點線面之間的位置關(guān)系的知識點總結(jié)

1、高中空間點線面之間位置關(guān)系知識點總結(jié)第二章直線與平面的位置關(guān)系空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系平面含義：平面是無限延展的2平面的畫法及表示(1) 平面的畫法：水平放置的平面通常畫成一個平行四邊形，銳角畫成450，且橫邊畫成鄰邊的2倍長(如圖)(2) 平面通常用希臘字母a、P、Y等表示，如平面a、平面P等，也可以用表示平面的平行四邊形的四個頂點或者相對的兩個頂點的大寫字母來表示，如平面AC'平面ABCD等。3三個公理：(1) 公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)符號表示為公理1作用：判斷直線是否在平面內(nèi)(2)公理2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面符號

2、表示為：A'B'C三點不共線=>有且只有一個平面a,使AGa、BGa、CGa。公理2作用：確定一個平面的依據(jù)。(3)公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線符號表示為：PGaAP=>aOP=L，且PGL公理3作用：判定兩個平面是否相交的依據(jù)空間中直線與直線之間的位置關(guān)系1空間的兩條直線有如下三種關(guān)系：相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點；L.共面直線異面直線：不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點同一條直線的兩條直線互相平行符號表示為：設(shè)a、b'c是三條直線ab。二>ac2公理4：平

3、行:cb強(qiáng)調(diào)：公理4實質(zhì)上是說平行具有傳遞性，在平面、空間這個性質(zhì)都適用。公理4作用：判斷空間兩條直線平行的依據(jù)。3 等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補(bǔ)4 注意點： a'與b'所成的角的大小只由a、b的相互位置來確定，與0的選擇無關(guān)，為簡便，點0般取在兩直線中的一條上; 兩條異面直線所成的角ee(0，)； 當(dāng)兩條異面直線所成的角是直角時，我們就說這兩條異面直線互相垂直，記作a丄b； 兩條直線互相垂直，有共面垂直與異面垂直兩種情形； 計算中，通常把兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的角?？臻g中直線與平面、平面與平面之間的位置關(guān)系1、直線與

4、平面有三種位置關(guān)系：(1)直線在平面內(nèi)有無數(shù)個公共點(2) 直線與平面相交有且只有一個公共點(3) 直線在平面平行一一沒有公共點指出：直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外，可用aa來表示毎aEaAa=Aaa.直線、平面平行的判定及其性質(zhì)直線與平面平行的判定1、直線與平面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行。簡記為：線線平行，則線面平行。平面與平面平行的判定2、判斷兩平面平行的方法有三種：(1) 用定義；(2) 判定定理；(3) 垂直于同一條直線的兩個平面平行。一直線與平面、平面與平面平行的性質(zhì)1、定理：一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平

5、面與此平面的交線與該直線平行。簡記為：線面平行則線線平行。符號表示：aafa匸Pa力baOP=b*作用：利用該定理可解決直線間的平行問題。2、定理：如果兩個平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行。符號表示：aPaPlY=aa/bPPlY=b'作用：可以由平面與平面平行得出直線與直線平行直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)直線與平面垂直的判定1、定義如果直線L與平面a內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線L與平面a互相垂直，記作L丄a,直線L叫做平面a的垂線，平面a叫做直線L的垂面。如圖，直線與平面垂直時，它們唯一公共點P叫做垂足。2、判定定理：一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該

6、直線與此平面垂直。注意點：a）定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視;b）定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。平面與平面垂直的判定1、二面角的概念：表示從空間一直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形3、兩個平面互相垂直的判定定理：一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直。直線與平面、平面與平面垂直的性質(zhì)1、定理：垂直于同一個平面的兩條直線平行。2性質(zhì)定理：兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直。異面直線所成的角是指經(jīng)過空間任意一點作兩條分別和異面的兩條直線平行的直線所成的銳角（或直角）一般通過平移后轉(zhuǎn)化到三角形中求角，注意角的范圍.例1在正方

7、體ABCD-ABCD中，0是底面ABCD的中心，M、N分別是棱DD、11111DC的中點，則直線0M（）.11A是AC和MN的公垂線.B.垂直于AC但不垂直于MN.C垂直于MN，但不垂直于AC.D與AC、MN都不垂直.錯解:B.錯因：學(xué)生觀察能力較差，找不出三垂線定理中的射影.正解：A.例2如圖,已知在空間四邊形ABCD中，E,F分別是AB,AD的中點,分別是BC,CD上的點，且GC二DC二2，求證:直線EG,FH,AC相占八、錯解：證明：©E、F分別是AB,AD的中點，丄:EFBD,EF二2BD,AG,H交于1又GC二JHC二,-GHBD,GH二3BD,四邊形EFGH是梯形，設(shè)兩腰

