(9)8)、(10)也可改寫為屮=Asinx(8')n2ac(2n+1)/、屮=Bcosx(9')n2a將(9')(10')四式合之有a.n冗xAsin2a0,IxIWa（n為偶數(shù)）IxI>an冗xBcos2a0,n2冗2128卩a2IxI>a（n為奇數(shù)）(n=1,2,3,)注兩個(gè)屮n可合為:歸一化常數(shù)A=B=屮-sin(x+a)na2a(IxIWa)ii93-10解由E滿足OvEvVo，分區(qū)求解定態(tài)方程可得屮=Ae氏（x<a）屮=Bsin(ax

22、+8)II屮=Ce-0x(x>a)III當(dāng)屮及屮'的連續(xù)性條件有x=-a:屮'/屮=屮'/屮I IIIII艮卩ctg(aa+8)=ax=a:屮'/屮=屮'/屮IIIIIIIII艮卩ctg(aa+8)=-a由(1)、(2)得余卩-aa+8=n+ctg-()1a卩Ae-PaaBcos(-aa+8)Ae-PaBsin(-aa+8)(1)aBcos(aa+8)一卩Ce-PaBsin(aa+8)Ce-Pa(2)(3)4)aa+5=n兀+ctg-i()=n兀一ctg-i()2a2a4)(3)得：2aa=(n-n)兀一2ctg-i()21a令n=n-n(為整數(shù))

23、，則有2i兀aa=n-一ctg-i()(5)2aa但ctg-i()=sin-i-aJa2+2而a2+2=2卩E+2卩(V-E)/加=2pV/加oo故(5)式可化為：n兀ahaa=sin-1(6)2J2pV¥0=J2pE/h進(jìn)而求出En。采用數(shù)值解法或作圖法可求得不同n值的叫值，由a3-11不對(duì)稱力場中的粒子V x<0i解：V=<0xWxWaV (<V)xa2i束縛態(tài)要求E<V(但E0)2與上題解法相類似令a2=2pE/加，=2p(V-E)"2iY2=2p(V-E)/加，a、Y均為實(shí)數(shù)2分別求解定態(tài)方程，利用XT±Q屮有限條件有屮二Ae卩x(

24、x<0)i<屮二Bsin(ax+5)(0Wx£a)ii屮二Ce-yx(xa)iii由x=0,a時(shí)，屮、屮，的連續(xù)性得ctg5=(i)actg(2a+5)=(2)a由(i)sin5=-a2+22pV所以6=sin-i3)由(2)3-12平面轉(zhuǎn)子解：平面轉(zhuǎn)子作一維運(yùn)動(dòng)，繞z軸旋轉(zhuǎn)2d2由砂(p)"27莎屮=砂®)1)令a2=2IE/方,(a為實(shí)數(shù))，方程(1)可化為“W®)+a2屮(甲)=0dq22)方程的解為：屮(q)=Aea+Bew(3)由周期條件屮仲+2兀)=屮仲)得e+ia2兀=1a-2兀=m-2兀，a=m(m=0,±1,

25、77;2,±3,)(4)(3)中A項(xiàng)表示逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，B項(xiàng)表示順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，a=m中，a可正可負(fù)，所以只需保留一項(xiàng)，W(q)=Aeimq5)能級(jí)E4=也m2121(m=0,±1,±2,±3)3-13范德瓦爾斯力6)解：V(x)詔V,0-V,10x<0xWx<aaWxWbxb-V<E<0為束縛態(tài)。分區(qū)求解定態(tài)方程可得屮二0I屮二AeaX+BeaxII屮二A'sin(卩x+5)III屮二A''e-yxIV1233a22卩(V-E)o方2p2二2卩(E+V1)2由x=0,屮=屮=0，得A+B=0,所以B=A屮=A(e

26、-axeax)(1)IIx=a：屮'/屮=屮'/屮，由之得II IIIIIIIIAa(eaa+eaa)PA'cos(Pa+5)A(e-aa-eaa)A'sin(pa+5)ctg(Pa+5)=+pacthaa2)x=b：屮'/屮=屮'/屮，由之得III IIIIVIVPA'cos(Pb+5)yAe-ybA'sin(Pb+5)A"e-yb3)ctg(pb+aPa+5=n兀+ctg1(cthaa)yPb+5=n兀一ctg1()2P5)(4)得：yaP(ba)=(nn)兀一ctg1()ctg1(cthaa)21PP令n=nn為整

