定積分的應用91598

1、1第八節(jié)第八節(jié) 定積分的應用定積分的應用 平面圖形的面積平面圖形的面積 體積體積 小結小結xyo)(xfy ab曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積 badx)x( fS一、平面圖形的面積一、平面圖形的面積1.選選x為積分變量為積分變量3xyo)(1xfy )(2xfy ab曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積 ba12dx)x(f)x(f S1A2A3A4Aacdeb beeddccadx)x( fdx)x( fdx)x( fdx)x( fS badx)x( f4 dcdy)y(Sxyo)y(x1 ) y(x2 abcdxyoab)y(x cd dc12dy)y()y(S2.選選y為積分變量為積分變量例例

2、1 1 計計算算由由兩兩條條拋拋物物線線xy 2和和2xy 所所圍圍成成的的圖圖形形的的面面積積.解解dxxxA)(210 10333223 xx.31 2xy 2yx (1,1)例例 2 2 計計算算由由曲曲線線xxy63 和和2xy 所所圍圍成成的的圖圖形形的的面面積積.解解兩曲線的交點兩曲線的交點).9 , 3(),4 , 2(),0 , 0( 236xyxxy2xy xxy63 于是所求面積于是所求面積21AAA dxxxxA)6(2023 dxxxx)6(3230 .12253 例例 3 3 計計算算由由曲曲線線xy22 和和直直線線4 xy所所圍圍成成的的圖圖形形的的面面積積.解解

3、兩曲線的交點兩曲線的交點).4 , 8(),2, 2( 422xyxy選選 為積分變量為積分變量y4, 2 yxy22 4 xy 422dy)y214y(S234211(4)|1826yyy 選選x為積分變量為積分變量 20dx)x2(x2S 82dx)4x(x2例例 4 4 求橢圓求橢圓12222 byax的面積的面積.解解由對稱性知總面積等于由對稱性知總面積等于4倍第一象限部分面積倍第一象限部分面積 a022dxxaab4A.ab 2a41ab4 9a,)0a(axy0y, 0 x,1 , 0 x,x-1y 522求求分分成成相相等等的的兩兩部部分分被被圍圍成成的的區(qū)區(qū)域域設設例例 S21

4、S:1 解解21SSS 102dx)x1(S32 a110221dx)axx1(S3a31a1132 1S2S2x1y 2axy 10最大最大時時最小最小時時問問在圖中在圖中設設例例2121SSS?t )2(SSS?t )1(,20,xsinx,y 6 2tt0dx) tsinx(sindx)xsint(sinS:解解2tt0| ) tsinxxcos(| )xcostsinx( 1tsin2tcos2tsint2 2 coscos0,242Stttt (0)1,()21,()1422SSS ,;t0,.4tSS 最最小小最最大大11.Y)0 , 3(3x4xy 72軸軸圍圍成成圖圖形形的的面

5、面積積與與處處的的切切線線及及其其點點在在求求拋拋物物線線例例 2)3(y, 4x2y: 解解6x2y: 切線為切線為9dx)3x4x(6x2S302 12.2x3xy 83成成區(qū)區(qū)域域的的面面積積線線圍圍和和它它的的右右極極值值點點處處的的切切求求例例 033xy :2解解1x x6y 06(1)y , 06)1(y 0y,1x 切線為切線為為右極值點為右極值點 123dx)2x3x(S427 13 旋轉體旋轉體就是由一個平面圖形繞這平面內就是由一個平面圖形繞這平面內一條直線旋轉一周而成的立體這直線叫做一條直線旋轉一周而成的立體這直線叫做旋轉軸旋轉軸圓柱圓柱圓錐圓錐圓臺圓臺二、體積二、體積1

