大學物理習題答案解析第二章

1、第二章牛頓定律2-1如圖(a)所示,質(zhì)量為m的物體用平行于斜面的細線聯(lián)結(jié)置于光滑的斜面上，若斜面向左方作加速運動,當物體剛脫離斜面時,它的加速度的大小為()(A)gsinQ(B)geosQ(C)gtanQ(D)gcotQ(a)(b)題團分析與解當物體離開斜面瞬間，斜面對物體的支持力消失為零，物體在繩子拉力尸丁(其方向仍可認為平行于斜面)和重力作用下產(chǎn)生平行水平面向左的加速度a,如圖(b)所示,由其可解得合外力為mgeotQ,故選(D).求解的關鍵是正確分析物體剛離開斜面瞬間的物體受力情況和狀態(tài)特征.2-2用水平力FN把一個物體壓著靠在粗糙的豎直墻面上保持靜止.當FN逐漸增大時，物體所受的靜摩擦

2、力Ff的大小()(A) 不為零,但保持不變(B) 隨FN成正比地增大(C) 開始隨fn增大，達到某一最大值后，就保持不變(D) 無法確定分析與解與滑動摩擦力不同的是，靜摩擦力可在零與最大值fn范圍內(nèi)取值.當fn增加時，靜摩擦力可取的最大值成正比增加，但具體大小則取決于被作用物體的運動狀態(tài)由題意知，物體一直保持靜止狀態(tài),故靜摩擦力與重力大小相等，方向相反，并保持不變，故選(A).2-3一段路面水平的公路，轉(zhuǎn)彎處軌道半徑為R,汽車輪胎與路面間的摩擦因數(shù)為，要使汽車不至于發(fā)生側(cè)向打滑，汽車在該處的行駛速率()(A)不得小于：gR(B)必須等于、屮gR(C)不得大于護gR(D)還應由汽車的質(zhì)量m決定分

3、析與解由題意知，汽車應在水平面內(nèi)作勻速率圓周運動，為保證汽車轉(zhuǎn)彎時不側(cè)向打滑，所需向心力只能由路面與輪胎間的靜摩擦力提供,能夠提供的最大向心力應為fn由此可算得汽車轉(zhuǎn)彎的最大速率應為因此只要汽車轉(zhuǎn)彎時的實際速率不大于此值,均能保證不側(cè)向打滑.應選(C).2-4一物體沿固定圓弧形光滑軌道由靜止下滑，在下滑過程中，則()(A) 它的加速度方向永遠指向圓心，其速率保持不變(B) 它受到的軌道的作用力的大小不斷增加(C) 它受到的合外力大小變化，方向永遠指向圓心(D) 它受到的合外力大小不變，其速率不斷增加f1分析與解由圖可知，物體在下滑過程中受到大小和方向不變的重力以及時刻指向圓軌道中心的軌道支持力

4、FN作用,其合外力方向并非指向圓心，其大小和方向均與物體所在位置有關重力的切向分量(mgcos6)使物體的速率將會不斷增加(由機械能守恒亦可判斷)，則物體作圓周運動的向心力(又稱v2法向力)將不斷增大'由軌道法向方向上的動力學方程Fn-mgSin*忤可判斷冊角的不斷增大過程，軌道支持力FN也將不斷增大，由此可見應選(B).2-5圖(a)示系統(tǒng)置于以a=1/4g的加速度上升的升降機內(nèi),A、B兩物體質(zhì)量相同均為m,A所在的桌面是水平的，繩子和定滑輪質(zhì)量均不計，若忽略滑輪軸上和桌面上的摩擦，并不計空氣阻力，則繩中張(A)58mg(B)12mg(C)mg(D)2mg分析與解本題可考慮對A、B兩

5、物體加上慣性力后，以電梯這個非慣性參考系進行求解.此時A、B兩物體受力情況如圖(b)所示，圖中a'為A、B兩物體相對電梯的加速度,ma'為慣性力.對A、B兩物體FtA叵I應用牛頓第二定律，可解得尸丁=5/8mg.故選(A).討論對于習題2-5這種類型的物理問題,往往從非慣性參考系(本題為電梯)觀察到的運動圖像較為明確,但由于牛頓定律只適用于慣性參考系,故從非慣性參考系求解力學問題時,必須對物體加上一個虛擬的慣性力如以地面為慣性參考系求解，則兩物體的加速度aA和叫均應對地而言，本題中aA和叫的大小與方向均不相同.其中aA應斜向上.對aA、aB、a和a'之間還要用到相對運動

