概率論第十四章概率論初步重要知識(shí)點(diǎn)

1、第十四章概率論初步第一節(jié)事件與概率一、隨機(jī)事件和樣本空間在研究自然界和人類社會(huì)時(shí)，人們可觀察到各種現(xiàn)象，按它是否帶有隨機(jī)性將它們劃分為兩類。一類是在一定條件下必然會(huì)發(fā)生的現(xiàn)象，稱這類現(xiàn)象為確定性現(xiàn)象。例如蘋(píng)果從樹(shù)上掉下來(lái)總會(huì)落到地上，三角形的內(nèi)角和一定為180°。另一類現(xiàn)象是在一定條件可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的現(xiàn)象，稱這類現(xiàn)象為隨機(jī)現(xiàn)象。例如擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣時(shí)，它可能出現(xiàn)正面向上，也可能出現(xiàn)反面向上等。對(duì)于隨機(jī)現(xiàn)象的一次觀察，可以看作是一次試驗(yàn)，如果某種試驗(yàn)滿足以下條件：（1）試驗(yàn)可在相同條件下重復(fù)地進(jìn)行；（2）每次試驗(yàn)的結(jié)果可能不止一個(gè)，并且能事先確定試驗(yàn)的所有可能的結(jié)果;（3）每

2、次試驗(yàn)的結(jié)果事先不可預(yù)測(cè)，稱這種試驗(yàn)為隨機(jī)試驗(yàn)。隨機(jī)試驗(yàn)的每一個(gè)可能的結(jié)果，稱為基本事件，它們的全體，稱作樣本空間，通常用字母0表示。樣本空間的元素即基本事件，有時(shí)也稱作樣本點(diǎn)，常用表示。例1、一次擲兩顆骰子,觀察每顆的點(diǎn)數(shù)解：0=（i,j）Ii,j=1、2、父久乞6其中Cj）表示第一顆擲出i點(diǎn)，第二顆擲出j點(diǎn),顯然，0共有36個(gè)樣本點(diǎn)。例2、一個(gè)盒子中有十個(gè)完全相同的球,分別標(biāo)以號(hào)碼1、2A、10從中任取一球，解：令i=取出球的號(hào)碼為i則0=1、2、A>10稱樣本空間0的某一子集為一個(gè)隨機(jī)事件，簡(jiǎn)稱事件，通常用大寫(xiě)英文字母A、B、C表示。如在例2中，A=取出球的標(biāo)號(hào)為奇數(shù)因?yàn)?是所有基

3、本事件所組成，因而在任一次試驗(yàn)中，必然要出現(xiàn)0中的某一些基本事件，即®W0，也即在試驗(yàn)中，0必然會(huì)發(fā)生，又用0來(lái)代表一個(gè)必然事件。相應(yīng)地，空集0可以看作是0的子集，在任意一次試驗(yàn)中，不可能有®w©，即0永遠(yuǎn)不可能發(fā)生，所以©是不可能事件。我們可用集合論的觀點(diǎn)研究事件，事件之間的關(guān)系與運(yùn)算如下：（1）包含如果在一次試驗(yàn)中，事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事件B發(fā)生，則稱事件B包含事件A，記為AuB由例2,B二球的標(biāo)號(hào)為5)，則BuA(2) 等價(jià)如果AuB同時(shí)BuA，則稱事件A與事件B等價(jià)，記為A=B。由例2,若C二球的標(biāo)號(hào)為1、3、7、9，則A=C(3) 交事件&quo

4、t;事件A與事件B同時(shí)發(fā)生"，這樣的事件稱為事件A與事件B的交(或積)，記作AIB(或AB)BIC二球的標(biāo)號(hào)為5將交事件推廣到有限個(gè)或可列個(gè)事件的情形，稱I1A為n個(gè)事件A、A、A、Ai12ni=1的交事件，表示n個(gè)事件同時(shí)發(fā)生；稱IA為可列個(gè)事件A、A、A、A、A的交事i=1i12件，表示可列個(gè)事件同時(shí)發(fā)生。(4) 并事件"事件A與事件B至少有一個(gè)發(fā)生"，這樣的一個(gè)事件稱作事件A與B的并，記作AYB記D=球的標(biāo)號(hào)3，貝yAYD=球的標(biāo)號(hào)為1、2、3、7、9同樣將并事件推廣到有限個(gè)或可列個(gè)事件的情形，稱YnA為n個(gè)事件i=1A、A、A、A的并事件；稱YA為可列個(gè)事

