--彈性體的一維振動題解

1、6-1一等直桿沿縱向以等速v向右運動，求下列情況中桿的自由振動:(1)桿的左端突然固定；桿的右端突然固定；桿的中點突然固定。解；(1)桿的左端突然固定；桿的初始條件為：ux,0=u0x=0i二a由式(8-15),(8-16)可知Pi=,i=1,3,5，2l2由歸一化條件APADisinidx=1得Dj=02l1：Al2即正則振型為U/x)=2sinx,i-1,2,3,.：Al2l由式(8-39)得正則坐標(biāo)表示的初始條件為ni(0)=0,i=1,3,5,由式(84。)得="(0)sinpit,進而有：Pi(2)桿的右端突然固定；桿的初始條件為：ux,0=u0x=0i二a由式(8-15)

2、,(8-16)可知pi=,i=1,3,5,2l由歸一化條件/RACcos匹)2dx=1得Cj=02l.：Alrr一'2i-：即正則振型為Ui(x)=2cosx,i=1,3,5,.,'Al2l由式(8-39)得正則坐標(biāo)表示的初始條件為2(0)=0,i=1,3,5,由式(84。)得="(0)sinpit,進而有：Pi6-2求下列情況中當(dāng)軸向常力突然移去時兩端固定的等直桿的自由振動。(1)常力F作用于桿的中點，如題6-2(a)圖所示；(2)常力F作用于桿的三分之一點處，如題6-2(b)圖所示；(3)兩個大小相等、方向相反的常力F作用于桿的四分之一點及四分之三點處如題圖6-2

3、(c)所示。解：(1) 根據(jù)題意，t=0時桿內(nèi)的應(yīng)變題6-2圖桿的初始條件為因為桿兩端固定，可解得固有頻率及主振型為將主振型代入歸一化條件，得得到正則振型得到以正則坐標(biāo)表示的初始條件為得到以正則坐標(biāo)表示的對初始條件的響應(yīng)于是桿的自由振動(2) 根據(jù)題意，t=0時桿內(nèi)的應(yīng)變桿的初始條件為因為桿兩端固定，可解得固有頻率及主振型為將主振型代入歸一化條件，得得到正則振型得到以正則坐標(biāo)表示的初始條件為得到以正則坐標(biāo)表示的對初始條件的響應(yīng)于是桿的自由振動(3) 根據(jù)題意，t=0時桿內(nèi)的應(yīng)變桿的初始條件為因為桿兩端固定，可解得固有頻率及主振型為將主振型代入歸一化條件，得得到正則振型得到以正則坐標(biāo)表示的初始條

4、件為得到以正則坐標(biāo)表示的對初始條件的響應(yīng)于是桿的自由振動6-3如題6-3圖所示，一端固定一端自由的等直桿受到均勻分布力FoPo的作用，求分布力突然移去時桿題6-3圖的響應(yīng)。解：桿左端固定端，右端為自由端邊界條件得固有頻率，主振型(2i-1)二一1)二pi=aUi(x)=Disinxi=1,2,2l2l桿在x處的應(yīng)變初始條件由u(x,0)=uo(x)=0,得Bi=0再利用三角函數(shù)正交性16F°l-3i二EA解二：用直接法x因為£=0P0dx=p°x其中，P0=x-Fnx桿的初始條件為ux,0=u0x=dx=0I.2EAl由于此題為一端自由一端固定，則由公式可直接得出

5、桿的固有頻率及主振型將主振型代入歸一化條件得liI.A(Disinx)dx=1得到正則振型為i=1,3,5則得到正則坐標(biāo)表示的初始條件為li0-0一.：Au0xUidx-二sin一2i0=0i=1,3,5以正則坐標(biāo)表示對初始條件的響應(yīng)為得到桿對初始條件的總響應(yīng)u(x,t)16F0l11,iuxiua；fsincos/EAiwi32l2l6-4假定一軸向常力F突然作用于題6-2的等直桿的中點處，初始時刻平衡狀態(tài)，求桿的響應(yīng)。解：U(x)-CcosxDsinxaa桿處于靜止由題意知，邊界條件為U0=0Ul=0由此解出固有頻率Pi(i=12.)l將主振型代入歸一化條件APAU：dx=1,得0得到正則

