標準偏差與相對標準偏差公式

1、標準偏差數(shù)學(xué)表達式:711(1)S-標準偏差（）n-試樣總數(shù)或測量次數(shù)，一般n值不應(yīng)少于20-30個i-物料中某成分的各次測量值，1n；標準偏差的使用方法六個計算標準偏差的公式1標準偏差的理論計算公式l。令測得值丨與該量n設(shè)對真值為X的某量進行一組等精度測量，其測得值為丨、丨、12真值X之差為真差占o,則有O=1-X1i我們定義標準偏差（也稱標準差）o為lim.匸仏-X*由于真值X都是不可知的，因此真差o占也就無法求得，故式只有理論意義而無實用價值。標準偏差o的常用估計一貝塞爾公式來代表真值。理論上也證明，隨著測量次數(shù)的增多，算由于真值是不可知的，在實際應(yīng)用中，我們常用n次測量的算術(shù)平均值L(

2、L=11-1"1乩術(shù)平均值最接近真值，當:x時，算術(shù)平均值就是真值。于是我們用測得值I與算術(shù)平均值丄之差一一剩余誤差(也叫殘差)V來代替真差o，即ii設(shè)一組等精度測量值為1、丨、I12n則'-L通過數(shù)學(xué)推導(dǎo)可得真差O與剩余誤差V的關(guān)系為將上式代入式(1)有式(2)就是著名的貝塞爾公式(Bessel)。它用于有限次測量次數(shù)時標準偏差的計算。由于當“X時，1-'，；-：X,可見貝塞爾公式與O的定義式(1)是完全一致的。應(yīng)該指出，在n有限時，用貝塞爾公式所得到的是標準偏差o的一個估計值。它不是總體標準偏差o。因此，我們稱式(2)為標準偏差o的常用估計。為了強調(diào)這一點，我們將

3、o的估計值用“S”表示。于是，將式(2)改寫為在求S時，為免去求算術(shù)平均值人的麻煩，經(jīng)數(shù)學(xué)推導(dǎo)(過程從略)有即可。標準偏差o的無偏估計數(shù)理統(tǒng)計中定義S?為樣本方差數(shù)學(xué)上已經(jīng)證明S2是總體方差02的無偏估計。即在大量重復(fù)試驗中，S2圍繞02散布，它們之間沒有系統(tǒng)誤差。而式(2')在n有限時,S并不是總體標準偏差o的無偏估計，也就是說S和o之間存在系統(tǒng)誤差。概率統(tǒng)計告訴我們，對于服從正態(tài)分布的正態(tài)總體，總體標準偏差o的無偏估計值二為即s和S僅相差一個系數(shù)K,K是與樣本個數(shù)測量次數(shù)有關(guān)的一個系數(shù)，K值見表。1aaa計算K時用到a(n+1)二n(n)=1ai血值na21購'1,0424

4、20L013260L0M331.12848；1.036225L0105701.003641.0854閱.1,031730801.00325=1.0638101.Q281邂L0064901丿002861.050915L0180501.0051100L0025由表1知，當n>30時，'乂-。因此，當n>30時，式(3')和式(2')之間的差異可略而不計。在n=3050時，最宜用貝塞爾公式求標準偏差。當n<10時，由于K值的a影響已不可忽略，宜用式(3')，求標準偏差。這時再用貝塞爾公式顯然是不妥的。標準偏差的最大似然估計將O的定義式(1)中的真值X

5、用算術(shù)平均值f.代替且當n有限時就得到式(4)適用于n>50時的情況，當n>50時,n和(nT)對計算結(jié)果的影響就很小了。標準偏差o的極差估計由于以上幾個標準偏差的計算公式計算量較大，不宜現(xiàn)場采用，而極差估計的方法則有運算簡便,計算量小宜于現(xiàn)場采用的特點。極差用"R"表示。所謂極差就是從正態(tài)總體中隨機抽取的n個樣本測得值中的最大值與最小值之差。若對某量作次等精度測量測得丨、山匚，且它們服從正態(tài)分布，則概率統(tǒng)計告訴我們用極差來估計總體標準偏差的計算公式為S稱為標準偏差o的無偏極差估計，d為與樣本個數(shù)n(測得值個數(shù))有關(guān)的無偏極差系數(shù),32其值見表2ftAdi1仏|

6、L©21.414IJ280,8861203.73510.26831*32L6S30.591J213m'.0*26542.0002.0590.4861220.262i；2.2362326ii>301芒3.8580-25962.4X)?7.534243.8950,25772.6462.7&J1；仇370253,9310.25482慘I2.8470,3513014.G860245g:皿2.9700337354.2190.237103A623,0780:325404.3220.2311133173.17303154544150.2261214643.2580.30750

