第五章 輸運(yùn)過程

1、高分子材料流變學(xué)第五章 輸運(yùn)過程的基本方程及基本流動(dòng)形式1第五章第五章 輸運(yùn)過程的基本方程輸運(yùn)過程的基本方程及基本流動(dòng)形式及基本流動(dòng)形式徐德增徐德增高分子材料流變學(xué)第五章 輸運(yùn)過程的基本方程及基本流動(dòng)形式2緒緒 n高分子流變學(xué)研究高分子液體在流動(dòng)過程中高分子流變學(xué)研究高分子液體在流動(dòng)過程中所表現(xiàn)的非線性粘彈性及其規(guī)律，廣義而言，所表現(xiàn)的非線性粘彈性及其規(guī)律，廣義而言，這些內(nèi)容均屬于連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的范疇，屬于這些內(nèi)容均屬于連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的范疇，屬于輸運(yùn)過程。因此象所有材料的真實(shí)物理過程輸運(yùn)過程。因此象所有材料的真實(shí)物理過程一樣，高分子流變過程也必然遵循自然界普一樣，高分子流變過程也必然遵循自然界普遍

2、適用的最基本的守恒定律。在輸運(yùn)過程范遍適用的最基本的守恒定律。在輸運(yùn)過程范疇內(nèi)，這些守恒定律主要表現(xiàn)為質(zhì)量守恒定疇內(nèi)，這些守恒定律主要表現(xiàn)為質(zhì)量守恒定律，動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律。律，動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律。高分子材料流變學(xué)第五章 輸運(yùn)過程的基本方程及基本流動(dòng)形式3緒緒n高分子流變過程與其他流體輸運(yùn)過程的主要高分子流變過程與其他流體輸運(yùn)過程的主要差別在于高分子液體是一種特殊的非線性粘差別在于高分子液體是一種特殊的非線性粘彈性流體，這種特殊性表現(xiàn)在其特殊的流變彈性流體，這種特殊性表現(xiàn)在其特殊的流變本構(gòu)方程上。本構(gòu)方程上。高分子材料流變學(xué)第五章 輸運(yùn)過程的基本方程及基本流動(dòng)形式4緒緒n為定量

3、地研究高分子材料在流變測(cè)量和合成為定量地研究高分子材料在流變測(cè)量和合成或加工工程中的流動(dòng)規(guī)律，為高分子材料設(shè)或加工工程中的流動(dòng)規(guī)律，為高分子材料設(shè)計(jì)、加工工藝設(shè)計(jì)、模具和設(shè)備設(shè)計(jì)提供系計(jì)、加工工藝設(shè)計(jì)、模具和設(shè)備設(shè)計(jì)提供系統(tǒng)地計(jì)算基礎(chǔ)和設(shè)計(jì)方法，本章介紹輸運(yùn)過統(tǒng)地計(jì)算基礎(chǔ)和設(shè)計(jì)方法，本章介紹輸運(yùn)過程基本方程的物理意義和方程形式，討論其程基本方程的物理意義和方程形式，討論其在幾種典型高分子材料流動(dòng)形式中的應(yīng)用。在幾種典型高分子材料流動(dòng)形式中的應(yīng)用。高分子材料流變學(xué)第五章 輸運(yùn)過程的基本方程及基本流動(dòng)形式51 連續(xù)性方程連續(xù)性方程質(zhì)量守恒律質(zhì)量守恒律n設(shè)無限大空間內(nèi)充設(shè)無限大空間內(nèi)充滿流體，在固定

4、的滿流體，在固定的空間坐標(biāo)系中任取空間坐標(biāo)系中任取封閉曲面封閉曲面A A，設(shè)其包，設(shè)其包圍體積為圍體積為 （圖（圖5-5-1 1）?？疾靻挝粫r(shí)間）?？疾靻挝粫r(shí)間內(nèi)曲面內(nèi)曲面 中包圍流中包圍流體的質(zhì)量變化率為體的質(zhì)量變化率為高分子材料流變學(xué)第五章 輸運(yùn)過程的基本方程及基本流動(dòng)形式61 1 連續(xù)性方程連續(xù)性方程質(zhì)量守恒律質(zhì)量守恒律n (5-1) (5-1)n式中式中 ；(x，t)為時(shí)刻為時(shí)刻t，空間，空間n任一點(diǎn)任一點(diǎn) x的質(zhì)量密度。的質(zhì)量密度。n積分是對(duì)體積積分是對(duì)體積 的體積分。的體積分。n該質(zhì)量變化率應(yīng)等于單位時(shí)間內(nèi)穿過曲面該質(zhì)量變化率應(yīng)等于單位時(shí)間內(nèi)穿過曲面A的凈質(zhì)量流量。的凈質(zhì)量流量。t

