波的疊加和干涉駐波

1、1波的疊加和干涉波的疊加和干涉21.1.內容內容1. .幾列波相遇后仍保持它們原有的特性（頻率、波長、幾列波相遇后仍保持它們原有的特性（頻率、波長、振幅、傳播方向）不變，互不干擾。好象在各自傳播振幅、傳播方向）不變，互不干擾。好象在各自傳播過程中沒有遇到其它波一樣。過程中沒有遇到其它波一樣。2. .在相遇區(qū)域內，介質任一點的振動為各列波單獨存在相遇區(qū)域內，介質任一點的振動為各列波單獨存在時在該點所引起的振動位移的矢量和。在時在該點所引起的振動位移的矢量和。波的獨立性原理。波的獨立性原理。波的疊加原理。波的疊加原理。3 疊加原理的重要性在于可以將任一復雜的波分解為疊加原理的重要性在于可以將任一復

2、雜的波分解為簡諧波的組合。能分辨不同的聲音正是這個原因；簡諧波的組合。能分辨不同的聲音正是這個原因； 波的疊加原理并不是普遍成立的，有些是不遵波的疊加原理并不是普遍成立的，有些是不遵守疊加原理的。守疊加原理的。 如果描述某種運動的微分方程是線性微分方程如果描述某種運動的微分方程是線性微分方程，這個運動就遵從疊加原理，如果不是線性微分方，這個運動就遵從疊加原理，如果不是線性微分方程，它就不遵從疊加原理。程，它就不遵從疊加原理。222221tyuxy1y若若 、 分別是它的解，則分別是它的解，則 也是它的解也是它的解,即上述波動方程遵從疊加原理。即上述波動方程遵從疊加原理。)(21yy 2y波動方

3、程：波動方程：它是各種平面波所必須滿足的線性偏微分方程。它是各種平面波所必須滿足的線性偏微分方程。41.1.波的干涉現(xiàn)象波的干涉現(xiàn)象 頻率相同、振動方向相同、有恒定位相差頻率相同、振動方向相同、有恒定位相差的兩的兩列波（或多列波）相遇時，列波（或多列波）相遇時，在介質中某些位置的點在介質中某些位置的點振幅始終最大，另一些位置振幅始終最小，而其它振幅始終最大，另一些位置振幅始終最小，而其它位置，振動的強弱介乎二者之間，保持不變。稱這位置，振動的強弱介乎二者之間，保持不變。稱這種穩(wěn)定的疊加圖樣為干涉現(xiàn)象。種穩(wěn)定的疊加圖樣為干涉現(xiàn)象。2.2.相干條件相干條件1. .兩列波振動方向相同；兩列波振動方向

4、相同；2. .兩列波頻率相同；兩列波頻率相同；3. .兩列波有穩(wěn)定的相位差。兩列波有穩(wěn)定的相位差。滿足相干條件的波滿足相干條件的波源稱為源稱為相干波源。相干波源。53.3.干涉加強、減弱條件干涉加強、減弱條件設有兩個頻率相同的波源設有兩個頻率相同的波源 和和 ，1S2S其振動表達式為：其振動表達式為：)cos(11010tAy)cos(22020tAy1r2rP1S2S兩列波傳播到兩列波傳播到 P P 點引起的振動分別為：點引起的振動分別為： )2cos(1111rtAy)2cos(2222rtAy在在 P P 點的振動為同方向同頻率振動的合成。點的振動為同方向同頻率振動的合成。A A1 1、

5、A A2 2是是S S1 1、S S2 2在在P P點引起的振動的振幅。點引起的振動的振幅。6下面討論干涉現(xiàn)象中的強度分布下面討論干涉現(xiàn)象中的強度分布在在 P P 點的合成振動為：點的合成振動為：)cos(21tAyyy 由于波的強度正比于振幅的平方，所以合振動由于波的強度正比于振幅的平方，所以合振動的強度為：的強度為：cos22121IIIII)(2)(1212rr 對空間不同的位置，都有恒定的對空間不同的位置，都有恒定的 ，因而合強度，因而合強度在空間形成穩(wěn)定的分布，即有在空間形成穩(wěn)定的分布，即有干涉現(xiàn)象干涉現(xiàn)象。 1r2r1S2Spcos2212221AAAAA71. .干涉加強條件干涉