6、振型由1+pi=fq(x,t)U：dx因為P(t)=P為集中力，不是分布力2Plu(x,t)=F7'、EEAi43,Ih所以由上式得穩(wěn)態(tài)響應(yīng)ini冗a</"decsin(1-cosjt)(i=1,2,3)(-1)2.i伙iTta,-_2sin(1-cos1)(i=1,2,3)i2ll6-5假定題6-3的等直桿上作用有軸向均勻分布的干擾力解：因為桿是一端固定，可得固有頻率和主振型為sin©t,求該桿的穩(wěn)態(tài)強迫振動。l將主振型代入歸一化條件，得得到正則振型又第i個正則方程為所以可得正則坐標(biāo)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為桿的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)振動為u(x,t)7二、Uiit=i4,3,5,.4

7、F0sintsinxi4,3,5JP2-22l6-6一根兩端自由的等直桿，中央作用有一軸向力F(t)Fi1工)，其中Fi、t1為常數(shù)，假設(shè)起初桿處于靜3止，求桿的響應(yīng)。解：U(x)=Ccosx+Dsinxa=Jaa,?由題意知，邊界條件為dU八dU八，、一一口,=0，丁=0由這些邊界條件得dxxdxx土_p_pi二D=0,-Csinl=0,所以p=aaal所以U4x)-Cicosxi=0,1,2,3一-i二2-22i二A(Gcosx)dx=1所以Ci=Ji=0,1,2,3川所以Ui(x)=Jcos一xl,Al.：Alli=0,1,2,3Hl由於+Pi2%=(q(x,t)Uidx由于p(t)=P

8、(；)2集中力，而非分布力所以q(x,t)U)dx=p(t)(x-Uidx=p(t)Ui()二CiR(L)2cosi二00t1=2t2int2-GP()cos=CiP,()(1f,i=0,2,4,因為是在中央作用力，所以t12t1GP(1)2cosint11所以，由上式求得穩(wěn)態(tài)響應(yīng)(t)=Pi當(dāng)i=2,4,川時，r#0,當(dāng)i=0時，r=0,所以QOU(x,t)=、'Ui(x)i(t)=j30,1,2oOzjz0,1,2mCii二cos-xl1Pi一t、2GR()cosi二t12Pjt2J32-2Altj衛(wèi),1,21“Pii二cos-xl6-7一根等直圓軸的兩端連接著兩個相同的圓盤,動慣

9、量分別為Is及出求系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動的頻率方程。如題6-7圖所示，已知軸長l,軸及圓盤對軸中心線的轉(zhuǎn).2-2解：aay面。題6-7圖xDsina設(shè)u(x,t)=U(x)(AcostBsin-t)代入運動微分方程得上式的解可表小為U(x)=Ccosxa其邊界條件當(dāng)x=0時,G(2101s棧=-K型(0)當(dāng)x=l時,G(2IoIs)dU=-K_UdxU(0)=U(l)9I0l2tan=aIsa1,其中102l2H)2(一)27IsaGPGJp,質(zhì)量密度為P,解:：2u2一維振動波方程為二彳二a-2二x6-8題6-8圖中的等直圓軸一端固定，另一端和扭轉(zhuǎn)彈簧相連，已知軸的抗扭剛度為長度為l,彈簧的扭轉(zhuǎn)剛度為

10、k8求系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)的頻率方程。題6-8圖(0為波動頻率)設(shè)i(x,t)=U(x)(AcostBsint)代入運動微分方程得：小=U(x)=0dxa上式的解可表示為U(x)=Ccos+Dsin-(a)aa其邊界條件為：在x=0處U(x)=0,(b)在x=l處GJFdU=k聲(l)(c)dx-將(a)代入(b)得：C=0U(x)=Dsinx(d)a將(d)代入(c)得：GJfD-cosl-k-Dsinlaa-a得關(guān)于頻率缶的頻率方程為tan=-GJp,其中a2=Gak_Ja:6-9寫出題6-9圖所示系統(tǒng)的縱向振動頻率方程，并寫出主振型的正交性表達式。解：該題中桿的振動方程為：0E工*u(x,t)=U(

