第2章測(cè)量誤差與測(cè)量結(jié)果處理1

1、第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理第第2章章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理2.1 誤誤 差差2.2 測(cè)量誤差的來(lái)源測(cè)量誤差的來(lái)源2.3 誤差的分類誤差的分類2.4 隨機(jī)誤差分析隨機(jī)誤差分析2.5 系統(tǒng)誤差分析系統(tǒng)誤差分析2.6 系統(tǒng)誤差的合成系統(tǒng)誤差的合成2.7 測(cè)量數(shù)據(jù)的處理測(cè)量數(shù)據(jù)的處理習(xí)習(xí) 題題 二二第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 2.1 誤誤 差差 一、誤差 1真值A(chǔ)0 一個(gè)物理量在一定條件下所表征的客觀大小或真實(shí)數(shù)值被稱作它的真值。要得到真值，必須利用理想的量具或測(cè)量?jī)x器進(jìn)行無(wú)誤差的測(cè)量。其實(shí)物理量的真值實(shí)際上是無(wú)法測(cè)得的。因?yàn)椤袄硐搿绷烤呋驕y(cè)量?jī)x器是一個(gè)純理論值。第2章

2、 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 例如：電流的計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)為：安培，按國(guó)際計(jì)量委員會(huì)，定義為“安培是一恒定電流，若保持在處于真空中相距l(xiāng)米的兩根無(wú)限長(zhǎng)而且圓截面可忽略的平行直導(dǎo)線內(nèi)，則此兩導(dǎo)線之間產(chǎn)生的力：等于2l0-7牛頓/米”，顯然這樣的電流計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)是一個(gè)理想的而實(shí)際上無(wú)法實(shí)現(xiàn)的理論值，電流的真值我們無(wú)法實(shí)際測(cè)得，因?yàn)闆](méi)有符合定義的可供實(shí)際使用的測(cè)量參考標(biāo)準(zhǔn)測(cè)量參考標(biāo)準(zhǔn)，其次，在測(cè)量過(guò)程中由于客觀因素的影響，做到無(wú)誤差的測(cè)量也是不可能的。第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 2指定值A(chǔ)s 由于絕對(duì)真值絕對(duì)真值是不可知的，所以一般由國(guó)家設(shè)立各種盡可能維持不變的實(shí)物標(biāo)準(zhǔn)(或基準(zhǔn))，以法令的形式指定其所體現(xiàn)的量值

3、其所體現(xiàn)的量值作為計(jì)量單位計(jì)量單位的指定值。 指定值也叫約定真值，一般就用來(lái)代替真值。第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 3實(shí)際值A(chǔ) 實(shí)際測(cè)量中，不可能都直接與國(guó)家基準(zhǔn)相比對(duì)，所以國(guó)家通過(guò)一系列的各級(jí)實(shí)物計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)構(gòu)成量值傳遞網(wǎng)，把國(guó)家基準(zhǔn)所體現(xiàn)的計(jì)量單位逐級(jí)比較傳遞到日常工作儀器或量具上去。在每一級(jí)的比較中，都以上一級(jí)標(biāo)準(zhǔn)所體現(xiàn)的值值當(dāng)作準(zhǔn)確無(wú)誤的值，通常稱為實(shí)際值實(shí)際值，也叫作相對(duì)真值相對(duì)真值，比如如果更高一級(jí)測(cè)量器具的誤差為本級(jí)測(cè)量器具誤差的13到 ll0，就可以認(rèn)為更高一級(jí)測(cè)量器具的測(cè)得值(示值)為真值。后敘述中，不再對(duì)實(shí)際值實(shí)際值和真值真值加以區(qū)別。第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 4.標(biāo)稱

4、值 測(cè)量器具上標(biāo)定的數(shù)值稱為標(biāo)稱值。如標(biāo)準(zhǔn)砝碼上標(biāo)出的l k8，標(biāo)準(zhǔn)電阻上標(biāo)出的 1 ，標(biāo)準(zhǔn)電池上標(biāo)出來(lái)的電動(dòng)勢(shì)1 .018 6V，標(biāo)準(zhǔn)信號(hào)發(fā)生器度盤上標(biāo)出的輸出正弦波的 頻率為：土00kHz等。由于制造和測(cè)量精度不夠以及環(huán)境等因素的影響，標(biāo)稱值并不一定等于 它的真值或?qū)嶋H值。為此，在標(biāo)出測(cè)量器具的標(biāo)稱值時(shí)，通常還要標(biāo)出它的誤差范圍或準(zhǔn)確度等級(jí).第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 5示值 由測(cè)量器具指示的被測(cè)量的量值稱為測(cè)量器具的示值，也稱測(cè)量值，它包括數(shù)值和單位。一般地說(shuō)，示值與測(cè)量?jī)x表的讀數(shù)有區(qū)別，讀數(shù)是儀器刻度盤上直接讀到的數(shù)字。例如以l00分度表示50mA的電流表，當(dāng)指針指在刻度盤上的50

5、處時(shí)，讀數(shù)是50，而值是25mA. 為便于核查測(cè)量結(jié)果，在記錄測(cè)量數(shù)據(jù)時(shí)，一般應(yīng)記錄儀表量程、讀數(shù)和示值(當(dāng)然還要記載測(cè)量方法，連接圖，測(cè)量環(huán)境，測(cè)量用儀器及編號(hào)及測(cè)量者姓名、測(cè)量日期等)，對(duì)于數(shù)字顯示儀表，通常示值和讀數(shù)是統(tǒng)一的。第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 6測(cè)量誤差 在實(shí)際測(cè)量中，由于測(cè)量器具測(cè)量器具不準(zhǔn)確，測(cè)量手段不完善，環(huán)境影響，測(cè)量操作人員熟練及工作疏忽等因素，都會(huì)導(dǎo)致測(cè)量結(jié)果測(cè)量結(jié)果與被測(cè)量真值被測(cè)量真值不同。測(cè)量?jī)x器儀表的測(cè)得值測(cè)得值與被測(cè)量真值被測(cè)量真值之間的差異，稱為測(cè)量誤差。測(cè)量誤差的存在具有必然性和普遍性，人們只能根據(jù)需要和可能，將其限制在一定范圍內(nèi)而不可能完全加以消

6、除。人們進(jìn)行測(cè)量的目的，通常是為了獲得盡可能接近真值的測(cè)量結(jié)果，如果測(cè)量誤差超出一定限度，測(cè)量工作及由測(cè)量結(jié)果所得出的結(jié)論就失去了意義。第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 因此，認(rèn)真對(duì)待測(cè)量誤差，研究誤差產(chǎn)生的原因，誤差的性質(zhì)，減小誤差的方法以及對(duì)測(cè)量結(jié)果的處理等.第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 7單次測(cè)量和多次測(cè)量 單次(一次)測(cè)量是用測(cè)量?jī)x器對(duì)被測(cè)量被測(cè)量進(jìn)行一次測(cè)量的過(guò)程。顯然，為了得知某一量的大小，必須至少進(jìn)行一次測(cè)量。在測(cè)量精度要求不高的場(chǎng)合，可以只進(jìn)行單次測(cè)量。單次測(cè)量不能反映測(cè)量結(jié)果的精密度，一般只能給出一個(gè)量的大致概念和規(guī)律。 多次測(cè)量是用測(cè)量?jī)x器對(duì)同一被測(cè)量同一被測(cè)量進(jìn)行多次重復(fù)