6、、旋轉體的體積、旋轉體的體積14取取積積分分變變量量為為x，,bax 在在,ba上任取小區(qū)上任取小區(qū)間間,dxxx ，取取以以dx為為底底的的窄窄邊邊梯梯形形繞繞x軸軸旋旋轉轉而而成成的的薄薄片片的的體體積積為為體體積積元元素素，dxxfdV2)( xdxx xyo旋轉體的體積為旋轉體的體積為)(xfy 軸軸旋旋轉轉而而成成的的體體積積為為圍圍成成圖圖形形繞繞xbx, ax),x( fy )1( ba2xdx)x(fV15軸軸旋旋轉轉而而成成的的體體積積為為圍圍成成圖圖形形繞繞xbx, ax),x(gy),x( fy )2(21 ba22xdx)x(g)x(f (Vxyo)(yx cd軸旋轉而

7、成的體積為軸旋轉而成的體積為圍成圖形繞圍成圖形繞ydy, cy),y(x )3( dc2ydy)y(V16軸軸旋旋轉轉而而成成的的體體積積為為圍圍成成圖圖形形繞繞ydy, cy),y(x),y(x )4(21 dc22ydy)y()y(VdxxfxVbay| )(|2 軸旋轉而成的體積為軸旋轉而成的體積為圍成圖形繞圍成圖形繞y0y,bx, ax),x( fy )5( 17生生的的旋旋轉轉體體體體積積軸軸旋旋轉轉產產繞繞軸軸繞繞求求例例y(2),x(1) 1byax 12222 軸軸繞繞解解x)1(:22xaaby aa2xdxyV a02222dx)xa(ab22ab34 軸軸繞繞y)2(法一

8、法一22ybbax bb222ydy)ybba(V b02222dy)yb(ba2ba342 法二法二dx| )x( f |x2Vaay a02222dxxaxab4ba342 a03222| )x31xa(ab2 18.y,x1xy,x1-xy 3積積軸軸旋旋轉轉而而成成的的旋旋轉轉體體體體軸軸平平面面圖圖形形分分別別繞繞圍圍成成軸軸的的過過原原點點的的切切線線與與求求例例 .xyx,xy 222而成的旋轉體體積而成的旋轉體體積軸旋轉軸旋轉圍成平面圖形繞圍成平面圖形繞求求例例 10222xdx)x()x(V 1010524| x51x21dxxx(103 ,1x21y: 解解x1a21y,)

9、0 , 0( 則則切切線線方方程程為為點點過過代入方程有代入方程有設切點為設切點為),b, a(x21y2a 切線為切線為19 202122xdx)1x(dx)x21(V6| )xx21(|12x212203 10222ydy)y2()1y(V 158| yy32y51103520旋轉體體積旋轉體體積旋轉而成的旋轉而成的繞繞求求例例)0ab(bxayx 4222 解解:將將y軸平移到軸平移到x=-b處處yy,bxx 令令22222yabxayx 化化為為則則22yabx 即即 10222222ydy)yab()yab(V a022dyyab8ba2a41b8222 21xoab2、平行截面面積

10、為已知的立體的體積、平行截面面積為已知的立體的體積xdxx 如果一個立體不是旋轉體，但卻知道該立如果一個立體不是旋轉體，但卻知道該立體上垂直于一定軸的各個截面面積，那么，這體上垂直于一定軸的各個截面面積，那么，這個立體的體積也可用定積分來計算個立體的體積也可用定積分來計算.)(xA表表示示過過點點x且且垂垂直直于于x軸軸的的截截面面面面積積，)(xA為為x的已知連續(xù)函數(shù)的已知連續(xù)函數(shù),)(dxxAdV .)( badxxAV立體體積立體體積22三、經濟應用三、經濟應用0 x0cdx)x(C)x(C 1。已知生產某產品固定成本為。已知生產某產品固定成本為 ,邊際成本為邊際成本為 x為產量，則總成