11、x)Acospt+Bsinpt<1>一/-其中U(x)=Ccos(px/a)+Dsin(px/a)(a2=E/P)題6-9圖由于邊界條件中U(0)=0代入U(x)中得C=0.u一x再將U(x)代入1中，由1知：="pDsin包(AcosptBsinpt)xjaa再由邊界知:EA更exx=l=-ku(x)-2二uxm：t2xdpl2p得：tan(mp-k)=EA即：旦tan包paEA27mp-k已知方程由2a乘并對桿積分得(Uj&(EA也)dx=-p2APUiUjdx0jdxdx0j所以Uj(EA處)EAdUidUjdx-p2APUiUjdx3jdx0dxdx0ju

12、由EAx二-ku(x)xdx*-2uu-m-742xd得:EAdU(X)dx二(mp2-k)U(l)x-L及U(0)=0211,所以，其解代入<3A得PimUi(1)Uj(1)+10APUiUjdx=EAUiUjdx+kUi(1)Uj(1).<4>i,j互換211p2mUi(1)Uj(1)oAUiUjdx=°EAUiUjdxkUi(1)Uj(1).:二5.1兩式相減得：0APUiUjdx+mUi(1)Uj(1)=Mrrr、，r、ztt1，P.將上式代入<5:m(EAUiUjdx+kUi(1)Uj(1)=Pj6j為正交。6-10試求具下列邊界條件等截面梁的橫向彎

13、曲振動頻率方程及主振型：(1)兩端固定；一端固定、一端簡支；一端簡支、一端自由。6-11求下列情況中常力F突然移去時等截面簡支梁的自由振動：(1)常力F作用于x=a處，如題圖6-11(a)所示；(2)兩個大小相等、方向相反的常力F作用于梁的四分之一點及四分之三點處，如題圖6-11(b)所示。1即Mf6-12假定上題的洪訕梁承受強度為割勺均勻分被步，隸分布力突沖移谷梁的響應(yīng)。6-13簡支梁在卜，卜一J一I求M的響應(yīng)。6-14一常力F突然加在簡2梁的中點，遍也削岬。bl1一216-15一簡支梁在距左端-和一處作用有兩個橫向干擾力F0sinot,求梁的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。336-16一簡支梁在左半跨上作用有強

14、度為P0sin0t的分布力，求梁中央處的振幅。6-17試求簡支梁在正弦分布的橫向干擾力,.二x.p(x,t)=p0sinsin切t作用下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。6-18簡支梁受分布干擾力p(x,t)=p0sin8t作用，求梁的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。x6-19簡支梁受分布干擾力p(x,t)=p0sincot的作用，求梁的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。6-20一簡支梁在x=1端的支座有y1(t)=bsin切t的橫向運動，求梁的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。6-21如題6-21圖所示，等截面懸臂梁的自由端有一彈性支撐，其彈簧剛度為k,求頻率方程和主振型的正交性條件。6-22試求兩端附有集中質(zhì)量m的自由等截面梁的頻率方程及主振型正交性條件。題6-21圖題6-23圖6-23如題6-23圖所示，簡支梁上附有兩個相等的集中質(zhì)量m,m值等于全梁質(zhì)量的一半，試用瑞利法求系統(tǒng)的基頻，并用里茲法求基頻和第二階固有頻率。6-24如題6-24圖所示，一根矩形截面桿一端固定一端自由，其長度為I,厚度為b,橫截面積A按直線規(guī)律xx、變化：A（x）=Ao1+I,其中Ao為自由端的截面積，試用里茲法求縱向振動的第一及第二階固有頻率。假設(shè)<I）基頻