2019屆高三二輪復(fù)習(xí)專題一第一講函數(shù)與方程思想

1、專題一 數(shù)學(xué)思想方法思想方法解讀函數(shù)與方程都是中學(xué)數(shù)學(xué)中最為重要的內(nèi)容而函數(shù)與方程思想更是中學(xué)數(shù)學(xué)的一種 基本思想，幾乎滲透到中學(xué)數(shù)學(xué)的各個領(lǐng)域， 在解題中有著廣泛的應(yīng)用， 是歷年來高考考查 的重點1函數(shù)的思想函數(shù)的思想， 是用運動和變化的觀點， 分析和研究數(shù)學(xué)中的數(shù)量關(guān)系， 建立函數(shù)關(guān)系或 構(gòu)造函數(shù)， 運用函數(shù)的圖象和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題，從而使問題獲得解決 函數(shù)思想 是對函數(shù)概念的本質(zhì)認(rèn)識， 用于指導(dǎo)解題就是善于利用函數(shù)知識或函數(shù)觀點觀察、 分析和解 決問題經(jīng)常利用的性質(zhì)是單調(diào)性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、圖象變換等2方程的思想 方程的思想，就是分析數(shù)學(xué)問題中變量間的等量關(guān)系，建

2、立方程或方程組，通過解方程 或方程組， 或者運用方程的性質(zhì)去分析、 轉(zhuǎn)化問題，使問題獲得解決 方程的教學(xué)是對方程概念的本質(zhì)認(rèn)識， 用于指導(dǎo)解題就是善于利用方程或方程組的觀點觀察處理問題 方程思想 是動中求靜，研究運動中的等量關(guān)系3函數(shù)思想與方程思想的聯(lián)系函數(shù)思想與方程思想是密切相關(guān)的， 如函數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為方程問題來解決； 方程問題 也可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題加以解決，如解方程f(x)= 0，就是求函數(shù) y= f(x)的零點，解不等式f(x) 0(或 f(x)v0)，就是求函數(shù) y = f(x)的正負(fù)區(qū)間，再如方程 f(x)= g(x)的解的問題可以轉(zhuǎn)化 為函數(shù)y= f(x)與 y= g(x)的交點

3、問題，也可以轉(zhuǎn)化為函數(shù) y= f(x) g(x)與 x 軸的交點問題，方 程 f(x)= a 有解，當(dāng)且僅當(dāng) a 屬于函數(shù) f(x)的值域，函數(shù)與方程的這種相互轉(zhuǎn)化關(guān)系十分重要.4函數(shù)與方程思想解決的相關(guān)問題(1) 函數(shù)思想在解題中的應(yīng)用主要表現(xiàn)在兩個方面：1借助有關(guān)初等函數(shù)的性質(zhì)，解有關(guān)求值、解(證)不等式、解方程以及討論參數(shù)的取值范圍等問題；2在問題研究中通過建立函數(shù)關(guān)系式或構(gòu)造中間函數(shù)； 把研究的問題化為討論函數(shù)的 有關(guān)性質(zhì)，達到化難為易，化繁為簡的目的(2) 方程思想在解題中的應(yīng)用主要表現(xiàn)在四個方面：1解方程或解不等式；2帶參變數(shù)的方程或不等式的討論， 常涉及一元二次方程的判別式、 根

4、與系數(shù)的關(guān)系、 區(qū)間根、區(qū)間上恒成立等知識應(yīng)用；3需要轉(zhuǎn)化為方程的討論，如曲線的位置關(guān)系等；4構(gòu)造方程或不等式求解問題方法應(yīng)用示例考點一 函數(shù)與方程思想在求最值或參數(shù)范圍1求字母 (或式子 )的值問題往往要根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建以待求字母(式子)為元的方程 (組)，然后由方程 ( 組)求得2求參數(shù)的取值范圍是函數(shù)、方程、不等式、數(shù)列、解析幾何等問題中的重要問題解決 這類問題一般有兩條途徑， 其一， 充分挖掘題設(shè)條件中的不等關(guān)系， 構(gòu)建以待求字母為元的 不等式 (組)求解；其二，充分應(yīng)用題設(shè)中的等量關(guān)系，將待求參數(shù)表示成其他變量的函數(shù)， 然后，應(yīng)用函數(shù)知識求值域3當(dāng)問題中出現(xiàn)兩數(shù)積與這兩數(shù)和時，是構(gòu)建

