(甘志國)蒙日圓及其證明

1、蒙日圓及其證明甘志國(已發(fā)表于河北理科教學研究，2015(5)：11-13)x2y2高考題(2014年咼考廣東卷文科、理科第20題)已知橢圓C:+=l(a>b>0)的a2b2一個焦點為(；'5,0)，離心率為.(1) 求橢圓C的標準方程；(2) 若動點P(x,y)為橢圓C外一點，且點P到橢圓C的兩條切線相互垂直，求點P00的軌跡方程x2y2答案：(1)9+二；(2)X2+y2=13.這道咼考題的背景就是蒙日圓.普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學2必修A版(人民教育出版社，2007年第3版，2014年第8次印刷)第22頁對畫法幾何的創(chuàng)始人蒙日(G.Monge1745-1818)作

2、了介紹.以上咼考題第(2)問的一般情形是定理1曲線r:竺+蘭=1的兩條互相垂直的切線的交點P的軌跡是圓a2b2x2+y2=a2+b2.定理1的結論中的圓就是蒙日圓.先給出定理1的兩種解析幾何證法：定理1的證法1當題設中的兩條互相垂直的切線中有斜率不存在或斜率為0時，可得點P的坐標是(土a,b)，或(±a,-b).當題設中的兩條互相垂直的切線中的斜率均存在且均不為0時，可設點P的坐標是(x,y)(x工土a,且y工土b),所以可設曲線r的過點P的切線方程是0000y-y=k(x-x)(k豐0)00x2y2.+=1由a2b2，得y-y=k(x-x)00(a2k2+b2)x2-2ka2(kx

3、-y)x+a2(kx-y)2-a2b2=00000由其判別式的值為0，得(x2-a2)k2-2xyk+y2+b2=0(x2-a2豐0)00000因為k,k是這個關于k的一元二次方程的兩個根，所以PAPB,y2+b2KK=PAPBx2a20由此，得KK=1ox2+y2=a2+b2PAPB00進而可得欲證成立.定理1的證法2當題設中的兩條互相垂直的切線中有斜率不存在或斜率為0時，可得點P的坐標是（土a,B）,或（+a,-b）.當題設中的兩條互相垂直的切線中的斜率均存在且均不為0時，可設點P的坐標是(x,Y)(x工土a,且y工土b)，所以可設兩個切點分別是A(x,y),B(x,y)(xxyy豐0).

4、000011221212得直線AB:+孚=1,切線PA:罕+早=1,PB:孚+孕=1.所以:a2b2a2b2a2b2KK=PAPBA2Y2丿b4xx=,KKa4YYOAOB12丄厶xx12文案大全b4KKOAOBPAPB因為點（x,y）（1=1,2）既在曲線r:竺+上=1上又在直線AB:罕+早=1上，所以iia2b2a2b2x2y2I+I-a2b2所以a4(y2b2)0(、xIIx丿i/、+2a2b2xy厶+b4(x200(x丿oib4(x2a2)0OAOBxxa2)=0b4a4a4(y2b2)KK0PAPBKKPAPBy2b2=0x2a20由此，可得PA丄PBox2+y2=a2+b200進而

5、可得欲證成立.再給出該定理的兩種平面幾何證法，但須先給出四個引理.引理1（橢圓的光學性質，見普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學選修2-1A版（人民教育出版社，2007年第2版，2014年第1次印刷）第76頁）從橢圓的一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過橢圓反射后，反射光線交于橢圓的另一個焦點上（如圖1所示）.圖1證明如圖2所示，設P為橢圓r(其左、右焦點分別是F,F)上任意給定的點，過點P作ZFPF的外角平分線所在的直線l(Z3=Z4).先證明/和r相切于點P，只要證明/12上異于p的點P'都在橢圓r的外部，即證PF+pf>|pf|+PfI：1212圖2在直線PF上選取點F，使PF'|=

6、pFI，得AP'PF'9APrPF，所以|PF|二P'F|,還1222得p'F|+p'F|=p'F|+pF|>IffI=|fp|+Pf|=pF|+|pf|1211112再過點P作ZFPF的平分線PA(Z1=Z2)，易得PA丄l，入射角等于反射角，這就12證得了引理1成立.引理2過橢圓r(其中心是點O長半軸長是a)的任一焦點F作橢圓r的任意切線I的垂線，設垂足是H,則oh=a.證明如圖3所示，設點f',f分別是橢圓r的左、右焦點，a是橢圓r的切線i上的切點，又設直線FH,FA交于點B.由引理1,得ZFAH=4AFfBH（即反射角與入射

7、角的余角相等），進而可得AFAH9ABAH，所以點H是FB的中點，得OH是ABFF'的中位線.又|af|=|ab|，所以|OH|=|(|FA|+|AB|)=2(1FA|+|AFI)=a.引理3平行四邊形各邊的平方和等于其兩條對角線的平方和.證明由余弦定理可證（這里略去過程）.引理4設點P是矩形ABCD所在平面上一點，則PA2+PC2=PB2+PD2.證明由引理3，可得PA2+PC2=2(OA2+OP2)=2(OB2+OP2)=PB2+PD2即欲證成立注把引理4推廣到空間，得到的結論就是：底面是矩形的四棱錐相對側棱長的平方和相等定理1的證法3可不妨設a0,b0.當a=b時，易證成立.下面

8、只證明a>b的情形.如圖5所示設橢圓的中心是點O,左、右焦點分別是F,F，焦距是2c，過動點P的12兩條切線分別是PM,PN.圖5連結OP，作OG丄PM,OH丄PN,垂足分別是G,H.過點F作FD丄PM,垂足為D,11由引理2得od=a.再作FK丄OG于K.記ZOFK=9，得|dg|=FK=ccos9.111由RtAODG，得OG*=|OD2|DG|2=a2一c2cos29又作FE丄PN,FL丄OH，垂足分別為E,L.在RtAOEH中，同理可得22|oh2=|oe2|he2=a2c2sin29.若PM丄PN，得矩形OGPH，所以Opb=|og2+|ohb=(a2c2cos29)+(a2c