6、規(guī)律，求解過程較繁有興趣的讀者不妨自己嘗試一下2-6圖示一斜面,傾角為Q,底邊AB長為l=2.1m,質(zhì)量為m的物體從題2-6圖斜面頂端由靜止開始向下滑動，斜面的摩擦因數(shù)為=0.14.試問，當a為何值時，物體在斜面上下滑的時間最短？其數(shù)值為多少？分析動力學問題一般分為兩類：(1)已知物體受力求其運動情況；(2)已知物體的運動情況來分析其所受的力當然,在一個具體題目中,這兩類問題并無截然的界限,且都是以加速度作為中介,把動力學方程和運動學規(guī)律聯(lián)系起來本題關鍵在列出動力學和運動學方程后,解出傾角與時間的函數(shù)關系af(t),然后運用對t求極值的方法即可得出數(shù)值來.解取沿斜面為坐標軸Ox,原點O位于斜面

7、頂點，則由牛頓第二定律有mgsina-mg“cosa=ma(1)又物體在斜面上作勻變速直線運動,故有丄二1at2二1g(sina-“cosa2cosa22(2)t_I2lgeosaCina-“cosa)為使下滑的時間最短，可令da=o由式(2)有-sina(sina-“cosa)+cosa(cosa-“sina)=0則可得tan2a=-1a=49o“此時t=:一()=0.99sgeosaksma-“cosa丿2-7工地上有一吊車,將甲、乙兩塊混凝土預制板吊起送至高空.甲塊質(zhì)量為®=2.00x102kg,乙塊質(zhì)量為m2=1.00x102kg.設吊車、框架和鋼絲繩的質(zhì)量不計.試求下述兩種

8、情況下,鋼絲繩所受的張力以及乙塊對甲塊的作用力：(1)兩物塊以10.0ms-2的加速度上升；(2)兩物塊以1.0ms-2的加速度上升.從本題的結(jié)果,你能體會到起吊重物時必須緩慢加速的道理嗎？題2-7圖分析預制板、吊車框架、鋼絲等可視為一組物體處理動力學問題通常采用“隔離體”的方法,分析物體所受的各種作用力,在所選定的慣性系中列出它們各自的動力學方程根據(jù)連接體中物體的多少可列出相應數(shù)目的方程式結(jié)合各物體之間的相互作用和聯(lián)系,可解決物體的運動或相互作用力解按題意，可分別取吊車(含甲、乙)和乙作為隔離體，畫示力圖，并取豎直向上為Oy軸正方向(如圖所示).當框架以加速度a上升時，有Ft-(ml+m2)

9、g=(m1+m2)a(1)Fn2-m2g=m2a(2)解上述方程，得Ft=(m1+m2)(g+a)(3)FN2=m2(g+a)(4)(1)當整個裝置以加速度a=10ms-2上升時，由式(3)可得繩所受張力的值為Ft=5.94燈03N乙對甲的作用力為FN2=-FN2=-m2(g+a)=-1.98x103N(2)當整個裝置以加速度a=1ms-2上升時，得繩張力的值為Ft=3.24燈03N此時，乙對甲的作用力則為F'N2=-1.08X103N由上述計算可見，在起吊相同重量的物體時，由于起吊加速度不同，繩中所受張力也不同，加速度大，繩中張力也大因此，起吊重物時必須緩慢加速，以確保起吊過程的安全

10、2-8如圖(a)所示，已知兩物體A、B的質(zhì)量均為m=3.0kg物體A以加速度a=1.0ms-2運動，求物體B與桌面間的摩擦力.(滑輪與連接繩的質(zhì)量不計)分析該題為連接體問題，同樣可用隔離體法求解分析時應注意到繩中張力大小處處相等是有條件的，即必須在繩的質(zhì)量和伸長可忽略、滑輪與繩之間的摩擦不計的前提下成立同時也要注意到張力方向是不同的解分別對物體和滑輪作受力分析圖(b)由牛頓定律分別對物體A、B及滑輪列動力學方程，有mAa(1)=maB(2)=0(3)mAg-Ft=F1-Ft1fF-2F,tt1考慮到mA=mB=m，F(xiàn)t=F't，F(xiàn)t1=Ft1，?'=2a，可聯(lián)立解得物體與桌面的