6、加強條件21maxAAAA2121max2IIIIII)(2)(1212rr ,cos2212221AAAAA1cos當當時，時，干涉相長干涉相長2. .干涉減弱條件干涉減弱條件1cos當當時，時，干涉相消干涉相消|21minAAAA2121min2IIIIII,.)3 ,2, 1 ,0( ,2kk即即)3 , 2 , 1 , 0( ,) 12(kk即即8當兩相干波源為同相波源當兩相干波源為同相波源時，有：時，有：)(2)(1212rr 此時相干條件寫為：此時相干條件寫為：21,.3 , 2 , 1 , 0,21kkrr,.3 , 2 , 1 , 0,2) 12(21kkrr干涉相長干涉相長干

7、涉相消干涉相消稱 為波程差 初位相相同的兩個相干波源，在兩列波疊加初位相相同的兩個相干波源，在兩列波疊加的區(qū)域內，當波程差為零或波長的整數(shù)倍時，合振的區(qū)域內，當波程差為零或波長的整數(shù)倍時，合振動的振幅最大，干涉相長；當波程差為半波長的奇動的振幅最大，干涉相長；當波程差為半波長的奇數(shù)倍時合振幅最小，干涉相消。數(shù)倍時合振幅最小，干涉相消。干涉加強減弱條件：干涉加強減弱條件：k2)12(k加強加強減弱減弱9例：兩相干波源例：兩相干波源 A、B 位置如圖所示，頻率位置如圖所示，頻率 =100Hz，波速波速 u =10 m/s， A A B B= = ，求：，求：P 點振動情況。點振動情況。解：解：um

8、1 .0100105m1Ar22B2015 rABPm205m1Br2002ABABrr201P點干涉減弱。點干涉減弱。10例例2：兩相干波源分別在兩相干波源分別在 PQ 兩點處，初相相同，兩點處，初相相同，它們相距它們相距 3 / / 2，由，由 P、Q 發(fā)出頻率為發(fā)出頻率為 ，波長，波長為為的兩列相干波，的兩列相干波，R 為為 PQ 連線上的一點。連線上的一點。求：求：自自P、Q 發(fā)出的兩列波在發(fā)出的兩列波在 R 處的相位差。處的相位差。兩波兩波源在源在 R 處干涉時的合振幅。處干涉時的合振幅。2/3PQR解：解：)(221rr2323為為 的奇數(shù)倍，的奇數(shù)倍，|21AA 合振幅最小，合振

9、幅最小，111. .駐波的產生駐波的產生 有兩列相干波，它們不僅頻率相同、位相差恒有兩列相干波，它們不僅頻率相同、位相差恒定、振動方向相同，而且振幅也相等。當它們在同定、振動方向相同，而且振幅也相等。當它們在同一直線上沿相反方向傳播時，在它們迭加的區(qū)域內一直線上沿相反方向傳播時，在它們迭加的區(qū)域內就會形成一種特殊的波。這種波稱為駐波。就會形成一種特殊的波。這種波稱為駐波。 當一列波遇到障礙時產生的反射波與入射波疊當一列波遇到障礙時產生的反射波與入射波疊加可產生駐波。加可產生駐波。駐波的特點：媒質中各質點都作穩(wěn)定的振動。波形駐波的特點：媒質中各質點都作穩(wěn)定的振動。波形并沒有傳播。并沒有傳播。12

10、2. .駐波的表達式駐波的表達式設有兩列相干波，分別沿設有兩列相干波，分別沿X X軸軸正、負方向傳播，選初相位正、負方向傳播，選初相位均為零的表達式為：均為零的表達式為：)2cos(1xtAy)2cos(2xtAy)2cos()2cos(21xtAxtAyyy0tx0 x0t2yx0 x1y其合成波稱為駐波其表達式：其合成波稱為駐波其表達式：反射波反射波入射波入射波13txAcos2cos2簡諧振動簡諧振動簡諧振動的振幅簡諧振動的振幅 它表示各點都在作簡諧振動，各點振動的頻率它表示各點都在作簡諧振動，各點振動的頻率相同，是原來波的頻率。但各點振幅隨位置的不相同，是原來波的頻率。但各點振幅隨位置

