點(diǎn)線面之間的位置關(guān)系的知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、高中空間點(diǎn)線面之間位置關(guān)系知識(shí)點(diǎn)總結(jié)第二章直線與平面的位置關(guān)系空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系平面含義：平面是無限延展的2平面的畫法及表示(1) 平面的畫法：水平放置的平面通常畫成一個(gè)平行四邊形，銳角畫成450，且橫邊畫成鄰邊的2倍長(如圖)(2) 平面通常用希臘字母a、P、Y等表示，如平面a、平面P等，也可以用表示平面的平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)或者相對的兩個(gè)頂點(diǎn)的大寫字母來表示，如平面AC'平面ABCD等。3三個(gè)公理：(1) 公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)符號(hào)表示為公理1作用：判斷直線是否在平面內(nèi)(2)公理2：過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面符號(hào)

2、表示為：A'B'C三點(diǎn)不共線=>有且只有一個(gè)平面a,使AGa、BGa、CGa。公理2作用：確定一個(gè)平面的依據(jù)。(3)公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線符號(hào)表示為：PGaAP=>aOP=L，且PGL公理3作用：判定兩個(gè)平面是否相交的依據(jù)空間中直線與直線之間的位置關(guān)系1空間的兩條直線有如下三種關(guān)系：相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)；L.共面直線異面直線：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)同一條直線的兩條直線互相平行符號(hào)表示為：設(shè)a、b'c是三條直線ab。二>ac2公理4：平

3、行:cb強(qiáng)調(diào)：公理4實(shí)質(zhì)上是說平行具有傳遞性，在平面、空間這個(gè)性質(zhì)都適用。公理4作用：判斷空間兩條直線平行的依據(jù)。3 等角定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)4 注意點(diǎn)： a'與b'所成的角的大小只由a、b的相互位置來確定，與0的選擇無關(guān)，為簡便，點(diǎn)0般取在兩直線中的一條上; 兩條異面直線所成的角ee(0，)； 當(dāng)兩條異面直線所成的角是直角時(shí)，我們就說這兩條異面直線互相垂直，記作a丄b； 兩條直線互相垂直，有共面垂直與異面垂直兩種情形； 計(jì)算中，通常把兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的角?？臻g中直線與平面、平面與平面之間的位置關(guān)系1、直線與

4、平面有三種位置關(guān)系：(1)直線在平面內(nèi)有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)(2) 直線與平面相交有且只有一個(gè)公共點(diǎn)(3) 直線在平面平行一一沒有公共點(diǎn)指出：直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外，可用aa來表示毎aEaAa=Aaa.直線、平面平行的判定及其性質(zhì)直線與平面平行的判定1、直線與平面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行。簡記為：線線平行，則線面平行。平面與平面平行的判定2、判斷兩平面平行的方法有三種：(1) 用定義；(2) 判定定理；(3) 垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行。一直線與平面、平面與平面平行的性質(zhì)1、定理：一條直線與一個(gè)平面平行，則過這條直線的任一平

5、面與此平面的交線與該直線平行。簡記為：線面平行則線線平行。符號(hào)表示：aafa匸Pa力baOP=b*作用：利用該定理可解決直線間的平行問題。2、定理：如果兩個(gè)平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行。符號(hào)表示：aPaPlY=aa/bPPlY=b'作用：可以由平面與平面平行得出直線與直線平行直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)直線與平面垂直的判定1、定義如果直線L與平面a內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線L與平面a互相垂直，記作L丄a,直線L叫做平面a的垂線，平面a叫做直線L的垂面。如圖，直線與平面垂直時(shí)，它們唯一公共點(diǎn)P叫做垂足。2、判定定理：一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該

6、直線與此平面垂直。注意點(diǎn)：a）定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視;b）定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。平面與平面垂直的判定1、二面角的概念：表示從空間一直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形3、兩個(gè)平面互相垂直的判定定理：一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直。直線與平面、平面與平面垂直的性質(zhì)1、定理：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行。2性質(zhì)定理：兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直。異面直線所成的角是指經(jīng)過空間任意一點(diǎn)作兩條分別和異面的兩條直線平行的直線所成的銳角（或直角）一般通過平移后轉(zhuǎn)化到三角形中求角，注意角的范圍.例1在正方