5、件A、A、A、A、A的并事件。12ni12i=1(5) 差事件"事件A發(fā)生而B(niǎo)不發(fā)生"，這樣的事件稱為事件A與B的差，記作A-B。A-B=球的標(biāo)號(hào)為167、9(6) 互不相容事件如果事件A與B不能同時(shí)發(fā)生，也即AB是一個(gè)不可能事件，稱A與B為互不相容事件，記為AIB=0記E=球的標(biāo)號(hào)為4，則A與E為互不相容事件(7)逆事件又稱對(duì)立事件設(shè)事件A與B,如果AYB=Q,AIB=°，則稱B為A的逆事件或?qū)α⑹录蚍QA與B互逆，B也記為A。例3、設(shè)A、B、C是。中的隨機(jī)事件，則事件"A發(fā)生，B、C都不發(fā)生"可表為ABC"A、B都發(fā)生，C不發(fā)生

6、"可表為ABC"A、B、C中至少有一個(gè)發(fā)生"可表為AYBYC"A、B、C中不多于一個(gè)事件發(fā)生"可表為ABCYABCYABCYABC”A、B、C中至少有兩個(gè)事件發(fā)生”可表為ABCYABCYABCYABC事件運(yùn)算滿足如下規(guī)則：(1) 交換律AYB=BYA,AIB=BIA(2) 結(jié)合律(AYB)YC=AY(BYC)，(AIB)IC=AI(BIC)(3) 分配律AY(BIC)=(AYB)I(AYC)，AI(BYC)=(AIB)Y(AYC)Ia=Yaiii=1i=1A=YAiii=1i=1(4) DeMorgan定理(對(duì)偶原則)AYB=AIB，AIB=A

7、YB推廣到有限個(gè)和可列個(gè)的情形Ya=inaiii=1i=1ya=rA,iii=1i=1事件是O的某些子集，如果把"是事件"的這些子集歸在一起，則得到一個(gè)類,記作F，稱作事件域，即F=A:AuO,A是事件二、隨機(jī)事件的概率定義1隨機(jī)事件A發(fā)生可能性大小的度量(數(shù)值)，稱為A發(fā)生的概率,記作p(A)。概率具有下述性質(zhì)：(1)非負(fù)性：任給AeF，0<p<1；2)規(guī)范性：p(O)=1；(3)可列可加性：任給A.eF，i=1、2sA且任意事件兩兩互不相容，有ip(筑A)二另P(A)ii心1i=1由此可得到以下結(jié)論：(1) P(0)=0，即不可能事件的概率為0；(2) 有限

8、可加性，若事件A、A、A、A兩兩互不相容，12n貝yp(Ya)=工P(A)；iii=1i=1(3) 事件A、B,如果AuB,則有p(B-A)=p(B)-p(A),p(A)<p(B)；(4) 對(duì)任意事件A，有0<p<1；(5) 對(duì)任意事件A，有p(A)=1-p(A)(6) 對(duì)于任意事件A、B,有p(AYB)=p(A)+p(B)-p(AIB)，p(AYB)<p(A)+p(B)該公式也可推廣到有限個(gè)事件，較復(fù)雜在此省略。三、古典概率對(duì)于一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，如何尋求隨機(jī)事件A的概率p(A)呢？先討論一類較為簡(jiǎn)單的隨機(jī)試驗(yàn)，它具有兩類共性：(1) 試驗(yàn)的所有可能結(jié)果只有有限個(gè)，即樣本空