8、EG,FH相交于一點T,©DC二2,F分別是.與FH交于一點.直線EG,FH,AC相交于一點正解：證明：©E、F分別是AB,AD的中點，丄EFBD,EF二"2BD,又BGDH2又GCHC，丄 GHBD,GH二BD,四邊形EFGH是梯形，設(shè)兩腰EG,FH相交于一點T,©EGu平面ABC,FHu平面ACD, Te面ABC,且Te面ACD,又平面ABCI平面ACD=AC, TeAC,直線EG,FH,AC相交于一點T.例3在立方體ABCD-ABCD中，1111出平面AC的斜線BD1在平面AC內(nèi)的射影;線BD和直線AC的位置關(guān)系如何1線BD和直線AC所成的角是多少

9、度1解：連結(jié)BD,交AC于點0ClC找直(3)直©DD丄平WAC,BD就是斜線Bq在平面AC上的射影.(2)BD和AC是異面直線.1過0作BD1的平行線交DD于點M,連結(jié)MA、MC,則ZMOA或其補(bǔ)角即為異面直線AC和BD所成的角.不難得到MA=MC，而0為AC的中點，因此M0丄AC，即ZM0A=90°,異面直線BD與AC所成的角為90°.1例4a和b為異面直線，則過a與b垂直的平面().A. 有且只有一個B.個面或無數(shù)個C.可能不存在D.可能有無數(shù)個錯解：A.錯因：過a與b垂直的平面條件不清.正解：C.例5在正方體ABCD-ABCD中，E、F分別是棱AB、BC的

10、中點，0是底面ABCD的中點.求證：EF垂直1111平面BB0.證明？：如圖，連接AC、BD,則0為AC和BD的交點.E、F分別是AB、BC的中點,.疋卩是厶ABC的中位線，二EFAC.'/BB丄平面ABCD,ACu平面ABCDAi1/.AC丄BB,由正方形ABCD知：AC丄B0,又B0與BB1是平面BB1O上的兩條相交直線，/AC丄平面BBO（線面垂直判定定理）1/ACEF，/.EF丄平面BBO.例6如圖，在正方體ABCD-AiBiCiDi中，E是BB的中點，0是底面正方形ABCD的中心，求證：0E丄平面ACD.1分析：本題考查的是線面垂直的判定方法.根據(jù)線面垂直的判定方法，要證明0

11、E丄平面ACD1，只要在平/AD丄DB11同理可證BD丄DC.11又TADICD=D,AD,DCu面ACD,111111.BD丄平面ACD.11TBDOE，1/.OE丄平面ACD.1點?評：要證線面垂直可找線線垂直，這是立體幾何證明線面垂直時常用的轉(zhuǎn)化方法在證明線線垂直時既要注意三垂線定理及其逆定理的應(yīng)用，也要注意有時是從數(shù)量關(guān)系方面找垂直，即勾股定理或余弦定理的應(yīng)用.例7.如圖，正方體ABCD-ABCD中，點N在BD上，點M1111且CM=DN,求證:MN平面AABB.11證明:證法一如圖，作MEBC,交BB于E,作NFAD,交AB于F,連A1平面AABB.11DIDC1在BC上1EF則EF

12、u®ME=B1M,-NF=_BN,BCADBD.囂=囂=囂'.ME二NF又MEBCADNF,MEFN為平行四邊形,.MNEF.MN平面AABB.11DI證法二如圖，連接并延長CN交BA延長線于點P,連BP,則BPu平面AABB.1111©ANDCsANBP,DN=CP.ElDN=CN.又CM=DN,B1C=BD,MBNBNP.MNbp.1ClElAlP&BPu平面AABB,.MN平面AABB.AB&BD=BC,DN二CM,BM=BN.11Q-CM二DN,二CPDN.MB1NBPBNB:.NPCDAB.面MNP面AABB.11MN平面AABB.11點、

13、線、面之間的位置關(guān)系單元測試第1題.下列命題正確的是()A. 經(jīng)過三點確定一個平面B. 經(jīng)過一條直線和一個點確定一個平面C. 四邊形確定一個平面D. 兩兩相交且不共點的三條直線確定一個平面答案：D.第2題.如圖，空間四邊形ABCD中，E,F,G,H分別是AB,BC,CD,DA的中點.求證：四邊形EFGH是平行四邊形.答案：證明：連接BD.因為EH是ABD的中位線，所以EHBD，且EH1BD.2同理，F(xiàn)GBD，且FG1BD.2因為EHFG，且EHFG.所以四邊形EFGH為平行四邊形.第3題.如圖，已知長方體ABCD-A'B'C'D'中，AB2罷，AD2j3，AA&