7、4.4980.222133.606:3J360.30010050250.199143.7423.4070,2942005.4950.182155,8733.4720.2884005,8820.17016J.0003.5320.283j5006.0610J65174.1233,5880,279TOO6,2890J5918194.24343593.6403.68902750.27110006.4940454由表2知，當nW15時YV；?,因此，標準偏差Q更粗略的估計值為還可以看出，當200WnW1000時，"二幻"因而又有顯然,不需查表利用式(5')和(5")

8、了即可對標準偏差值作出快速估計,用以對用貝塞爾公式及其他公式的計算結(jié)果進行校核。應(yīng)指出，式的準確度比用其他公式的準確度要低，但當5WnW15時，式(5)不僅大大提高了計算速度，而且還頗為準確。當n>10時，由于舍去數(shù)據(jù)信息較多，因此誤差較大，為了提高準確度，這時應(yīng)將測得值分成四個或五個一組，先求出各組的極差R、"廠"氣再由各組1極差求出極差平均值盤_+R?+Rk極差平均值"和總體標準偏差的關(guān)系為需指出，此時d大小要用每組的數(shù)據(jù)個數(shù)n而不是用數(shù)據(jù)總數(shù)N(=nK)去查表2。再則，分2組時一定要按測得值的先后順序排列，不能打亂或顛倒。標準偏差a的平均誤差估計平均誤

9、差的定義為恤旳+畑+陽(證明從略)從而有5E；_dK|玄*価_1)式(6)就是佩特斯公式。用該公式估計6值，由于right|Vright|不需平方,故計算較為簡便。但該式的準確度不如貝塞爾公式。該式使用條件與貝塞爾公式相似。標準偏差的應(yīng)用實例1對標稱值R=<math>um<math>的一塊粗糙度樣塊進行檢定，順次測得以下15個a數(shù)據(jù):和um,試求該樣塊R的平均值和標準偏差并判斷其合格否。n解：1)先求平均值匚15x100L=160+12151017一8一14I12|9I17I4-4-10I4|4|3=1.6UI2715x1Q01.6L8(<math>/zm&

10、lt;math>)2)再求標準偏差S若用無偏極差估計公式式(5)計算,首先將測得的,15個數(shù)據(jù)按原順序分為三組,每組五個,見表3。表3=0-43因每組為5個數(shù)據(jù)，按n=5由表2查得故S3=-R=0.43x0.247=0.10621(<math>fim<math>)若按常用估計即貝塞爾公式式(2')，則11亍仏L)2=0-0962<math>fim<math>)若按無偏估計公式即式(3')計算，因n=15，由表1查得Ks=,則Si=Ks=1.018x0.0962=0.09793(<math><math>

11、)若按最大似然估計公式即式(4')計算，則=(<math>|jm<math>)若按平均誤差估計公式即式(6),則=1.2533x=0.1017(<math><math>)現(xiàn)在用式(5')對以上計算進行校核S?=盤=x0.247=CJ.0637(<math>/im<math>)可見以上算得的s、s、s、s和s沒有粗大誤差。1234由以上計算結(jié)果可知<<<<即s<s<s<s<s2143可見，最大似然估計值最小，常用估計值s稍大，無偏估計值s又大，平均誤差估計值s1

12、4再大，極差估計值s最大?？v觀這幾個值，它們相當接近，最大差值僅為um。從理論上講，用3無偏估計值和常用估計比較合適，在本例中，它們僅相差umo可以相信，隨著的增大，S、S、1S、S和S之間的差別會越來越小。234就本例而言，無偏極差估計值S和無偏估計值S僅相差um,這說明無偏極差估計是既可以31保證一定準確度計算又簡便的一種好方法。JJG102-89表面粗糙度比較樣塊規(guī)定Ra的平均值對其標稱值的偏離不應(yīng)超過+12%17%,a標準偏差應(yīng)在標稱值的4%12%之間。已得本樣塊二產(chǎn)L產(chǎn)均在規(guī)定范圍之內(nèi)，故該樣塊合格。標準偏差與標準差的區(qū)別標準差(StandardDeviation)各數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)的

13、距離(離均差)的平均數(shù)，它是離差平方和平均后的方根。用o表示。因此，標準差也是一種平均數(shù)。標準差是方差的算術(shù)平方根。標準差能反映一個數(shù)據(jù)集的離散程度。平均數(shù)相同的，標準差未必相同。例如，A、B兩組各有6位學(xué)生參加同一次語文測驗，A組的分數(shù)為95、85、75、65、55、45,B組的分數(shù)為73、72、71、69、68、67。這兩組的平均數(shù)都是70，但A組的標準差為分，B組的標準差為分，說明A組學(xué)生之間的差距要比B組學(xué)生之間的差距大得多。標準偏差(StdDev,StandardDeviation)-統(tǒng)計學(xué)名詞。一種量度數(shù)據(jù)分布的分散程度之標準，用以衡量數(shù)據(jù)值偏離算術(shù)平均值的程度。標準偏差越小，這些

