大一上學(xué)期高數(shù)知識(shí)點(diǎn)

1、第二章導(dǎo)數(shù)與微分一、主要內(nèi)容小結(jié)1.定義定理公式(1)導(dǎo)數(shù)，左導(dǎo)數(shù)，右導(dǎo)數(shù)，微分以及導(dǎo)數(shù)和微分的幾何意義(2)定理與運(yùn)算法則定理1f(X0)存在f(X0)f(X0).定理2若yf(x)在點(diǎn)X0處可導(dǎo)，則yf(x)在點(diǎn) X。處連續(xù)；反之不真.定理3函數(shù)f(x)在X0處可微f(x)在x0處可導(dǎo).導(dǎo)數(shù)與微分的運(yùn)算法則：設(shè)uu(x),vv(x)均可導(dǎo)，則(uv)uv,d(uv)dudv(uv)uvvu,d(uv)udvvdu,u、vuuvu.vduudv.(-)2(v0),d(-)2(v0)vvvv(3)基本求導(dǎo)公式2.各類(lèi)函數(shù)導(dǎo)數(shù)的求法(1)復(fù)合函數(shù)微分法(2)反函數(shù)的微分法(3)由參數(shù)方程確定函數(shù)

2、的微分法(4)隱函數(shù)微分法(5)哥指函數(shù)微分法(6)函數(shù)表達(dá)式為若干因子連乘積、乘方、開(kāi)方或商形式的微分法.方法：對(duì)數(shù)求導(dǎo)法(即先對(duì)式子的兩邊取自然對(duì)數(shù)，然后在等式的兩端再對(duì)x求導(dǎo))(7)分段函數(shù)微分法3.高階導(dǎo)數(shù)/(1)定義與基本公式8080高階導(dǎo)數(shù)公式：(ax)(n)axinna(a0)(ex)ex(1)當(dāng)K為何值時(shí)，f(x)在x0處不可導(dǎo);(2)當(dāng)K為何值時(shí)，f(x)在x0處可導(dǎo)，但導(dǎo)函數(shù)不連續(xù);解函數(shù)f(x)在 x=0點(diǎn)的導(dǎo)數(shù):xim0f(x)f(0)x0f(x)limx0 xKci1f(0)(x)sin；=limxf(0)當(dāng) K1 時(shí),8181不存在,0,.1_sinx發(fā)散，當(dāng) K1

3、，當(dāng) K1f(x)的導(dǎo)函數(shù)為:KxK1sin1(x)x0,1cos-,xx0(sinkx)(n)knsin(kxn)(coskx)(n)kncos(kxn)2,m.(n)mn(x5)m(m1)(mn1)x(xn嚴(yán) n!(n)(inx)(1)n1(n1)!nx萊布尼茲公式:(2)高階導(dǎo)數(shù)的求法直接法間接法4.導(dǎo)數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用(1)求曲線(xiàn)的切線(xiàn)、法線(xiàn)(2)求變化率一一相關(guān)變化率二、例題解析例2.1設(shè)f(x)(K 為整數(shù)).問(wèn):(3)當(dāng)K為何值時(shí),f(x)在x0處導(dǎo)函數(shù)連續(xù)?為使limf(x)f(0)x0因此，函數(shù)f(x)Kci1xsin,x0 x當(dāng)KW1時(shí),f(x)在x0處不可導(dǎo);2 時(shí),2 時(shí),f

4、(x)在xf(x)在x例2.22sinx1ctgx0處可導(dǎo)，但導(dǎo)函數(shù)在x0處不連續(xù);0處可導(dǎo)且導(dǎo)函數(shù)在x0處連續(xù)。2鯉，求曳。1tgxdx分析本例當(dāng)然可以用商的求導(dǎo)法則來(lái)求，但比較麻煩，若先對(duì)函數(shù)表達(dá)式進(jìn)行變形就可用代數(shù)和的求導(dǎo)法則來(lái)求，這樣就簡(jiǎn)便多了。解y而晨sinxcosx3.33cosxsinxcosxcosxsinxsinxcosx-sin2x。 2所以ycos2x。如果不經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn), 直接求導(dǎo)則計(jì)算將是十分繁瑣的O例2.3yarctgexln分析本例若直接對(duì)原式利用差的求導(dǎo)法則及復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法來(lái)求，比較麻煩，但若利用對(duì)數(shù)性質(zhì)對(duì)函數(shù)表達(dá)式的第二項(xiàng)變形，再利用差及復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法來(lái)求，就簡(jiǎn)便