9、間的元素(基本事件)為有限個(gè)，0=、，在一次試驗(yàn)中有且僅有其中的一個(gè)基本12n事件發(fā)生；(2) 試驗(yàn)中每個(gè)事件®.(i=1、2、A、n)發(fā)生的可能性相等，i即p()=p()=A=p()。12n具有上述兩個(gè)特點(diǎn)的試驗(yàn)?zāi)Ｐ头Q為古典概型。如果古典概型中的所有基本事件的個(gè)數(shù)是n，事件A包含的基本事件的個(gè)k數(shù)是k，則事件A的概率為p(A)=-n例4、盒內(nèi)有5個(gè)雙喜牌，3個(gè)雙環(huán)牌乒乓球，從中任取2個(gè)，問(wèn)兩個(gè)都是雙喜牌的概率？解：試驗(yàn)可能出現(xiàn)的結(jié)果共有C2二28種，8其中取得兩個(gè)為雙喜牌所包含的基本事件數(shù)為C2二10種例5、從5雙不同的鞋子中任取4只，問(wèn)這4只鞋子中至少有2只成雙的概率是多少？解：

10、設(shè)A為"4只鞋子中至少有兩只成雙"的事件，A為"4只鞋子中沒(méi)有成雙"的事件，基本事件總數(shù)為C4。10A所包含基本事件數(shù)（先從5雙中任取4雙，再?gòu)某槌龅?雙中每雙抽出1只）共有24xC4種,p(A)=24xC482110所以13218p(A)=1-p(A)=1-石=n例6、（分房問(wèn)題）設(shè)有個(gè)人，每人都等可能地被分配到N個(gè)房間中的任意一間去?。╪<N），求下列事件的概率n（1）指定的"個(gè)房間各有一個(gè)人?。籲（2）恰好有個(gè)房間，其中各住一個(gè)人。解：因?yàn)槊咳擞蠳個(gè)房間可供選擇，所以n個(gè)人住的方式共有Nn種，它們是等可能的。n!指定的n個(gè)房間各有一

11、個(gè)人住，其可能總數(shù)為n個(gè)人的全排列n!，p=1Nnn個(gè)房間可以在N個(gè)房間中任意選取，有Cn種選法，Cn-n!N!P=7=2NnNn(nn)!例7、某班級(jí)有n個(gè)人(n<365),問(wèn)至少有兩個(gè)人的生日在同一天的概率為多大？解：A為事件"n個(gè)人至少有兩個(gè)人的生日相同"，A為事件"n個(gè)人的生日全不相p(A)=N!Nn(Nn)!p(A)=1p(A)=1N!Nn(Nn)!(N=365)四、條件概率1、條件概率前面討論了一些簡(jiǎn)單的概率，實(shí)際上存在很多復(fù)雜的概率問(wèn)題，比如求在已知事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率，也記為求p(AIB)。例8、某班共有60名學(xué)生，其中有10名

12、視力減退，而這10名學(xué)生中有6名輕度近視，4名高度近視，現(xiàn)在班上任點(diǎn)一名學(xué)生，問(wèn)：(1)點(diǎn)到的學(xué)生恰為高度近視的概率；(2)已知點(diǎn)到的一名學(xué)生視力減退，該生是高度近視的概率。解：設(shè)為A"點(diǎn)到的學(xué)生高度近視"事件，為B"點(diǎn)到的學(xué)生勢(shì)力減退"事件1)(2)P(A)=60=115p(AIB)=10又AB為事件"點(diǎn)到的學(xué)生既是視力減退又是高度近視10606，p(AB)=60=首6010P(AB)P(B)60定義設(shè)A、B為事件，且P(B)>0，稱p(AIB)=BA?為事件B發(fā)生的P(B)條件下事件A發(fā)生的條件概率。條件概率具有概率的三個(gè)基本性質(zhì)：(

13、1)非負(fù)性對(duì)任意的AeF，p(AIB)>0；(2)規(guī)范性p(QIB)=1；(3) 可列可加性對(duì)任意的一列兩兩互不相容的事件A.(i二l、2sA),有ip(丸AIB)仝p(AIB)ii例9、一個(gè)家庭中有兩個(gè)小孩，已知其中有一個(gè)是女孩，問(wèn)這時(shí)另一個(gè)也是女孩的概率為多大？(假定一個(gè)小孩是男還是女是等可能的)解：。=(男，男)、(男，女)、(女，男)、(女，女)A=已知有一個(gè)是女孩=(男，女)、(女，男)、(女，女)B=另一個(gè)也是女孩=(女，女)p(BIA)=p(AB)P(A)342、乘法定理定理(乘法定理)設(shè)任意事件A、B,且p(B)>0，則有p(AB)=p(AIB)-p(B)例10、有