11、摩擦力mg+4m)aF=7.2Nf27AaAF；題2-呂圖討論動力學問題的一般解題步驟可分為：(1)分析題意,確定研究對象,分析受力,選定坐標；(2)根據(jù)物理的定理和定律列出原始方程組；(3)解方程組,得出文字結(jié)果；(4)核對量綱,再代入數(shù)據(jù),計算出結(jié)果來2-9質(zhì)量為m'的長平板A以速度v'在光滑平面上作直線運動，現(xiàn)將質(zhì)量為m的木塊B輕輕平穩(wěn)地放在長平板上，板與木塊之間的動摩擦因數(shù)為仏求木塊在長平板上滑行多遠才能與板取得共同速度？分析當木塊B平穩(wěn)地輕輕放至運動著的平板A上時，木塊的初速度可視為零,由于它與平板之間速度的差異而存在滑動摩擦力，該力將改變它們的運動狀態(tài)根據(jù)牛頓定律可

12、得到它們各自相對地面的加速度.換以平板為參考系來分析，此時，木塊以初速度-V'(與平板運動速率大小相等、方向相反)作勻減速運動，其加速度為相對加速度，按運動學公式即可解得該題也可應用第三章所講述的系統(tǒng)的動能定理來解將平板與木塊作為系統(tǒng)，該系統(tǒng)的動能由平板原有的動能變?yōu)槟緣K和平板一起運動的動能，而它們的共同速度可根據(jù)動量定理求得又因為系統(tǒng)內(nèi)只有摩擦力作功，根據(jù)系統(tǒng)的動能定理，摩擦力的功應等于系統(tǒng)動能的增量木塊相對平板移動的距離即可求出.彥BA計趣2-9圖解1以地面為參考系，在摩擦力Ff=mg的作用下，根據(jù)牛頓定律分別對木塊、平板列出動力學方程Ff=mg=ma】F'=-F=m

13、9;a2ff2a1和a2分力LI是木塊和木板相對地面參考系的加速度.若以木板為參考系，木塊相對平板的加速度a=a1+a2，木塊相對平板以初速度-V作勻減速運動直至最終停止.由運動學規(guī)律有-vi=2as由上述各式可得木塊相對于平板所移動的距離為_mv'22yg(m'+m)解2以木塊和平板為系統(tǒng)，它們之間一對摩擦力作的總功為W=Ff(s+l)f=ymgs式中l(wèi)為平板相對地面移動的距離.由于系統(tǒng)在水平方向上不受外力，當木塊放至平板上時，根據(jù)動量守恒定律，有m'v'=(m'+m)v由系統(tǒng)的動能定理，有由上述各式可得_mv22yg(m'+m)2-10如圖(

14、a)所示,在一只半徑為R的半球形碗內(nèi)，有一粒質(zhì)量為m的小鋼球，當小球以角速度在水平面內(nèi)沿碗內(nèi)壁作勻速圓周運動時，它距碗底有多高？(h)題2-10圖分析維持鋼球在水平面內(nèi)作勻角速度轉(zhuǎn)動時，必須使鋼球受到一與向心加速度相對應的力(向心力)，而該力是由碗內(nèi)壁對球的支持力fn的分力來提供的，由于支持力fn始終垂直于碗內(nèi)壁，所以支持力的大小和方向是隨而變的取圖示Oxy坐標，列出動力學方程，即可求解鋼球距碗底的高度.解取鋼球為隔離體，其受力分析如圖(b)所示.在圖示坐標中列動力學方程Fsin6=ma=mR®2sin6NnFcos6-mg(2)(3)cos6=且有由上述各式可解得鋼球距碗底的高度為

