Jordan標準形匯總

1、Jordan標準型與矩陣可對角化摘要：本文歸納總結矩陣論書本中的內容，以矩陣論的性質為基礎，簡單介紹了Jordan標準型定理以及定理的證明，再用Jordan標準型定理去解決Hamilton-Cayley定理的證明，以及在求解線性微分方程組中的應用。關鍵詞：矩陣對角化；-矩陣；Jordan標準型；線性微分方程；1引言矩陣表示方法貫穿于高等代數(shù)的各個章節(jié)，通過矩陣表示，許多高等代數(shù)中的問題都可歸結為矩陣問題，而矩陣標準形的方法乂是解決矩陣問題的重要方法之一，它的核心思想就是刪簡就繁，充分體現(xiàn)了解決數(shù)學問題的“轉化思想”。矩陣的Jordan標準形問題的討論，源于如何選擇線性空間的基，使得線性變換在該

2、基下的矩陣具有盡可能簡單的形式完成這一問題。矩陣內容，是大學學習中必須學習的知識點！其廣泛的應用性，還有在處理數(shù)據(jù)上的優(yōu)越性，矩陣是學習很多知識體系的支柱，在數(shù)據(jù)結構，自動控制原理，常微分計算等等上都是基礎！Jordan標準型的用處就在于矩陣不能對角化的時候利用Jordan標準型這種最簡化的結果來做題。證明關于一般方陣（不能保證對角化）的某些命題，需要用到Jordan標準型，比如用Jordan標準型求解線性微分方程組。刀川/初標準型是最接近對角的矩陣并且其有關的理論包含先前有關與對角陣相似的理論作為特例。此外，刀/d初標準型的廣泛應用涉及到Hamilton-Cayley定理的證明，矩陣分解，線

3、性微分方程組的求解等等。2矩陣由于Jordan標準型的求解與特征多項式有關，而從函數(shù)的角度看，特征多項式實際上是特殊的函數(shù)矩陣（元素是函數(shù)的矩陣），這就引出對久-矩陣的研究。2.12.矩陣及其標準型定義1稱矩陣4=（厶（刃）為久-矩陣,其中元素九仏）（i=1,2,，加;丿=1,2,屮），為數(shù)域尸上關于2的多項式。定義2稱n階久-矩陣4是可逆的，如果有4（2）5（2）=5（A）4（2）=/,并稱*（幾）為4（刃的逆矩陣，反之亦然。定義3如果矩陣4（2）經(jīng)過有限次的初等變換化成矩陣BQ）,則稱矩陣4（2）與BQ）等價,記為人三。2.2八矩陣的性質定義4矩陣力（刃的S加7標準型中的非零對角元/（刃4

4、（刃,d"）稱為4（刃的不變因子。定義5矩陣4S）的所有非零k階子式的首一（最高次項系數(shù)為1）最人公因式D&（2）稱為4（2）的k階行列式因子。定理4等價矩陣具有相同的秩和相同的各級行列式因子。定理5矩陣AGO的Smith標準型是唯一的，并且d"）=2（刃,心（2）=-仗=2,3,廠）。（兄）定理6矩陣A（刃與BG）等價的充要條件是它們有相同的行列式因子（或相同的不變因子）。證明：上一個定理的證明給出了幾-矩陣的行列式因子與不變因子之間的關系。這個關系式說明行列式因子與不變因子是相互確定的。因此，說兩個矩陣有相同的各階行列式因子，就等于說它們有相同的各級不變因子。必

5、要性己由定理1.2.1給出。充分性顯然.事實上，若幾-矩陣4（刃與BG）有相同的不變因子，則4（刃與BG）和同一個標準型等價，因而4（刃與*（切等價。證畢。定義6矩陣4（刃的所有非常數(shù)不變因子的首項系數(shù)為1的不可約因式方幕的全體稱為4（刃的初等因子。定理7矩陣4（刃與3（2）等價的充要條件是它們有相同的初等因子，并且秩相等。3Jordan標準型與矩陣可對角化在掌握了久-矩陣的基本概念:行列式因子、不變因子、初等因子基礎上我們將進入Jordan標準型與矩陣可對角化理論的核心。3.1對角化的定義及判定定理定義7如果方陣人相似于對角陣，即存在可逆矩陣P和對角陣D,使得A=PDPl,則稱A可對角化。定

6、理8（對角化定理）階矩陣A可對角化的充分必要條件是人有”個線性無關的特征向量。事實上，A=D為對角陣的充分必要條件是P的列向量是A的“個線性無關的特征向量。此時，D的對角線上的元素分別是人的對應于P中的特征向量的特征值。換句話說,A可對角化的充分必要條件是有個線性無關的特征向量形成虻的基，我們稱這樣的向量為特征向量基。證首先看到，若卩是列為，匕的任一"階矩陣，D是對角線元素為人，入，人的對角陣,那么(1)(2)4P=人叫,嶺，匕=A嶺，,AvJPD=PA現(xiàn)在假設A可對角化且A=PDP-',用P右乘等式兩邊，則有AP=PDO此時由（1）和（2）得刨，化，,Av=乜,人冬，,人匕