5、MMdttM),(x高分子材料流變學(xué)第五章 輸運(yùn)過程的基本方程及基本流動(dòng)形式71 1 連續(xù)性方程連續(xù)性方程質(zhì)量守恒律質(zhì)量守恒律n在在A上任取面元上任取面元dA，設(shè)，設(shè) dA的方向指向封閉曲的方向指向封閉曲面的外法線方向。面的外法線方向。n假定假定dA處流體的流速為處流體的流速為v，則單位時(shí)間通過，則單位時(shí)間通過dA的體積流量為（的體積流量為（- v dA），這是兩個(gè)矢），這是兩個(gè)矢量的點(diǎn)乘，負(fù)號(hào)的出現(xiàn)是由于規(guī)定了以流進(jìn)量的點(diǎn)乘，負(fù)號(hào)的出現(xiàn)是由于規(guī)定了以流進(jìn)封閉曲面的流量為正流量（使封閉曲面內(nèi)物封閉曲面的流量為正流量（使封閉曲面內(nèi)物質(zhì)增多），流出為負(fù)流量。質(zhì)增多），流出為負(fù)流量。高分子材料流變學(xué)

6、第五章 輸運(yùn)過程的基本方程及基本流動(dòng)形式81 1 連續(xù)性方程連續(xù)性方程質(zhì)量守恒律質(zhì)量守恒律n相應(yīng)的通過相應(yīng)的通過dAdA的質(zhì)量流量為（的質(zhì)量流量為（- -vv dA dA），），于是有于是有 n （5-25-2）n我們稱（我們稱（5-25-2）式為連續(xù)性方程的積分型式。）式為連續(xù)性方程的積分型式。公式表明單位時(shí)間內(nèi)體積公式表明單位時(shí)間內(nèi)體積 中流體的質(zhì)量變中流體的質(zhì)量變化等于該時(shí)間內(nèi)穿過曲面化等于該時(shí)間內(nèi)穿過曲面A A的凈流量，其物理的凈流量，其物理本質(zhì)為質(zhì)量守恒定律。后一個(gè)積分是對(duì)包圍本質(zhì)為質(zhì)量守恒定律。后一個(gè)積分是對(duì)包圍體積體積 的封閉曲面的封閉曲面A A作的面積分。作的面積分。Avxdd

7、ttMA),(高分子材料流變學(xué)第五章 輸運(yùn)過程的基本方程及基本流動(dòng)形式91 1 連續(xù)性方程連續(xù)性方程質(zhì)量守恒律質(zhì)量守恒律n利用場(chǎng)論中的利用場(chǎng)論中的GaussGauss定理可將一個(gè)面積分轉(zhuǎn)化為體積定理可將一個(gè)面積分轉(zhuǎn)化為體積分，于是（分，于是（5-25-2）式可改寫為：）式可改寫為：n n （5-35-3）n式中為一個(gè)矢量微分算符，稱式中為一個(gè)矢量微分算符，稱HamiltonHamilton算符，其顯算符，其顯式為：式為：n n （5-45-4）n為三個(gè)坐標(biāo)軸單位矢量，見（為三個(gè)坐標(biāo)軸單位矢量，見（3-183-18）式。（）式。（5-35-3）式）式中的稱為對(duì)乘積求散度運(yùn)算。中的稱為對(duì)乘積求散度

8、運(yùn)算。 0)(dtv33221131xxxxjjjeeee高分子材料流變學(xué)第五章 輸運(yùn)過程的基本方程及基本流動(dòng)形式101 1 連續(xù)性方程連續(xù)性方程質(zhì)量守恒律質(zhì)量守恒律n由于區(qū)域?yàn)闊o限大空間中任取的區(qū)域，所以（由于區(qū)域?yàn)闊o限大空間中任取的區(qū)域，所以（5-35-3）式積分等于零，只有被積函數(shù)等于零：式積分等于零，只有被積函數(shù)等于零：n （5-55-5）n此公式稱連續(xù)性方程的微分型式。此公式稱連續(xù)性方程的微分型式。n于任何一種穩(wěn)定流動(dòng)，有于任何一種穩(wěn)定流動(dòng)，有 所以由（所以由（5-55-5）式）式得知：得知：n n （5-95-9）0)(vt0)(v, 0t高分子材料流變學(xué)第五章 輸運(yùn)過程的基本方程

