論反證法在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上昆 明 學(xué) 院 2016屆畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 設(shè)計(jì)（論文）題目 論反證法在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 子課題題目 姓 名 鄭粒紅 學(xué) 號(hào) 8 所 屬 系 數(shù)學(xué)系 專業(yè)年級(jí) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)2012級(jí)數(shù)學(xué)1班 指導(dǎo)教師 雷曉強(qiáng) 2016 年 3 月專心-專注-專業(yè)摘 要本文主要從五大板塊對(duì)反證法在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用進(jìn)行論述，第一板塊通過(guò)對(duì)反證法的由來(lái)、定義、邏輯依據(jù)、種類、模式的說(shuō)明對(duì)反證法進(jìn)行概解。第二板塊例舉反證法的適用范圍，并通過(guò)大量實(shí)例闡明在各個(gè)命題中反證法的證明的步驟。第三板塊分析應(yīng)用反證法應(yīng)注意的問(wèn)題。第四板塊淺析反證法的教學(xué)價(jià)值及建議。最后第五板塊進(jìn)行分析總結(jié)。關(guān)鍵詞：反

2、證法;證明;矛盾 Abstract This article mainly from the five plate on the reduction to absurdity in the middle school mathematics application is discussed, and the first plate by means of reduction to absurdity and types of the origin, definition and logical basis, the model of generalized solution of reduct

3、ion to absurdity. Second plate presented the applicable scope of reduction to absurdity, and through a lot of examples to elucidate the reduction to absurdity in the proposition proof steps. Some problems that should be paid attention to the third sector analysis application of reduction to absurdit

4、y. The fourth section teaching value of reduction to absurdity is analysed and the suggestion. Finally the fifth plate were analyzed. Keywords: Reduction to absurdity; prove ;contradiction目錄9345緒論從前有一個(gè)叫王戎的小孩。在天朗氣清的一天，他和小朋友們出去玩并在路邊發(fā)現(xiàn)一棵樹(shù)上結(jié)滿了李子，小朋友們蜂擁而上，去摘李子吃，嘗了之后發(fā)現(xiàn)是李子苦的。這時(shí)站在一邊沒(méi)有動(dòng)的王戎向小朋友們解釋道：如果李子是甜的，早被

5、路人摘光了，而這棵樹(shù)上的李子結(jié)得滿滿的，所以這些李子一定是苦的。這個(gè)故事中王戎從反面論述了李子為什么一定是苦的。這種反面的證明方法就是我下面所要討論的反證法。反證法是數(shù)學(xué)證明中一種極為重要的方法，牛頓曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“反證法是數(shù)學(xué)家最精當(dāng)?shù)奈淦髦弧?。同時(shí)反證法也擁有歷史悠久的應(yīng)用與發(fā)展，古希臘數(shù)學(xué)家們就曾應(yīng)用它證明了許多重要教學(xué)命題，比如，歐幾里德證明兩條直線相交只有一個(gè)交點(diǎn)的定理就是用反證法證明的。第一章 反證法概解1.1 反證法的由來(lái) 反證法,從名稱上我們就能知道它是一種證明方法，它在數(shù)學(xué)和邏輯上是統(tǒng)一的。在畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的影響下早期古希臘的數(shù)學(xué)認(rèn)為萬(wàn)物皆數(shù)，并用整數(shù)和幾何圖形構(gòu)建了一個(gè)宇宙圖

6、式，當(dāng)時(shí)在數(shù)學(xué)家的腦海里萬(wàn)物皆數(shù)這個(gè)思想是根深蒂固的。但是隨著的出現(xiàn)，希臘開(kāi)始重新審視他們眼里的數(shù)學(xué)，認(rèn)識(shí)到圖形和直觀并不是萬(wàn)能的，從而推理和邏輯走上了數(shù)學(xué)的舞臺(tái)。于此同時(shí)西方數(shù)學(xué)變成了以證明為主的證明數(shù)學(xué),他們的數(shù)學(xué)推崇準(zhǔn)確性，他們要的是準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)。其表現(xiàn)形式為:邏輯、演繹的體系。由此可見(jiàn)證明的數(shù)學(xué)與算的數(shù)學(xué)正好是相反的。希臘人重視邏輯和演繹的證明，在歐幾里得的幾何原本里反證法得到了最早的應(yīng)用。在初等數(shù)學(xué)教程（平面幾何卷）中法國(guó)數(shù)學(xué)家J·阿達(dá)瑪作了最準(zhǔn)確、最簡(jiǎn)明扼要、最精辟的描述：“反證法在于表明，若肯定定理的假設(shè)而否定其結(jié)論，就會(huì)導(dǎo)致矛盾”。在數(shù)學(xué)命題的證明中作為一種最重要且基本