11、本函數(shù)為為產量，則總成本函數(shù)為)x(C 0c2。已知銷售某產品的邊際收益為。已知銷售某產品的邊際收益為 ，x為銷售量，為銷售量，則總收益函數(shù)為則總收益函數(shù)為)x(R x0dx)x(R)x(R3。已知某產品總產量。已知某產品總產量Q的變化率為的變化率為 ，則，則（1）總產量函數(shù)為）總產量函數(shù)為（2）從）從 的總產量的總產量) t (Q 時時間間內內到到21tt t0dt) t (Q)x(Q 21ttdt) t (Q)x(Q4.已知設利潤函數(shù)的變化率為已知設利潤函數(shù)的變化率為 ，則，則（1）總利潤函數(shù)為）總利潤函數(shù)為（2）從）從 的利潤增量為的利潤增量為)x(L 時時變變到到產產量量21xx0 x

12、0cdx)x(L)x(L 21xxdx)x(L)x(L23試試確確定定廠廠商商的的最最大大利利潤潤萬萬元元設設固固定定成成本本為為例例,11Q14Q(Q)C2Q,-100(Q)R,50 12 ?t18) t (R),/(2t6(t)Ct,2000 23232為多少為多少最大利潤最大利潤產方可獲最大利潤產方可獲最大利潤試確定該礦何時停止生試確定該礦何時停止生增加收益為增加收益為年年百萬元百萬元的追加成本為的追加成本為在時刻在時刻萬元建成萬元建成某煤礦投資某煤礦投資例例 求在直角坐標系下、參數(shù)方程形式求在直角坐標系下、參數(shù)方程形式下、極坐標系下平面圖形的面積下、極坐標系下平面圖形的面積.（注意恰當

13、的（注意恰當?shù)倪x擇積分變量選擇積分變量有助于簡化有助于簡化積分運算）積分運算）四、小結四、小結25旋轉體的體積旋轉體的體積平行截面面積為已知的立體的體積平行截面面積為已知的立體的體積 繞繞 軸旋轉一周軸旋轉一周x繞繞 軸旋轉一周軸旋轉一周y繞非軸直線旋轉一周繞非軸直線旋轉一周6 6 曲曲線線2xy 與與它它兩兩條條相相互互垂垂直直的的切切線線所所圍圍成成平平面面圖圖 形形的的面面積積S，其其中中一一條條切切線線與與曲曲線線相相切切于于點點 ),(2aaA，0 a，則則當當 a_ _ _時時，面面積積S最最小小 . .二、二、 求由下列各曲線所圍成的圖形的面積：求由下列各曲線所圍成的圖形的面積：

14、1 1、xy1 與直線與直線xy 及及2 x；2 2、 y2x與直線與直線xy 及及xy2 ；3 3、 )cos2(2 ar；4 4、擺線、擺線)cos1(,)sin(tayttax )20( t及及x軸；軸；5 5、 cos3 r及及 cos1 r的公共部分；的公共部分；6 6、笛卡爾葉形線、笛卡爾葉形線axyyx333 . .一、一、 填空題：填空題：1 1、 由曲線由曲線eyeyx ,及及y軸所圍成平面區(qū)域的面積軸所圍成平面區(qū)域的面積是是_ . .2 2、 由曲線由曲線23xy 及直線及直線xy2 所圍成平面區(qū)域的所圍成平面區(qū)域的面積是面積是_ ._ .3 3、 由曲線由曲線 1,1,1,12 xxyxxy所圍成所圍成平面區(qū)域的面積是平面區(qū)域的面積是_ ._ .4 4、 計算計算xy22 與與4 xy所圍的區(qū)域面積時，選用所圍的區(qū)域面積時，選用_作變量較為簡捷作變量較為簡捷 . .5 5、 由曲線由曲線xxeyey ,與直線與直線1 x所圍成平面區(qū)所圍成平面區(qū)域的面積是域的面積是_ _ . .練練 習習 題題三、三、 求拋物線求拋物線342 xxy及其在點及其在點)3,0( 和和)0,3(處的切線所圍成的圖形的面積處的切線所圍成的圖形的面積 . .四、四、 求位于曲線求位于曲線xey 下方，該曲線過原點的切線的下方，該曲線過原點的切線的左方以左方以軸軸及及 x上方之間的圖形