9、及基本流動(dòng)形式111 1 連續(xù)性方程連續(xù)性方程質(zhì)量守恒律質(zhì)量守恒律n對(duì)于不可壓縮流體的穩(wěn)定流動(dòng)，進(jìn)一步有：對(duì)于不可壓縮流體的穩(wěn)定流動(dòng)，進(jìn)一步有： （5-105-10）n在直角座標(biāo)系中，（在直角座標(biāo)系中，（5-105-10）式的顯式表示為：）式的顯式表示為：n n （5-115-11）n這是不可壓縮流體穩(wěn)定流動(dòng)的連續(xù)性方程這是不可壓縮流體穩(wěn)定流動(dòng)的連續(xù)性方程。0 v0zyxzyx高分子材料流變學(xué)第五章 輸運(yùn)過程的基本方程及基本流動(dòng)形式121 1 連續(xù)性方程連續(xù)性方程質(zhì)量守恒律質(zhì)量守恒律n對(duì)于大多數(shù)高分子材料熔體加工過程均可近對(duì)于大多數(shù)高分子材料熔體加工過程均可近似地視其為不可壓縮流體的穩(wěn)定流動(dòng)，

10、故連似地視其為不可壓縮流體的穩(wěn)定流動(dòng)，故連續(xù)性方程可用（續(xù)性方程可用（5-105-10）式表式。）式表式。n注意采用的坐標(biāo)系不同，（注意采用的坐標(biāo)系不同，（5-105-10）式的顯式）式的顯式表示不同。其中直角坐標(biāo)系和柱坐標(biāo)系中的表示不同。其中直角坐標(biāo)系和柱坐標(biāo)系中的連續(xù)性方程最常用。連續(xù)性方程最常用。高分子材料流變學(xué)第五章 輸運(yùn)過程的基本方程及基本流動(dòng)形式132.2.運(yùn)動(dòng)方程運(yùn)動(dòng)方程動(dòng)量守恒律動(dòng)量守恒律n 按質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理有按質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理有n n （5-135-13）n式中式中m m為質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量，為質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量，F(xiàn) Fi i為質(zhì)點(diǎn)所受的外力。為質(zhì)點(diǎn)所受的外力。n公式的物理意義為質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量變化

11、率等于質(zhì)公式的物理意義為質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量變化率等于質(zhì)點(diǎn)所受的外力和。點(diǎn)所受的外力和。iimDtDFv)(高分子材料流變學(xué)第五章 輸運(yùn)過程的基本方程及基本流動(dòng)形式142. 2. 運(yùn)動(dòng)方程運(yùn)動(dòng)方程動(dòng)量守恒律動(dòng)量守恒律n考察流體中一無限小流體元，其速度為考察流體中一無限小流體元，其速度為v v，動(dòng)量為，動(dòng)量為，見圖（見圖（5-25-2）。）。 分量研究。由（分量研究。由（5-13）式有）式有n n （5-145-14） 1xiiFxxxvDtD1321 1)(321xxxiiFDtDvxxx11321為流體元質(zhì)量，在考察中保為流體元質(zhì)量，在考察中保持不變，故上式改寫為持不變，故上式改寫為:。由于由于高分子

12、材料流變學(xué)第五章 輸運(yùn)過程的基本方程及基本流動(dòng)形式152. 2. 運(yùn)動(dòng)方程運(yùn)動(dòng)方程動(dòng)量守恒律動(dòng)量守恒律n外力包括流動(dòng)時(shí)作用在體積元上的壓力在方向的分外力包括流動(dòng)時(shí)作用在體積元上的壓力在方向的分量，粘彈力在方向的分量量，粘彈力在方向的分量VE1VE1 和重力在方向的分量和重力在方向的分量G1G1。通過計(jì)算可以求得它們分別等于：。通過計(jì)算可以求得它們分別等于：321132111)()(xxxxpxxpxxppP3213312211111xxxxxxVE32111xxxgG（5-165-16） （5-175-17） （5-155-15） 高分子材料流變學(xué)第五章 輸運(yùn)過程的基本方程及基本流動(dòng)形式162