7、測(cè)量的過(guò)程。依靠多次測(cè)量可以觀察測(cè)量結(jié)果的一致性，即精密度。通常要求較高的精密測(cè)量都須進(jìn)行多次測(cè)量，如儀表的比對(duì)校準(zhǔn)等。第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 8等精度測(cè)量和非等精度測(cè)量 在保持測(cè)量條件不變的情況下對(duì)同一被測(cè)量進(jìn)行的多次測(cè)量過(guò)程稱作等精度測(cè)量多次測(cè)量過(guò)程稱作等精度測(cè)量。這里所說(shuō)的測(cè)量條件包括所有對(duì)測(cè)量結(jié)果產(chǎn)生影響的客觀和主觀因素如測(cè)量中使用的儀器、方法、測(cè)量環(huán)境，操作者的操作步驟和細(xì)心程度等。等精度測(cè)量的測(cè)量結(jié)果具有同樣的可靠性。第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 如果在同一被測(cè)量的多次重復(fù)測(cè)量中，不是所有所有測(cè)量條件都維持不變(比如：改變了測(cè)量方法，或更換了測(cè)量?jī)x器，或改變了聯(lián)接方式，或

8、測(cè)量環(huán)境發(fā)生了變化，或前后不是一個(gè)操作者，或同一操作者按不同的過(guò)程進(jìn)行操作，或操作過(guò)程中由于疲勞等原因而影響了細(xì)心專致程度等等)這樣的測(cè)量稱為非等精度測(cè)量非等精度測(cè)量或不等精度測(cè)量不等精度測(cè)量。等精度測(cè)量和非等精度測(cè)量在測(cè)量實(shí)踐中部存在，相比較而言，等精度測(cè)量意義更為普遍。第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 二、誤差的表示方法 1絕對(duì)誤差 絕對(duì)誤差定義為 0Axx(2.1-1) 式中x為絕對(duì)誤差，x為測(cè)得值為測(cè)得值， A0為被測(cè)量真值為被測(cè)量真值。前面已提到，真值A(chǔ)0一般無(wú)法得到，所以用實(shí)際值實(shí)際值A(chǔ)代替A0 ，因而絕對(duì)誤差更有實(shí)際意義的定義是Axx(2.1-2)第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 對(duì)

9、于絕對(duì)誤差，有如下特點(diǎn)： 絕對(duì)誤差是有單位的量有單位的量，其單位與測(cè)得值和實(shí)際值相同. 絕對(duì)誤差是有符號(hào)的量有符號(hào)的量，其符號(hào)表示出測(cè)量值與實(shí)際值的大小關(guān)系，若測(cè)得值較實(shí)際值大，則絕對(duì)誤差為正值，反之為負(fù)值. 測(cè)得值與被測(cè)量實(shí)際值間的偏離程度偏離程度和方向方向通過(guò)絕對(duì)誤差來(lái)體現(xiàn)。第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 對(duì)于信號(hào)源、穩(wěn)壓電源等供給量供給量?jī)x器，絕對(duì)誤差定義為Axx(2.1-3) 式中A為實(shí)際值，x為供給量的指示值指示值(標(biāo)稱值標(biāo)稱值).如果沒(méi)有特殊說(shuō)明，本書涉及的絕對(duì)誤差，按式(2.12)定義計(jì)算。 與絕對(duì)誤差絕對(duì)值相等但符號(hào)相反的值稱為修正值修正值，一般用符號(hào)c表示xAxc(2.1-4

10、)第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 測(cè)量?jī)x器的修正值修正值，可通過(guò)檢定，由上一級(jí)標(biāo)準(zhǔn)給出，它可以是表格、曲線或函數(shù)表達(dá)式等形式表格、曲線或函數(shù)表達(dá)式等形式。利用修正值和儀器示值，可得到被測(cè)量的實(shí)際值修正值和儀器示值，可得到被測(cè)量的實(shí)際值cxA(2.1-5)第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 例如：由某電流表測(cè)得的電流示值為0.83 mA，查該電流表檢定證書，得知該電流表在電流表在0.8mA及其附近及其附近的修正值部為一的修正值部為一0.02mA，那么被測(cè)電流的實(shí)際值為AA81. 0)02. 0(83. 0 智能儀器智能儀器的優(yōu)點(diǎn)之一就是可利用內(nèi)部的微處理器內(nèi)部的微處理器，存貯和處理修正值存貯和處理修

11、正值，直接給出經(jīng)過(guò)修正的實(shí)際值。第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 2相對(duì)誤差 相對(duì)誤差用來(lái)說(shuō)明測(cè)量精度測(cè)量精度的高低，又可分為： (1)實(shí)際相對(duì)誤差 實(shí)際相對(duì)誤差定義為%100AxA(2.1-6) (2)示值相對(duì)誤差 示值相對(duì)誤差也叫標(biāo)稱相對(duì)誤差，定義為 %100 xxx(2.1-7)第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 如果測(cè)量誤差不大，可用示值相對(duì)誤差 代替實(shí)際誤差 ，但若 和 相差較大，兩者 應(yīng)加以區(qū)別。 (3)滿度相對(duì)誤差 滿度相對(duì)誤差定義為儀器量程內(nèi)最大絕對(duì)誤差儀器量程內(nèi)最大絕對(duì)誤差 與測(cè)量?jī)x器滿度值與測(cè)量?jī)x器滿度值(量程上限值量程上限值 ) 的百分比值 。xAxAmxmx%100mmmxx

12、(2.1-8)第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 滿度相對(duì)誤差也叫作滿度誤差和引用誤差。由式(2，l8)可以看出，通過(guò)滿度誤差實(shí)際上給出了儀表各量程內(nèi)絕對(duì)誤差的最大值mmmxx(2.1-9)第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 例 某電壓表s1.5，試算出它在0V100V量程中的最大絕對(duì)誤差。 解：在0Vl00V量程內(nèi)上限值xm100V，由式(2.l9)，得到Vxxmmm5 . 11001005 . 1第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 一般講，測(cè)量?jī)x器在同量程不同示值處的絕對(duì)誤同量程不同示值處的絕對(duì)誤差實(shí)際上未必處處相等。差實(shí)際上未必處處相等。但對(duì)使用者來(lái)講，在沒(méi)有修正值資料可利用的情況下，只能按最壞情況

13、處理，即認(rèn)為儀器在同一量程各處的絕對(duì)誤差是個(gè)常數(shù)且等于xm，人們把這種處理叫作誤差的整量化。 由式(2.l7)和(2，19)可知，為減小測(cè)量中的示值誤差，在進(jìn)行量程選擇時(shí)應(yīng)盡可能使示值能接近滿度值，一般以示值不小于滿度值的23為宜。第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 例2 某10級(jí)電流表，滿度值xml00uA，求測(cè)量值分別為x1100 uA，x280uA， x3 20uA 時(shí)的絕對(duì)誤差和示值相對(duì)誤差。 解：由式(2.l9)得絕對(duì)誤差A(yù)xxmmm11001第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 前已敘述，絕對(duì)誤差是不隨測(cè)量值改變的。絕對(duì)誤差是不隨測(cè)量值改變的。 而測(cè)得值分別為100 A、80 A、20 A時(shí)

14、的示值相對(duì)誤差各不相同，分別為%5%100201%100%100%25. 1%100801%100%100%1%1001001%100%100333222111xxxxxxxxxxxxmxmxmx第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 可見在同一量程內(nèi)同一量程內(nèi)，測(cè)得值越小，示值相對(duì)誤差越測(cè)得值越小，示值相對(duì)誤差越大。大。由此我們應(yīng)當(dāng)注意到，測(cè)量中所用儀表的準(zhǔn)確度并不是測(cè)量結(jié)果的準(zhǔn)確度，只有在示值與滿度值相同時(shí)，二者才相等(不考慮其他因素造成的誤差，僅考慮儀器誤差).否則測(cè)得值的準(zhǔn)確度數(shù)值：降低于儀表的準(zhǔn)確度等級(jí)。第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 例3 要測(cè)量100的溫度，現(xiàn)有0.5級(jí)、測(cè)量范圍為030