7、體ABCD-ABCD中，0是底面ABCD的中心，M、N分別是棱DD、11111DC的中點(diǎn)，則直線0M（）.11A是AC和MN的公垂線.B.垂直于AC但不垂直于MN.C垂直于MN，但不垂直于AC.D與AC、MN都不垂直.錯(cuò)解:B.錯(cuò)因：學(xué)生觀察能力較差，找不出三垂線定理中的射影.正解：A.例2如圖,已知在空間四邊形ABCD中，E,F分別是AB,AD的中點(diǎn),分別是BC,CD上的點(diǎn)，且GC二DC二2，求證:直線EG,FH,AC相占八、錯(cuò)解：證明：©E、F分別是AB,AD的中點(diǎn)，丄:EFBD,EF二2BD,AG,H交于1又GC二JHC二,-GHBD,GH二3BD,四邊形EFGH是梯形，設(shè)兩腰

8、EG,FH相交于一點(diǎn)T,©DC二2,F分別是.與FH交于一點(diǎn).直線EG,FH,AC相交于一點(diǎn)正解：證明：©E、F分別是AB,AD的中點(diǎn)，丄EFBD,EF二"2BD,又BGDH2又GCHC，丄 GHBD,GH二BD,四邊形EFGH是梯形，設(shè)兩腰EG,FH相交于一點(diǎn)T,©EGu平面ABC,FHu平面ACD, Te面ABC,且Te面ACD,又平面ABCI平面ACD=AC, TeAC,直線EG,FH,AC相交于一點(diǎn)T.例3在立方體ABCD-ABCD中，1111出平面AC的斜線BD1在平面AC內(nèi)的射影;線BD和直線AC的位置關(guān)系如何1線BD和直線AC所成的角是多少

9、度1解：連結(jié)BD,交AC于點(diǎn)0ClC找直(3)直©DD丄平WAC,BD就是斜線Bq在平面AC上的射影.(2)BD和AC是異面直線.1過0作BD1的平行線交DD于點(diǎn)M,連結(jié)MA、MC,則ZMOA或其補(bǔ)角即為異面直線AC和BD所成的角.不難得到MA=MC，而0為AC的中點(diǎn)，因此M0丄AC，即ZM0A=90°,異面直線BD與AC所成的角為90°.1例4a和b為異面直線，則過a與b垂直的平面().A. 有且只有一個(gè)B.個(gè)面或無數(shù)個(gè)C.可能不存在D.可能有無數(shù)個(gè)錯(cuò)解：A.錯(cuò)因：過a與b垂直的平面條件不清.正解：C.例5在正方體ABCD-ABCD中，E、F分別是棱AB、BC的

10、中點(diǎn)，0是底面ABCD的中點(diǎn).求證：EF垂直1111平面BB0.證明？：如圖，連接AC、BD,則0為AC和BD的交點(diǎn).E、F分別是AB、BC的中點(diǎn),.疋卩是厶ABC的中位線，二EFAC.'/BB丄平面ABCD,ACu平面ABCDAi1/.AC丄BB,由正方形ABCD知：AC丄B0,又B0與BB1是平面BB1O上的兩條相交直線，/AC丄平面BBO（線面垂直判定定理）1/ACEF，/.EF丄平面BBO.例6如圖，在正方體ABCD-AiBiCiDi中，E是BB的中點(diǎn)，0是底面正方形ABCD的中心，求證：0E丄平面ACD.1分析：本題考查的是線面垂直的判定方法.根據(jù)線面垂直的判定方法，要證明0