14、值偏離平均值就越少，反之亦然。標準偏差的大小可通過標準偏差與平均值的倍率關(guān)系來衡量。有人經(jīng)?；煊镁礁`差(RMSE)與標準差(StandardDeviation)，實際上二者并不是一回事。1均方根誤差均方根誤差為了說明樣本的離散程度。均方根誤差(root-mean-squareerror)亦稱標準誤差，其定義為i=1,2,3,n。在有限測量次數(shù)中，均方根誤差常用下式表示：式中，n為測量次數(shù)；d為一組測量值與平均值的偏差。如果誤差統(tǒng)計分布是正態(tài)分布，那么隨機誤差落在土o以內(nèi)的概率為68%。2.標準差標準差是方差的算術(shù)平方根。標準差能反映一個數(shù)據(jù)集的離散程度。平均數(shù)相同的，標準差未必相同。標準差

15、也被稱為標準偏差，或者實驗標準差。均方根值也稱作為效值，它的計算方法是先平方、再平均、然后開方。比如幅度為100V而占空比為的方波信號，如果按平均值計算，它的電壓只有50V，而按均方根值計算則有。這是為什么呢？舉一個例子，有一組100伏的電池組，每次供電10分鐘之后停10分鐘，也就是說占空比為一半。如果這組電池帶動的是100電阻，供電的10分鐘產(chǎn)生10A的電流和1000W的功率，停電時電流和功率為零。那么在20分鐘的一個周期內(nèi)其平均功率為500W，這相當于的直流電向100電阻供電所產(chǎn)生的功率。而50V直流電壓向100電阻供電只能產(chǎn)生的250W的功率。對于電機與變壓器而言，只要均方根電流不超過額

16、定電流，即使在一定時間內(nèi)過載，也不會燒壞。抽油機電能圖測試儀對電流、電壓與功率的測試計算都是按有效值進行的，不會因為電流電壓波形畸變而測不準。這一點對于測試變頻器拖動的電機特別有用。均方根誤差為了說明樣本的離散程度。對于N1,.Nm，設(shè)N=(N1+.+Nm)/m;則均方根誤差記作：t二sqrt(N八2N2)+.+(N八2Nm八2)/(m(m1)；比如兩組樣本：第一組有以下三個樣本：3,4,5第二組有一下三個樣本：2,4,6這兩組的平均值都是4,但是第一組的三個數(shù)值相對更靠近平均值，也就是離散程度小，均方差就是表示這個的。同樣，方差、標準差(方差開根，因為單位不統(tǒng)一)都是表示數(shù)據(jù)的離散程度的。幾

17、種典型平均值的求法(1)代表測量次數(shù),(2)均方根平均值幾何平均值(3)對數(shù)平均值(4)加權(quán)平均值(5)算術(shù)平均值這種平均值最常用。設(shè)x1、x2、xn為各次的測量值，n則算術(shù)平均值為相對標準方差的計算公式準確度精密度誤差偏差絕對誤差占二兀一圧或方二H-尹工憶一元:-!=1標準偏差（n>5）1B?_IA1L#V"I相對謠差5）"=忑代1CI0M衛(wèi)P相對平均偏差fxloo%相對標準偏差=><100%準確度：測定值與真實值符合的程度絕對誤差：測量值（或多次測定的平均值）與真（實）值之差稱為絕對誤差，用&表示。相對誤差：絕對誤差與真值的比值稱為相對誤差。常

18、用百分數(shù)表示。絕對誤差可正可負，可以表明測量儀器的準確度，但不能反映誤差在測量值中所占比例，相對誤差反映測量誤差在測量結(jié)果中所占的比例，衡量相對誤差更有意義。例：用刻度0.5cm的尺測量長度，可以讀準到0.1cm，該尺測量的絕對誤差為0.1cm；用刻度1mm的尺測量長度，可以讀準到0.1mm，該尺測量的絕對誤差為0.1mm。例：分析天平稱量誤差為,減重法需稱2次，可能的最大誤差為,為使稱量相對誤差小于%，至少應(yīng)稱量多少樣品？解：£=1zkioo%=00002gxiaD%<o.i%戸尸ww>0.2g答：稱量樣品量應(yīng)不小于0.2g。真值（U）：真值是客觀存在的，但任何測量都存在誤差，故真值只能逼近而不可測知，實