15、0和l .0級(jí)、測(cè)量范圍為0l00的兩種溫度計(jì)，試分析各自產(chǎn)生的示值誤差。 解：對(duì)0.5級(jí)溫度計(jì)，可能產(chǎn)生的最大絕對(duì)誤差Cxsxxmmmm5 . 13001005 . 010011111 按照誤差整量化原則，認(rèn)為該量程內(nèi)絕對(duì)誤差 ，因此示值相對(duì)誤差Cxxm5 . 111%5 . 11001005 . 1%100111xxx第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 同樣可算出用l.0級(jí)溫度計(jì)可能產(chǎn)生的絕對(duì)誤差和示值相對(duì)誤差%0 . 1%1001000 . 1%1000 . 11001000 . 12222222xxCxxxxmmm 可見用1.0級(jí)低量程溫度計(jì)測(cè)量所產(chǎn)生的示值相對(duì)誤差反而小一些，因此選l.0

16、級(jí)溫度計(jì)較為合適。 在實(shí)際測(cè)量操作時(shí)，一般應(yīng)先在大量程下，測(cè)得被測(cè)量的大致數(shù)值，而后選擇合適的量程再行測(cè)量，以盡可能減小相對(duì)誤差。第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 (4)分貝誤差 在電子測(cè)量中還常用到分貝誤差分貝誤差。分貝誤差是一種用對(duì)數(shù)形式表示的誤差，單位為分貝(dB).分貝誤差廣泛用于增益增益(衰減衰減)量量的測(cè)量中。下面以電壓增益測(cè)量為例，引出分貝誤差的表示形式。 設(shè)雙口網(wǎng)絡(luò)(比如放大器，或衰減器)輸入、輸出電壓的測(cè)得值分別為Ui和Uo，則電壓增益Au，的測(cè)得值為 iouUUA (2.1-10)第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理用對(duì)數(shù)表示為)(lg20dBAGux(2.1-11)Gx稱為增益測(cè)

17、得值的分貝值。 設(shè)A為電壓增益實(shí)際值，其分貝值G=20lgA，由式(2.1-2)及(2.1-11)，有)1lg(20)1lg(20lg20)1 (lg20)lg(20AAGAAAAAAAAGAAxAAxu(2.1-12)(2.1-13)第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理由此得到)(1lg(20)(dBAAdBGGdBxdB (2.1-15) (2.1-14)式中 顯然與增益的相對(duì)誤差有關(guān)，顯然與增益的相對(duì)誤差有關(guān)，可看成相對(duì)誤差的對(duì)數(shù)表現(xiàn)形式，稱之為分貝誤差。若 令 ，則式(21-15)可寫成dBxxAAAAA,)(1lg(20dBxdB (2.1-16)第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 上式即為分

18、貝誤差的一般定義式。 若測(cè)量的是功率增益，分貝誤差定義為)(1lg(10dBxdB (2.1-17)第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 例4 某電壓放大器，當(dāng)輸入端電壓Ui1.2mV時(shí)，測(cè)得輸出電壓Uo6 000mV，設(shè)Ui誤差可忽略，Uo的測(cè)量誤差 求：放大器電壓放大倍數(shù)的絕對(duì)誤差 ，相對(duì)誤差 及分貝誤差 。 解：電壓放大倍數(shù)%32AxdB50002 . 16000iouUUA第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理電壓分貝增益180%)3(6000745000lg20lg20ouxUdBAG輸出電壓絕對(duì)誤差因忽略Ui誤差，所以電壓增益絕對(duì)誤差1502 . 1180ioUUA電壓增益相對(duì)誤差%3%1005

19、000150uxAA第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理壓增益分貝誤差dBxdB26. 0)03. 01lg(20)1lg(20實(shí)際電壓分貝增益dBG26. 074第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 當(dāng) 值很小時(shí)，分貝增益定義式(2.1-16)和(2.1-17)中的 可分別利用下面近 似式得到：xdBdBdBxdBxdB34. 469. 8(電壓、電流類增益)(功率類增益)(2.1-18)(2.1-19)第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 如果在測(cè)量中，使用的儀器是用分貝作單位，則分貝誤差直接按 來(lái)計(jì)算。例如某衰減器標(biāo)稱值為20dB，經(jīng)檢定為20.5dB，則其分貝誤差為AxxdBx5 . 05 .2020第

20、2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 三、容許誤差 測(cè)量?jī)x器的誤差測(cè)量?jī)x器的誤差是產(chǎn)生測(cè)量誤差的主要因素。為了保證測(cè)量結(jié)果的準(zhǔn)確可靠，必須對(duì)測(cè)量?jī)x器本身的誤差有一定要求。容許誤差容許誤差是指測(cè)量?jī)x器在規(guī)定使用條件下可能產(chǎn)生的最大誤差范圍。容許誤差有時(shí)就稱作儀器誤儀器誤差，差，它是恒量電子測(cè)量?jī)x器質(zhì)量的最重要的指標(biāo)恒量電子測(cè)量?jī)x器質(zhì)量的最重要的指標(biāo)。 第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 為了保證測(cè)量?jī)x器示值的準(zhǔn)確，儀器出廠前必須由檢驗(yàn)部門對(duì)其誤差指標(biāo)進(jìn)行檢驗(yàn)，在使用期間，必須定期進(jìn)行校準(zhǔn)檢定，凡各項(xiàng)誤差指標(biāo)在容許誤差范圍之內(nèi)的，視為合格，否則就不能算做合格的儀器， 其測(cè)量結(jié)果失去可靠性而只能供作參考。 儀器

21、的容許誤差的表示方法可以用絕對(duì)誤差，也儀器的容許誤差的表示方法可以用絕對(duì)誤差，也可用相對(duì)誤差可用相對(duì)誤差.第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 l.工作誤差工作誤差 工作誤差是在額定工作條件下儀器誤差的極限值，在額定工作條件下儀器誤差的極限值，即來(lái)自儀器外部的各種影響量和儀器內(nèi)部的影響特性為任意可能的組合時(shí)，儀器誤差的最大極限值儀器誤差的最大極限值。這種表示方法的優(yōu)點(diǎn)是， 使用者非常方便，可以利用工作誤差直接估計(jì)測(cè)量結(jié)果誤差的最大范圍。缺點(diǎn)是，工作誤差是在最不利的組合條件下給出的，而實(shí)際使用在最不利的組合條件下給出的，而實(shí)際使用中構(gòu)成最不利組合的可能性很小中構(gòu)成最不利組合的可能性很小。因此，用儀器的

22、工作誤差來(lái)估計(jì)測(cè)量結(jié)果的誤差會(huì)偏大.第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 2固有誤差 固有誤差是當(dāng)儀器的各種影響量和影響特性處于處于基準(zhǔn)條件基準(zhǔn)條件(參見1.l表1.1-1)時(shí)，儀器所具有的誤差儀器所具有的誤差。這些基準(zhǔn)條件是比較嚴(yán)格的，所以這種誤差能夠更準(zhǔn)所以這種誤差能夠更準(zhǔn)確地反映儀器所固有的性能，便于在相同條件下，對(duì)確地反映儀器所固有的性能，便于在相同條件下，對(duì)同類儀器進(jìn)行比較和校準(zhǔn)同類儀器進(jìn)行比較和校準(zhǔn).第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 3影響誤差 影響誤差是當(dāng)一個(gè)影響量影響量在其額定使用范圍內(nèi)額定使用范圍內(nèi)(或一個(gè)影響特性在其有效范圍內(nèi))取任一值取任一值，而其它影響量和影響特性均處于基準(zhǔn)條件

23、時(shí)基準(zhǔn)條件時(shí)所測(cè)得的誤差。例如溫度誤差、頻率誤差等。只有當(dāng)某一影響量在工作誤差中起重要作用時(shí)才給出，它是一種誤差的極限它是一種誤差的極限. 4.穩(wěn)定誤差 穩(wěn)定誤差是儀器的標(biāo)稱值在其他影響量和影響特性儀器的標(biāo)稱值在其他影響量和影響特性保持恒定的情況下，于規(guī)定時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生的誤差極限保持恒定的情況下，于規(guī)定時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生的誤差極限。習(xí)慣上以相對(duì)誤差形式給出或者注明最長(zhǎng)連續(xù)工作時(shí)間。第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 例5 用4位ban數(shù)字電壓表2V檔和200V檔測(cè)量1V電壓，該電壓表各檔容許誤差均為 個(gè)字，試分析用上述兩檔分別測(cè)量時(shí)的相對(duì)誤差。 解： 用2V檔測(cè)量，仿照式(2.1-20)，絕對(duì)誤差為1%03.