14、#39;=2.(1) BC和AC所成的角是多少度(2) AAA和BC所成的角是多少度答案：；(2)一60-.第4題.下列命題中正確的個數(shù)是( 若直線l上有無數(shù)個點不在平面d內(nèi)，則lII 若直線l與平面d平行，則l與平面d內(nèi)的任意一條直線都平行. 如果兩條平行直線中的一條與一個平面平行，那么另一條也與這個平面平行 若直線l與平面d平行，則l與平面d內(nèi)的任意一條直線都沒有公共點.A. 0B.1C.2D.3答案：B.第5題.若直線a不平行于平面d,且ad，則下列結(jié)論成立的是（）A. d內(nèi)的所有直線與a異面B. d內(nèi)不存在與a平行的直線C. d內(nèi)存在唯一的直線與a平行D. d內(nèi)的直線與a都相交答案：B

15、.第6題.已知a,b,c是三條直線，角ab，且a與c的夾角為。，那么b與c夾角為答案：.第7題.如圖，AA'是長方體的一條棱，這個長方體中與AA垂直的棱共條.答案：8條.第8題.如果a，b是異面直線，直線c與a，b都相交，那么這三條直線中的兩條所確定的平面共有個.答案：2個.第9題.已知兩條相交直線a，b，a平面d則b與d的位置關(guān)系是答案：BA，或B與A相交.第10題.如圖，三條直線兩兩平行且不共面，每兩條確定一個平面，一共可以確定幾個平面如果三條直線相交于一點，它們最多可以確定幾個平面答案：3個，3個第11題.如圖是正方體的平面展開圖，則在這個正方體中BM與ED平行.CN與BE是異面

16、直線.CN與BM成60角DM與BN垂直以上四個命題中，正確命題的序號是（）A.，B.，C.，D.，答案：C.第12題.下列命題中，正確的個數(shù)為（） 兩條直線和第三條直線成等角，則這兩條直線平行； 平行移動兩條異面直線中的任何一條，它們所成的角不變； 過空間四邊形ABCD的頂點A引CD的平行線段AE，則ZBAE是異面直線AB與CD所成的角； 四邊相等，且四個角也相等的四邊形是正方形A0B1C2D3答案：B.第13題.在空間四邊形ABCD中，N,M分別是BC,AD的中點，則2MN與AB+CD的大小關(guān)系是.答案：2MN<AB+CD.第14題.已知A,B是一對異面直線，且A，B成700角，P為空

17、間一定點，則在過P點的直線中與A,B所成的角都為700的直線有條.答案：4第15題.已知平面0/卩，p是平面,卩外的一點，過點P的直線M與平面a,卩分別交于A,C兩點,過點P的直線n與平面a,卩分別交于B,D兩點，若PA=6,AC=9,PD=8,24則BD的長為.答案：24或5.第16題.空間四邊形ABCD中，E,F,G,H分別是AB,BC,CD,DA的中點，若AC=BD=a,且AC與bd所成的角為90。，則四邊形EFGH的面積是.答案：1a2.4第17題.已知正方體ABCDABCD中，E,F分別為DC,CB的中點，ACIBD=P,11111111ACIEF=Q.求證：11(1) D,B,F,

18、E四點共面；(2) 若AC交平面DBFE于R點，則P,Q,R三點共線.答案：證明：如圖.(1)QEF是HDBC的中位線，EFBD.11111在正方體AC中，BDBD,.EFBD.111EF確定一個平面，即D,B,F,E四點共面.(2)正方體AC中，設(shè)AACC確定的平面為a，又設(shè)平面BDEF為卩.111EQB_rCZPAAiC1RJQQeAC,Q".又QeEF,Q.則Q是么與卩的公共點，I卩=PQ.又ACIR,ReAC.11Rea,且ReB，則RePQ.故P,Q,R三點共線.第18題.已知下列四個命題： 很平的桌面是一個平面； 一個平面的面積可以是4m2； 平面是矩形或平行四邊形； 兩

19、個平面疊在一起比一個平面厚其中正確的命題有（）A.0個B.1個C.2個D.3個答案:A.第19題.給出下列命題：和直線a都相交的兩條直線在同一個平面內(nèi)；三條兩兩相交的直線在同一平面內(nèi)；有三個不同公共點的兩個平面重合；兩兩平行的三條直線確定三個平面.其中正確命題的個數(shù)是（）A.0B.1C.2D.3答案：A.第20題.直線ll，在l上取3點，l上取2點，由這5點能確定的平面有（）1212A.9個B.6個C.3個D.1個答案：D.第21題.三條直線相交于一點，可能確定的平面有（）A.1個B.2個C.3個D.1個或3個答案：D.第22題.下列命題中，不正確的是（） 一條直線和兩條平行直線都相交，那么這三條直線共面； 每兩條都相交但不共點的四條直線一定共面； 兩條相交直線上的三個點確定一個平面； 兩條互相垂直的直線共面.A.與B.與C.與D.與答案：B.第23題.分別和兩條異面直線都相交的兩條直線一定是（）A.異面直線B.相交直線C.不相交直線