7、（3）由列相等，有Av=AAv2=A2v2<-Mv=Avn（4）因為P可逆，故P的列vpv2,.,v必定線性無關。同樣，因為這些叫必，匕非零,（4）表示人，入，,人是特征值,叫必，匕是相應的特征向量。這就證明了定理中第一，第二和隨后的第三個命題的必要性。最后，給定任意個特征向量叫，冬，,匕，用它們作為矩陣P的列，并用相應的特征值來構造矩陣Q,由（1）（3）,等式AP=PD成立而不需要特征向量有任何條件。若特征向量是線性無關的，則P是可逆的，由AP=PD可推出A=PDPlo證畢。3.2Jordan標準型與對角化的關系定義8形如JM人（人）丿的塊對角陣為丿姑羽刀型矩陣，并稱方陣p.1A(A)

8、-,(j=l,2,：R)為山階JoMcui塊。A注意當Jn（）都是一階Jordan塊時,即人（入）=（入），九（入）=（入），厶（4）=（人）,有丿為對角陣，由此看出對角陣其實只是Jordan陣的特例。性質1矩陣丿可對角化，當且僅當k=n。性質2Jordan塊的個數(shù)R（相同的子塊計重復出現(xiàn)的次數(shù)）是丿的.線性無關特征值向量的個數(shù)。定理9兩個數(shù)字方陣相似的充要條件是它們的特征矩陣等價。定義9稱階數(shù)字矩陣人的特征矩陣兄疋-人的行列式因子、不變因子和初等因子為矩陣A的行列式因子、不變因子和初等因子。定理10兩個數(shù)字方陣和似的充要條件是它們有相同的行列式因子（或不變因子）。定理11復數(shù)域上兩個數(shù)字方陣

9、相似的充要條件是它們有相同的初等因子。注意其實，結合上定理，不難發(fā)現(xiàn)初等因子一"）"與加階Jordan塊I1、a1I°丿mxm存在一一對應關系。因此可利用特征矩陣的初等因子求矩陣的標準型，即有如下定理：定理lKJordan標準型定理）復數(shù)域上任何一個數(shù)字方陣A都與一個Jordan型矩陣相似，這個Jordan型矩陣除去其中Jordan塊排序外是被A唯一確定的，稱它為A的Jordan標準型。證明：設n階復矩陣人的初等因子為（幾一人尸"一人嚴，"一&嚴其中人，入，人可能有相同的，指數(shù)耳叫叫也可能有相同的。每一個初等因子（幾-人）對應于一個Jo

10、rdan塊，21(=122)o人（A）三這些Jordan塊構成一個Jordan型矩陣，易知,J的初等因子就是仇一材“一入嚴,"一人嚴。由于丿與A有相同的初等因子，所以它們相似。假設有另一個Jordan型矩陣K與A相似，那么與A有相同的初等因子，因此，K與丿除了其中Jordan塊排序外是相同的，唯一性得證，證畢。4Jordan標準型的性質及應用Jordan標準化的應用是廣泛的，下面將利用其給出Hamilton-Cayley定理的證明，并說明其在矩陣分解及在求解線性微分方程組中的應用。4.1Jordan標準型在證明Hamilton-Cay/wy定理中的應用定理13Hamilton-Cay

11、ley）設4是復數(shù)域C上任意階方陣，A的特征多項式為僅刃=|2/-A|,則儀4）=0,其中/為n階單位矩陣。證明：存在秩為“的階復方陣P,使P-'AP=J,其中丿是A的Jordan標準型，可以寫成J=，其中5代表1或0,因為入,入,人是A的特征值，故久幾）=|AIA|=（兄-人）（A-A,）（兄-&）從而A）=（A-V）（A-入/）（A-幾丿）=（PJP'叭I）（PJP人I）（PJP入Q=P（J_卻）（丿込/）.（丿”）嚴】0j1%-人0§人-人<§人-人丿!5血一&<50,00000-0.*I<50丿利用旳川伽-Cd）屜y

12、定理可以簡化矩陣計算。其實，該定理換成線性變換語言為：定理14（關于線性變換的Hamilton-Cayley定理）設V為維復線性空間，T.VV為給定的線性變換,設入，入，九為T的特征值。人=（心）（U為T的特征多項式.令g（7J表示將人（刃中的久用7代替，入用人/代替之后所得到的常系數(shù)變換，即g（T）=（T卻）（T&Q,則g（C是零算g（C子，即將V中每一個向量都映為零向量：g（T）（A-）=O,VxGV.注意每個特征值人都滿足多項式方程ffW=O,Hamilton-Cayley定理則是說卩滿足方程fT（T）=O.4.2Jordan標準型在矩陣分解中的應用定理15復數(shù)域C上任意階方陣，