15、可見,h隨的變化而變化.2-11火車轉(zhuǎn)彎時需要較大的向心力,如果兩條鐵軌都在同一水平面內(nèi)(內(nèi)軌、外軌等高),這個向心力只能由外軌提供,也就是說外軌會受到車輪對它很大的向外側(cè)壓力,這是很危險的.因此,對應于火車的速率及轉(zhuǎn)彎處的曲率半徑，必須使外軌適當?shù)馗叱鰞?nèi)軌，稱為外軌超高.現(xiàn)有一質(zhì)量為m的火車，以速率e沿半徑為R的圓弧軌道轉(zhuǎn)彎，已知路面傾角為0,試求：(1)在此條件下,火車速率勺為多大時，才能使車輪對鐵軌內(nèi)外軌的側(cè)壓力均為零？(2)如果火車的速率林0，則車輪對鐵軌的側(cè)壓力為多少?(4)分析如題所述，外軌超高的目的欲使火車轉(zhuǎn)彎的所需向心力僅由軌道支持力的水平分量FNsin0提供(式中0角為路面傾

16、角).從而不會對內(nèi)外軌產(chǎn)生擠壓.與其對應的是火車轉(zhuǎn)彎時必須以規(guī)定的速率e0行駛.當火車行駛速率e%0時，則會產(chǎn)生兩種情況：如圖所示，如e>勺時，外軌將會對車輪產(chǎn)生斜向內(nèi)的側(cè)壓力耳，以補償原向心力的不足，如eVe0時,則內(nèi)軌對車輪產(chǎn)生斜向外的側(cè)壓力F2，以抵消多余的向心力，無論哪種情況火車都將對外軌或內(nèi)軌產(chǎn)生擠壓.由此可知，鐵路部門為什么會在每個鐵軌的轉(zhuǎn)彎處規(guī)定時速，從而確保行車安全.解(1)以火車為研究對象，建立如圖所示坐標系.據(jù)分析，由牛頓定律有e2Fsin6=m(1)NRFcos6-mg=0N解(1)(2)兩式可得火車轉(zhuǎn)彎時規(guī)定速率為當e>e0時，根據(jù)分析有=耳gRtan6Fs

17、in6+Fcos6=mN1R(2)(3)Fcos6-Fsin6-mg=0N1解(3)(4)兩式，可得外軌側(cè)壓力為cos6-gsin6IR當v<v0時，根據(jù)分析有解(5)(6)兩式,可得內(nèi)軌側(cè)壓力為Fsin0-Fcos0=m一N2RFcos0+Fsin0一mg=0N2(6)gsin0-cos0R2-12一雜技演員在圓筒形建筑物內(nèi)表演飛車走壁.設演員和摩托車的總質(zhì)量為m,圓筒半徑為R,演員騎摩托車在直壁上以速率v作勻速圓周螺旋運動，每繞一周上升距離為h,如圖所示.求壁對演員和摩托車的作用力分析雜技演員(連同摩托車)的運動可以看成一個水平面內(nèi)的勻速率圓周運動和一個豎直向上勻速直線運動的疊加.其

18、旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋線軌跡展開后相當于如圖(b)所示的斜面.把演員的運動速度分解為圖示的q和e2兩個分量，顯然q是豎直向上作勻速直線運動的分速度，而勺則是繞圓筒壁作水平圓周運動的分速度,其中向心力由筒壁對演員的支持力fn的水平分量fN2提供，而豎直分量fn1則與重力相平衡.如圖(c)所示，其中詢?yōu)槟ν熊嚺c筒壁所夾角.運用牛頓定律即可求得筒壁支持力的大小和方向解設雜技演員連同摩托車整體為研究對象，據(jù)(b)(c)兩圖應有F-mg二0(1)N1v2(2)F=mN2Rv=vcos0=2v2nR2nRJ2+h2(3)(4)以式(3)代入式(2)，得m4n2R2v24n2Rmv2F=N2R4n2R2+h24

19、n2R2+h2將式(1)和式(5)代入式(4)，可求出圓筒壁對雜技演員的作用力(即支承力)大小為1(4n2Rv2)2=mig2+i(4n2R2+h2丿與壁的夾角(為F/4n2Rv2、二arctan-2二arctanf4-FSn2R2+h2歡N1討論表演飛車走壁時,演員必須控制好運動速度,行車路線以及摩托車的方位,以確保三者之間滿足解題用到的各個力學規(guī)律2-13一質(zhì)點沿x軸運動，其受力如圖所示，設t=0時,v0=5ms-1,x0=2m,質(zhì)點質(zhì)量m=lkg，試求該質(zhì)點7s末的速度和位置坐標.F/N10分析首先應由題圖求得兩個時間段的F(t)函數(shù),進而求得相應的加速度函數(shù)，運用積分方法求解題目所問,