7、的數(shù)學(xué)證明方法的反證法被廣泛應(yīng)用。就如，伽利略推翻“不同重量的物體從高空下落的速度與其重量成正比”的斷言，歐幾里得證明的“素?cái)?shù)有無(wú)窮多”的結(jié)論，歐多克斯證明的“兩個(gè)正多邊形的面積比等于其對(duì)應(yīng)線段比的平方”的結(jié)論， “最優(yōu)化原理”的證明，“上帝并非全能”的證明，其中都運(yùn)用了反證法。在我們學(xué)習(xí)的各個(gè)階段，反證法自始至終都陪伴著我們。1.2 定義反證法是從反面的角度思考問(wèn)題的證明方法，屬于“間接證明”的一類，即肯定題設(shè)而否定結(jié)論，從而導(dǎo)出矛盾，推理而得。不仿設(shè)原命題為，是推出的結(jié)論，表示條件、某公理定義定理或臨時(shí)假設(shè)，則用數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)可以簡(jiǎn)單地表示為：，即。1.3 邏輯依據(jù)邏輯思維規(guī)律中的“矛盾律”和“

8、排中律”是反證法所依據(jù)的。邏輯思維中的“矛盾律”指在同一思維過(guò)程中，兩個(gè)相互矛盾的判斷不能同時(shí)都為真，至少有一個(gè)是假的；邏輯思維中的“排中律”指兩個(gè)互相矛盾的判斷不能同時(shí)都假，簡(jiǎn)單地說(shuō)“A或者非A”。反證法通過(guò)證明，從而得到矛盾的判斷，再根據(jù)“矛盾律”，我們知道這些矛盾的判斷不能同時(shí)為真，必定有一個(gè)是假的。而已知條件、已知公理、定理、法則或者已經(jīng)證明為正確的命題都是真的，所以“否定的結(jié)論”必定是假的。再根據(jù)“排中律”，結(jié)論與“否定的結(jié)論”這一對(duì)立的互相否定的判斷不能同時(shí)為假，必有一真，于是我們并可以得到原結(jié)論必定是真的。1.4 種類反證法又稱為歸謬法，反證法的運(yùn)用重點(diǎn)在于歸謬。根據(jù)結(jié)論B的反面

9、情況的不同，分為簡(jiǎn)單歸謬法和窮舉歸謬法。1.4.1 簡(jiǎn)單歸謬法如果命題的反面只有一種情形，那我們則只需把這一種情形推倒，便可實(shí)現(xiàn)反證的目的。例 1.1 兩條直線同時(shí)平行于第三條直線，則原兩條直線互相平行。已知：求證：證明：假設(shè)與不平行, 則可設(shè),過(guò)點(diǎn)有兩條不同的直線與（不滿足平行公理）,即假設(shè)不成立,故. 1.4.2 窮舉歸謬法若命題的反面不止一種情況，那我們則必須將其逐一推倒，才能間接證明命題的正面成立。例 1.2 若則有證明：假若不然，則有:與題設(shè)矛盾；與題設(shè)矛盾。因此， 1.5 模式 假設(shè)需要證的命題為“若A則B”，其中A是題設(shè)，B是結(jié)論，并且A、B本身也都是數(shù)學(xué)判斷，那么用反證法證明命