13、都等于兩個對稱矩陣的乘積，并且其中之一是的非退化的。證明：設A的刀初標準型為八人.則存在P,PApi=J令1Qi=，J>Q與4階數(shù)相同。令faQ=Q1.,kQs)則有Q=0'=Q,J=QJQ.故4=pijp=p'QJQP=pTg(pT)4P0P=(pTgpTj)(4P0P)令B=PQ(Pl)C=APQP,則A=BC其中，B對稱且非退化，C為對角陣，這是因為C=P(PA=PQPAP-'P=PQPAP-'P=PQJP=PQJQQP=PJQP=P/(P)Tp0P=APQP=C.定理16設A是數(shù)域P上的n階方陣，能分解成P上一次因子之積，則A=M+N,其中M是幕零

14、陣，N相似于對角陣，且MN=MW。證明（證法一）M4（2）能分解成P上一次因子之積，說明4的/or方刀標準型丿是一個階方陣(01易是幕零丿姑羽刀塊，G是對角陣。設4的階為k=maxdj;）。則4=PF=pF(3+C)P=P-'BP+P-'CP其中生、b2cB=,c=s丿s/令P-'BP=MFCP=N則0=pTp=p-】oP=O,N相似于對角陣C,且MN=PBPPCP=P-'BCP=P-'CBP=P-'CPP-'BP=NM證畢.證明（證法二）由定理12,存在可逆矩陣P,使4=嚴"其中J=并且Jm（人）（/=/）是主對角線元為&am

15、p;的件階Jordan塊。(01、令"=丿,”(&)=&£”=./,(j=l,、°丿易知Ni是幕零矩陣，3因而N=P-'P也是幕零矩陣。在令M=PlP,則M相似于對角矩陣，并且M+N=A,MN=NM。注意定理16等價于如下命題：設5是數(shù)域P上維線性空間V的線性變換，則5=0+2.其中0是數(shù)域上p”維線性空間v的線性變換且是幕零變換，r也是數(shù)域p上維線性空間v的線性變換且可對角化，并且（pT=T（p.o4.5Jordan標準型在求解線性微分方程組中的應用例題解線性微分方程組cla.r1=一+a、dtda,AQ=-4a.+3zdtclt解把微分

16、方程組寫成矩陣形式竽“,其中da、a'dt<-l101dxda“x=a、,A=-430dtdt4da、102丿JdT_對微分方程組實行一個非奇異線性變換X=PY.其中<010'P：P=021,Y=AJ-11,/A于是得dx-=PAX=PAPY=JYJ=dt其一般解為A=W<p2=c2el+cjd03=Ce，再由X=PY求得原微分方程組的一般解為3=C2et+JJ丨z=2"+c3(2/+1)"-:=ce21-ce1-c3(t+l)ez其中是任意常數(shù)。注意解線性微分方程組可以用丿。2匕初標準型來考察.設P是將A化為羽刀型的相似變換矩陣，若我們引

17、進新變量z,P獸APS亦即方程組的矩陣經(jīng)過了一次相似變換，它現(xiàn)在是A的Jordan標準型。從例題中可以看到，在解決具體問題中不僅要求出Jordan標準型，而且需要求出變換矩陣P。結束語本文主要是對所學矩陣論知識的一個總結與回顧，清楚明了地理解了Jordan標準形的理論和矩陣對角的關系，在矩陣應用中有著很多的作用。但唯一遺憾的是在數(shù)值應用方面，兒乎沒有用的Jordan標準形一一這限制了其在計算機方面的應用。但是通過以上內容顯而易見可以看出在具體問題的求解過程中Jordan標準形依然發(fā)揮著簡化計算的作用；它在線性微分方程的應用中有著很大的作用。盡管限制了其在計算機方面大應用，Jordan標準型還是

18、值得繼續(xù)研究的，我們也將其更加深刻地認識到：在線性代數(shù)的理論體系下最深刻的概念之一矩陣的/"d創(chuàng)?標準型只不過是包含該矩陣的GL(n,刀啾道的某一最簡單的表示。這一更深刻的認識涉及到群表示理論?？傊?，在探尋/由力標準型與矩陣可對角化的關系中，我們認識到了認識是無止境的這一哲學命題，我們也有理由相信還有更加美妙的結果在等待著我們去發(fā)現(xiàn)。正因為線性微分方程組的此類解法的加入，無疑大大的擴展了，線性微分方程組的應用領域！與此同時線性微分方程組的適用領域的擴大，也讓人們對于矩陣Jordan標準型的研究發(fā)展，我們也能從這些探究中獲得學習數(shù)學的樂趣。參考文獻11北京大學數(shù)學系兒何與代數(shù)教研室代數(shù)小組，高等代數(shù)（第二版）M,北京,高等教育出版社,1998.2 徐立煒，趙禮峰,矩陣論M,北京,科學出版社,2011.3 錢吉林，高等代數(shù)解題精粹（第二版）M,北京，中央民族大學出版社,2002.4 DavidCLay,LinearAlgebraandItsApplications（Third