9、2sin29)=a2+b2(2)若|OP|2=a2+b2，得|OP|2=(a2-c2cos29)+(a2-c2sin29)=|OG|2+|OH|2由OG丄PM，得|OP|2=|OG|2+|GP|2，所以|GP|=|OH|.同理，有OG=HP，所以四邊形OGPH是平行四邊形，進而得四邊形OGPH是矩形，所以PM丄PN.由(1),得點P的軌跡方程是x2+y2=a2+b2.定理1的證法4可不妨設a>0,b>0.當a=b時，易證成立.下面只證明a>b的情形.如圖6所示設橢圓的中心是點O,左、右焦點分別是F,F，焦距是2c，過動點P的兩12條切線分別是PA,PB，兩切點分別為A,B.實

10、用標準文檔分別作右焦點F2關于切線PA,PB的對稱點M,N，由橢圓的光學性質可得三點所以F,A,M共線（用反射角與入射角的余角相等）同理，可得三點勺B,N共線.MJ二NF).由O是家的中點，及平行四邊形各邊的平方和等于其兩條對角線的平方和，可得|PF|2+|PM|2=|PF|2+|PF|2=2(|OF12+OP2)=2(c2+|OP|2)若PA丄PB，得ZMPF+ZNPF二2(ZAPF+ZBPF)二180。，即三點M,P,N1122共線.又|PM|二|PF|二|PN|，所以PF丄MN，進而得4a2=|MF|2=|PF|2+|PM|2=2(c2+|OP|2)|OP|2=a2+b2若|OP|2=a

11、2+b2，得|PF|2+|PM|2=2(c2+|OP|2)=2(c2+a2+b2)=4a2=|MF|2所以PF丄PM.1同理，可得PF丄PN.所以三點M,P,N共線.得ZAPB=ZAPF+ZBPF=-(ZMPF+ZNPF)=90。，即PA丄PB22222由(1),得點P的軌跡方程是x2+y2=a2+b2.定理1的證法5(該證法只能證得純粹性)可不妨設a>0,b>0.當a=b時，易證成立.下面只證明a>b的情形.如圖7所示，設橢圓的中心是點O,左、右焦點分別是F,F，焦距是2c，過動點P的12兩條切線分別是PA,PB，切點分別是A,B.fff設點F關于直線PA,PB的對稱點分別

12、為F,F，直線FF與切線PA交于點G，直線11211fFF與切線PB交于點H.12得AF=|AFI,BF=|bf|，再由橢圓的定義，得FF=FF=2a，所以OG=OH=a.11211222因為四邊形PGFH為矩形，所以由引理4得Of2+|op|2=og2+Oh2=2a2，所以11|OP|2=a2+b2，得點P的軌跡方程是x2+y2=a2+b2.讀者還可用解析幾何的方法證得以下結論：x2y2定理2(1)雙曲線一-廠=1(a>b>0)的兩條互相垂直的切線的交點的軌跡是圓a2b2x2+y2=a2一b2；(2)拋物線y2=2px的兩條互相垂直的切線的交點是該拋物線的準線.x2y2b2定理3

13、(1)橢圓一+1=1(a>b>0)的兩條斜率之積是-一的切線交點的軌跡方a2b2a2x2y2程是+-2;a2b2x2y2b2雙曲線一4=1(a>0,b>0)的兩條斜率之積是的切線交點的軌跡方程是a2b2a2x2y2a2b2x2y2x2y2定理4過橢圓一+=2(a>b>0)上任一點P(x0,yo)作橢圓一+=1的兩條a2b200a2b2切線，則(1)當x0=±a時，所作的兩條切線互相垂直；當xo時，所作的兩條切線斜率之積是-齊定理5(1)橢圓+學=1(a>b>0)的兩條斜率之積是九(九豐0)的切線交點的軌跡a2b2r是：當九=1時，r即圓

14、x2+y2=a2+b2(但要去掉四個點(±a，b),(±a，-b);當九<0且九1時，r即橢圓x2a2b2y2b2九a2=1(但要去掉四個點文案大全(±a,b),(±a,b)；b2bx2y2 當九=一時，r即兩條直線y=±x在橢圓一+廠=1(a>b>0)外的部分(但a2aa2b2要去掉四個點(±a,b),(±a,b)；b2y2x2x2y2 當O<九<時，r即雙曲線一=1在橢圓+=1(a>b>0)a2b2Ka2b2a2b2a2K外的部分(但要去掉四個點(±a,b),(

15、7;a,b)；b2當K>時,a2r即雙曲線x2a2b2y2Ka2b2x2y2=1在橢圓+=1(a>b>0)夕卜a2b2的部分（但要去掉四個點（土a,b）,（土a,-b）.雙曲線尋-E=1（ab°）的兩條斜率之積是是20）的切線交點的軌跡r是:當九=-1時，r即圓x2+y2=a2一b2；當九0時，r即雙曲線1；x2y2_b2九a2+b2a2+-y2x2+=1；b2一入a2一b2a2+-九九當九1或一1九一冬時，r即橢圓a2當一九0時，r不存在.a2（3）拋物線y2=2px的兩條斜率之積是九（九豐°）的切線交點的軌跡r是： 當九v°時，r即直線x=丄；2九 當九°時，r的方程為x=圭丿.例（北京市海淀區(qū)2015屆高三第一學期期末文科數(shù)學練習第14題）已知D