13、. 2. 運(yùn)動(dòng)方程運(yùn)動(dòng)方程動(dòng)量守恒律動(dòng)量守恒律n式中（式中（- -p p）為流體內(nèi)壓力，）為流體內(nèi)壓力， 為偏應(yīng)力張為偏應(yīng)力張量的分量，其中為彈性力分量，量的分量，其中為彈性力分量， 為粘性力分為粘性力分量，量， 為重力加速度在為重力加速度在 方向的分量。方向的分量。n代入（代入（5-145-14）式，得到。）式，得到。n n n （5-185-18）同理可求出動(dòng)量方程在同理可求出動(dòng)量方程在 ， 方向的分量式。方向的分量式。312111,3121，1g1x133122111111)(gxxxxpDtDv2x3x高分子材料流變學(xué)第五章 輸運(yùn)過程的基本方程及基本流動(dòng)形式172. 2. 運(yùn)動(dòng)方程運(yùn)動(dòng)

14、方程動(dòng)量守恒律動(dòng)量守恒律n綜合寫成張量表示式：綜合寫成張量表示式： n （5-19）n此式稱一般粘彈性流體的動(dòng)量方程，也稱運(yùn)動(dòng)方程。此式稱一般粘彈性流體的動(dòng)量方程，也稱運(yùn)動(dòng)方程。式中式中p為壓力梯度，記為為壓力梯度，記為n n （5-20）n注意式中最后一個(gè)等號(hào)的右側(cè)表示三項(xiàng)求和的縮記注意式中最后一個(gè)等號(hào)的右側(cè)表示三項(xiàng)求和的縮記形式。形式。 gvpDtDiixpxpxpxppeeee332211高分子材料流變學(xué)第五章 輸運(yùn)過程的基本方程及基本流動(dòng)形式182. 2. 運(yùn)動(dòng)方程運(yùn)動(dòng)方程動(dòng)量守恒律動(dòng)量守恒律n采用這種書寫方式，原有的求和號(hào)可以省略。于是采用這種書寫方式，原有的求和號(hào)可以省略。于是Ha

15、miltonHamilton算子可縮記為：算子可縮記為：n n （5-215-21）n而而 n （5-225-22）n公式（公式（5-195-19）表示，流體元流動(dòng)中動(dòng)量的變化有三）表示，流體元流動(dòng)中動(dòng)量的變化有三種外力的貢獻(xiàn)，分別是壓力、粘彈力和重力。種外力的貢獻(xiàn)，分別是壓力、粘彈力和重力。 iixekijkkijijkkjiijkkjjkiixxxxeeeeeeee高分子材料流變學(xué)第五章 輸運(yùn)過程的基本方程及基本流動(dòng)形式192. 2. 運(yùn)動(dòng)方程運(yùn)動(dòng)方程動(dòng)量守恒律動(dòng)量守恒律n公式（公式（5-195-19）表示，流體元流動(dòng)中動(dòng)量的變）表示，流體元流動(dòng)中動(dòng)量的變化有三種外力的貢獻(xiàn)，分別是壓力、粘

16、彈力化有三種外力的貢獻(xiàn)，分別是壓力、粘彈力和重力。和重力。n由于高分子流體粘度很大，重力影響很小，由于高分子流體粘度很大，重力影響很小，常忽略不計(jì)。常忽略不計(jì)。n因此影響流動(dòng)的主要外力為壓力和粘彈力，因此影響流動(dòng)的主要外力為壓力和粘彈力，流動(dòng)形式也可區(qū)分為由壓力引起的壓力流和流動(dòng)形式也可區(qū)分為由壓力引起的壓力流和由粘彈力引起的拖曳流。由粘彈力引起的拖曳流。高分子材料流變學(xué)第五章 輸運(yùn)過程的基本方程及基本流動(dòng)形式202. 2. 運(yùn)動(dòng)方程運(yùn)動(dòng)方程動(dòng)量守恒律動(dòng)量守恒律n對(duì)不可壓縮的牛頓流體，為常數(shù)，偏應(yīng)力張量，對(duì)不可壓縮的牛頓流體，為常數(shù)，偏應(yīng)力張量，n 粘度粘度0 0為常數(shù)，故（為常數(shù)，故（5-1