14、編號(hào)為1、2、3、4、5的五張卡片，第一次任取一張，且不放回，第二次在剩下的四張中人取一張，試求：(1)第一次取到奇數(shù)號(hào)卡片的概率；(2)第二次取到奇數(shù)號(hào)卡片的概率；(3)兩次都取到奇數(shù)號(hào)卡片的概率。解：設(shè)A為事件"第一次取到奇數(shù)號(hào)卡片"，B為事件"第二次取到奇數(shù)號(hào)卡片"()C13(1) P(A)=3=C155(2) B=ABYAB且ABIAB=Q,23323p(B)=p(AB)+p(AB)=p(BIA)p(A)+p(BIA)p(A)=x_+_x_=45455323(3)p(AB)=p(B)p(BIA)=5x-=103、全概率公式定理(全概率公式)設(shè)B、

15、B、A、B是一列互不相容的事件，且有1 2n弋B=Q,p(B)>0(i=1、2、A、n)iii=1則對(duì)任一事件A有p(A)=工p(B)p(AIB)iii=1證明：p(A)=p(AIQ)=pAI(YB)=pY(AB)iii=1i=1=工p(AB)=工p(B)p(AIB)iiii=1i=1例11、某保險(xiǎn)公司從保險(xiǎn)的角度認(rèn)為，人可分為兩類，第一類是容易發(fā)生意外的人，另一類是比較謹(jǐn)慎的人，據(jù)該公司統(tǒng)計(jì)，易發(fā)生意外的人在固定的一年內(nèi)的某個(gè)時(shí)刻出一次事故的概率為0、4，而較謹(jǐn)慎的人的概率為0、2，若假定第一類人占30%，則一個(gè)新保險(xiǎn)客戶在他購(gòu)買(mǎi)保險(xiǎn)單后一年內(nèi)可能發(fā)生一次意外事故的概率是多少？解：設(shè)A

16、為事件"新保險(xiǎn)客戶在一年期間出現(xiàn)一次意外”，B為事件"新客戶屬第一類"，B為事件"新客戶屬于第二類"，所以12p(A)=p(AIB)p(B)+p(AIB)p(B)=0.4x0.3+0.2x0.7=0.262214、貝葉斯(Bayes)公式定理若設(shè)B、B、A、B12是一列互不相容的事件，且ii=1則對(duì)任一事件A，有p(BIA)=-i-(i=1、2、A、n)i例12、在上例中問(wèn)此客戶是第一類人的概率是多少？iiYp(B)p(AIB)jjj=1如果一位新保險(xiǎn)客戶在他購(gòu)買(mǎi)保險(xiǎn)后一年內(nèi)出了一次事故YB=Q，p(B)>0(i=1、2、A、n)紳“(八

17、=p(AIB1)p(B1)=0.3x0.4=6：p(BIA)111p(AIB)p(B)+p(AIB)p(B)0.26131122五、事件的獨(dú)立性定義對(duì)任意的兩個(gè)事件A、B,若p(AB)p(A)-p(B)成立，則稱事件A、B是相互獨(dú)立的，簡(jiǎn)稱為獨(dú)立的。定義對(duì)于事件A、B、C,如果p(AB)=p(A)-p(B)p(AC)=P(A)-P(C)p(BC)=p(B)-P(C)P(ABC)=p(A)-p(B)-P(C)則稱事件A、B、C相互獨(dú)立。例13、設(shè)甲、乙、丙三射手獨(dú)立地射擊同一目標(biāo),他們擊中目標(biāo)的概率分別是0、9,0、88,0、8,求在一次射擊中,目標(biāo)被擊中的概率。解：設(shè)A、A、A分別為事件&qu

