二重積分計(jì)算中的積分限的確定

1、二重積分計(jì)算中積分限的確定摘要：二重積分計(jì)算中積分限的確定對于初學(xué)者是一個(gè)重點(diǎn)更是一個(gè)難點(diǎn).本文旨在介紹一種二重積分計(jì)算中確定積分限的簡單易行的方法關(guān)鍵詞：二重積分累次積分積分限積分次序引言：高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，二重積分計(jì)算是個(gè)難點(diǎn)。原因在于將二重積分化為累次積分時(shí)，對于積分限的確定學(xué)生難以掌握。本人結(jié)合自己的教學(xué)過程和自己的學(xué)習(xí)體會總結(jié)出一個(gè)口訣，發(fā)現(xiàn)在教學(xué)過程中效果不錯(cuò)可以很好的幫助學(xué)生解決這一難題。1 .高等數(shù)學(xué)中計(jì)算二重積分的方法在高等數(shù)學(xué)課本中，在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分的步驟為：1。(1)畫出積分區(qū)域(2)確定積分區(qū)域是否為X-型或Y-型區(qū)域，如既不是X-型也不是Y-型區(qū)域，則要將

2、積分區(qū)域化成幾個(gè)X-型和Y-型區(qū)域，并用不等式組表示每個(gè)X-型和Y-型區(qū)域.(3)用公式化二重積分為累次積分.(4)計(jì)算累次積分的值.在教學(xué)的過程中我發(fā)現(xiàn)學(xué)生對于此種方法掌握的很不好，尤其是在第二步中，確定積分區(qū)域從而確定累次積分的積分限是一個(gè)薄弱環(huán)節(jié).下面就本人在教學(xué)中的體會談?wù)勗谶@方面的一點(diǎn)心得.2 .教學(xué)過程中總結(jié)的方法本人的心得可用下面的口訣概括：后積先定限，限內(nèi)畫條線，先交下限取，后交上限見.下面簡單解釋一下該口訣，然后以具體的仞題加以說明.在將二重積分轉(zhuǎn)化為累次積分的時(shí)候?qū)τ趦蓚€(gè)積分變量必然會有個(gè)先后順序，這就要求對后積分的那個(gè)變量我們要根據(jù)積分區(qū)域確定其上下限(所謂確定是指根據(jù)積

3、分區(qū)域圖將其上下限定為常數(shù)).確定了這個(gè)變量的上下限以后，我們在其上下限內(nèi)畫一條和上下限平行的直線，該直線沿著坐標(biāo)軸白正方向畫過來，這樣該直線如果和積分區(qū)域總是有兩個(gè)交點(diǎn)，先交的即為另一個(gè)積分變量的積分下限，后交的即為其積分上限.3 .例題解析例1計(jì)算jjxydxdy淇中D是由直線x=2,y=1,y=x所圍成的區(qū)域.D解:作出積分區(qū)域D的圖形在這個(gè)例題中我們既可以選擇先對x積分也可以選擇先對y積分.若我們選擇先對x積分，那么根據(jù)口訣需要先把后積分的變量y的積分限根據(jù)積分區(qū)域先定下來.從積分區(qū)域圖可以看出y最小取到1最大取到2.然后我們在y的限y=1和y=2內(nèi)畫一條和這兩條直線平行的直線，易見這

4、條線只要畫在y=1和y=2內(nèi)，則其左邊總是和直線x=y相交，從而x的積分下限即為y，而右邊總是和直線x=2相交,從而x的積分上限為2.這樣就完成了二重積分到累次積分的轉(zhuǎn)化2211xydxdy=ydyxdxDy2小121y（2-2y1上限為x。于是該二重=118若我們選擇先對y積分也是可以的。先把后積分的變量x的積分限根據(jù)積分區(qū)域確定下來。從積分區(qū)域圖易見x最小取到1最大取到2。然后在x=1和x=2內(nèi)畫一條和這兩條直線平行的直線，只要這條線畫在*=1和*=2內(nèi)，則其下邊總是和y=1相交，而上面總是y=x相交。從而y這個(gè)積分變量的下限為積分也可轉(zhuǎn)化為下面的二次積分來計(jì)算：2x2x3x|x4xydx

