運動學(xué)點的運動及剛體的簡單運動

1、2022-5-62022年年5月月6日日2022-5-6運動學(xué)的研究對象運動學(xué)的研究對象幾何點，稱為幾何點，稱為“動點動點”；剛體。；剛體。運動學(xué)的研究任務(wù)運動學(xué)的研究任務(wù)研究物體的空間位置隨時間變化的幾何研究物體的空間位置隨時間變化的幾何性質(zhì)性質(zhì)。包括運動方程運動方程，點的運動軌跡點的運動軌跡，速度速度方程方程，加速度方程加速度方程。 表征運動幾何性質(zhì)的基本物理量表征運動幾何性質(zhì)的基本物理量 、 、 、 、 、 、2022-5-6點點(point) 剛體剛體(rigid body)運動學(xué)模型及運動形式運動學(xué)模型及運動形式模型模型點：點：不計幾何形狀和尺寸的理不計幾何形狀和尺寸的理想物體，此時

2、轉(zhuǎn)動和變形想物體，此時轉(zhuǎn)動和變形對運動的影響忽略不計。對運動的影響忽略不計。2022-5-6運動形式運動形式A.直線運動直線運動(rectilinear motion)B.曲線運動曲線運動(curvilinear motion) 點的運動形式點的運動形式2022-5-6 剛體剛體的的運動形式：運動形式：A A、平移、平移(Translation) 其上任一直線永遠(yuǎn)平行于自己的初始位置其上任一直線永遠(yuǎn)平行于自己的初始位置 剛體上或拓展空間內(nèi)有一直線始終保持不剛體上或拓展空間內(nèi)有一直線始終保持不動，其上各點均繞此直線作圓周運動。動，其上各點均繞此直線作圓周運動。B B、定軸轉(zhuǎn)動：、定軸轉(zhuǎn)動：(Fi

3、xed-axis rotation )2022-5-6C C、平面運動：、平面運動：（Planar motion） 剛體上各點到某一平面距離相同。剛體上各點到某一平面距離相同。D D、定點轉(zhuǎn)動：、定點轉(zhuǎn)動：Rotation around a Fixed Point 其上有一點永遠(yuǎn)保持不動。其上有一點永遠(yuǎn)保持不動。剛體的復(fù)雜運動。剛體的復(fù)雜運動。F F、一般運動：、一般運動：General motion2022-5-6運動的轉(zhuǎn)換關(guān)系運動的轉(zhuǎn)換關(guān)系2022-5-6物體的運動是相對于不同的觀察者物體的運動是相對于不同的觀察者而言的。而言的。運動學(xué)中對參照系的選取無任何要運動學(xué)中對參照系的選取無任何要

4、求，但不同的坐標(biāo)系下對同一物體運動求，但不同的坐標(biāo)系下對同一物體運動的數(shù)學(xué)描述則完全不同。故的數(shù)學(xué)描述則完全不同。故應(yīng)選取最易應(yīng)選取最易進(jìn)行數(shù)學(xué)描述的參照系進(jìn)行數(shù)學(xué)描述的參照系。參考系和參照體參考系和參照體2022-5-6參考系參考系(reference system) ：用于描述物體運用于描述物體運動特征的坐標(biāo)系（如直角、自然、極坐標(biāo)系、動特征的坐標(biāo)系（如直角、自然、極坐標(biāo)系、柱坐標(biāo)系、球坐標(biāo)系等）；柱坐標(biāo)系、球坐標(biāo)系等）；參照體參照體(reference body) ：參考系的載體參考系的載體 ；定參考系定參考系(fixed reference system)：參照體通參照體通常為地球的參

5、考系，如地面，簡稱常為地球的參考系，如地面，簡稱定系定系；動參考系動參考系(moving reference system)：與定參與定參考系有相對運動的參考系，簡稱考系有相對運動的參考系，簡稱動系動系。參考系和參照體參考系和參照體1-1 1-1 點的運動點的運動1-2 1-2 剛體的平動剛體的平動1-3 1-3 剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動運動方程運動方程 trrMrrMzOxyvr1-1 1-1 用用( (一動點相對于坐標(biāo)一動點相對于坐標(biāo)系原點的位置矢量系原點的位置矢量) ) 描述動點描述動點在參考系中的運動特征；在參考系中的運動特征；的末端描繪出的一條連續(xù)的末端描繪出的一條連續(xù)曲線曲