18、ot;甲、乙、丙獨(dú)立擊中目標(biāo)",B為事件"目標(biāo)被123擊中”，A、A、A相互獨(dú)立，則A、A、A相互獨(dú)立。123123B二AYAYA123p(B)=p(AYAYA)=1-p(AYAYA)=1-p(AAA)123123123=1-p(A)p(A)p(A)=1-0.1x0.12x0.2=0.9976123六、貝努里概型一般地說(shuō)，如果試驗(yàn)只有兩個(gè)可能的結(jié)果：A及A，并且p(A)=p,P(A)二1-p二q(其中0<p<1)，將該試驗(yàn)獨(dú)立地重復(fù)n次的試驗(yàn)構(gòu)成了一個(gè)試驗(yàn)，這個(gè)試驗(yàn)稱作n重貝努里試驗(yàn)，簡(jiǎn)稱為貝努里試驗(yàn)或貝努里概型。在n重貝努里試驗(yàn)中，若事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概

19、率為p，在n重貝努里試驗(yàn)中，事件A恰好發(fā)生k次的概率記為p(k)，則np(k)二Ckpkqn一k,q二1-pnn例14、甲、乙兩個(gè)籃球運(yùn)動(dòng)員，投籃命中率分別為0、8和0、7，每人投籃3次，試求：(1)兩人進(jìn)球數(shù)相等的概率；(2)甲比乙進(jìn)球數(shù)多的概率。解：令A(yù)為事件“甲投籃命中”B為事件“乙投籃命中”則p(A)=0.8，p(A)二0.2；p(B)=0.7，p(B)二0.3p=C0xO.80x0.23xC0xO.7ox0.33+C1x0.81x0.22xC1x0.7ix0.32+13333C2x0.82x0.2ixC2x0.72x0.3i+C3x0.83x0.20xC3x0.73x0.3。3333

20、p=C3x0.83x0.20xC2x0.72x03+C3x0.83x0.20xC1x0.7ix0.32+2 3333C3x0.83x0.20xC0x0.70x0.33+C2x0.82x0.21xC1x0.71x0.32+3 333C2x0.82x0.21xC0x0.70x0.33+C1x0.81x0.22xC0x0.7。x0.333333例15、某大學(xué)的校乒乓球隊(duì)與系乒乓球隊(duì)舉行對(duì)抗賽，校隊(duì)的實(shí)力較系隊(duì)強(qiáng)，當(dāng)一個(gè)校隊(duì)運(yùn)動(dòng)員與一個(gè)系隊(duì)運(yùn)動(dòng)員比賽時(shí)，校隊(duì)運(yùn)動(dòng)員獲勝的概率為0、6，現(xiàn)校系雙方商量對(duì)抗賽的方式，提出三種方案：(1)雙方各出3人；(2)雙方各出5人；(3)雙方各出7人。三種方案中均以比賽

21、得勝人數(shù)多的一方為勝利，問(wèn)：對(duì)系隊(duì)來(lái)說(shuō)，哪種方案有利？解：設(shè)系隊(duì)得勝人數(shù)為E，則上述三種方案中，系隊(duì)的勝的概率為(1) p(>2)二工Ck(0.4)k(0.6)3-k沁0.3523k=2(2) p憶>3)二工Ck(0.4)k(0.6)5-ku0.3175k=3(3) p(g>4)=工Ck(0.4)k(0.6)7-ku0.2907k=4對(duì)系隊(duì)來(lái)說(shuō)，第一種方案有利。第二節(jié)隨機(jī)變量及其數(shù)字特征一、隨機(jī)變量在隨機(jī)現(xiàn)象中，有一部分問(wèn)題與數(shù)值直接發(fā)生關(guān)系，例如投擲殺子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為X，為一個(gè)可能取值為1、2、3、4、5、6的變量。即使與數(shù)值無(wú)關(guān)的隨機(jī)現(xiàn)象，也常常能聯(lián)系數(shù)值來(lái)描述，例如拋一枚

22、硬幣，正面向上記為1，反面向上記為0，這樣就可以將隨機(jī)事件的結(jié)果直接和數(shù)值相聯(lián)系。隨機(jī)事件的結(jié)果可以用一個(gè)數(shù)X來(lái)表示，這個(gè)X隨著結(jié)果不同而變化，稱X為隨機(jī)變量。根據(jù)隨機(jī)變量可能取得的值，將隨機(jī)變量分為離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量。如果隨機(jī)變量可能取得的數(shù)值為有限個(gè)或無(wú)窮個(gè)孤立的數(shù)值，則稱為離散型隨機(jī)變量；如果隨機(jī)變量可取某一(有限或無(wú)限)區(qū)間的任何數(shù)值，則稱為連續(xù)型隨機(jī)變量。對(duì)一個(gè)隨機(jī)變量X，不僅要了解它取哪些值，而且要了解取各個(gè)值的概率，即它的取值規(guī)律，通常把X取值的規(guī)律稱為X的分布。(一)離散型隨機(jī)變量的概率分布定義設(shè)離散型隨機(jī)變量X的所有可能取值為x、xA(有限個(gè)或可列個(gè))，則稱12p