10、題一般有如下三個(gè)步驟：(1)反設(shè)：作出與求證結(jié)論相反的假設(shè)；(2)歸謬：將反設(shè)作為條件，并由此通過(guò)一系列的正確推理導(dǎo)出矛盾；(3)結(jié)論：說(shuō)明反設(shè)不成立，從而肯定原命題成立。第二章 反證法的適用范圍 生活中去掉含有砂礫大米中的砂礫，一共有兩種方法。一種是直接把大米中的砂礫一一撿出來(lái)；一種是用淘洗發(fā)，把砂礫殘留下來(lái)。這就像數(shù)學(xué)中的直接法和間接法，而反證法就是一種典型的間接法。那么，我們什么時(shí)候該用反證法呢？2.1否定性命題 結(jié)論以“沒(méi)有”、“不是”、“不能”等形式出現(xiàn)的命題，不容易用直接證法證明，而反證法剛好可以發(fā)揮它的作用。例 2.1 求證:若為自然數(shù) ,則不能被15整除。 證明：假設(shè)能被15整

11、除,則定能被5整除, 的尾數(shù)必定為5或0,又 為偶數(shù) , 的尾數(shù)必然為0,即的尾數(shù)必然為8 . 又對(duì)任意自然數(shù)的尾數(shù)均不為8，假設(shè)錯(cuò)誤不成立，即原命題成立. 2.2 肯定性命題 例2.2 求證0.9的循環(huán)等于1.證明：假設(shè)0.9的循環(huán)不等于1，則0.3的循環(huán)的3倍必定不等于1,又，與假設(shè)矛盾,即原命題成立，0.9的循環(huán)等于1. 2.3 限定式命題結(jié)論中含有“至多”、“至少”、“不多于”或“最多”等詞語(yǔ)的命題稱為限定式命題。2.3.1 “至多”例2.3 已知:都是正整數(shù);求證：在三個(gè)數(shù)中，至多有一個(gè)數(shù)不小于1證明： 假設(shè)中至少有兩個(gè)數(shù)不小于1，不妨設(shè)則:兩式相加，得:,與是正整數(shù)矛盾即命題成立.

12、 2.3.2“至少”例 2.4 已知：;證明:方程和中，至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根。分析：“至少有一個(gè)”就是“有一個(gè)”，“有兩個(gè)”，那么它的反面則是“一個(gè)都沒(méi)有”，屬于存在性問(wèn)題，適合用反證法。證明：假設(shè)兩個(gè)方程，都沒(méi)有實(shí)根,， . 又,矛盾.即和中至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根. 2.3.3 其他例 2.5 是定義在上且滿足如下條件的函數(shù)組成的集合： （1）對(duì)任意的，都有； （2）存在常數(shù)，使得對(duì)任意的，都有. 設(shè) , 如果存在 使得,證明這樣的是惟一的.分析:如果不是惟一的，即存在另外的滿足條件的根。證明時(shí)可假設(shè)存在外的另一實(shí)數(shù)滿足條件，從而推出與惟一性相矛盾的結(jié)論.證明：假設(shè)存在另一實(shí)數(shù),使得. ,

13、由得:,即,又,顯然上式不成立,原命題成立. 2.4 無(wú)限性命題在含有“無(wú)窮”、“無(wú)限”等詞的求證命題中，我們往往不容易從正面證明，這時(shí)，我們便可以考慮使用反證法證明。例 2.6 求證在0與1之間有無(wú)窮個(gè)有理數(shù)。證明：假設(shè)在0與1之間的有理數(shù)只有（有限的）n個(gè)：.有理數(shù)之積仍為有理數(shù),可得到一個(gè)與都不相同的有理數(shù). 又都為小于1的正有理數(shù),在0與1至少有n+1個(gè)有理數(shù)，這與假設(shè)只有限個(gè)有理數(shù)相矛盾,即原命題成立. 例 2.7 求證：是無(wú)理數(shù)。分析：由于無(wú)理數(shù)是無(wú)限不循環(huán)的，而“無(wú)限”與“不循環(huán)”都很難表示出來(lái)。所以我們可以反設(shè)是有理數(shù)，便能表示為一個(gè)分?jǐn)?shù)。證明：假設(shè)是有理數(shù)，則可設(shè):（,且互質(zhì)