6、線( (矢端曲線矢端曲線) )即為動點的即為動點的運動軌跡運動軌跡。速度速度(velocity)(velocity)rdtrdtrvtlim0 位移位移(Displacement)r切線方向切線方向描述點在某瞬間運描述點在某瞬間運動的快慢和方向動的快慢和方向位矢位矢端線端線一、一、rv 加速度加速度(acceleration)(acceleration)M點的速度矢端圖點的速度矢端圖 (hodograph of velocities) 描述點的速度矢量對時間的變化率描述點的速度矢量對時間的變化率即即 點在該瞬間速度的大小和方向的變化率點在該瞬間速度的大小和方向的變化率dtvdtvat0lim

7、將點在不同瞬時速度平將點在不同瞬時速度平移至移至O點，連接速度矢端點，連接速度矢端構(gòu)成的連續(xù)曲線構(gòu)成的連續(xù)曲線； 描述速度大小和方向變描述速度大小和方向變化的圖像化的圖像 。v 二、二、1. 點的運動方程：點的運動方程：kzj yi xr)()(1txtfx)()(2tytfy)()(3tztfz 點的軌跡方程：點的軌跡方程：0),(zyxfr),(zyxMzOxyxyzjik3. 點的速度點的速度:(定參考系定參考系)zyxvvvkzi yi xdtkzi yi xddtrdv)( 點的速度在直角坐標(biāo)軸上的投影等點的速度在直角坐標(biāo)軸上的投影等于點的各對應(yīng)坐標(biāo)對時間的一階導(dǎo)數(shù)于點的各對應(yīng)坐標(biāo)對

8、時間的一階導(dǎo)數(shù)r),(zyxMzOxyxyzjik2022-5-6222zyxvvvvvvvvvvzyx),cos(),cos(),cos(kvjviv 4 點的加速度：點的加速度：kzj yi xkvjvivkajaiadtvdazyxzyx 222zyxaaaaaaaaaazyx),cos(),cos(),cos(kajaia解：解： 建立圖示直角坐標(biāo)系，建立圖示直角坐標(biāo)系，由幾何關(guān)系可得由幾何關(guān)系可得M點點的運動方程為：的運動方程為：cos)(CMOCxsinAMy talcos)( talsin)( 例例1 橢圓規(guī)的曲柄橢圓規(guī)的曲柄OC可繞定軸可繞定軸O轉(zhuǎn)動，其端點轉(zhuǎn)動，其端點C與規(guī)與

9、規(guī)尺尺AB的中點以鉸鏈相連接，的中點以鉸鏈相連接，A、B端分別在相互垂直端分別在相互垂直的滑槽中運動。已知：的滑槽中運動。已知：OC = CB = CA = l，MC = a， = t。試求規(guī)尺上點。試求規(guī)尺上點M的運動方程、運動軌跡、速度的運動方程、運動軌跡、速度和加速度。和加速度。1)()(2222alyalx消去參數(shù)消去參數(shù)t可以得到顯函數(shù)形式的軌跡方程：可以得到顯函數(shù)形式的軌跡方程：經(jīng)求導(dǎo)后可得經(jīng)求導(dǎo)后可得M點的速度和加速度方程：點的速度和加速度方程：talxvxsin)( talyvycos)( talxaxcos)(2 talyaysin)(2 橢圓橢圓合成速度與加速度：合成速度與