23、(x)=p(X=x)i=l、2sAii為隨機(jī)變量X的概率分布。顯然p(x)滿足以下關(guān)系：ip(x)>0i=l、2sAi£p(x)=1ii=1離散型隨機(jī)變量X的概率分布常用以下形式表示XxxAxA12np(x)p(x)p(x)Ap(x)Ai12n例1、投擲殺子，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)X，全部取值可列成下表：X123456p(x)16616.161616例2、設(shè)射手每次射擊擊中目標(biāo)的概率為p(0<p<1)，該射手不斷向一目標(biāo)射擊,直到擊中目標(biāo)為止，則射擊次數(shù)g的概率分布為p(g=k)=(1-p)k-ip,k二1、厶$Ag123AkA用分布列表示為()(1)(1)(1)p(g=k)p

24、(1-p)p(1-p)2pA(1-p)k-ipA以下介紹四種常用的離散型隨機(jī)變量及其概率分布(1) 兩點(diǎn)分布設(shè)隨機(jī)變量g只取兩個(gè)可能值0和1,它的概率分布為p(g=k)=pk(1-p)1-k，k二C11(0<p<1)則稱g服從兩點(diǎn)分布。相應(yīng)的分布列為如果一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)只有兩種結(jié)果，即它的樣本空間只有兩個(gè)元素，O二,，12那么可在。上定義一個(gè)服從兩點(diǎn)分布的隨機(jī)變量匕匕0當(dāng)3=®g=g(3)=1來(lái)描述這個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果。1當(dāng)3=32(2) 二項(xiàng)分布假定在n重貝努里試驗(yàn)中，每次試驗(yàn)事件A發(fā)生的概率為p，不發(fā)生的概率為q=1-p，用g表示n重貝努里試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，顯然g是一

25、個(gè)隨機(jī)變量，p(g=k)=Ckpkqn-k，k=1、2、A、nn將n重貝努里試驗(yàn)中事件A發(fā)生k次的概率稱為二項(xiàng)分布，記為b(k;n,p)。當(dāng)n=1時(shí)的二項(xiàng)分布就是兩點(diǎn)分布。例3、設(shè)某棒球手擊球得分的概率是0、1，那么他擊球5次，得分少于3的概率是多少？解：p5(x<3)=p5(x=0)+p5(x=1)+p5(x=2)=C0xO.lox0.95+C1x0.11x0.94+C2x0.I2x0.93=0.9914555(3) 普阿松(poisson)分布在二項(xiàng)分布中，當(dāng)n很大，p很小時(shí)，二項(xiàng)分布可用普阿松(poisson)分布去逼近。P(g=k)=*e-九,nk!(九=np)其中k是試驗(yàn)n次，

26、事件A發(fā)生的次數(shù)。例4、某電話交換臺(tái)有300個(gè)用戶，在一小時(shí)內(nèi)每一電話用戶使用電話的概率等于0、01，求在一小時(shí)內(nèi)有4個(gè)用戶使用電話的概率。解：設(shè)在一小時(shí)內(nèi)使用電話的用戶數(shù)為E，則g服從二項(xiàng)分布，P(g=4)=C4x0.014x0.99296300由于n二300，p=0.01，有九=np=300x0.01=3故有p(g=4)q百e-3沁0.1684!(4) 幾何分布設(shè)在可列重貝努里試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的概率為p，記A首次出現(xiàn)時(shí)的試驗(yàn)次數(shù)為g，它的可能取值為123A,則其概率分布p(g=k)=qnp,k=1、23A稱為幾何分布，記為g(k;p)。(二)、連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度定義設(shè)隨機(jī)變量X，