14、）,為偶數(shù)，并設(shè).,則也是偶數(shù),故均為偶數(shù)與互質(zhì)矛盾,即原命題成立. 例 2.8 試證: 存在無(wú)窮多個(gè)質(zhì)數(shù)。分析：對(duì)于這類具有某種無(wú)限性質(zhì)的命題,如果從正面去證明往往比較麻煩,以至無(wú)法證明.但用反證法證明,就可把無(wú)限轉(zhuǎn)化為有限.這樣,論證起來(lái)也就簡(jiǎn)單方便得多了。證明: 設(shè)質(zhì)數(shù)只有個(gè): ，,，取正整數(shù)+1,不能被這個(gè)質(zhì)數(shù)中的任一個(gè)整除（有余數(shù)1）,本身就是不等于 中任一個(gè)質(zhì)數(shù),或者還含有除這個(gè)質(zhì) 數(shù)外的質(zhì)因數(shù),這與質(zhì)數(shù)僅有個(gè)的反設(shè)是矛盾的,故質(zhì)數(shù)個(gè)數(shù)不可能是有限的,而是無(wú)限的. 2.5 基本定理和初始命題由于在證明某些基本定理時(shí)，我們除已經(jīng)學(xué)過(guò)的公理及其推理外，在此之前所導(dǎo)出的定理不多，這時(shí)常用

15、反證法。例 2.9 證明勾股定理：已知：三角形的三邊長(zhǎng)分別為：，;求證：.證明：假設(shè).又,可令，且.顯然,，從而,于是a、b、中任意兩個(gè)數(shù)之和必大于第三個(gè)數(shù),使其三邊之長(zhǎng)為a、b、.即為最大值，故中的最大角.于是，在RTABC和,一個(gè)三角形的兩邊與另一個(gè)三角形的兩邊對(duì)應(yīng)相等，而第三邊不相等（c),第三邊大的所對(duì)應(yīng)的角也較大，因此， 不是直角三角形.即當(dāng)時(shí)，ABC不是直角三角形，這與已知矛盾,故, 2.6 逆命題為了方便，某些命題的逆命題，用反證法證明時(shí)可利用原命題的結(jié)論。例 2.10 正命題：若四邊形有一個(gè)內(nèi)切圓，則對(duì)邊之和必相等。圖2-1逆命題：若四邊形對(duì)邊之和相等，則它必有一個(gè)內(nèi)切圓。逆命

16、題的證明：如圖2-1，（1），設(shè)四邊形不能有一個(gè)內(nèi)切圓，則可作O與其三邊相切。又與O相離或相交，過(guò)作O的切線延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，由正命題知：（2）.當(dāng)與O相離時(shí)，（1）-（2）得:,這與三角形兩邊之和大于第三邊相矛盾.當(dāng)與O相交時(shí)，（2）-（1）得:,同樣推出矛盾.則與O不能相交或相離,即與O必相切,故若四邊形對(duì)邊之和相等，則它必有一個(gè)內(nèi)切圓. 2.7 某些存在性命題例 2.11已知：;求證:對(duì)于,必存在滿足條件的使成立.證明：假設(shè)對(duì)于一切使恒成立.令，則.令,則.令,則.又，矛盾.故欲證結(jié)論正確. 2.8 全稱肯定性命題結(jié)論以“總是”、“都”、“全”等出現(xiàn)的這類肯定性命題可以用反證法證明。例 2.

17、12 求證:無(wú)論是什么自然數(shù)，總是最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)。證明：假設(shè)不是最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)，并令（1），（2），且為最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)，由（2）×3-（1）×2得:,又為整數(shù)，為分?jǐn)?shù),則不成立,即假設(shè)不成立，分?jǐn)?shù)是最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù). 2.9 一些不等量命題反證法是證明不等式的一種重要方法，但當(dāng)結(jié)論反面有無(wú)窮多種情況時(shí)，一般不合適用反證法。例 2.13 已知，且;求證：.證明：假設(shè).把代入假設(shè)得:,即.又 ,.,從而，與矛盾,即假設(shè)不成立，原命題成立. 例 2.14 已知：在中，;求證：.分析：此題較為簡(jiǎn)單，不用反證法，用平面幾何的知識(shí)便能解決。當(dāng)然，也可以用反證法加以證明解決。證明：如圖2-2，假設(shè)即或.若，則為等