20、積分時應注意積分上下限的取值應與兩時間段相應的時刻相對應.解由題圖得F0屮,°<t<5s355t,5s<t<7s由牛頓定律可得兩時間段質(zhì)點的加速度分別為a=2t,°<t<5sa=355t,5s<t<7s對°Vt<5s時間段，由a=得dtJvdv=Jtadtv00積分后得v=5+12dx再由v=得dtJxdx=Jtvdtx00積分后得x=2+5t+313對5s<t<7s得再由時間段，用同樣方法有Jvdv=v0Jtadt5s2v=35t2.5t282.5tJxdx=Jtvdtx55s將t=5s代入，得v

21、5=3°ms-1和x5=68.7mX=1/.5t2-0.83t3-82.5t十147.87將t=7s代入分別得v7=40ms-1和x7=142m2-14質(zhì)量為10kg的質(zhì)點在力F的作用下沿x軸作直線運動，已知F=120t+40,式中F的單位為N,t的單位的s.在t=0時，質(zhì)點位于x=5.0m處,其速度v0=6.0ms-1.求質(zhì)點在任意時刻的速度和位置分析這是在變力作用下的動力學問題.由于力是時間的函數(shù)，而加速度a=de/dt,這時,動力學方程就成為速度對時間的一階微分方程，解此微分方程可得質(zhì)點的速度e（t）；由速度的定義©=血/dt,用積分的方法可求出質(zhì)點的位置.解因加速&

22、amp;a=dv/dt,在直線運動中，根據(jù)牛頓運動定律有dv120t+40=mdt依據(jù)質(zhì)點運動的初始條件，即t0=0時v0=6.0ms-1，運用分離變量法對上式積分，得卜dv=（12.0t+4.°htv00v=6.0+4.0t+6.0t2又因v=dx/dt,并由質(zhì)點運動的初始條件：t0=0時x0=5.0m,對上式分離變量后積分，有fxdx=.0+4.0t+6.0t2Ltx00x=5.0+6.0t+2.0t2+2.0t32-15輕型飛機連同駕駛員總質(zhì)量為1.0X103kg.飛機以55.0ms-1的速率在水平跑道上著陸后，駕駛員開始制動，若阻力與時間成正比，比例系數(shù)a=5.0X102Ns

23、-1，空氣對飛機升力不計，求：（1）10s后飛機的速率；（2）飛機著陸后10s內(nèi)滑行的距離.分析飛機連同駕駛員在水平跑道上運動可視為質(zhì)點作直線運動.其水平方向所受制動力F為變力,且是時間的函數(shù).在求速率和距離時，可根據(jù)動力學方程和運動學規(guī)律，采用分離變量法求解.dv解以地面飛機滑行方向為坐標正方向，由牛頓運動定律及初始條件，有F=ma=m=atdtfvdv=ft-adtv00mav=v一1202m因此，飛機著陸10s后的速率為v=30ms-1fxdx=ftvx00v0a2m12dt丿故飛機著陸后10s內(nèi)所滑行的距離as=x一x=vt一13=467m006m2-16質(zhì)量為m的跳水運動員，從10.

24、0m高臺上由靜止跳下落入水中.高臺距水面距離為h.把跳水運動員視為質(zhì)點，并略去空氣阻力.運動員入水后垂直下沉水對其阻力為bv2，其中b為一常量.若以水面上一點為坐標原點O,豎直向下為Oy軸，求：（1）運動員在水中的速率v與y的函數(shù)關系；（2）如b/m=0.40m-1,跳水運動員在水中下沉多少距離才能使其速率v減少到落水速率v°的1/10?（假定跳水運動員在水中的浮力與所受的重力大小恰好相等）0分析該題可以分為兩個過程，入水前是自由落體運動,入水后，物體受重力P、浮力F和水的阻力Ff的作用,其合力是一變力,因此,物體作變加速運動雖然物體的受力分析比較簡單,但是,由于變力是速度的函數(shù)（在