27、如果存在非負(fù)可積函數(shù)f(x)，(-g<x<+s)，使得對(duì)任意實(shí)數(shù)a<b，有p(a<X<b)=ff(x)dx，則稱X為為連續(xù)型隨機(jī)變量，稱af(x)為X的概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱概率密度或分布密度。概率密度有下列性質(zhì)：性質(zhì)1f(x)>0性質(zhì)2ff(x)dx=1連續(xù)型隨機(jī)變量在任一點(diǎn)處的概率都是0。aAxp(X=a)=limp(a<X<a+Ax)=limJf(x)dx=0AxtO+AxtO+aap(a<X<b)=p(a<X<b)=p(a<X<b)=p(a<X<b)=例5、設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f(x)=Ae

28、，(<x<+s)求：(1)系數(shù)A；(2)p(0<g<1)解:(1)由于丁f(x)dx=1，則樂(lè)I+fc1=JAexdx=2AJe-xdx=2A，g2)三)、分布函數(shù)及隨機(jī)變量函數(shù)的分布定義設(shè)g是一個(gè)隨機(jī)變量，x為任意實(shí)數(shù)，則稱函數(shù)F(x)=p憶<x)，(g<x<+g)為g的分布函數(shù)。例6、某人投籃命中的概率為0.6，求一次投籃時(shí)命中次數(shù)的分布律和分布函數(shù)。解：設(shè)一次投籃命中次數(shù)為g，顯然g為隨機(jī)變量，它的可能取值為0和1,g=0表示命中0次，即未投中；g=1表示命中1次。易知，g的分布律為g01p0.40.6(1)當(dāng)x<0時(shí)，(g<x)為不

29、可能事件，所以F(x)=p(g<x)=0(2)當(dāng)0<x<1時(shí)，(g<x)=(g=0)F(x)=p(g<x)=p(g=0)=0.4(3) 當(dāng)x>1時(shí)，(g<x)=(g=0)Y(g=1),且(g=0)與(g=1)互不相容,所以F(x)=p(g<x)=p(g=0)+p(g=1)=0.4+0.6=1'0x<0因此，g的分布函數(shù)為F(x)=<0.40<x<11x>1隨機(jī)變量g的分布具有下列性質(zhì)：1)、2)、單調(diào)性若x<x，則F(x)<F(x)；1212有界性0<F(x)<1，且有l(wèi)imF(x)=

30、0,limF(x)=1；xT+83)、F(x)是右連續(xù)的。已知隨機(jī)變量g的分布函數(shù)為F(x)=<014341x<00<x<11<x<2x>2<g<2)求3 1_14 42113p(g<2)，p(2<g<2)'p(g=4)+p(4<g<l)=0+F(2)-F(4)=0+4-4=01x2例8、若隨機(jī)變量X的概率密度為f(x)=e_2,求X的線性函數(shù)J2兀Y=oX+卩的概率密度(其中卩、均為常數(shù)，且b>0)解：隨機(jī)變量Y的分布函數(shù)為y-卩2F(y)=p(Y<y)=pQX+卩<y)=p(X&l

31、t;-_-)=1e2dxYbv'2kg(x卩)2密度函數(shù)為f(Y)=e2b2&2Rb下面介紹幾種常見(jiàn)的連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布1、均勻分布'17aVxVb如果隨機(jī)變量E的概率密度是f(x)=ba-，則稱g服從a,b上、0其它的均勻分布0x<aE相應(yīng)的分布函數(shù)為F(x)=壬二aaVx<bb一a1x>b例9、一位乘客到某公共汽車(chē)站等候汽車(chē)，如果他完全不知道汽車(chē)通過(guò)該站的時(shí)間則他的侯車(chē)時(shí)間X是一個(gè)隨機(jī)變量，假設(shè)說(shuō)汽車(chē)站每隔10分鐘有一輛汽車(chē)通過(guò),則乘客在0到10分鐘乘上汽車(chē)的可能性相同。0VxV10其它1因此，隨機(jī)變量X服從均勻分布，密度函數(shù)為f(x)=帀0他