24、 0)(10410110311999921%03. 04441Vx第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 為了便于觀察，式中前一項(xiàng)是容許誤差的相對(duì)值部分，后一項(xiàng)是絕對(duì)值部分即土一個(gè)字誤差，此時(shí)后者影響較小，測(cè)量數(shù)值(顯示值)為0.9996到 1.0004V間，有效顯示數(shù)字是四位到五位。相對(duì)誤差為%04. 0%100111xxx第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 用200V檔測(cè)量，絕對(duì)誤差為)(10103101001031199992001%03. 04442Vx第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 可見此時(shí)土1個(gè)字誤差占了誤差的絕大部分(為了便于觀察，10010”未按科學(xué)計(jì)數(shù)法規(guī)定寫成1.010-2，由于此時(shí)最

25、末位士個(gè)字誤差或最末位為l時(shí)代表的數(shù)值是10mV或0.01V，因此此時(shí)電壓表顯示為0.991.01V，顯示有效數(shù)字為二到三位。相對(duì)誤差為%1222xxx第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理2.2 測(cè)量誤差的來(lái)源測(cè)量誤差的來(lái)源 一、儀器誤差 儀器誤差儀器誤差又稱設(shè)備誤差，是由于設(shè)計(jì)、制造、裝配、檢定等的不完善以及儀器使用過(guò)程中元器件老化、機(jī)械部件磨損、疲勞等因素而使測(cè)量?jī)x器設(shè)備帶有的誤差。儀器誤差還可細(xì)分為：讀數(shù)誤差讀數(shù)誤差，包括出廠校準(zhǔn)定度不準(zhǔn)確產(chǎn)生的校準(zhǔn)誤差、刻度誤差、讀數(shù)分辨校準(zhǔn)誤差、刻度誤差、讀數(shù)分辨力有限而造成的讀數(shù)誤差及數(shù)字式儀表的量化誤差量化誤差(l個(gè)字誤差)；第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果

26、處理 儀器內(nèi)部噪聲引起的內(nèi)部噪聲誤差；元器件疲勞、老化及周圍環(huán)境變化造成的穩(wěn)定誤差；儀器響應(yīng)的滯后現(xiàn)象造成的動(dòng)態(tài)誤差；探頭等輔助設(shè)備帶來(lái)的其他方面的誤差。 第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 減小儀器誤差的主要途徑是根據(jù)具體測(cè)量任務(wù)，正確地選擇測(cè)量方法和使用測(cè)量?jī)x器，包括要檢查所使用的儀器是否具備出廠合格證及檢定合格證，在額定工作條件下按使用要求進(jìn)行操作等。 量化誤差是數(shù)字儀器特有的一種誤差，量化誤差是數(shù)字儀器特有的一種誤差，減小由它帶給測(cè)量結(jié)果準(zhǔn)確度的影 響的辦法是設(shè)法使顯示器顯示使顯示器顯示盡可能多的有效數(shù)字。盡可能多的有效數(shù)字。第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 二、使用誤差 使用誤差又稱操作誤

27、差使用誤差又稱操作誤差，是由于對(duì)測(cè)量設(shè)備操作使用不當(dāng)而造成的誤差。比如有些設(shè)備要求正式測(cè)量前進(jìn)行預(yù)熱而未預(yù)熱；有些設(shè)備要求水平放置而傾斜或垂直放置；有的測(cè)量設(shè)備要求實(shí)際測(cè)量前須進(jìn)行校準(zhǔn)(例如：普通萬(wàn)用表測(cè)電阻時(shí)應(yīng)校零，用示波器觀測(cè)信號(hào)的幅度前應(yīng)進(jìn)行幅度校準(zhǔn)等)而未校準(zhǔn)等等。第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 三、人身誤差 人身誤差主要指由于測(cè)量者感官的分辨能力、視覺(jué)疲勞固有習(xí)慣等而對(duì)測(cè)量實(shí)驗(yàn)中的現(xiàn)象與結(jié)果判斷不準(zhǔn)確而造成的誤差。比如指針式儀表刻度的讀取，諧振法測(cè)量L、C、Q時(shí)諧振點(diǎn)的判斷等，都很容易產(chǎn)生誤差. 減小人身誤差的主要途徑有：提高測(cè)量者的操作技能和工作責(zé)任心；采用更合適的測(cè)量方法(比如用

28、交叉讀數(shù)法代替?zhèn)鹘y(tǒng)的諧振點(diǎn)判斷法；采用數(shù)字式顯示的客觀讀數(shù)以避免指針式儀表的讀數(shù)視差等。第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 四、影響誤差 影響誤差是指各種環(huán)境因素與要求條件不一致而造成的誤差。對(duì)電子測(cè)量而言，最主要的影響因素是環(huán)境溫度、電源電壓和電磁干擾等。當(dāng)環(huán)境條件符合要求時(shí)，影響誤差通常可不予考慮。但在精密測(cè)量及計(jì)量中，需根據(jù)測(cè)量現(xiàn)場(chǎng)的溫度、濕度、電源電壓等影響數(shù)值求出各項(xiàng)影響誤差影響數(shù)值求出各項(xiàng)影響誤差，以便根據(jù)需要做進(jìn)一步的數(shù)據(jù)處理。 第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 五、方法誤差 顧名思義，方法誤差是指所使用的測(cè)量方法不當(dāng)，或測(cè)量所依據(jù)的理論不嚴(yán)密，或?qū)y(cè)量計(jì)算公式不適當(dāng)簡(jiǎn)化等原因而造成的

29、誤差， 方法誤差也稱作理論誤差。例如當(dāng)用于均值檢波器測(cè)量交流電壓時(shí)，平均值檢波器輸出正比于被測(cè)正弦電壓的平均值U，而交流電壓表通常以有效值U定度，兩者間理論上應(yīng)有下述關(guān)系：UKUUF22 (2.21)第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 式中 ，稱為定度系數(shù)。由于， 和 均為無(wú)理數(shù)，因此當(dāng)用有效值定度時(shí)，只好取近似公式22/FK2UU11. 1(2.22) 顯然兩者相比，就產(chǎn)生了誤差，這種由于計(jì)算公式的簡(jiǎn)化或近似造成的誤差就是一種理論誤差.第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 方法誤差通常以系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差(主要是恒值系統(tǒng)誤差，見23)形式表現(xiàn)出來(lái)。因?yàn)楫a(chǎn)生的原因是由于方法、理論、公式不當(dāng)或過(guò)于簡(jiǎn)化等造成

30、，因而在掌握了具體原因及有關(guān)量值后，原則上都可以通過(guò)理論分析和計(jì)算或改變測(cè)量方法來(lái)加以消除或修正。對(duì)于內(nèi)部帶有微處理器的智能儀器，要做到這一點(diǎn)是不難的。第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 例1 圖2-1中，圖中虛框代表一臺(tái)輸入電阻Rv10M歐姆，儀器工作誤差(也稱不確定度)為“0005讀數(shù)2個(gè)字”的數(shù)字電壓表，讀數(shù) Uol0.002 5V.試分析儀器誤差和方法誤差。 解；由圖22-1，可以計(jì)算出 VsosoVVssssVVoRRVUURRUURRRU/1(2.2-3)(2.2-4)第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理圖2.2-1 方法差別例第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 即比值只Rs/RV愈大，示值相對(duì)