25、有些問題中變力是時間、位置的函數(shù)）,對這類問題列出動力學方程并不復雜,但要從它計算出物體運動的位置和速度就比較困難了通常需要采用積分的方法去解所列出的微分方程這也成了解題過程中的難點在解方程的過程中,特別需要注意到積分變量的統(tǒng)一和初始條件的確定解（1）運動員入水前可視為自由落體運動，故入水時的速度為v=2gh0屮運動員入水后，由牛頓定律得P-Ff-F=ma由題意P=F、Ff=bv2，而a=dv/dt=v(dv/dy),代入上式后得-bv2=mv（dv/dy）考慮到初始條件y0=0時，vo=J2gh，對上式積分，有v=veby/m0將已知條件b/m=0.4m-1，v=0.1v0代入上式，則得y=

26、-mIn=5.76mbv*2-17直升飛機的螺旋槳由兩個對稱的葉片組成.每一葉片的質(zhì)量m=136kg，長l=3.66m.求當它的轉(zhuǎn)速n=320r/min時，兩個葉片根部的張力.（設葉片是寬度一定、厚度均勻的薄片）分析螺旋槳旋轉(zhuǎn)時,葉片上各點的加速度不同,在其各部分兩側(cè)的張力也不同；由于葉片的質(zhì)量是連續(xù)分布的,在求葉片根部的張力時,可選取葉片上一小段,分析其受力,列出動力學方程,然后采用積分的方法求解解設葉片根部為原點O,沿葉片背離原點O的方向為正向，距原點O為r處的長為dr小段葉片，其兩側(cè)對它的拉力分別為Fr)與FT(r+dr)葉片轉(zhuǎn)動時，該小段葉片作圓周運動,由牛頓定律有dFT=F(r)-F

27、(r+dr)=TTm32rdr由于r=l時外側(cè)Ft=0,所以有F(r)=ftdFFT(r)Tfim32rdrlm322Tr2nmn2Tr2上式中取r=0,即得葉片根部的張力FT°=279X105N負號表示張力方向與坐標方向相反2-18一質(zhì)量為m的小球最初位于如圖(a)所示的A點,然后沿半徑為r的光滑圓軌道ADCB下滑.試求小球到達點C時的角速度和對圓軌道的作用力.分析該題可由牛頓第二定律求解.在取自然坐標的情況下,沿圓弧方向的加速度就是切向加速度at，與其相對應的外力Ft是重力的切向分量mgsina,而與法向加速度a“相對應的外力是支持力FN和重力的法向分量mgcosa.由此,可分別

28、列出切向和法向的動力學方程Ft=mdv/dt和F”=ma”.由于小球在滑動過程中加速度不是恒定的,因此,需應用積分求解,為使運算簡便,可轉(zhuǎn)換積分變量倡該題也能應用以小球、圓弧與地球為系統(tǒng)的機械能守恒定律求解小球的速度和角速度,方法比較簡便.但它不能直接給出小球與圓弧表面之間的作用力.解小球在運動過程中受到重力P和圓軌道對它的支持力Fn.取圖(b)所示的自然坐標系，由牛頓定律得dvF=-mgsina=m(I)tdtF=F-mgcosa=加竺nNR(2)dsrdarda由V=礦石，得dt=，代入式，并根據(jù)小球從點A運動到點C的始末條件，進行積分，有Jvvdv=J°(-rgsinahav0

29、90o得則小球在點C的角速度為v=.J2rgcosa由式(2)得mv2=m+mgcosa=3mgcosar由此可得小球?qū)A軌道的作用力為F'=-F=-3mgcosaNN負號表示FN與en反向.2-19光滑的水平桌面上放置一半徑為R的固定圓環(huán)，物體緊貼環(huán)的內(nèi)側(cè)作圓周運動,其摩擦因數(shù)為，開始時物體的速率為v0，求：(1)t時刻物體的速率；當物體速率從v0減少到12v0時，物體所經(jīng)歷的時間及經(jīng)過的路程分析運動學與動力學之間的聯(lián)系是以加速度為橋梁的,因而,可先分析動力學問題物體在作圓周運動的過程中,促使其運動狀態(tài)發(fā)生變化的是圓環(huán)內(nèi)側(cè)對物體的支持力Fn和環(huán)與物體之間的摩擦力F彳，而摩擦力大小與正