32、等候時(shí)間不超過(guò)5分鐘的概率是p(0VxV5)=1存=0.50他等候時(shí)間超過(guò)7分鐘的概率是p(7VxV10)=lfdx=101072、正態(tài)分布如果連續(xù)型隨機(jī)變量X的密度函數(shù)是1_(x從)2f(x)=e_2ct2(_X><X<+X>)(*)則稱X服從正態(tài)分布，記作XN(卩Q2)，其中卩、Q均為常數(shù)，且b>0。正態(tài)分布是數(shù)理統(tǒng)計(jì)中最重要的一種分布，它具有以下性態(tài)：(1) 、分布曲線在x軸的上方，以x二卩為對(duì)稱軸，且當(dāng)x二卩是，f(x)有最大值;(2) 、卩、b為正態(tài)分布兩參數(shù)，卩確定分布的位置Q確定分布的形狀，b愈大，圖像愈扁平;(3)、在x二卩_b與x二卩+b之間，圖

33、形上凸，而其它部分下凹，曲線向兩側(cè)延伸，永不和x軸相交；(4)、x的取值范圍是整個(gè)x軸。在(*)式中，若卩=0,b=1,則稱X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記為X(0,1)其密度函數(shù)為1xLx申(x)e2，分布函數(shù)為(x)1申(t)dtJ2兀一8對(duì)于(*)式，人x一H令ubuLf(U)詁"2則有稱U服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,記為UN(0,1)對(duì)于一般的正態(tài)分布N卩Q2)都可以通過(guò)變量代換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)。利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表可以作相應(yīng)的運(yùn)算。事件(a<X<b)的概率為p(a<X<b)=仏(t)dt=(b)一(a)a由于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)是偶函數(shù)，故有(-x)=1-

34、(x)例10、設(shè)EN(3,9)，求:(1)p(2<g<5)；(2)p(g>0)；(3)p*_3|>6解：(1)p(2<g<5)=p(2_33<寧<號(hào))=(|)_(-1)=0.3779&30-3(2) p(g>0)=p(七>)=10(1)=0.8413(3) 呂3|>6=點(diǎn)3>6)Y點(diǎn)3<6)=點(diǎn)>9)Y點(diǎn)<3)pE3|>6=p(g>9)+pG<3)=10(2)0(2)=0.0456例11、測(cè)得某市120名13歲男孩身高服從正態(tài)N(143.1,5.62),(X=143.1厘米,s二

35、5.6厘米)，試求:1) 身高在137148厘米的學(xué)生數(shù)；2) 身高在150厘米以上學(xué)生數(shù)；3) 以均數(shù)為中心,概率為95%的分布區(qū)間。148143.1)=0.6727解:(1)p(137<x<148)=p(137643.1<XJ43.15.65.6n二Np(137<x<148)二120x0.6727-81(137<x<148)(2)p(x>150)=p(XI：31>150643.1)=0.10935.65.6n二Np(x>150)二120x0.1093-13(x>150)4)由題意p(x<*=p(x>x2)10.9

36、52=0.025xxu=sx=x+us杳表得u=1.96,u=1.9612所以x=x+us=143.11.96x5.6=132.111x=x+us=143.1+1.96x5.6=154.122以均數(shù)為中心,概率為95%的分布區(qū)間為(132、1,154、1)。、數(shù)學(xué)期望(平均數(shù))1) 離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望定義設(shè)離散型隨機(jī)變量X的概率分布XxxAx5、12a"稱2xp為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望,p(X=x)ppApkkk12nk=1簡(jiǎn)稱期望或均值，記為E(X)當(dāng)X的可能取值x為可列個(gè)時(shí)，P(X=x)p,k=l、2sA,kkk如果級(jí)數(shù)另xpkkk=1絕對(duì)收斂，則稱它為X的數(shù)學(xué)期望或均值，記為E(X)=藝xpkkk=1對(duì)于離散型隨機(jī)變量X的函數(shù)Y=f(X)的數(shù)學(xué)期望若存在,則E(f(X)=丫f(x)p，k=1、厶A,kkk例1、貝努里分布p=1-p=q,p=pEg=kp=p01kk=0例2、二項(xiàng)分布p=Ckpkqn-k，k=1、2、A、nknEg=工kpkk=0工k-Ckpkqn-knk=0Ck-1pk-1qn-kn-1k=1=np(p+q)n-1=np例3、普阿松分布pk=肓e入，k=12