31、誤差也愈大，這是一種方法誤差。將RV 10M ， Rs 10k代入式(22-4)，得方法誤差：%007. 0%)1001002252%005. 0(%1 . 0101074V電壓表本身的儀器誤差 可見這里的方法誤差較儀器誤差大得多。第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 不過(guò)，由式(22-3)可以看出，測(cè)得值U。與實(shí)際值U。間有確定的函數(shù)關(guān)系，只要知道 ，那么這里的方法誤差可以得到修正。實(shí)際上由式(2。23)可以得到oVsURR、oVssURRU)/1 ( (2.25) 利用式(22-5)修正公式和有關(guān)數(shù)據(jù)，得到VUs0325.100225.10)10101 (74第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理2.3

32、 誤差的分類誤差的分類 一、系統(tǒng)誤差 在多次等精度測(cè)量同一量值時(shí)，誤差的絕對(duì)值和符號(hào)保持不變，或當(dāng)條件改變時(shí)按某種規(guī)律變化的誤差稱為系統(tǒng)誤差，簡(jiǎn)稱系差。如果系差的大小、符號(hào)不變而保持恒定，則稱為恒定系差恒定系差，否則稱為變值系差。變值系差又可分為累進(jìn)性系差累進(jìn)性系差、周期性系差周期性系差和按按復(fù)雜規(guī)律變化的系差復(fù)雜規(guī)律變化的系差。第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 圖23l描述了幾種不同系差的變化規(guī)律： 直線a：表示恒定系差；直線b屬變值系差中累進(jìn)性系差，這里表示系差遞增的情況，也有遞減系差；曲線c表示周期性系差，在整個(gè)測(cè)量過(guò)程中，系差值成周期性變化；曲線d屬于按復(fù)雜規(guī)律變化的系差。第2章 測(cè)量誤

33、差和測(cè)量結(jié)果處理 圖2.31 系統(tǒng)誤差的特征 直線a：表示恒定系差；直線b屬變值系差中累進(jìn)性系差，這里表示系差遞增的情況，也有遞減系差；曲線c表示周期性系差，在整個(gè)測(cè)量過(guò)程中，系差值成周期性變化；曲線d屬于按復(fù)雜規(guī)律變化的系差0第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 系統(tǒng)誤差的主要特點(diǎn)系統(tǒng)誤差的主要特點(diǎn)是，只要測(cè)量條件不變，誤差即為確切的數(shù)值，用多次測(cè)量取平均值的辦法 不能改變或消除系差，而當(dāng)條件改變時(shí)，誤差也隨 之遵循某種確定的規(guī)律而變化，具有可重復(fù)性。例如，標(biāo)準(zhǔn)電池的電動(dòng)勢(shì)隨環(huán)境溫度變化而變化，因而實(shí)際值和標(biāo)稱值間產(chǎn)生一定的誤差E，它遵循下面規(guī)律：)(10)20(00006. 0)20(0092.

34、 0)20(929. 0)20(94.39643220VttttEEEt第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 式中E20和Et，分別為環(huán)境溫度為+20C和t時(shí)標(biāo)準(zhǔn)電池的電動(dòng)勢(shì)。又如，在2.2中敘述的、用均值檢波電壓表測(cè)量正弦電壓有效值采用近似公式(2.2-2)代替理論公式(2.2-1)，因而帶來(lái)理論誤差，用提高均值檢波器的準(zhǔn)確度或用多次測(cè)量取平均值等方法都無(wú)法加以消用多次測(cè)量取平均值等方法都無(wú)法加以消除，只有用修正公式的辦法來(lái)減小誤差除，只有用修正公式的辦法來(lái)減小誤差。正是由于這類誤差的規(guī)律性，因此把理論誤差理論誤差歸入系統(tǒng)誤差一類系統(tǒng)誤差一類中。中。第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 歸納起來(lái)，產(chǎn)生系

35、統(tǒng)誤差的主要原因有： 測(cè)量?jī)x器設(shè)計(jì)原理及制作上的缺陷。例如刻度偏差，刻度盤或指針安裝偏心，使用過(guò)程中零點(diǎn)漂移，安放位置不當(dāng)?shù)? 測(cè)量時(shí)的環(huán)境條件如溫度、濕度及電源電壓等與儀器使用要求不一致等。第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 采用近似的測(cè)量方法或近似的計(jì)算公式等. 測(cè)量人員估計(jì)讀數(shù)時(shí)習(xí)慣偏于某“方向等原因所引起的誤差。 系統(tǒng)誤差體現(xiàn)了測(cè)量的正確度，系統(tǒng)誤差小，表明測(cè)量的正確度高.第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 二、隨機(jī)誤差 隨機(jī)誤差又稱偶然誤差，是指對(duì)同一量值進(jìn)行多次等精度測(cè)量時(shí)，其絕對(duì)值和符號(hào)均以不可預(yù)定的方式無(wú)規(guī)則變化的誤差。 就單次測(cè)量而言，隨機(jī)誤差沒(méi)有規(guī)律，其大小和方向完全不可預(yù)定，但當(dāng)

36、測(cè)量次數(shù)足夠多時(shí)，其總體服從統(tǒng)計(jì)學(xué)規(guī)律，多數(shù)情況下接近正態(tài)分布(見2.4)。第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 隨機(jī)誤差的特點(diǎn)是，在多次測(cè)量中誤差絕對(duì)值的波動(dòng)有一定的界性，即具有有界性；當(dāng)測(cè)量次數(shù)足夠多時(shí)， 正負(fù)誤差出現(xiàn)的機(jī)會(huì)幾乎相同，即具有對(duì)稱性；同時(shí)隨機(jī)誤差的算術(shù)均值趨于零，即具有抵償性。由于隨機(jī)誤差的上述特點(diǎn)，可以通過(guò)對(duì)多次測(cè)量取平均可以通過(guò)對(duì)多次測(cè)量取平均值的辦法，來(lái)減小隨機(jī)誤差對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響，或者值的辦法，來(lái)減小隨機(jī)誤差對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響，或者用其他數(shù)理統(tǒng)計(jì)的辦法對(duì)隨機(jī)誤差加以處理。用其他數(shù)理統(tǒng)計(jì)的辦法對(duì)隨機(jī)誤差加以處理。第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 表23l是對(duì)某電阻進(jìn)行15次等精度

37、測(cè)量的結(jié)果。表中Ri為第i次測(cè)得值，R為測(cè)得值的算術(shù)平均值， 定義為殘差殘差，由于電阻的真值R無(wú)法測(cè)得無(wú)法測(cè)得，我們用R 代替R,用 ui表示隨機(jī)誤差的性質(zhì)。為了更直觀地考察測(cè)量值的分布規(guī)律用圖2.32表示測(cè)量結(jié)果的分布情況，圖中小黑點(diǎn)代表各次測(cè)量值。RRii第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理表2.3l第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 由表2.3l和圖2.32可以看出以下幾點(diǎn)： 正誤差出現(xiàn)了7次，負(fù)誤差出現(xiàn)了6次，兩者基本相等，正負(fù)誤差出現(xiàn)的概率基本相等，反映了隨機(jī)誤差的對(duì)稱性. 誤差的絕對(duì)值介于(0，01)、 (01，02)、 (02，03)、 (03，04)、 (04，05)區(qū)間，大于0.5的個(gè)