17、95-19）式得以簡化：）式得以簡化：n n n n (5-23)(5-23)n此方程即著名的此方程即著名的Navier-StokesNavier-Stokes方程，為牛頓流體力方程，為牛頓流體力學(xué)中的基本方程。在這兒它只是粘彈性流體運(yùn)動(dòng)方學(xué)中的基本方程。在這兒它只是粘彈性流體運(yùn)動(dòng)方程的一個(gè)特例。程的一個(gè)特例。v0gvgvv00)(ppDtD高分子材料流變學(xué)第五章 輸運(yùn)過程的基本方程及基本流動(dòng)形式212. 2. 運(yùn)動(dòng)方程運(yùn)動(dòng)方程動(dòng)量守恒律動(dòng)量守恒律n式中稱式中稱LaplaceLaplace算子，在直角坐標(biāo)系中的顯式算子，在直角坐標(biāo)系中的顯式為：為：n n (5-25)(5-25)222222z

18、yx高分子材料流變學(xué)第五章 輸運(yùn)過程的基本方程及基本流動(dòng)形式223.3.能量方程能量方程能量守恒律能量守恒律n能量守恒律有多種表示方法，我們?nèi)崃W(xué)第一定能量守恒律有多種表示方法，我們?nèi)崃W(xué)第一定律來研究。設(shè)一個(gè)封閉體系的內(nèi)能為律來研究。設(shè)一個(gè)封閉體系的內(nèi)能為E，動(dòng)能為，動(dòng)能為K，它與外界的功交換和熱量交換分別記為它與外界的功交換和熱量交換分別記為 n 和和 ，則熱力學(xué)第一定律，即能量守恒律表示，則熱力學(xué)第一定律，即能量守恒律表示為：為：n公式的物理意義為：封閉體系的任何能量變化，或公式的物理意義為：封閉體系的任何能量變化，或源于與外界的功交換，或源于與外界的熱交換，否源于與外界的功交換，或

19、源于與外界的熱交換，否則能量守恒。則能量守恒。iiAQQAKEii)( （5-265-26） 高分子材料流變學(xué)第五章 輸運(yùn)過程的基本方程及基本流動(dòng)形式233.3.能量方程能量方程能量守恒律能量守恒律n注意（注意（5-265-26）式的成立基于各物理量符號(hào)的規(guī)定，）式的成立基于各物理量符號(hào)的規(guī)定，此處規(guī)定體系能量升高為正，外界對(duì)體系作功為正，此處規(guī)定體系能量升高為正，外界對(duì)體系作功為正，體系吸收熱量為正。反之為負(fù)。體系吸收熱量為正。反之為負(fù)。n設(shè)無限大空間內(nèi)充滿連續(xù)流體，取在某一瞬時(shí)占有設(shè)無限大空間內(nèi)充滿連續(xù)流體，取在某一瞬時(shí)占有空間域空間域A A（體積為）的流體系統(tǒng)研究。按（體積為）的流體系統(tǒng)

20、研究。按（5-265-26）式，）式，它在單位時(shí)間內(nèi)的能量變化律為它在單位時(shí)間內(nèi)的能量變化律為：n （5-275-27）n n式中式中WiWi 為外力對(duì)體系做功的功率。注意此處為外力對(duì)體系做功的功率。注意此處因針對(duì)確定流體元研究，故所取時(shí)間導(dǎo)數(shù)為因針對(duì)確定流體元研究，故所取時(shí)間導(dǎo)數(shù)為物質(zhì)導(dǎo)數(shù)。物質(zhì)導(dǎo)數(shù)。DtDQWKEDtDii)(高分子材料流變學(xué)第五章 輸運(yùn)過程的基本方程及基本流動(dòng)形式243.3.能量方程能量方程能量守恒律能量守恒律deEdKvv21高分子材料流變學(xué)第五章 輸運(yùn)過程的基本方程及基本流動(dòng)形式253.3.能量方程能量方程能量守恒律能量守恒律n 設(shè)設(shè)A A域中的流體與外界的熱量交換只

21、計(jì)傳導(dǎo)域中的流體與外界的熱量交換只計(jì)傳導(dǎo)熱，不計(jì)輻射熱。按熱，不計(jì)輻射熱。按FourierFourier導(dǎo)熱定律，熱流導(dǎo)熱定律，熱流矢量矢量q q等于等于n （5-305-30） n式中式中q q的單位為的單位為JmJm-2-2s s -1-1 ；k k為導(dǎo)熱系數(shù)，為導(dǎo)熱系數(shù)，單位為單位為JJ（msKmsK）-1-1 ； 為溫度梯度，為溫度梯度，式中負(fù)號(hào)的意義為熱量總是沿溫度下降的方式中負(fù)號(hào)的意義為熱量總是沿溫度下降的方向傳導(dǎo)的。向傳導(dǎo)的。 TkqT高分子材料流變學(xué)第五章 輸運(yùn)過程的基本方程及基本流動(dòng)形式263.3.能量方程能量方程能量守恒律能量守恒律n于是于是A A域內(nèi)的流體與外界的熱量交換