11、的不同而不同。同而不同。駐波方程：駐波方程：txAycos2cos2利用三角函數(shù)關系利用三角函數(shù)關系求出駐波的表達式：求出駐波的表達式：2cos2cos2coscos)2cos()2cos(21xtAxtAyyy141. .振幅項振幅項xA2cos2只與位置只與位置 有關，而與時間無關。有關，而與時間無關。波節(jié)波節(jié)2. .振幅最大的點稱為波腹，對應于振幅最大的點稱為波腹，對應于 即即1|2cos|xkx 2的各點；振幅值最大為的各點；振幅值最大為2A。波腹波腹波腹的位置為：波腹的位置為：,.3, 2, 1, 0,2kkx波節(jié)的位置為：波節(jié)的位置為：,.3, 2, 1, 0,4) 12 (kkx

12、0|2cos|x振幅為零的點稱為波節(jié)，振幅為零的點稱為波節(jié)，對應于對應于 即即2) 12(2kx 的各點。的各點。txAycos2cos215相鄰波腹間的距離為：相鄰波腹間的距離為：相鄰波節(jié)間的距離為：相鄰波節(jié)間的距離為：相鄰波腹與波節(jié)間的距離為相鄰波腹與波節(jié)間的距離為 4因此可用測量波腹間的距離，來確定波長。因此可用測量波腹間的距離，來確定波長。4)12(41)1(21kkxxkk222)1(1kkxxkk23. .駐波的波形、能量都不能傳播，駐波不是波，是駐波的波形、能量都不能傳播，駐波不是波，是一種特殊的振動。一種特殊的振動。波節(jié)波節(jié) 波腹波腹 相鄰的兩個波節(jié)和波腹之間的距離都是相鄰的兩

13、個波節(jié)和波腹之間的距離都是2結論：結論：163. .駐波的相位駐波的相位txAycos2cos2 時間部分提供的相位對于所有的時間部分提供的相位對于所有的 x是相同的，而是相同的，而空間變化帶來的相位是不同的?？臻g變化帶來的相位是不同的。在在434 x范圍內，范圍內，02cos2xA 在波節(jié)兩側點的振動相位相反。同時達到反向最大在波節(jié)兩側點的振動相位相反。同時達到反向最大或同時達到反向最小。速度方向相反?；蛲瑫r達到反向最小。速度方向相反。是波節(jié)，是波節(jié)，如如4x考查波節(jié)兩邊的振幅，考查波節(jié)兩邊的振幅， 兩個波節(jié)之間的點其振動相位相同。兩個波節(jié)之間的點其振動相位相同。 同時達到最同時達到最大或同

14、時達到最小。速度方向相同。大或同時達到最小。速度方向相同。結論：結論：；02cos2xA44x內，內，在范圍在范圍17txAycos2cos2txAVmVEk22222sin)2(cos221txAuVxyVYEp222222cos2sin)2(2)(214. .駐波的能量駐波的能量 各質點位移達到最大時各質點位移達到最大時,動能為零，勢能不為零。在動能為零，勢能不為零。在波節(jié)處相對形變最大，勢能最大；在波腹處相對形變最波節(jié)處相對形變最大，勢能最大；在波腹處相對形變最小，勢能最小。勢能集中在波節(jié)。當各質點回到平衡位小，勢能最小。勢能集中在波節(jié)。當各質點回到平衡位置時，全部勢能為零；動能最大。動