5、得多。解因?yàn)?arctge-lneln(e1)arctgexnln(e2x1)所以1“Px(arctgex)x-ln(e2x1)=e2.2x例2.4x.f(x)dyf(e)e,求一。dx2x12e22x2e1xYe12xe18282.2.dy_ddydtdx2dxdxf(t)dt1f(t)解利用積的求導(dǎo)法則及復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，有dy=f(ex)exef(x)f(ex)ef(x)f(x)=ef(x)f(ex)exf(ex)f(x)。dx/例2.5設(shè)方程 xy2eycos(xy2),求y.本例是隱函數(shù)求導(dǎo)問(wèn)題，對(duì)隱函數(shù)求導(dǎo)可用下面兩種方法來(lái)求。解(方法一)方程兩端同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)(y 看作 x 的函數(shù)

6、yy(x),由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法可得y22xyyeyysin(xy2)(12yy)22、ysin(xy)y;-,1r2xye2ysin(xy)(方法二)方程兩邊同時(shí)微分：d(xy2ey)d(cos(xy2)y_,2、,.2.,2、.(2xyey2ysin(xy)dyysin(xy)dx,2.,2、所以 dyysin(xy)dx2xyey2ysin(xy2)例2.6、已知 xf(t),f(t)為二次可微函數(shù)，且f(t)0,求電,d-4ytf(t)f(t)dxdx2分析這是由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算問(wèn)題，可按參數(shù)方程求導(dǎo)法則來(lái)求。解因?yàn)閐ydtf(t)f(t)=tf(t)dtdxdf(t)

7、f(t)dt2y,ydx2xydyedy2sin(xy)(dx2ydy)所以崇腎低t。分析本例是求分式有理函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)，先將有理假分式通過(guò)多項(xiàng)式除法化為整式與有理真分式之和，再將有理分式寫(xiě)成部分分式之和，最后仿(xm)(n)的表達(dá)式寫(xiě)出所給定的有理函數(shù)的 n 階導(dǎo)數(shù)。81n1n1(x2)(x1)ex.x0,一一一、4、，一，一，e,0求f(x)的導(dǎo)函數(shù)f(x)的連續(xù)區(qū)間，若間斷，判別類(lèi)型,x21,x0/并分別作f(x)與f(x)的圖形。8484y(x7x63)x(x2)(x1)(n)y=(x8(x2)1嚴(yán)(x1)1(n)(1)n8n!(x2)1n(1)nn!(x1)1n錯(cuò)誤原因沒(méi)有搞清求導(dǎo)對(duì)

8、象.Jy/dx階導(dǎo)數(shù) 5 對(duì) x 求導(dǎo)，而t是一階導(dǎo)數(shù)對(duì)dxt 求導(dǎo)。例2.7求函數(shù) yx21d.x1x2.1x2dxxd1x21x21x2dxxd(1x2)21x21x22.xdx2J2dx1x2dx2,32(1x)3例2.8設(shè)yxx23x2求 y(n)。n.1)n!例2.9設(shè)f(x)dydx日7ddx常見(jiàn)錯(cuò)解：?jiǎn)?y(t)1。dx解dy(n2)分析函數(shù)f(x)是用分段表達(dá)的函數(shù).在x0的兩側(cè)：當(dāng)x0時(shí)，f(x)ex;當(dāng)x0時(shí),f(x)2x.因此，在處，f(x)的可導(dǎo)情況，需根據(jù)定義來(lái)作判斷，求出導(dǎo)函數(shù)后,再判別它的連續(xù)區(qū)間。解因?yàn)?(0)limx0f(x)f(0)xlimx0 x2110 x故1(0)limx0f(x)f(