27、數(shù)，則有yaP(ba)=n兀ctg1(p)ctg-1(pcthaa)=P2)式得4)3)式得：5)aBatgp(b-a)=(1+cthaa)/(cthaa)YB階梯勢的散射問題2d2(-+V(x)屮(x)=刖(x)2mdx22m(E-V)門力2令k2=2m(E-V0)2E>V0時(shí)屮+匸屮=0x屮"+k2屮=0,a=±kix<0,在V=V0時(shí),屮"+k2屮111x>0,在V=V0時(shí),屮"+k2屮222,2m(E+V)k2=o1方2,2m(E-V)k2=02方2屮=A-eiqx+Beiy111屮=C-eik?x+De-ikgX2粒子一旦越過

28、x=0的點(diǎn)(階勢)，則無阻擋，所以，無返回的波，即D=0屮=AeikX+Beik'X1屮=Ceik?x22由x=0的連續(xù)性條件:也(0)屮2(0)屮；(0)2屮'(0)2A+BiAkikBCik1121ik2ik(A+B)=ik(A一B)21k(A+B)=k(A-B)21k-kC=A+B=A+r2k+k12iAk+k12k+k(k-k)2kA=r212A=k+k12(k+k)B=A(k-k)1212kkB=i2Ak+k12IB|2/k-k、R=(+才)2|A|2k+k丁門(k+k)2-(k-k)24kk(k+k)2(k+k)212123、算符對(duì)易性4-3(1)x,=一1dxx,

29、沖=(x.屮今)=xf屮即，=屮dxdxdxxx(2)P2P2P2H,P=+V(r),P=(.P+V(r)P)P(+V(r)=V(r)PPV(r)2m2m2mH,PM(x)=V(x)PxPxV(x)“(x)=V(x)Pxy(x)Pxy(x)-V(x)=ihV(x)殂+注V(x)型+注空兇+注空血屮(x)&axaxax工V(x)/、=i屮(x)axH,P=i/z他ax(3),x2=(x2d2)屮=。(x2屮)x2=2即+x2屮'一x2屮'=2即dxdxdxdxdxd,x2=2xdx(4)力2d2力2d2x方2d2H,x=(+V(x),x=x2mdx22mdx22mdx22

30、d(x,屮)2d2屮力2dd/、2mdx2一方2d/(V+x2mdx2H,x=-mH,xV=+x=(x，屮)2mdx22mdxdx方2屮'+屮'+2m例題、計(jì)算算符的對(duì)易關(guān)系叫e噲Hi為虛數(shù)單位）解：設(shè)屮為任意波函數(shù)dddddeix,eixW=eixeix屮eeixW=e2xWe&ieixW+e&Wdxdxdxdd=e2ixWie2ixWe2ixW=ie2ixWdxdx所以，對(duì)易關(guān)系為eix,eix=dxie2ix414、平均值的求解4-9解：0(x,0)=1;1u(x)+u(x)+cu(x)502231)由-+-+c2=1得c25233310c312)由時(shí)間因

31、子eiEt/,E=(n+)方有n20(x,t)=uei®t/2+uei5®t/2+uein®t/250221033)E(t)=J0*(x,t)H0(x,t)dx=（2）T=wE+1E+E=50221034-10基態(tài)一維諧振子1解：（1）利用8題結(jié)果可直接得出：V=w4C(p,方)=Jv*屮(x,t)dx積分第二項(xiàng)為奇導(dǎo)數(shù)，結(jié)果為0，故積分項(xiàng)I=2Jea2x2/2COS-PXdX=l2兀e-p2/2a2“2a:aJ2兀ei3t/2e一p2/2a222方兀3/2a1九ei3t/2e-p2/2a22兀1/2,1九3(p,t)=C*(p,t)C(p,t)=e_p2/a22a方/兀4-11屮(x,0)=A(sin2加+2cos加)1)求P、T屮(x,0)=A(1-cos2如+cos力x22ei2kx/力111e-i2kx/+.eikx/+e-ikx/=v22v-屮-屮+V+v4"一-c=v'2kA,022P_2PP-Pc=c=-c=-c2p-2p1pp1=工Ic|2=2kAA2(1+4x丄)=兀九A2i416p=c2p+c2p+c2(一p)+c2(2p)+c2(_2p)=00p-p2p-20平均動(dòng)能1一糾丄糾一一一一f1P2=c2-0+c2p2+c2(p)2+c2(2p)2+C2(-2p)22|H0p-p2