38、數(shù)分別為6、3、2、1、2個(gè)和1個(gè)，反映了絕對(duì)值小的隨機(jī)誤差出現(xiàn)的概率大，絕對(duì)值大的隨機(jī)誤差出現(xiàn)的概率小.第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理圖2.32 電阻測(cè)量值的隨機(jī)誤差R第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 3 ui0，正負(fù)誤差之和為零，反映了隨機(jī)誤差的抵償性。 所有隨機(jī)誤差的絕對(duì)值都沒(méi)有超過(guò)某一界限，反映了隨機(jī)誤差的有界性。 這雖然僅是一個(gè)例子，但也基本反映出隨機(jī)誤差的一般特性。第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 產(chǎn)生隨機(jī)誤差的主要原因包括： 測(cè)量?jī)x器元器件產(chǎn)生噪聲，零部件配合的不穩(wěn)定、摩擦、接觸不良等. 溫度及電源電壓的無(wú)規(guī)則波動(dòng)，電磁干擾，地基振動(dòng)等. 測(cè)量人員感覺(jué)器官的無(wú)規(guī)則變化而造成的讀數(shù)不穩(wěn)

39、定等. 隨機(jī)誤差體現(xiàn)了多次測(cè)量的精密度，隨機(jī)誤差小，則精密度高.第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 三、粗大誤差 在一定的測(cè)量條件下，測(cè)得值明顯地偏離實(shí)際值測(cè)得值明顯地偏離實(shí)際值所形成的誤差稱為粗大誤差所形成的誤差稱為粗大誤差，也稱為疏失誤差，簡(jiǎn)稱粗差。 確認(rèn)含有粗差的測(cè)得值有粗差的測(cè)得值稱為壞值，應(yīng)當(dāng)剔除不用，因?yàn)閴闹祲闹挡荒芊从潮粶y(cè)量的真實(shí)數(shù)值. 產(chǎn)生粗差的主要原因有三有三： 測(cè)量方法不當(dāng)或錯(cuò)誤。例如用普通萬(wàn)用表電壓檔直接測(cè)量高內(nèi)阻電源的開路電壓，用普通萬(wàn)用表交流電壓檔測(cè)量高頻交流信號(hào)的幅值等.第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 測(cè)量操作疏忽和失誤。例如未按規(guī)程操作，讀錯(cuò)讀數(shù)或單位，或記錄及計(jì)算錯(cuò)

40、誤等. 測(cè)量條件的突然變化。例如電源電壓突然增高或降低，雷電干擾，機(jī)械沖擊等引起測(cè)量?jī)x器示值的劇烈變化等。這類變化雖然也帶有隨機(jī)性，但由于它造成的示值明顯偏離實(shí)際值，因此將其列入粗差范疇。第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 上述對(duì)誤差按其性質(zhì)進(jìn)行的劃分，具有相對(duì)性，某些情況可互相轉(zhuǎn)化。1.例如較大的系差或隨機(jī)誤差例如較大的系差或隨機(jī)誤差可視為粗差；可視為粗差；2.當(dāng)電磁干擾引起的誤差數(shù)值較小時(shí)，當(dāng)電磁干擾引起的誤差數(shù)值較小時(shí)，可按隨機(jī)誤差取平均值的辦法加以處理，可按隨機(jī)誤差取平均值的辦法加以處理，3.而當(dāng)其影而當(dāng)其影響較大又有規(guī)律可循時(shí)，可按系統(tǒng)誤差引入修正值的響較大又有規(guī)律可循時(shí)，可按系統(tǒng)誤差引

41、入修正值的辦法加以處理；辦法加以處理；又如后面要敘述的諧振法測(cè)量時(shí)的誤差，是一種系統(tǒng)誤差，但實(shí)際調(diào)諧時(shí)，即使同一個(gè)人用同等的細(xì)心程度進(jìn)行多次操作，每次調(diào)諧結(jié)果也往往不同，從而使誤差表現(xiàn)出隨機(jī)性。第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 粗差較易判斷和處理，在任何一次測(cè)量中，系統(tǒng)誤系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差差和隨機(jī)誤差一般都是同時(shí)存在的，需根據(jù)各自對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響程度，作不同的具體處理： 系統(tǒng)誤差遠(yuǎn)大于隨機(jī)誤差的影響，此時(shí)可基本上按純粹系差處理，而忽略隨機(jī)誤差。 系差極小或已得到修正，此時(shí)基本上可按純粹隨機(jī)誤差處理. 系差和隨機(jī)誤差相差不遠(yuǎn)，二者均不可忽略，此時(shí)應(yīng)分別按不同的辦法來(lái)處理，然后估計(jì)其最終的綜合影響.

42、第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 2.4 隨機(jī)誤差分析隨機(jī)誤差分析 如前所述，多次等精度測(cè)量時(shí)產(chǎn)生的隨機(jī)誤差及測(cè)量值服從統(tǒng)計(jì)學(xué)規(guī)律。本節(jié)從工程應(yīng)用角度，利用概率統(tǒng)計(jì)概率統(tǒng)計(jì)的一些基本結(jié)論，研究隨機(jī)誤差的表征研究隨機(jī)誤差的表征及對(duì)含有隨機(jī)誤差的測(cè)量數(shù)據(jù)的處理隨機(jī)誤差的測(cè)量數(shù)據(jù)的處理方法。第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 一、測(cè)量值的數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準(zhǔn)差 1數(shù)學(xué)期望 設(shè)對(duì)被測(cè)量x進(jìn)行n次等精度測(cè)量，得到n個(gè)測(cè)得值nxxxx,321由于隨機(jī)誤差的存在，這些測(cè)得值也是隨機(jī)變量。定義n個(gè)測(cè)得值(隨機(jī)變量)的算術(shù)平均值為niixnx11 (2.4-1)第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 式中x也稱作樣本平均值。 當(dāng)測(cè)

43、量次數(shù) 時(shí)，樣本平均值；的極限定義為測(cè)得值的數(shù)學(xué)期望n(2.4-2)式中x。也稱作總體平均值。)1(lim1niinxxnE第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 假設(shè)上面的測(cè)得值中不含系統(tǒng)誤差和粗大誤差，則第i次測(cè)量得到的測(cè)得值xi與真值(前已敘述，由于真值A(chǔ)o一般無(wú)法得知，通常即以實(shí)際值A(chǔ)代替)間的絕對(duì)誤差就等于 隨機(jī)誤差A(yù)xxiii(2.4-3)式中 分別表示絕對(duì)誤差和隨機(jī)誤差。iix、第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 隨機(jī)誤差的算術(shù)平均值：AxnAnxnAxnnniininiiniinii11111111)(11第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 當(dāng) 時(shí)，上式中第-項(xiàng)即為測(cè)得值的數(shù)學(xué)期望Ex，所以n

44、)(nAEx 由于隨機(jī)誤差的抵償性，當(dāng)測(cè)量次數(shù)n趨于無(wú)限大時(shí)， 趨于零：0)1(lim1niinn(2.45) (2.44) 即隨機(jī)誤差的數(shù)學(xué)期望等于零。由式(24-4)和(24-5)，得AEx(2.46)即測(cè)得值的數(shù)學(xué)期望等于被測(cè)量真值A(chǔ). 第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 實(shí)際上不可能做到無(wú)限多次的測(cè)量，對(duì)于有限次測(cè)量，當(dāng)測(cè)量次數(shù)足夠多時(shí)近似認(rèn)為AFxnxnii011(2.47)(2.48)第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 由上述分析我們得出，在實(shí)際測(cè)量工作中，當(dāng)基本消除系統(tǒng)誤差又剔除粗大誤差后，雖然仍有隨機(jī)誤差存在，但多次測(cè)得值的算術(shù)平均值很接近被測(cè)量真值，因此就將它作為最后測(cè)量結(jié)果，并稱之