22、率為（參域內(nèi)的流體與外界的熱量交換率為（參看圖看圖5-35-3）：）：n n （5-315-31）n式中負(fù)號(hào)的引入是因?yàn)榘匆?guī)定，導(dǎo)入體系的式中負(fù)號(hào)的引入是因?yàn)榘匆?guī)定，導(dǎo)入體系的熱量為正。公式中也引用了將面積分轉(zhuǎn)化為熱量為正。公式中也引用了將面積分轉(zhuǎn)化為體積分的體積分的GaussGauss定理。定理。dTkddDtDQA)(qAq高分子材料流變學(xué)第五章 輸運(yùn)過程的基本方程及基本流動(dòng)形式273.3.能量方程能量方程能量守恒律能量守恒律n再求外力對(duì)體系作功的功率。外力主要指壓再求外力對(duì)體系作功的功率。外力主要指壓力與粘彈力。其功率為力與粘彈力。其功率為n （5-325-32） n將（將（5-285-

23、28）（5-325-32）式代入（）式代入（5-275-27）中，）中，得到流動(dòng)過程中能量方程的積分型式為：得到流動(dòng)過程中能量方程的積分型式為：n n n （5-335-33） AiidpWAvI)(AdpddveDtDAvIq)()21(2高分子材料流變學(xué)第五章 輸運(yùn)過程的基本方程及基本流動(dòng)形式283.3.能量方程能量方程能量守恒律能量守恒律n通過適當(dāng)?shù)难菟悖ㄑ菟氵^程略），還可得到通過適當(dāng)?shù)难菟悖ㄑ菟氵^程略），還可得到能量方程的微分型式：能量方程的微分型式：n n （5-345-34） n式中為密度，式中為密度，cvcv為流體的定容比熱，為流體的定容比熱，T T為絕對(duì)溫度，為絕對(duì)溫度，q q

24、為熱流矢量，為熱流矢量，p p為流體內(nèi)壓力，而張量與的二次點(diǎn)為流體內(nèi)壓力，而張量與的二次點(diǎn)乘等于：乘等于：n vvq:)()(TpTDtDTcvijijinjmnmijnmmnjiijxxxeeeev:高分子材料流變學(xué)第五章 輸運(yùn)過程的基本方程及基本流動(dòng)形式293.3.能量方程能量方程能量守恒律能量守恒律n方程最左邊的寫法，有兩對(duì)求和指標(biāo)。表示先對(duì)方程最左邊的寫法，有兩對(duì)求和指標(biāo)。表示先對(duì)j j求求和，再對(duì)和，再對(duì)i i求和。展開來寫，即為：求和。展開來寫，即為：333332323131232322222121131312121111332313322212312111333231232221

25、131211:xvxvxvxvxvxvxvxvxvxvxvxvxvxvxvxvxvxvv高分子材料流變學(xué)第五章 輸運(yùn)過程的基本方程及基本流動(dòng)形式303.3.能量方程能量方程能量守恒律能量守恒律n它是九項(xiàng)對(duì)應(yīng)乘積之和。其中既有剪切應(yīng)力分量它是九項(xiàng)對(duì)應(yīng)乘積之和。其中既有剪切應(yīng)力分量與剪切速度梯度的貢獻(xiàn)，又有法向應(yīng)力分量與拉與剪切速度梯度的貢獻(xiàn)，又有法向應(yīng)力分量與拉伸速度梯度的貢獻(xiàn)（彈性力貢獻(xiàn)）。伸速度梯度的貢獻(xiàn)（彈性力貢獻(xiàn)）。n對(duì)于不可壓縮流體而言，因?yàn)?，故能量方程簡化?duì)于不可壓縮流體而言，因?yàn)?，故能量方程簡化為：為：n （5-365-36） n其物理意義為，流體流動(dòng)過程中體系能量的變化，其物理意