11、E丄平面ACD1，只要在平/AD丄DB11同理可證BD丄DC.11又TADICD=D,AD,DCu面ACD,111111.BD丄平面ACD.11TBDOE，1/.OE丄平面ACD.1點(diǎn)?評：要證線面垂直可找線線垂直，這是立體幾何證明線面垂直時(shí)常用的轉(zhuǎn)化方法在證明線線垂直時(shí)既要注意三垂線定理及其逆定理的應(yīng)用，也要注意有時(shí)是從數(shù)量關(guān)系方面找垂直，即勾股定理或余弦定理的應(yīng)用.例7.如圖，正方體ABCD-ABCD中，點(diǎn)N在BD上，點(diǎn)M1111且CM=DN,求證:MN平面AABB.11證明:證法一如圖，作MEBC,交BB于E,作NFAD,交AB于F,連A1平面AABB.11DIDC1在BC上1EF則EF

12、u®ME=B1M,-NF=_BN,BCADBD.囂=囂=囂'.ME二NF又MEBCADNF,MEFN為平行四邊形,.MNEF.MN平面AABB.11DI證法二如圖，連接并延長CN交BA延長線于點(diǎn)P,連BP,則BPu平面AABB.1111©ANDCsANBP,DN=CP.ElDN=CN.又CM=DN,B1C=BD,MBNBNP.MNbp.1ClElAlP&BPu平面AABB,.MN平面AABB.AB&BD=BC,DN二CM,BM=BN.11Q-CM二DN,二CPDN.MB1NBPBNB:.NPCDAB.面MNP面AABB.11MN平面AABB.11點(diǎn)、

13、線、面之間的位置關(guān)系單元測試第1題.下列命題正確的是()A. 經(jīng)過三點(diǎn)確定一個(gè)平面B. 經(jīng)過一條直線和一個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面C. 四邊形確定一個(gè)平面D. 兩兩相交且不共點(diǎn)的三條直線確定一個(gè)平面答案：D.第2題.如圖，空間四邊形ABCD中，E,F,G,H分別是AB,BC,CD,DA的中點(diǎn).求證：四邊形EFGH是平行四邊形.答案：證明：連接BD.因?yàn)镋H是ABD的中位線，所以EHBD，且EH1BD.2同理，F(xiàn)GBD，且FG1BD.2因?yàn)镋HFG，且EHFG.所以四邊形EFGH為平行四邊形.第3題.如圖，已知長方體ABCD-A'B'C'D'中，AB2罷，AD2j3，AA&

14、#39;=2.(1) BC和AC所成的角是多少度(2) AAA和BC所成的角是多少度答案：；(2)一60-.第4題.下列命題中正確的個(gè)數(shù)是( 若直線l上有無數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面d內(nèi)，則lII 若直線l與平面d平行，則l與平面d內(nèi)的任意一條直線都平行. 如果兩條平行直線中的一條與一個(gè)平面平行，那么另一條也與這個(gè)平面平行 若直線l與平面d平行，則l與平面d內(nèi)的任意一條直線都沒有公共點(diǎn).A. 0B.1C.2D.3答案：B.第5題.若直線a不平行于平面d,且ad，則下列結(jié)論成立的是（）A. d內(nèi)的所有直線與a異面B. d內(nèi)不存在與a平行的直線C. d內(nèi)存在唯一的直線與a平行D. d內(nèi)的直線與a都相交答案：B

15、.第6題.已知a,b,c是三條直線，角ab，且a與c的夾角為。，那么b與c夾角為答案：.第7題.如圖，AA'是長方體的一條棱，這個(gè)長方體中與AA垂直的棱共條.答案：8條.第8題.如果a，b是異面直線，直線c與a，b都相交，那么這三條直線中的兩條所確定的平面共有個(gè).答案：2個(gè).第9題.已知兩條相交直線a，b，a平面d則b與d的位置關(guān)系是答案：BA，或B與A相交.第10題.如圖，三條直線兩兩平行且不共面，每兩條確定一個(gè)平面，一共可以確定幾個(gè)平面如果三條直線相交于一點(diǎn)，它們最多可以確定幾個(gè)平面答案：3個(gè)，3個(gè)第11題.如圖是正方體的平面展開圖，則在這個(gè)正方體中BM與ED平行.CN與BE是異面