5、dy=1xdx1ydy=1（丁-）dx=-D22_82例2計(jì)算口xydxdy,其中D是由拋物線y=x和直線y=x-2所圍成的區(qū)域。D解首先作出積分區(qū)域圖在本題中若我彳門選擇先對x積分，則根據(jù)積分區(qū)域圖和上面介紹的口訣可以知道該二重積分化為二次積分為：11xydxdy=D2y212255ydyxdxy(y2)-ydy=5-y28在本題中若我們選擇先對由圖可見x最小取到0平行的直線的時(shí)候發(fā)現(xiàn)在所畫直線上下均與拋物線交上面是與拋物線相交。y積分，則根據(jù)積分區(qū)域圖我們先把x的上下限定下來，最大取到4。但在x=0和x=4這兩條直線之間畫和他們x=1這條直線的左右兩側(cè)情況有所不同：在x=1的左側(cè)2y=x相

6、交，而右側(cè)所回直線下面是與直線y=x-2相從而本題若選擇先對y后對x積分則需要將積分區(qū)域從直線x=1處分割成兩半來處理:!Jxydxdy=0xdxydy1xdx-ydyD顯然這樣計(jì)算起來要比上一種方法復(fù)雜的多！故當(dāng)積分區(qū)域?qū)龠@種情況時(shí)一般來講我們會選擇先對x后對y積分。還有的情況恰與這種情況相反，那么我們?yōu)榱撕啽?x24x-x5)dx=-1x44x32H_43在本題中若我們?nèi)匀贿x擇先對x積分，則根據(jù)積分區(qū)域圖易知：積分變量y的最小取到0最大取到4。但是在y=0和y=4這兩條直線之間畫平行于它們的直線的時(shí)候會發(fā)現(xiàn)在直線y=1的上下兩側(cè)所畫直線與區(qū)域圖的交點(diǎn)所在的曲線有所不同：在直線y=1的下側(cè)，

7、所畫直線左右兩端均與拋物線相交。在直線y=1的上側(cè)，所畫直線左端與直線相交右端與拋物線相交。于是二重積分轉(zhuǎn)化為累次積分進(jìn)行計(jì)算時(shí)要將積分區(qū)域沿直線y=1分割成兩塊來處理：1y!.xydxdy=0ydy°D一下面我們選擇先對y積分看是否可以起到簡化計(jì)算的效果：從積分區(qū)域圖可以看到積分變量x最小取到-1最大取到2,在直線x=-1和x=2之間畫平行于它們的直線時(shí)易見該直線上端總是與直線y=x+2相交下端總是與拋物線y=x2相交，從而二重積分化為累次積分如下:2x212xydxdy=4xdxx2ydy=-式D2以上兩個(gè)例題是根據(jù)積分區(qū)域選擇積分次序以簡化計(jì)算，積分次序的選擇有時(shí)還要根據(jù)被積函

8、數(shù)來選擇，比如下面這個(gè)例題：2例4：計(jì)算x2edxdy,其中D是由直線x=0,y=1及y=x所圍成的區(qū)域。D解先畫出積分區(qū)域圖y=i/y=x若我們選擇先對x積分，根據(jù)積分區(qū)域圖，積分變量y最小取到0最大取到1,在直線y=0和y=1之間畫平行于他們的直線，該直線左端總是與直線x=0相交右端總是與直線x=y相交，從而二重積分化為累次積分為：221一xe"dxdy=0DA2,丫2,1edyxdx=-,03y3e-y2dy:-613e本題中若我們選擇先對y積分，則有:21c1.211xedxdy=oxdx*edyD、，2由于e的原函數(shù)不能用初等函數(shù)表出，因此我們無法求出二重積分的值！綜上所述

9、，對于初學(xué)者在將二重積分轉(zhuǎn)化為累次積分時(shí)，應(yīng)該依積分區(qū)域和被積函數(shù)的具體情況選擇積分的先后順序，方能達(dá)到簡化計(jì)算的目的。參考文獻(xiàn)：【1】杜先能孫國正。高等數(shù)學(xué)M。安徽大學(xué)出版社，2004【2】華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系。數(shù)學(xué)分析M。高等教育出版社，2004Theintegrallimit'sascertainingindoubleintegral'scalculation(zhaojuanchenhao)(DepartmentofMathematics,SuzhouCollege,Suzhou,AnhuAbstract:Thatdualaccumulatepointscalculatesascertainingthatmirestrictedtoisthatapriorityalsoisadifficultpointtothebeginner.Tarticleaimatascertainingthemeth