26、義為，流體流動(dòng)過程中體系能量的變化，決定于與外界的熱交換和功交換。對(duì)于粘彈性流決定于與外界的熱交換和功交換。對(duì)于粘彈性流體而言，功交換既包括粘性力貢獻(xiàn)，也包括彈性體而言，功交換既包括粘性力貢獻(xiàn)，也包括彈性力貢獻(xiàn)。力貢獻(xiàn)。 vq:DtDTcv高分子材料流變學(xué)第五章 輸運(yùn)過程的基本方程及基本流動(dòng)形式313.3.能量方程能量方程能量守恒律能量守恒律n大多數(shù)高分子流體的測(cè)量和加工過程近似遵循上述大多數(shù)高分子流體的測(cè)量和加工過程近似遵循上述簡化方程。另外注意，不同的坐標(biāo)系下，運(yùn)動(dòng)方程簡化方程。另外注意，不同的坐標(biāo)系下，運(yùn)動(dòng)方程和能量方程的顯式不同。和能量方程的顯式不同。n例題：不可壓縮粘彈性流體在穩(wěn)態(tài)簡

27、單剪切流場(chǎng)中例題：不可壓縮粘彈性流體在穩(wěn)態(tài)簡單剪切流場(chǎng)中的輸運(yùn)方程。的輸運(yùn)方程。n在簡單剪切流場(chǎng)，偏應(yīng)力張量中的剪切應(yīng)力分量只在簡單剪切流場(chǎng)，偏應(yīng)力張量中的剪切應(yīng)力分量只有；有； 另外還要考慮法向應(yīng)力分量另外還要考慮法向應(yīng)力分量n 。n假定流體與外界的熱交換只沿著假定流體與外界的熱交換只沿著x x2 2方向進(jìn)行，熱流矢方向進(jìn)行，熱流矢量只有量只有q q2 2分量不等于零。忽略重力的影響。分量不等于零。忽略重力的影響。01221332211,高分子材料流變學(xué)第五章 輸運(yùn)過程的基本方程及基本流動(dòng)形式323.3.能量方程能量方程能量守恒律能量守恒律n根據(jù)上述簡化假定，輸運(yùn)過程基本方程得以簡化，得到：

28、根據(jù)上述簡化假定，輸運(yùn)過程基本方程得以簡化，得到： n (5-37)(5-37)連續(xù)性方程為：連續(xù)性方程為：n運(yùn)動(dòng)方程為：運(yùn)動(dòng)方程為： (5-38)(5-38)n能量方程為：能量方程為： n (5-39)(5-39)011xv333312221122222111111100 xxpxxxxpxxxxpDtDvx方向方向方向212122xvxqDtDTcv高分子材料流變學(xué)第五章 輸運(yùn)過程的基本方程及基本流動(dòng)形式333.3.能量方程能量方程能量守恒律能量守恒律n該方程組比原始方程簡化了許多，容易求解。該方程組比原始方程簡化了許多，容易求解。為了求得上述方程組的解析解，還必須引入為了求得上述方程組的

29、解析解，還必須引入粘彈性流體的本構(gòu)方程及一定的邊界條件或粘彈性流體的本構(gòu)方程及一定的邊界條件或初始條件，使方程組完備性得到滿足才行。初始條件，使方程組完備性得到滿足才行。高分子材料流變學(xué)第五章 輸運(yùn)過程的基本方程及基本流動(dòng)形式344 4平行板間的等溫拖曳流平行板間的等溫拖曳流 和管道中的壓力流和管道中的壓力流n1. 平行板間的等溫拖曳流平行板間的等溫拖曳流n討論兩塊無限大平板間的等溫拖曳流。這種討論兩塊無限大平板間的等溫拖曳流。這種流動(dòng)又稱流動(dòng)又稱Couette流動(dòng)。比如在擠出成型過流動(dòng)。比如在擠出成型過程中，擠出機(jī)的螺桿轉(zhuǎn)動(dòng)，由此帶動(dòng)物料運(yùn)程中，擠出機(jī)的螺桿轉(zhuǎn)動(dòng)，由此帶動(dòng)物料運(yùn)動(dòng)，而機(jī)筒不動(dòng)

30、。所謂等溫流動(dòng)，指流動(dòng)過動(dòng)，而機(jī)筒不動(dòng)。所謂等溫流動(dòng)，指流動(dòng)過程中兩塊大板的溫度程中兩塊大板的溫度TW保持不變，但這并保持不變，但這并不意味著物料與外界沒有熱交換。不意味著物料與外界沒有熱交換。高分子材料流變學(xué)第五章 輸運(yùn)過程的基本方程及基本流動(dòng)形式354.4.平行板間的等溫拖曳流平行板間的等溫拖曳流 和管道中的壓力流和管道中的壓力流n在兩平行大板間安排直角坐標(biāo)系如圖在兩平行大板間安排直角坐標(biāo)系如圖5-4所示。所示。假定兩塊板間距為假定兩塊板間距為H，板間充滿流體。設(shè)上，板間充滿流體。設(shè)上板以速度板以速度v0沿沿x方向運(yùn)動(dòng)，拖動(dòng)板間流體也沿方向運(yùn)動(dòng)，拖動(dòng)板間流體也沿x方向流動(dòng)，下板靜止。流動(dòng)期