16、直線.CN與BM成60角DM與BN垂直以上四個(gè)命題中，正確命題的序號(hào)是（）A.，B.，C.，D.，答案：C.第12題.下列命題中，正確的個(gè)數(shù)為（） 兩條直線和第三條直線成等角，則這兩條直線平行； 平行移動(dòng)兩條異面直線中的任何一條，它們所成的角不變； 過空間四邊形ABCD的頂點(diǎn)A引CD的平行線段AE，則ZBAE是異面直線AB與CD所成的角； 四邊相等，且四個(gè)角也相等的四邊形是正方形A0B1C2D3答案：B.第13題.在空間四邊形ABCD中，N,M分別是BC,AD的中點(diǎn)，則2MN與AB+CD的大小關(guān)系是.答案：2MN<AB+CD.第14題.已知A,B是一對異面直線，且A，B成700角，P為空

17、間一定點(diǎn)，則在過P點(diǎn)的直線中與A,B所成的角都為700的直線有條.答案：4第15題.已知平面0/卩，p是平面,卩外的一點(diǎn)，過點(diǎn)P的直線M與平面a,卩分別交于A,C兩點(diǎn),過點(diǎn)P的直線n與平面a,卩分別交于B,D兩點(diǎn)，若PA=6,AC=9,PD=8,24則BD的長為.答案：24或5.第16題.空間四邊形ABCD中，E,F,G,H分別是AB,BC,CD,DA的中點(diǎn)，若AC=BD=a,且AC與bd所成的角為90。，則四邊形EFGH的面積是.答案：1a2.4第17題.已知正方體ABCDABCD中，E,F分別為DC,CB的中點(diǎn)，ACIBD=P,11111111ACIEF=Q.求證：11(1) D,B,F,

18、E四點(diǎn)共面；(2) 若AC交平面DBFE于R點(diǎn)，則P,Q,R三點(diǎn)共線.答案：證明：如圖.(1)QEF是HDBC的中位線，EFBD.11111在正方體AC中，BDBD,.EFBD.111EF確定一個(gè)平面，即D,B,F,E四點(diǎn)共面.(2)正方體AC中，設(shè)AACC確定的平面為a，又設(shè)平面BDEF為卩.111EQB_rCZPAAiC1RJQQeAC,Q".又QeEF,Q.則Q是么與卩的公共點(diǎn)，I卩=PQ.又ACIR,ReAC.11Rea,且ReB，則RePQ.故P,Q,R三點(diǎn)共線.第18題.已知下列四個(gè)命題： 很平的桌面是一個(gè)平面； 一個(gè)平面的面積可以是4m2； 平面是矩形或平行四邊形； 兩

19、個(gè)平面疊在一起比一個(gè)平面厚其中正確的命題有（）A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)答案:A.第19題.給出下列命題：和直線a都相交的兩條直線在同一個(gè)平面內(nèi)；三條兩兩相交的直線在同一平面內(nèi)；有三個(gè)不同公共點(diǎn)的兩個(gè)平面重合；兩兩平行的三條直線確定三個(gè)平面.其中正確命題的個(gè)數(shù)是（）A.0B.1C.2D.3答案：A.第20題.直線ll，在l上取3點(diǎn)，l上取2點(diǎn)，由這5點(diǎn)能確定的平面有（）1212A.9個(gè)B.6個(gè)C.3個(gè)D.1個(gè)答案：D.第21題.三條直線相交于一點(diǎn)，可能確定的平面有（）A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.1個(gè)或3個(gè)答案：D.第22題.下列命題中，不正確的是（） 一條直線和兩條平行直線都相交，那么這三條直線共面； 每兩條都相交但不共點(diǎn)的四條直線一定共面； 兩條相交直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面； 兩條互相垂直的直線共面.A.與B.與C.與D.與答案：B.第23題.分別和兩條異面直線都相交的兩條直線一定是（）A.異面直線B.相交直線C.不相交直線