10、加速度：P118talytalxsin)(cos)(例例2如圖所示，當(dāng)液壓減振器工作時，它的活塞在套筒如圖所示，當(dāng)液壓減振器工作時，它的活塞在套筒內(nèi)作直線往復(fù)運動。設(shè)活塞的加速度內(nèi)作直線往復(fù)運動。設(shè)活塞的加速度 （v為活為活塞的速度，塞的速度，k為比例常數(shù)為比例常數(shù))，初速度為，初速度為v0。求活塞的運動規(guī)律求活塞的運動規(guī)律。akv 解：解：1 活塞作直線運動，取坐標(biāo)軸活塞作直線運動，取坐標(biāo)軸Ox如圖如圖kvtvadd2 由vvttkvv00dd得ktevvktvv00,lnktevtxv0dd3 由tevxktxxtdd000得ktekvxx100三、三、自然坐標(biāo)法自然坐標(biāo)法自然法適用于描述

11、非自由質(zhì)點運動自然法適用于描述非自由質(zhì)點運動OMs(+)(-)運動方程運動方程( (沿軌跡的運動規(guī)律沿軌跡的運動規(guī)律) )(tfs 弧坐標(biāo)弧坐標(biāo) （ arc coordinate ）弧長為代數(shù)量弧長為代數(shù)量 密切面與自然軸系密切面與自然軸系M密切面密切面(osculating plane)MM MM密切面密切面自然軸系自然軸系(trihedral axes of a space curve)主法線單位矢量主法線單位矢量n切向單位矢量切向單位矢量副法線單位矢量副法線單位矢量bnb 過過M點的密切面點的密切面主法線指向曲線凹側(cè)主法線指向曲線凹側(cè)副法線垂直于切線和主法線副法線垂直于切線和主法線構(gòu)成右

12、手系構(gòu)成右手系法平面法平面與與M點的點的切線垂直切線垂直 以以M點為原點，以點為原點，以切線切線、主法線主法線和和副法線副法線為坐標(biāo)軸組成的正交坐標(biāo)系稱為曲線在點為坐標(biāo)軸組成的正交坐標(biāo)系稱為曲線在點M的的自然坐標(biāo)系自然坐標(biāo)系，三軸稱為，三軸稱為自然軸自然軸。 M密切密切面面3. 速度：速度：vdtdsdtdsdsrddtrdvM MM弧長為弧長為 sv 0，同向，與v點沿軌跡的負(fù)向運動點沿軌跡的負(fù)向運動.v 0時，時， 與與 同向；同向； tanq q 0, 0，點該如何運動，點該如何運動?如果如果 0, 0 ，點該如何運動，點該如何運動?如果如果 0，點該如何運動，點該如何運動?如果如果 0

13、, 0，點該如何運動，點該如何運動?如果如果 0, =0，點該如何運動，點該如何運動?vn 下面曲線上哪些點的運動是下面曲線上哪些點的運動是可能的運動？哪些是不可能的可能的運動？哪些是不可能的運動？運動？ =0 =02022-5-60ssvt勻速曲線運動勻速曲線運動勻變速曲線運動勻變速曲線運動21002ssv ta t0tvvat2202vva0s -s2022-5-60,na 直線運動直線運動圓周運動圓周運動 =R=常數(shù)常數(shù)勻速運動勻速運動a 常數(shù)常數(shù)0,avconst勻變速運動勻變速運動2022-5-6 點沿著一螺旋線自外向點沿著一螺旋線自外向內(nèi)運動。點所走過的弧長內(nèi)運動。點所走過的弧長與

14、時間的一次方成正比。與時間的一次方成正比。請判斷點的運動性質(zhì)：請判斷點的運動性質(zhì)：例例1 列車沿半徑為列車沿半徑為800m的圓弧軌道作勻加速運動。的圓弧軌道作勻加速運動。如初速度為零，經(jīng)過如初速度為零，經(jīng)過2min后，速度達(dá)到后，速度達(dá)到54km/h。求起。求起點和末點的加速度。點和末點的加速度。consttvadd2121ddttvvtav2m/s125. 060203600100054法向加速度等于零，列車只有切向加速度法向加速度等于零，列車只有切向加速度解：解：1212ttvva2m/s125. 0a2222m/s281. 08003600100054Rvan222m/s308. 0na