18、腰三角形,圖2-2，與已知矛盾.若，在延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)，使得，并連接， 為等腰三角形。 即.又為的一個(gè)外角, .而, ，與已知矛盾.假設(shè)不成立，原命題成立. 例2.15 求證：已知：有兩個(gè)不相等的非零實(shí)數(shù)根;求證：.分析：的否定是，而有三種情況，分別是：(1)；(2)；(3)證明：假設(shè).(1)若，方程變?yōu)?，?，與已知條件矛盾.(2）若，方程變?yōu)?，?.又,方程無(wú)解，與已知條件矛盾.(3) 若，方程變?yōu)?，?，與已知條件矛盾.綜上可知假設(shè)不成立,即. 例2.16 證明不可能分解為兩個(gè)一次因式的乘積分析：通過(guò)否定命題結(jié)論，利用恒等式比較系數(shù)，從而設(shè)法推出矛盾證明：假設(shè)多項(xiàng)式能分解為兩個(gè)一次因式的乘

19、積.又中不含常數(shù)項(xiàng),上式可分解為:(其中均不為0),=, =.比較系數(shù)得由（1），（3）得；由（4），（5）得,從而c=d=e.又由（3），（5）得,（2）為,即，與（4）相矛盾,故假設(shè)不成立，原命題成立. 例2.17 求證：11,111,1111，這一串?dāng)?shù)中沒(méi)有完全平方數(shù) 分析：先觀察這一串?dāng)?shù)的特征： 11=2×5+1， 111=2×55+1， 1111=2×555+1， 證明：假設(shè)為數(shù)的完全平方數(shù)，則:上式右端為偶數(shù),也是偶數(shù).為奇數(shù).又，且為數(shù)的完全平方數(shù),為奇數(shù).則與均為偶數(shù)，故可設(shè):,，左邊奇數(shù)，右邊偶數(shù)，等式不成立,故不可能是完全平方數(shù),即11,111

20、,1111，這一串?dāng)?shù)中沒(méi)有完全平方數(shù). 2.10 基本命題基本命題即學(xué)科中的起始性命題，此類命題已知條件及能夠應(yīng)用的定理、公式、法則較少，或由題設(shè)條件所能推出的結(jié)論很少，所以用直接證明比較困難，而應(yīng)用反證法則比較容易奏效。如：平面幾何在按照公理化方法建立起它的科學(xué)體系時(shí)，在其基礎(chǔ)上只是提出少量的定義、公理。因此，起始階段的一些性質(zhì)和定理很難直接推證，而用反證法來(lái)證明則比較容易。例 2.18 已知：如圖2-3, 于， 于。圖2-3求證：.證明: 假設(shè)不平行，且交于點(diǎn) ，則過(guò)P點(diǎn)有,與“過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線垂直”矛盾. 假設(shè)錯(cuò)誤，則. 例 2.19 兩條相交直線只有一個(gè)交點(diǎn)。圖

21、2-4已知：如圖2-4，直線相交于點(diǎn)。求證：只有一個(gè)交點(diǎn)。證明：假設(shè)直線不止有點(diǎn)這一個(gè)交點(diǎn)，還有一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)，直線都是由兩點(diǎn)確定的直線，即由兩點(diǎn)確定了兩條直線，這與已知公理“兩點(diǎn)只確定一條直線”相矛盾.故直線不可能有兩個(gè)交點(diǎn)，即兩條相交直線只有一個(gè)交點(diǎn). 第三章 應(yīng)用反證法應(yīng)注意的問(wèn)題3.1 反設(shè)要正確運(yùn)用反證法證明一道題目的首要問(wèn)題是能正確的否定結(jié)論。 如：命題“在一個(gè)三角形中，至少有兩個(gè)內(nèi)角是銳角”?！爸辽儆袃蓚€(gè)”指：“有兩個(gè)”或者“有三個(gè)”，其反面是“有一個(gè)銳角”或者“三個(gè)內(nèi)角都不是銳角”，即“至多有一個(gè)角是銳角”。3.2 明確推理特點(diǎn) 使用反證法證題，實(shí)際上就是否定結(jié)論導(dǎo)出矛盾，但是何