30、壓力FN成正比，且FN與FN又是作用力與反作用力，這樣，就可通過它們把切向和法向兩個加速度聯(lián)系起來了,從而可用運動學的積分關系式求解速率和路程解(1)設物體質(zhì)量為m,取圖中所示的自然坐標，按牛頓定律，有mv2F=ma=NnRdvF=ma=-ftdt由分析中可知，摩擦力的大小Ff=FN，由上述各式可得v2dv臨="df取初始條件t=0時e=v0，并對上式進行積分，有Jtdt=-RJv竺0卩voV2Rvv=oR+v阻0當物體的速率從v0減少到1/2v0時，由上式可得所需的時間為t，丄yv0物體在這段時間內(nèi)所經(jīng)過的路程s=Avdt=A0dt00R+vyt0s=Rln22-20質(zhì)量為45.0

31、kg的物體，由地面以初速60.0s-1豎直向上發(fā)射，物體受到空氣的阻力為Fr=kv，且k=0.03N/(ms-1).(1)求物體發(fā)射到最大高度所需的時間.最大高度為多少？分析物體在發(fā)射過程中,同時受到重力和空氣阻力的作用,其合力是速率v的一次函數(shù)，動力學方程是速率的一階微分方程，求解時，只需采用分離變量的數(shù)學方法即可.但是，在求解高度時，則必須將時間變量通過速度定義式轉(zhuǎn)換為位置變量后求解,并注意到物體上升至最大高度時,速率應為零解（1）物體在空中受重力mg和空氣阻力Fr=kv作用而減速.由牛頓定律得dv一mg一kv=mdt根據(jù)始末條件對上式積分,有Jtdt=一mvmg+kvt=mln1+竺kI

32、mg丿u6.11s(3)利用d?=vdy的關系代入式'可得dvmvdy分離變量后積分Jydy=0v0mvdvmg+kvmglnf1+匕1vk(mg丿0_u183mvv2討論如不考慮空氣阻力，則物體向上作勻減速運動.由公式t=和y=右分別算得t6.12和g2gyW84m,均比實際值略大一些.2-21一物體自地球表面以速率v0豎直上拋.假定空氣對物體阻力的值為Fr=kmv2，其中m為物體的質(zhì)量,k為常量.試求：（1）該物體能上升的高度；（2）物體返回地面時速度的值.（設重力加速度為常量.）題2-21圖分析由于空氣對物體的阻力始終與物體運動的方向相反，因此，物體在上拋過程中所受重力P和阻力F

33、r的方向相同；而下落過程電所受重力P和阻力Fr的方向則相反.又因阻力是變力在解動力學方程時，需用積分的方法.解分別對物體上拋、下落時作受力分析，以地面為原點，豎直向上為y軸（如圖所示）.（1）物體在上拋過程中,根據(jù)牛頓定律有dvvdv-mg-kmv2=m=m-dtdy依據(jù)初始條件對上式積分,有Jydy=-J00v0vdvg+kv2g+kv2、Ig+kV0丿物體到達最高處時,v=0,故有h=ymax12k(2)物體下落過程中,有-mg+kmv2=vdvdy對上式積分,有Jydy=-J0vdvg一kv2kv2Y1/2g丿2-22質(zhì)量為m的摩托車，在恒定的牽引力F的作用下工作，它所受的阻力與其速率的

34、平方成正比，它能達到的最大速率是vm.試計算從靜止加速到vm/2所需的時間以及所走過的路程.分析該題依然是運用動力學方程求解變力作用下的速度和位置的問題,求解方法與前兩題相似,只是在解題過程中必須設法求出阻力系數(shù)k.由于阻力Fr=kv，且耳又與恒力F的方向相反；故當阻力隨速度增加至與恒力大小相等時,加速度為零,此時速度達到最大.因此,根據(jù)速度最大值可求出阻力系數(shù)來.但在求摩托車所走路程時，需對變量作變換.(1)(2)解設摩托車沿x軸正方向運動，在牽引力F和阻力Fr同時作用下,由牛頓定律有dvFkv2=mdt當加速度a=dv/dt=0時，摩托車的速率最大，因此可得k=F/v2m由式(1)和式(2

35、)可得v2)dv=mv2丿dtm根據(jù)始末條件對式(3)積分，有Jtdt=0v2)-1dvvm2丿mt=mln32Fdvmvdv又因式(3)中m=，再利用始末條件對式(3)積分，有dtdx-1dvV2丿mmv24mv2x=mIn沁0.144m2F3F*2-23飛機降落時，以v0的水平速度著落后自由滑行，滑行期間飛機受到的空氣阻力F1=-k1V2,升力F=k2V2,其中V為飛機的滑行速度,兩個系數(shù)之比k/k2稱為飛機的升阻比.實驗表明,物體在流體中運動時，所受阻力與速度的關系與多種因素有關，如速度大小、流體性質(zhì)、物體形狀等在速度較小或流體密度較小時有FV,而在速度較大或流體密度較大的有FSV2,需