15、aatan0.443naaq4523q例例2：炮彈射出時，直角坐標(biāo)下的運動方程為炮彈射出時，直角坐標(biāo)下的運動方程為22100sincosgttvytvx求求t=0t=0時炮彈的切向加速度和法向加速度，時炮彈的切向加速度和法向加速度，以及這時軌跡的曲率半徑。以及這時軌跡的曲率半徑。oxy0v解：gtvdtdyvvdtdxvyxsin cos002022022sincosgtvvvvvyxgdtdvadtdvayyxx, 0gaaayx22當(dāng)當(dāng)t=0時時gavv ,022100sincosgttvytvx將加速度沿切線和法線方向?qū)⒓铀俣妊厍芯€和法線方向分解有分解有g(shù)aaan22gtvvgdtdva

16、sin0當(dāng)t=0時，singacos22gaaan20nva由cos2020gvavn得20220sincosgtvvv當(dāng)t=0時gavv ,0例例3 半徑為半徑為R的輪子沿直軌道無滑動地滾動，設(shè)輪子轉(zhuǎn)的輪子沿直軌道無滑動地滾動，設(shè)輪子轉(zhuǎn)角角 = t （ 為常值）。求弧坐標(biāo)法表示的輪緣上為常值）。求弧坐標(biāo)法表示的輪緣上任一點任一點M的運動方程，并求該點的切向加速度、法的運動方程，并求該點的切向加速度、法向加速度及軌跡線的曲率半徑。向加速度及軌跡線的曲率半徑。1、先利用直角坐標(biāo)法求點的運動軌跡、先利用直角坐標(biāo)法求點的運動軌跡、速度、加速度；速度、加速度；2、再利用自然法求解本題。再利用自然法求解

17、本題。解：解：取取 = 0時點時點M與與直線軌道的接觸直線軌道的接觸點點O為原點，建為原點，建立直角坐標(biāo)系立直角坐標(biāo)系Oxy。由于純滾動，有：由于純滾動，有：OC= MC= R)sin(sin1ttRMOOCx)cos1 (cos11tRMOCOy則則M點的運動方程為：點的運動方程為：)cos1 (tRxvx tRyvysinM點的速度方程為：點的速度方程為：2222cos2sin2xytvvvRtRCM 2=cot方向方向 當(dāng)當(dāng) t=2kp p/ 時時即即 =2kp p 輪軌接觸點輪軌接觸點C vC =0 M CM y y + =90 2tan( , x)=vy vx=tany y大小大小

18、M點的加速度方程為：點的加速度方程為：tRxaxsin2 tRyaycos2 222Raaayx方向方向 永指向輪心永指向輪心tan( , x) =ay ax=cot t=tan(90 - )(當(dāng)當(dāng) t= 2kp p 時時)常量常量 大小大小 ？ 已知：半徑為已知：半徑為R的圓輪在直線軌道上作純的圓輪在直線軌道上作純滾動（只滾不滑）。輪心速度滾動（只滾不滑）。輪心速度u=常數(shù)。常數(shù)。求：輪緣一點求：輪緣一點M的運動方程式、軌跡、的運動方程式、軌跡、 速度與加速度。速度與加速度。取取 = 0時點時點M與直線軌道的接觸與直線軌道的接觸點點O為弧坐標(biāo)系原點，軌跡線為弧坐標(biāo)系原點，軌跡線為自然軸線。為自然軸線。2sin2tRv2Ra 弧坐標(biāo)法求點弧坐標(biāo)法求點M的運動方程：的運動方程：積分速度方程積分速度方程ttvs0d)2cos1 (4tRtttR0d2sin2va22aaannav22sin2tRv2Ra 求點求點M的切向加速度、法向加速的切向加速度、法向加速度和曲率半徑：度和曲率半徑：2cos2tR2sin2tR2sin2sin42222tRtR2sin4tR 觀察物體的運動必須相對某一參考體；觀察物體的運動必須相對某一參考體； 點的運動方程描述了動點在空間的幾何位置點的運動方程描述了動點在空