22、時(shí)出現(xiàn)矛盾，出現(xiàn)什么樣的矛盾卻是不能預(yù)知的，一般我們總是在命題的相關(guān)領(lǐng)域里考慮。例如,立體幾何問(wèn)題往往聯(lián)系到相關(guān)的判定定理等。所以，我們?cè)谶\(yùn)用反證法證題時(shí)只需正確否定結(jié)論，再進(jìn)行步步有據(jù)的推理，一旦出現(xiàn)矛盾，證明也就此結(jié)束了。3.3 善于靈活運(yùn)用對(duì)待用反證法證題的策略思想是：首先試用直接證法，若一時(shí)不能成功，再使用反證法證明。因?yàn)殡m然數(shù)學(xué)證明題一般都可采用反證法，但這并不代表，所有證明題都應(yīng)該使用反證法來(lái)證明。就多數(shù)證明題來(lái)說(shuō)，用直接證法就可以證出來(lái)，不能一味用反證法證明。要靈活運(yùn)用反證法，畢竟我們平時(shí)訓(xùn)練的題目多是可以運(yùn)用直接證法證明。第四章 反證法的教學(xué)價(jià)值及建議對(duì)于老師，從早期就要向?qū)W生

23、滲透關(guān)于反證法的教學(xué)思想，凡事不一定非常嚴(yán)謹(jǐn)，只要學(xué)生能夠明白、認(rèn)可其中的說(shuō)理就可以。例如，老師可以先在黑板上寫(xiě)出三個(gè)整數(shù)，然后擦去一個(gè)換成所剩兩數(shù)之和，以此操作下去，最后得到66,88,99.問(wèn)原來(lái)那三個(gè)數(shù)字能否是1,3,5？對(duì)于這個(gè)問(wèn)題的判斷就可以使用反證法的思想，先假設(shè)原來(lái)寫(xiě)的就是1,3,5，那么從第一次改變后，三個(gè)數(shù)永遠(yuǎn)是兩個(gè)奇數(shù)一個(gè)偶數(shù)，所以不可能出現(xiàn)像66,88,99這樣兩個(gè)偶數(shù)一個(gè)奇數(shù)的狀態(tài)。另外，由于數(shù)學(xué)歸納法也可以用反證法證明，并且凡是能用數(shù)學(xué)歸納法證明的命題，就一定能用反證法證明。一般思路就是：若命題并非對(duì)任意的都真，則存在不真。假設(shè)所有的這樣的組成集合,用證明數(shù)學(xué)歸納法相

24、同的方法，從最小數(shù)原理推出矛盾來(lái)說(shuō)明。4.1 反證法的教學(xué)價(jià)值4.1.1 訓(xùn)練逆向思維 大多數(shù)人習(xí)慣先從正面入手進(jìn)行思考解決一個(gè)面臨的數(shù)學(xué)問(wèn)題,即根據(jù)問(wèn)題中的已知條件,搜索運(yùn)用已掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)去推理運(yùn)算逐步由已知導(dǎo)出末知。但是如果從正面入手繁瑣或者難度較大,我們還可以考慮問(wèn)題的相反方面,并且往往會(huì)絕處逢生,開(kāi)拓解題思路。這種逆向思維,在數(shù)學(xué)解題中有4種形式:正逆運(yùn)算轉(zhuǎn)化；條件,結(jié)論轉(zhuǎn)化；互為反函數(shù)間的轉(zhuǎn)化；以反記法解題。反記法的教學(xué)能擺脫學(xué)生的思維定勢(shì)、簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程,明晰解題思路,提高解題速度,促進(jìn)創(chuàng)新思維。4.1.2 促進(jìn)數(shù)學(xué)思維的形成 新一輪課程教學(xué)改革強(qiáng)調(diào)創(chuàng)造性、生成性,得以形成數(shù)學(xué)文化

25、、數(shù)學(xué)思維,如何去做是我們關(guān)注的。數(shù)學(xué)思想方法是科學(xué)思維的方法和技術(shù),是數(shù)學(xué)的精髓,它為揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)，提供了有力的思想武器。數(shù)學(xué)思想方法是動(dòng)態(tài)思辯的,重在培養(yǎng)創(chuàng)造性、開(kāi)拓性人才。中國(guó)初等數(shù)學(xué)教育明顯的好于西方,但到大學(xué)階段的學(xué)生卻缺少創(chuàng)造性,很難有所成就 ,更不必說(shuō)獲諾貝爾獎(jiǎng),這種情況早就應(yīng)引起我們反思。我國(guó)的數(shù)學(xué)教學(xué)偏重于解題訓(xùn)練,題海戰(zhàn)術(shù)。而啟發(fā)性思維、理解、悟得思想方法的不多。因而形成學(xué)生成績(jī)的兩極分化,討厭數(shù)學(xué),甚至數(shù)學(xué)尖子生也遠(yuǎn)離數(shù)學(xué),回想起數(shù)學(xué)來(lái)就心生畏懼。加強(qiáng)思想方法教學(xué)是數(shù)學(xué)的本質(zhì)要求,是當(dāng)下世界經(jīng)濟(jì)競(jìng)爭(zhēng)的需要,也是提高全民族整體素質(zhì)的重要舉措。是社會(huì)發(fā)展的需要,更是提高數(shù)學(xué)質(zhì)