45、為被測(cè)量的最佳估值或最可信賴值。第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 2剩余誤差 當(dāng)進(jìn)行有限次測(cè)量時(shí)，各次測(cè)得值與算術(shù)平均值之差，定義為剩余誤差或殘差殘差：xxii對(duì)上式兩邊分別求和，有011111niiniiniiniixnnxxnx(2.410)第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 3方差與標(biāo)準(zhǔn)差 隨機(jī)誤差反映了實(shí)際測(cè)量的精密度即測(cè)量值的分散程度。由于隨機(jī)誤差的抵償性，因此不能用它的算術(shù)平均值來(lái)估計(jì)測(cè)量的精密度，而應(yīng)使用方差進(jìn)行描述。方差定義為 ，時(shí)測(cè)量值與期望值之差的平方的統(tǒng)計(jì)平均值，即n212)(1limxniinExn (2.4-11)因?yàn)殡S機(jī)誤差 ，故 niinn1221lim(2.4-12)

46、xiiEx 第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 由于實(shí)際測(cè)量中 都帶有單位(mV，uA等)，因而方差 是相應(yīng)單位的平方，使用不甚方便。為了與隨機(jī)誤差 單位一致，將式(2412)兩邊開方，取正平方根，得ii2niinn121lim (2.4-13)第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 式中。定義為測(cè)量值的標(biāo)準(zhǔn)誤差或均方根誤差標(biāo)準(zhǔn)誤差或均方根誤差，也稱標(biāo)準(zhǔn)偏差，簡(jiǎn)稱標(biāo)準(zhǔn)差 反映了測(cè)量的精密度， 小表示精密度高，測(cè)得值集中， 大表示精密度低，測(cè)得值分散。 有時(shí)還會(huì)用到平均誤差，定義為niinn11lim (2.4-14)第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 二、隨機(jī)誤差的正態(tài)分布 1正態(tài)分布 前面提到，隨機(jī)誤差的大

47、小、符號(hào)雖然顯得雜亂無(wú)章，事先無(wú)法確定，但當(dāng)進(jìn)行大量等精度測(cè)量時(shí)，隨機(jī)誤差服從統(tǒng)計(jì)規(guī)律。理論和測(cè)量實(shí)踐都證明，測(cè)得值 與隨機(jī)誤差 都按一定的概率出現(xiàn)。在大多數(shù)情況下，測(cè)得值測(cè)得值在其期望值期望值上出現(xiàn)的概率最大，隨著對(duì)期望值偏離的增大，出現(xiàn)的概率急劇減小。表現(xiàn)在隨機(jī)誤差上，等于零的隨機(jī)誤差出現(xiàn)的概率最大，隨著隨機(jī)誤差絕對(duì)值的加大，出現(xiàn)的概率急劇減小。測(cè)得值和隨機(jī)誤差的這種統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律，稱為正態(tài)分布，如圖2.4-1和圖2.4-2所示。iix第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 圖2.41 的正態(tài)分布曲線 ix第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 圖2.42 的正態(tài)分布曲線i第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 設(shè)

48、測(cè)得值xi在x到x+dx+d囂范圍內(nèi)出現(xiàn)的概率為P，它正比于dx，并與x值有關(guān)，即dxxdxxxxPi)(2.4-15) 式中g(shù)(x)定義為測(cè)量值xi的分布密度函數(shù)或概率分布函數(shù)，顯然1)(dxxxPi(2.4-16)對(duì)于正態(tài)分布的xi ，其概率密度函數(shù)為222)(21)(xExex(2.4-17)第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 先講正太分布，先講正太分布，同樣，對(duì)于正態(tài)分布的隨機(jī)誤差 ，有i22221)(e(2.4-18)第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 由圖2.4-2可以看到如下特征： 愈小， 愈大，說(shuō)明絕對(duì)值小的隨機(jī)誤差出現(xiàn)的概率大；相反，絕對(duì)值大的隨機(jī)誤差出現(xiàn)的概率小，隨著 的加大， 很

49、快趨于零，即超過(guò)一定界限的隨機(jī)誤差實(shí)際上幾乎不出現(xiàn)(隨機(jī)誤差的有性). 大小相等符號(hào)相反的誤差出現(xiàn)的概率相等(隨機(jī)誤差的對(duì)稱性和抵償性).)()(第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 愈小，正態(tài)分布曲線愈尖銳，表明測(cè)得值愈集中，精密度高，反之。愈大，曲線愈平坦，表明測(cè)得值分散，精密度低。 正態(tài)分布又稱高斯分布，在誤差理論中占有重要的地位。由眾多相互獨(dú)立的因素的隨機(jī)微小變化所造成的隨機(jī)誤差，大多遵從正態(tài)分布，例如信號(hào)源的輸例如信號(hào)源的輸出幅度、輸出頻率等，都具有這一特性出幅度、輸出頻率等，都具有這一特性。第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 2均勻分布 在測(cè)量實(shí)踐中，還有其他形式的概率密度分布形式，其中均勻

50、分布是僅次于正態(tài)分布的一種重要分布，如圖2.4-3所示。均勻分布的特點(diǎn)是，在誤差范圍內(nèi)，誤差出現(xiàn)的概率各處相同。在電子測(cè)量中常見有下列幾種情況：第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理圖2.4-3 均勻分布的概率密度第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 儀表度盤刻度誤差。由于儀表分辨力決定的某一范圍內(nèi)，所有的測(cè)量值可以認(rèn)為是一個(gè)值。例如用500V量程交流電壓表測(cè)得值是220V，實(shí)際上由于分辨不清，實(shí)際值可能是219V一221 V之間的任何一個(gè) 值，在該范圍內(nèi)可認(rèn)為有相同的誤差概率。第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 數(shù)字顯示儀表的最低位l(或幾個(gè)字”的誤差。例如末位顯示為5，實(shí)際值可能是46間任一值，也認(rèn)為在此范

51、圍內(nèi)具有相同的誤差概率。數(shù)字式電壓表或數(shù)字式頻率計(jì)中都有這種現(xiàn)象。 由于舍入引起的誤差。去掉的或進(jìn)位的低位數(shù)字的概率是相同的。例如被舍掉的可能是5或4或3或2或土，被進(jìn)位的可以認(rèn)為是5、6、7 、 8、9中任何一個(gè)。 第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 在圖24-3所示的均勻分布中，概率密度axbxbxaabx, 0,1)( (24-19)第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 可以證明，對(duì)式(24-19)所示的均勻分布，有數(shù)學(xué)期望12)(222abbaEx(2.4-20)(2.4-21)方差標(biāo)準(zhǔn)差12/ )(ab(2.4-22)限于篇幅，本書下面僅討論正態(tài)分布。第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 3極限誤差

52、 對(duì)于正態(tài)分布的隨機(jī)誤差，根據(jù)式(24-18)，可以算出隨機(jī)誤差落在 區(qū)間的概率為,683. 021222dePi(2.4-23)第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 該結(jié)果的含義可理解為，在進(jìn)行大量等精度測(cè)量時(shí)，隨機(jī)誤差 落在 區(qū)的測(cè)得值的數(shù)目占測(cè)量總數(shù)目的683，或者說(shuō)，測(cè)得值落 范圍(該范圍在概率論中稱為置信區(qū)間)內(nèi)的概率(在概率論中稱為置信概率)為0.683 同樣可以求得隨機(jī)誤差落在 和 范圍內(nèi)的概率為i,xxEE23997. 0213954. 02122222233222dePdePii(2.424)(2.425)第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 即當(dāng)測(cè)得值xi的置信區(qū)間為 和 時(shí)的置信概率

