安徽師范大學(xué)20062007學(xué)年第1學(xué)期近世代數(shù)考試答案

1、安徽師范大學(xué)2006-2007學(xué)年第學(xué)期數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)近世代數(shù)期末考試答案(A)(時(shí)間120分鐘)答案及評(píng)分細(xì)則得分評(píng)卷人復(fù)核人填空題(每空2分，共20分).題號(hào)一四總分得分題答要不1 .設(shè)有集合A,B,|A|=3,|B|=2,則可以定義8個(gè)從A到B的映身寸,其中有6個(gè)是滿射,0個(gè)是單射.2 .設(shè)群G的階是pm,其中p是素?cái)?shù)，m是正整數(shù)，則G的真子群的一切可能的階是1,p,p(X)規(guī)定實(shí)數(shù)集R的元素間的關(guān)系R為:？a,bCR,aRb當(dāng)且僅當(dāng)ab>0,則R是R的元素間的等價(jià)關(guān)系.(X)任何集合與它的一個(gè)真子集之間皆不能有一一映射存在,.,pm-1.3 .設(shè)G=(a)是循環(huán)群，則G與模n

2、的剩余類加群同構(gòu)的充要條件是?(a)=n(或|G|=n).4 .設(shè)H是群G的子群,a,bG,則Ha=Hb的充要條件是ba-1CH(或ab-1CH等)5 .一個(gè)有限非可換群至少含有6個(gè)元素.n6 .設(shè)G是階為n的交換群e是6的m(0n)階元，則群G/(a)的階等千.7 .實(shí)數(shù)域R的理想有2個(gè).錯(cuò)打8 .剩余類環(huán)Z6的子環(huán)S=0,2,4,則S的單位元是4.得分評(píng)卷人復(fù)核人判斷題(每小題2分，共20分).(對(duì)打C,.、什M一人一4、入TL3 .()若群G的每個(gè)兀素都適合方程X2=e,則G是交換群.V、r口/L口MLr口/L4 .()設(shè)G是循環(huán)群,N是G的子群，則G/N是循環(huán)群.5 .(x)群G的階為

3、n,d是n的一個(gè)因子，則G一定有階為d的子群.6 .()模47的剩余類環(huán)Z47沒(méi)有零因子."口人-k，、小口乙j人工r尸r7 .()設(shè)R是一個(gè)有單位元1的環(huán)，1是R的一個(gè)理想且1I,則I=R.8 .()如果環(huán)R滿足左消去律，則R必定沒(méi)有右零因子.9 .(X)設(shè)I和S都是環(huán)R的理想且I?S?R,如果I是R的最大理想，則S/=0.VH一日-Lt一日一10 .()若R是唯一分解環(huán)，則Rx也是唯一分解環(huán).得分評(píng)卷人復(fù)核人計(jì)算題(每小題10分共30分).1.找出模12的剩余類加群的所有子群解.由千模12的剩余類加群Z12子群的階為12的因數(shù)，所以1112的剩余類加群的子群的階只可能為1,2,3

4、,4,6,12(4分)Z12的1階子群為0;(1分)Z12的2階子群為0,6;(1分)Z12的3階子群為0,4,8;(1分)Z12的4階子群為0,3,6,9;(1分)Z12的6階子群為0,2,4,6,8,10;(1分)Z12的2階子群為Z12(1分)2.設(shè)f(x)=3x3+5x-4,g(x)=4x2-x+3均為Z8x中的多項(xiàng)式，在Z8x中計(jì)算f(x)+g(x),f(x)-g(x)與f(x)g(x)并求出它們的次數(shù).解.f(x)+g(x)=3x3+4x2+4x-1,其次數(shù)為3;(3分)f(x)-g(x)=3x3-4x2+6x-7,其次數(shù)為3;(3分)f(x)g(x)=4x5-3x4+5x3-5x

5、2+3x-4,其次數(shù)為5(4分)3.求Zi6x中的方程x2=0的根.解.a為方程x2=0的根的充要條件是41a（5分）所以，方程x2=0的根為0,4,8,12（5分）得分評(píng)卷人復(fù)核人證明題（每小題10分共30分）.1.設(shè)a,/別是群G的3階和5階元，且ab=ba,證明ab的階是15.證.設(shè)|ab|=k,由千（ab）15=a15b15=e所以k|15（3分）由a5k=a5kb5k=（ab）5k=e,得3|5k,而（3,5）=1，所以31k（4分）同理可得5|k,再由（3,5）=1得（35）|k（2分）綜上所得,k=15，即ab的階是15（1分）訂線內(nèi)V不要答題V內(nèi)線訂2.證明：有理數(shù)域Q是所有復(fù)

6、數(shù)a+bi(a,bQ)件成的域Q的唯一真子域.證.Q顯然是Q的一個(gè)真子域(1分)設(shè)F是Q的任一子域，則0,1CF,千是對(duì)？p,c(/=0)Z,<p,q,pqF,即Q?F(4分)若F/=Q,則有a+biF,其中a,b(/=0)QQ,千是bi=(a+bi)-aF,i=b-1biCF,即F=Q(i)(4分)所以Q是Q(i)的惟一真子域(1分)3.設(shè)R是主理想環(huán),a（/=0）R,證明：在R中有且僅有有限個(gè)理想包含a.證.如果a是R的單位，則對(duì)R的任一理想I,若a口I,則1=a-1aI,所以I=R,即只有R包含a,糾論成立（2分）若a（/=0）不是單位，則由主理想環(huán)是惟一分解環(huán)可知a有分解a=P1P2-pn,其中pi為素元（4分）所以,b|a?b=