26、量的基本保證。而通過(guò)反證法的訓(xùn)練是培養(yǎng)數(shù)學(xué)思想方法的很好途徑。歐幾里德很喜歡運(yùn)用的歸謬法，它是數(shù)學(xué)家最有力的一件武器,比起象棋開(kāi)局時(shí)犧牲一子以取得全局的讓子法,它還要高明。象棋奕者不外犧牲一卒或頂多一子,數(shù)學(xué)家索性把全局拱手讓給對(duì)方！這種先棄后取、欲擒故縱的策略實(shí)在是數(shù)學(xué)證明中極為有效的一種方法。4.1.3 培養(yǎng)思維嚴(yán)密性 訓(xùn)練邏輯思維能力反證法是典型的間接證法,也是通過(guò)證明原命題的等價(jià)命題從而證明原命題。在證明過(guò)程中的每一環(huán)節(jié)都要全面、不遺漏。比如否定原題結(jié)論反設(shè)后有幾種情況,必須進(jìn)行分類討論,一一加以否定。反證法與直接證法是密切聯(lián)系的，二者相結(jié)合往往相輔相成,相得益彰。就全局而言是反證法,

27、但從局部看,在作反設(shè)后的推理過(guò)程用的是直接證法。有時(shí)在基本直接證法的推理中,又會(huì)穿插一段反證法,以確定某些所需論據(jù),反設(shè)時(shí),必須注意弄清原題結(jié)論的反面,周密地列出與原題結(jié)論相悖的所有不同情況,再否定,不能有所遺漏。4.1.4 滲透數(shù)學(xué)史 反證法可以提高辯證思維的能力。它是一種重要的證明方法,無(wú)論在初等數(shù)學(xué)還是高等數(shù)學(xué)中,都有廣泛的應(yīng)用,數(shù)學(xué)中一些基本性質(zhì),重要定理甚至某些著名的數(shù)學(xué)難題,往往用反證法證得。舉世聞名的費(fèi)爾馬大定理,這個(gè)多年前的數(shù)學(xué)難題被攻克,就是反證法的的功績(jī),歐幾里德曾用它證明素?cái)?shù)有無(wú)窮多個(gè)。因此反證法對(duì)訓(xùn)練學(xué)生辨證思維,提高哲學(xué)修養(yǎng)很有價(jià)值。4.2 反證法的教學(xué)建議之所以書(shū)上

28、沒(méi)有給出其概念，是因?yàn)榉醋C法的邏輯依據(jù)是邏輯學(xué)和集合論,比較復(fù)雜。但是無(wú)論小學(xué)、初中、到高中都用到反證法,而且代數(shù)、幾何也都同樣使用到反證法。為此教學(xué)工作如下設(shè)想。4.2.1 多次反復(fù), 螺旋上升反證法的知識(shí)本身很難,大多學(xué)生多次學(xué)習(xí)任感到似懂非懂,下次見(jiàn)到又是陌生。因此,不能期待一次就懂,一蹴而就,要通過(guò)看書(shū)、示范例題、探索解題、回顧推敲、揭示內(nèi)涵、思悟提高等慢慢地掌握。4.2.2 精心研究, 訓(xùn)練反設(shè)在反證法證明中準(zhǔn)確了解掌握命題結(jié)構(gòu),列出其否定式是十分重要的，正確的否定才能有正確的證明。4.2.3 滲透數(shù)學(xué)思想方法, 訓(xùn)練嚴(yán)密先由教師引導(dǎo),將思想隱于分析過(guò)程中,再師生共同概括提煉,加以量

