武漢大學(xué)考博概率論與隨機(jī)過程

1、1.(12分)簡答題(1) 隨機(jī)過程的遍歷性對(duì)于工程應(yīng)用的實(shí)際意義。(2) 在分析平穩(wěn)隨機(jī)過程的概率結(jié)構(gòu)時(shí)，為什么僅研究其功率譜密度，而不象確定性過程那樣研究其頻譜？答：(1)有了遍歷性，數(shù)據(jù)采樣可隨時(shí)間順序抽樣，遍歷性是傳統(tǒng)的參數(shù)估計(jì)、假設(shè)檢驗(yàn)等基本理論方法的理論正確的保障。(6分)(2)隨機(jī)過程的樣本函數(shù)一般不滿足付氏變換的條件，隨機(jī)過程的樣本函數(shù)不易獲取，自相關(guān)與功率譜構(gòu)成一付里葉變換對(duì)，而自相關(guān)對(duì)于平穩(wěn)隨機(jī)過程是極其重要的。(6分)2.(16分)已知XN(O,1),Y；二aX+b,(a、b為實(shí)數(shù)，a>°),(與I獨(dú)立同分布,Z二Y+Y。12(1) 求Z的特征函數(shù)。(2)

2、 利用特征函數(shù)求Z的二階原點(diǎn)矩與二階中心矩。(3) 給出Z的概率密度函數(shù)。答：(1)XN(0，1)，X的特征函數(shù)為cx(u)-+，(的特征函數(shù)為C(u)=ejubC(au)=ejube-a2u2/2Y1X6分)C(u)=C(u)C(u)=e2jube-a2u2ZY1Y2(2)Z的二階原點(diǎn)矩與二階中心距分別為2a2+4b2與2a2。(6分)1_(z-2b)24分)(3)ZN(2b,2a2)，概率密度為f(z)=e4a22aQ兀3.(25分)隨機(jī)過程Y(t)=X(t)cost+(t)，X(t)是已知的廣義平穩(wěn)過程，(t)均O勻分布在(0,2兀)上,®是常數(shù)。O(1) 若(t)與X(t)相

3、互獨(dú)立，討論Y(t)的平穩(wěn)性。(2) 若Y(t)為零均值，方差為c2的實(shí)窄帶平穩(wěn)高斯過程，X(t)為其包絡(luò)，求E(X(t)，D(X(t)。(3) 若Y(t)為零均值，方差為c2的實(shí)窄帶平穩(wěn)高斯過程，X(t)為其包絡(luò)，問X(t)與(t)是否獨(dú)立?答：(1)m(t)二EY(t)二EX(t)cos(®t+)二EX(t)Ecost+)Y00二m12兀cos(t+Q)dq二0Xo02兀3分)R(t,t+t)二EY(t)Y(t+t)Y=EX(t)X(t+t)Ecos(®t+)cos(®(t+T)+)001二一R(t)Ecos(2t+T+2)+cos(T)2X0001二R(T)

4、cos(T)2X01EY2(t)二R(0)<g2X3分)3分)所以，Y(t)是廣義平穩(wěn)的。1分)2)XX一亠e262no2X>0其它8分),DX(t)二(2-)c24分)(3) (t)與X(t)在同一時(shí)刻獨(dú)立，一般情況下相互不獨(dú)立。立。其證明方法是求(t)與X(t)的二維聯(lián)合密度和二維邊沿密度，可以得出二者不獨(dú)3分)4.(20分)設(shè)某線性系統(tǒng)的傳輸函數(shù)11H()=(j為虛數(shù)單位，a豐為正實(shí)數(shù))ja®+12若輸入平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)X(t)的自相關(guān)為R(t)=e-2Tl，輸出記為Y(t)X(1) 求Y(t)自相關(guān)函數(shù)R(T)與平均功率。Y(2) 求Y(t)的自相關(guān)系數(shù)r(T)和相關(guān)

5、時(shí)間Tr(T)dT。YY0Y(3) 比較X(t)與Y(t)，哪個(gè)過程的起伏速度快？給出其原因。2aT118分)答：(1)R(T)=e-ae2T，平均功率R(0)二Y4a2-14a2-1Y2a+1(2)：(T)=K(T)YK(0)YR(T)RS)(2I1)D(T)yy=(2a+1)R(t)R(0)-RS)yYYTY002a-1e-2T)dT=2a-12a+122分)4分)(3)r(T)=K(T)XK(0)XR(T)-R(s)=XXR(0)-R(s)XX=e-2T,TX0由于TT=a>0,Y0X0所以T>T，可得過程X(t)的起伏速度比過程Y(t)快。(4分)Y0X0原因，H©

6、;)=1是低通濾波器，從X(t)濾去了高頻信號(hào)得到Y(jié)(t)低頻信ja®+1號(hào)，起伏速度比X(t)慢。2分)5.(12分)設(shè)X(t)是零均值，方差為G2的實(shí)平穩(wěn)高斯過程，丈(t)是X(t)的希爾伯特變X換。(1)求證X(t)是零均值，方差為G2的實(shí)平穩(wěn)高斯過程。2)求證：X(t)與X(t)在同一時(shí)刻是不相關(guān)的，是相互獨(dú)立的。答：1)X(t)=1X(T)dT是線性變換，正態(tài)的線性組合還是正態(tài)。兀0t-TEX(t)=1卜EX(T)dT=0，兀0t-T由于rJt)=Rx(T)，RJ°)=Rx(0)，可得七=7，所以文也是零均值,方差為bX的實(shí)平穩(wěn)高斯過程。8分)(2)由于R(t,t

7、)=R(0)=0,所以，X(t)與X(t)在同一時(shí)刻是不相關(guān)的，正態(tài)XXXX過程不相關(guān)與獨(dú)立是等價(jià)的，所以X(t)與文(t)在同一時(shí)刻是獨(dú)立的。(4分)6.(15分)一質(zhì)點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)，在直線上隨機(jī)徘徊，質(zhì)點(diǎn)每時(shí)刻作一次隨機(jī)移動(dòng)，用X(n=1,2,)表示時(shí)刻n質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)移動(dòng)的狀態(tài)，其狀態(tài)空間為nk=0土1,±2,，k為0表示質(zhì)點(diǎn)沒有移動(dòng)，k為正整數(shù)表示質(zhì)點(diǎn)右移k步，,X相2n4分）7分）4分）k為負(fù)整數(shù)表示質(zhì)點(diǎn)左移k步，Px=k=p,蘭p=1,X，:nkk1k互獨(dú)立，用Y（n二1,2,）表示時(shí)刻n質(zhì)點(diǎn)在直線上的坐標(biāo)。n（1）輸出Y的狀態(tài)空間。n（2）證明序列Y是一個(gè)馬爾可夫鏈。n（3）求Y的一步轉(zhuǎn)移概率。n答：（1）Y的狀態(tài)空間為k=0土1,±2,.n（2）由題意有：Y=X,Y=X+X,Y=X+X+X11212n12nPy=jIY=l=Px=j-1=pnn-1j-lPy=lIY=l，,Y=l,Y=lnnn-1n-12211PY=l,Y=l,Y,=lY,=l=nn=n12211PY=l,Y=lY,=ln-1n-12211PX=ll,X=ll,.,X=llx=l=nn!-11Q22111PX=l-l,，X=l,lX免ln1n1n222111=