53、分別為0.954和0997。由式(24-25)可見，隨機(jī)誤差絕對(duì)值大于30的概率(可能性)僅為0003或03，實(shí)際上出現(xiàn)的可能極小，因此定義2,2xxEE3,3xxEE3 (24-26)第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 4. 貝塞爾公式 在上面的分析中，隨機(jī)誤差，其中xi為第i次測(cè)得值，A為真值，為xi的數(shù)學(xué)期望，且 在這種前提下，我們用測(cè)量值數(shù)列的標(biāo) 準(zhǔn)差 來(lái)表征測(cè)量值的分散程度，并有AxExixiiAxxnEninlim1limniinn121lim第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 實(shí)際上不可能做到 的無(wú)限次測(cè)量。當(dāng)n為有限值時(shí)，我們用殘差 ；來(lái)近似或代替真正的隨機(jī)誤差 ，用 表 示有限次測(cè)量

54、時(shí)標(biāo)準(zhǔn)誤差的最佳估計(jì)值，可以證明nxxiiiniin1211 (2.427)第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 上式稱為貝塞爾公式。式中 ，若nl，則 值不定，表明測(cè)量的數(shù)據(jù)不可靠. 標(biāo)準(zhǔn)差的最佳估計(jì)值還可以用下式求出1nniixnxn12211 (2.428)第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 這是貝塞爾公式的另一種表達(dá)形式。 有時(shí)簡(jiǎn)稱標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)值。 仍以23中表23土為例，可以算出259. 0112niin第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 5算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差 如果在相同條件下對(duì)同一被測(cè)量分成m組，每組重復(fù)n次測(cè)量，則每組測(cè)得值都有一個(gè)平均值 .由于隨機(jī)誤差的存在,這些算術(shù)平均值也不相同，而是圍繞真

55、值有一定的分散性，即算術(shù)平均值與真值間也存在著隨機(jī)誤差。我們用 來(lái)表示算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差，由概率論中方差運(yùn)算法則可以求出xxnx/ (2.429)第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 同樣定義 為算術(shù)平均值的極限誤差， 與真值間的誤差超過(guò)這一范圍的概率極小，因此，測(cè)量結(jié)果可以表示為 z算術(shù)平均值土算術(shù)平均值的極限誤差xx3xxxxx3 (2.430)第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 在有限次測(cè)量中，以 表示算術(shù)平均值標(biāo)準(zhǔn)差的最佳估值，有xnx/ 因?yàn)閷?shí)際測(cè)量中n只能是有限值，所以有時(shí)就將和 叫作測(cè)量值的標(biāo)準(zhǔn)差和測(cè)量平均值的標(biāo)準(zhǔn)差，從而將式(24-27)和(24-31)直接寫成x (2.431)nnxn

56、ii/1112 (2.432) (2.433)第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 三、有限次測(cè)量下測(cè)量結(jié)果的表達(dá) 由于實(shí)際上只可能做到有限次等精度測(cè)量，因而我們分別用式(2.4-32)和(2.4 33)來(lái)計(jì)算測(cè)得值的標(biāo)準(zhǔn)差和算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差，如前所敘，實(shí)際上是兩種兩種標(biāo)準(zhǔn)差的最標(biāo)準(zhǔn)差的最 佳估值佳估值。由式(2.4-33)可以看到，算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差隨測(cè)量次數(shù)n的增大而減小，但 減小速度要比n的增長(zhǎng)慢得多，即僅靠單純?cè)黾訙y(cè)量次數(shù)來(lái)減小標(biāo)準(zhǔn)差收益不大，因而實(shí) 際測(cè)量中n的取值并不很大，一般在土0到20之間。第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 對(duì)于精密測(cè)量，常需進(jìn)行多次等精度測(cè)量，在基本消除系統(tǒng)誤差并從

57、測(cè)量結(jié)果中剔除壞值后，測(cè)量結(jié)果的處理可按下述步驟進(jìn)行： 列出測(cè)量數(shù)據(jù)表； 計(jì)算算術(shù)平均值 ，殘差 及 ； 按式(2.432)、(2.433)計(jì)算 和 ； 給出最終測(cè)量結(jié)果表達(dá)式：xix2ixxx3第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 例1 用電壓表對(duì)某一電壓測(cè)量土10次，設(shè)已消除系統(tǒng)誤差及粗大誤差，測(cè)得數(shù)據(jù)及有關(guān)計(jì)算值如 表2.41，試給出最終測(cè)量結(jié)果表達(dá)式。第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理表 2.41第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 解： 計(jì)算得到 ，表示 的計(jì)算正確。進(jìn)一步計(jì)算得到：0ix31012121057. 910/0303. 0/0303. 0110111nnxiinii因此該電壓的最終測(cè)量

58、結(jié)果為 )(028. 0045.75Vx第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理2.5 系統(tǒng)誤差分析系統(tǒng)誤差分析 一、系統(tǒng)誤差的特性 排除粗差后，測(cè)量誤差等于隨機(jī)誤差 和系統(tǒng)誤差 的代數(shù)和 iiAxxiiii(2.5-1)第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 假設(shè)進(jìn)行n次等精度測(cè)量，并設(shè)系差為恒值系差或變化非常緩慢即 ，則 的算術(shù)平均值為iixniiniinAxxn1111(2.5-2) 當(dāng)n足夠大時(shí)，由于隨機(jī)誤差的抵償性， 的算術(shù)平均值趨于零，于是由式(25-2)得到iniixnAx11(2.5-3)第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 可見當(dāng)系差與隨機(jī)誤差同時(shí)存在時(shí)，若測(cè)量次數(shù)足夠多，則各次測(cè)量絕對(duì)誤差的算術(shù)平

59、均值等于系差 .這說(shuō)明測(cè)量結(jié)果的準(zhǔn)確度不僅與隨機(jī)誤差有關(guān)，更與系統(tǒng)誤差有關(guān)。由于系差不易被發(fā)現(xiàn)，所以更須重視，由于它不具備抵償性，所以取平均值對(duì)它無(wú)效，又由于系差產(chǎn)生的原因復(fù)雜，因此處理起來(lái)比隨機(jī)誤差還要困難。消弱或消除系差的影響，必須仔細(xì)分析其產(chǎn)生的原因，根據(jù)所研究問(wèn)題的特殊規(guī)律，依賴測(cè)量者的學(xué)識(shí)、經(jīng)驗(yàn)，采取不同的處理方法。 第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 研究系統(tǒng)誤差，有利于判斷測(cè)量的正確性和可靠性，有時(shí)還能啟發(fā)人們發(fā)現(xiàn)新事物和新規(guī)律。歷史上雷萊曾利用不同的來(lái)源和方法制取氮?dú)猓瑴y(cè)得氮?dú)獾钠骄芏群蜆?biāo)準(zhǔn)偏差如下： 化學(xué)法提?。?2，299 7l 0000 41 大氣中提?。?=2310 22

60、 =0000 19 平均值之差： 0010 51 標(biāo)準(zhǔn)偏差： 1x2x1212xx 00045. 02221第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 二、系統(tǒng)誤差的判斷 實(shí)際測(cè)量中產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的原因多種多樣，系統(tǒng)誤差的表現(xiàn)形式也不盡相同，但仍有 一些辦法可用來(lái)發(fā)現(xiàn)和判斷系統(tǒng)誤差. 1理論分析法 凡屬由于測(cè)量方法或測(cè)量原理引入的系差，不難通過(guò)對(duì)測(cè)量方法的定性定量分析發(fā)現(xiàn)系差，甚至計(jì)算出系差的大小. 22 例1中用內(nèi)阻不高的電壓表測(cè)量高內(nèi)阻電源電壓就是一例.第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 2校準(zhǔn)和比對(duì)法 當(dāng)懷疑測(cè)量結(jié)果可能會(huì)有系差時(shí)，可用準(zhǔn)確度更高的測(cè)量?jī)x器進(jìn)行重復(fù)測(cè)量以發(fā)現(xiàn)系差。測(cè)量?jī)x器定期進(jìn)行校準(zhǔn)或檢定