29、化。然后由學(xué)生反過(guò)程,探索分析問(wèn)題思想,以達(dá)到提高、升華。最后,力求使學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用反證法思想武器指導(dǎo)思維活動(dòng),在高層次感受其威力。4.2.4 共同探究, 總結(jié)歸謬類型歸謬是用反證法證明的核心部分。為了進(jìn)行新的否定,必須在推理過(guò)程中有意識(shí)地制造矛盾并及時(shí)地發(fā)現(xiàn)矛盾。通?？梢詮囊韵聨讉€(gè)方面去尋找矛盾。(1) 導(dǎo)出新結(jié)論與公理矛盾。例4.1 在同一平面內(nèi)，平行于同一直線的兩條不同直線必定平行已知：直線中，求證：分析：本題證明中，可通過(guò)(1)提出反設(shè)；(2)推出矛盾；(3)肯定結(jié)論三步，對(duì)命題進(jìn)行證明，并利用“平行與相交”互為否定的結(jié)論對(duì)命題進(jìn)行證明。證明：假設(shè)與不平行，則:必相交于一點(diǎn)，設(shè)為點(diǎn).又,

30、過(guò)點(diǎn)有兩條直線同時(shí)平行于與平行公理矛盾,即假設(shè)錯(cuò)誤，原命題成立. (2)導(dǎo)出的新結(jié)論與已知定義矛盾。例 4.2 已知：是同一平面內(nèi)的三條直線,且,與相交但不垂直；E求證:相交。ABGCDHF圖4-1證明:如圖4-1.假設(shè)不相交,則必有又與相交但不垂直,從而,即與的交角不是直角,這與垂線定義相矛盾,即必相交。(3)導(dǎo)出的新結(jié)論與已知的定理矛盾。例 4.3 兩個(gè)自然數(shù)的任意一個(gè)公倍數(shù)都是其最小公倍數(shù)的倍數(shù)。如，而是的任意一個(gè)公倍數(shù),那么。證明: 假設(shè)不整除。那么用除有： 又，同樣.是的公倍數(shù).而0<<,這與矛盾,(4)尋出的新結(jié)論與反設(shè)相矛盾。例 4.4 求證不是有理數(shù)。證明: 假設(shè)是

31、有理數(shù)。注意到1<<2,則可設(shè)(其中為互素的互整數(shù), )平方得:即是偶數(shù),此時(shí)也是偶數(shù),由此可設(shè)則是偶數(shù),此時(shí)也是偶數(shù),又也是偶數(shù),這與互素的假設(shè)矛盾,即不是有理數(shù). (5)得出的結(jié)論與推理過(guò)程中間某一結(jié)論矛盾,即自相矛盾。例 4.5 試證三個(gè)連續(xù)整數(shù)中的最大一個(gè)數(shù)的立方不可能等于其它的數(shù)的立方和。證明: 設(shè)三個(gè)連續(xù)整數(shù)為假設(shè)成立,化簡(jiǎn)得:,故與同為正數(shù),即知,則有:,與矛盾,故原命題成立. 第五章 結(jié)論反證法是一種特別重要的證明方法，在數(shù)學(xué)中應(yīng)用非常普遍，特別是在高等數(shù)學(xué)中，當(dāng)然在初等數(shù)學(xué)中應(yīng)用也很廣泛。但是學(xué)生卻不能很好的掌握反證法，追究這一原因，于中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)有很大的關(guān)系。反證法的出現(xiàn)，主要是解決困擾西方很多年的無(wú)限問(wèn)題。西方很重視數(shù)學(xué)證明中邏輯的嚴(yán)密性，第一第二次數(shù)學(xué)危機(jī)都與無(wú)限有關(guān)，無(wú)理數(shù)與無(wú)窮小。通過(guò)反證法化無(wú)限為有限來(lái)解決問(wèn)題，方便很多。中國(guó)與西方不同，很少受到無(wú)限思維的困擾，中國(guó)人多用反駁而少用反證法。反證法的這種逆向思維的方式，在我們的數(shù)學(xué)道路上扮演著很重要的角色，是我們認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的另一道門(mén)，學(xué)習(xí)研究反證法使我受益匪淺。 參考文獻(xiàn)1 唐恒科.淺談反證法J.魅力中國(guó),2009，