15、能集中在波腹。置時，全部勢能為零；動能最大。動能集中在波腹。 能量從波腹傳到波節(jié)，又從波節(jié)傳到波腹，往復循環(huán)，能量從波腹傳到波節(jié)，又從波節(jié)傳到波腹，往復循環(huán)，能量不被傳播。這可從能流密度證明：因為能流密度等能量不被傳播。這可從能流密度證明：因為能流密度等于平均能量密度乘波速，左行波與右行波能流密度之和于平均能量密度乘波速，左行波與右行波能流密度之和為零。為零。 駐波不傳播能量，它是媒質的一種特殊的運動狀駐波不傳播能量，它是媒質的一種特殊的運動狀態(tài)，穩(wěn)定態(tài)。態(tài)，穩(wěn)定態(tài)。18例題例題 ： 位于位于A、B兩點的兩個波源，振幅相等，頻率都兩點的兩個波源，振幅相等，頻率都是是100赫茲，相差為赫茲，相差

16、為 ，其，其A、B 相距相距30米，波速為米，波速為400米米/秒，求秒，求: AB連線之間因相干涉而靜止的各點的位置。連線之間因相干涉而靜止的各點的位置。解：解：如圖所示，取如圖所示，取A點為坐標原點，點為坐標原點，A、B聯(lián)線為聯(lián)線為X軸軸，取，取A點的振動方程點的振動方程 :)cos(tAyA在在X軸上軸上A點發(fā)出的行波方程：點發(fā)出的行波方程：)2cos(xtAyAB點的振動方程點的振動方程 :)0cos(tAyBBAXxm30 x30O在在X軸上軸上B點發(fā)出的行波方程：點發(fā)出的行波方程：)30(20cosxtAyB19相干相消的點需滿足：相干相消的點需滿足：kx 230sec/4mu因為

17、因為：,.2, 1, 0215kkx可見在可見在A、B兩點是波腹處。兩點是波腹處。BAXxm30 x30因為兩波同頻率，同振幅，同方向振動，所以相干為因為兩波同頻率，同振幅，同方向振動，所以相干為靜止的點滿足：靜止的點滿足：) 12()30(22kxx)3 , 2 , 1(kmx29,27,25,.9 , 7 , 5 , 3 , 1204. .半波損失半波損失 入射波在反射時入射波在反射時反射波相位突變了反射波相位突變了，相當于波，相當于波程損失了半個波長的程損失了半個波長的現(xiàn)象稱為現(xiàn)象稱為半波損失半波損失。波節(jié)波節(jié) 波腹波腹 在繩與墻壁固定處，為波在繩與墻壁固定處，為波節(jié)位置。節(jié)位置。 這一

18、現(xiàn)象說明，在反射端，入射波與反射波在這一現(xiàn)象說明，在反射端，入射波與反射波在該點各自引起的兩個振動位相相反，兩位相相差為該點各自引起的兩個振動位相相反，兩位相相差為 ，相當于波程相差相當于波程相差 /2。 反射波與入射波形成的駐波在介質分界處是波節(jié)反射波與入射波形成的駐波在介質分界處是波節(jié)還是波腹與這分界處兩邊的介質性質有關。還是波腹與這分界處兩邊的介質性質有關。 當波從波疏媒質垂直入射到波密媒質界面上反射當波從波疏媒質垂直入射到波密媒質界面上反射時，有半波損失，形成的駐波在界面處是波節(jié)。時，有半波損失，形成的駐波在界面處是波節(jié)。 當波從波密媒質垂直入射到波疏媒質界面上反射當波從波密媒質垂直入射到波疏媒質界面上反射時，無半波損失，界面處出現(xiàn)波腹。時，無半波損失，界面處出現(xiàn)波腹。21)10cos(tyO入)2014(10cosxty反1y2yO7)(mx)()20(10cos1SIxtAy例：如圖所示，有一沿例：如圖所示，有一沿X軸正向傳軸正向傳播的平面簡諧波，其波動方程為：播的平面簡諧波，其波動方程為：此波在此波在x=7m處受到波密介質平面的反射（設反射處受到波密介質平面的反射（設反射時波的強度不變）。求：（時波的強度不變）。求：（1）反射波的波動方程；）反射波的波動方程；（2）在）在x=6m處介質質元的振動方程；（