36、要精確計算時則應由實驗測定.本題中由于飛機速率較大，故取F*V2作為計算依據(jù).設飛機與跑道間的滑動摩擦因數(shù)為口試求飛機從觸地到靜止所滑行的距離以上計算實際上已成為飛機跑道長度設計的依據(jù)之一也2-23圖分析如圖所示，飛機觸地后滑行期間受到5個力作用，其中F為空氣阻力,F2為空氣升力,F3為跑道作用于飛機的摩擦力,很顯然飛機是在合外力為變力的情況下作減速運動,列出牛頓第二定律方程后，用運動學第二類問題的相關規(guī)律解題.由于作用于飛機的合外力為速度v的函數(shù)，所求的又是飛機dx滑行距離x,因此比較簡便方法是直接對牛頓第二定律方程中的積分變量dt進行代換，將dt用代替,v得到一個有關V和x的微分方程，分離

37、變量后再作積分.(1)(2)解取飛機滑行方向為x的正方向，著陸點為坐標原點，如圖所示,根據(jù)牛頓第二定律有廠1dvF-kv2=mN1dtF+kv2一mg=0N2將式(2)代入式(1),并整理得-amg-(k-akL2=12dvdv=m=mvdtdx分離變量并積分,有Jvmvdvv°amg+(k-akL2dx0得飛機滑行距離mx=ln2k一ak丿12amg+(k-ak)v212amg(3)表達考慮飛機著陸瞬間有Fn=0和v=v0，應有k2v02=mg,將其代入(3)式，可得飛機滑行距離x的另kv2(k2gvk一ak)(ak122討論如飛機著陸速度v°=144kmh-i,=0.1

38、,升阻比*=5,可算得飛機的滑行距離x=560m,設計k2飛機跑道長度時應參照上述計算結(jié)果2-24在卡車車廂底板上放一木箱，該木箱距車箱前沿擋板的距離L=2.0m,已知剎車時卡車的加速度a=7.0ms-2,設剎車一開始木箱就開始滑動.求該木箱撞上擋板時相對卡車的速率為多大？設木箱與底板間滑動摩擦因數(shù)=0.50.分析如同習題2-5分析中指出的那樣,可對木箱加上慣性力F0后，以車廂為參考系進行求解，如圖所示，此時木箱在水平方向受到慣性力和摩擦力作用，圖中a為木箱相對車廂的加速度.解由牛頓第二定律和相關運動學規(guī)律有F0-Ff=ma-ymg=ma'(1)V2=2a'L(2)聯(lián)立解(1)

39、(2)兩式并代入題給數(shù)據(jù),得木箱撞上車廂擋板時的速度為V=-ag)L=2.9m-s一*2-25如圖(a)所示，電梯相對地面以加速度a豎直向上運動.電梯中有一滑輪固定在電梯頂部，滑輪兩側(cè)用輕繩懸掛著質(zhì)量分別為m和m2的物體A和B設滑輪的質(zhì)量和滑輪與繩索間的摩擦均略去不計.已知>m2，如以加速運動的電梯為參考系，求物體相對地面的加速度和繩的張力.分析如以加速運動的電梯為參考系,則為非慣性系.在非慣性系中應用牛頓定律時必須引入慣性力.在通常受力分析的基礎上，加以慣性力后，即可列出牛頓運動方程來.解取如圖（b）所示的坐標，以電梯為參考系，分力LI對物體a、b作受力分析，其中F=ma,F2=m2a分別為作用在物體A、B上的慣性力.設ar為物體相對電梯的加速度，根據(jù)牛頓定律有mg+ma一F=ma11T11r(1)由上述各式可得a二一i2rm+m12mg+ma一F二一ma22T22T2T2F二F二mmUg+a)T2T2m+m(2)(3)12由相對加速度的矢量關系，可得物體A、B對地面的加速度值為(m-m)g-2maa二aa二i21rm+m122ma+vmm)ga=S+a丿二一ii2rm+m12a2的方向向上,a1的方向由ar和a的大小決