5、一元二次方程的明顯信號，構(gòu)造方程后再利 用方程知識可使問題巧妙解決.4當(dāng)問題中出現(xiàn)多個變量時，往往要利用等量關(guān)系去減少變量的個數(shù)，如最后能把其中一 個變量表示成關(guān)于另一個變量的表達式，那么就可用研究函數(shù)的方法將問題解決.例1（2019 東莞模擬）已知 a, b, c R, a+ b + c= 0, a + be 1 = 0，求 a 的取值范圍.【獨立解答】解法一（函數(shù)思想）a b e =0 口由已知得 b+ c bc+ 1 = 0,a +bc 一 1 =0如果 c= 1,貝 U b+ 1 b + 1= 0,即 2= 0，不成立，因此CM1,令 f(c)= J c = 2 + (1 c) +21

6、 c1 c當(dāng) 1 c0 時，f(c) -2 2, (1 -c)2=-2221 -c當(dāng) 1 _c：0 時f(c) =-2 -J(1-c)- = -2-2 逅Y 1 -c所以 a 的范圍是 a -2 2 2 或 a 0即 =a24a -4 0解得 a -2 2 2 或 a 2 _2 2考點二利用函數(shù)與方程思想解決方程問題1 將兩函數(shù)圖象至少有一個公共點問題轉(zhuǎn)化為方程有解問題，即把函數(shù)問題用方程的思想 去解決.2.已知方程的解的情況，求參數(shù)的取值范圍.研究此類含參數(shù)的三角、指數(shù)、對數(shù)等復(fù)雜 方程解的問題，通常有兩種處理思路： 一是分離參數(shù)構(gòu)建函數(shù)，將方程有解轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域；二是換元，將復(fù)雜方程問

7、題轉(zhuǎn)化為熟悉的二次方程；進而利用二次方程解的分布情況構(gòu)建不等式（組）或構(gòu)造函數(shù)加以解決.例2（2019 泰安市模擬）若關(guān)于 x 的方程 cos 2x 2cos x+ m= 0 有實數(shù)根，則實數(shù) m 的取 值范圍是_【獨立解答】原方程可化為m= cos 2x+ 2cos x.所以 b= Lc -1a=-c.1 c令 f(x)= cos 2x+ 2cos x,則 f(x)=2COS2X+1 + 2cos x=-2(cosx -i)23,2 2 由于一 1 cos x2y+ 3x，那么Ax+yv0Bx+y0C.xyv0Dxy0設(shè)不等式 2x 1 m(x2 1)對滿足 m 2,2的一切實數(shù) m 都成立

8、，求 x 的取值范圍.(1)設(shè) f(x) = 2x 3 x因為 2x， 3x均為 R 上的增函數(shù)，所以 f(x)= 2x 3x是 R 上的增函數(shù).又由 2x 3x2y 3y= 2y 3(y),即 f(x) f( y),二 x y, 即卩 x + y0.設(shè) f(m)= (x21)m(2x1),則不等式 2x 1 m(x2 1)恒成立？f(m)v0 恒成立.在2 10 時，y . = 6 600, min此時 x= 10;當(dāng) 5 10 米時，豬舍的寬定為10 米，該養(yǎng)殖戶投入的資金最少是6 600 元；若 5 av10 米時，豬舍的寬就定為a 米，該養(yǎng)殖戶投入的資金最少是80（a 5000元.（1

9、2 分）變式訓(xùn)練（2019 湖北）為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層某幢建筑物要建造可使用20 年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6 萬元該建f（m）：0 二(OWxw10)，若不建隔熱層，每年能源消耗費用為8 萬元設(shè) f(x)為隔熱層建造費用與 20 年的能源消耗費用之和.(1)求 k 的值及 f(x)的表達式；隔熱層修建多厚時，總費用f(x)達到最??？并求最小值.【解析】(1)設(shè)隔熱層厚度為 x cm，由題設(shè)，每年能源消耗費用為C(x)，再由 C(0)3x +540=8，得 k= 40,因此 C(x)=- .3x +5而建造費用為 C(x) = 6x.最后得隔熱層建造費用與20 年的能源消耗費用之和為40 小f(x)=20C(x)+C1(x)=20X+6x13x +5+6x(0wx 0.故 x= 5 是 f