31、間兩板溫度保方向流動(dòng)，下板靜止。流動(dòng)期間兩板溫度保持不變?yōu)槌植蛔優(yōu)門W 。求板間流體的速度分布與溫度。求板間流體的速度分布與溫度分布情形。分布情形。高分子材料流變學(xué)第五章 輸運(yùn)過程的基本方程及基本流動(dòng)形式364.4.平行板間的等溫拖曳流平行板間的等溫拖曳流 和管道中的壓力流和管道中的壓力流n為方便求解，需要首先把討論的問題簡化和為方便求解，需要首先把討論的問題簡化和明確一下：明確一下：na)a)設(shè)板間流體為不可壓縮的牛頓型流體，其設(shè)板間流體為不可壓縮的牛頓型流體，其密度密度 和粘度和粘度 0 0為常數(shù)。為常數(shù)。nb) b) 設(shè)板間距設(shè)板間距H H 遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于板的幾何尺寸（長度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于板的幾何尺寸

32、（長度和寬度），于是邊緣效應(yīng)忽略不計(jì)。設(shè)板間和寬度），于是邊緣效應(yīng)忽略不計(jì)。設(shè)板間流體的流速只有流體的流速只有v v x x分量不等于零，分量不等于零，v v x x也只有也只有沿沿y y方向的速方向的速n度梯度分量度梯度分量 不等于零。不等于零。yvx高分子材料流變學(xué)第五章 輸運(yùn)過程的基本方程及基本流動(dòng)形式374.4.平行板間的等溫拖曳流平行板間的等溫拖曳流 和管道中的壓力流和管道中的壓力流nv v x x向的速度梯度分量不等于零。向的速度梯度分量不等于零。nc) 物料在板壁上無滑移。該假定稱壁面無滑物料在板壁上無滑移。該假定稱壁面無滑移假定。移假定。nd)流體與外界的熱交換只通過兩塊大板進(jìn)

33、行，流體與外界的熱交換只通過兩塊大板進(jìn)行，即熱流矢量只有即熱流矢量只有qy分量不等于零。分量不等于零。ne)設(shè)流體內(nèi)壓力設(shè)流體內(nèi)壓力p為常數(shù)；重力和慣性力忽略為常數(shù)；重力和慣性力忽略不計(jì)。不計(jì)。高分子材料流變學(xué)第五章 輸運(yùn)過程的基本方程及基本流動(dòng)形式384.4.平行板間的等溫拖曳流平行板間的等溫拖曳流 和管道中的壓力流和管道中的壓力流高分子材料流變學(xué)第五章 輸運(yùn)過程的基本方程及基本流動(dòng)形式394.4.平行板間的等溫拖曳流平行板間的等溫拖曳流 和管道中的壓力流和管道中的壓力流n由上述簡化假定，輸運(yùn)過程基本方程得以大由上述簡化假定，輸運(yùn)過程基本方程得以大大簡化，得到：大簡化，得到：n連續(xù)性方程：連

34、續(xù)性方程： n （5-405-40）n運(yùn)動(dòng)方程：運(yùn)動(dòng)方程：x x方向方向 （5-415-41）n y y方向方向 （5-425-42）0 xvx0yyx0 xxy高分子材料流變學(xué)第五章 輸運(yùn)過程的基本方程及基本流動(dòng)形式404.4.平行板間的等溫拖曳流平行板間的等溫拖曳流 和管道中的壓力流和管道中的壓力流n 能量方程：能量方程： （5-435-43）n而熱流矢量等于而熱流矢量等于 n （5-445-44）n代入得到：代入得到： n （5-455-45）0yvyqxyxyyTkqy022yvyTkxyx高分子材料流變學(xué)第五章 輸運(yùn)過程的基本方程及基本流動(dòng)形式414.4.平行板間的等溫拖曳流平行板間

35、的等溫拖曳流 和管道中的壓力流和管道中的壓力流n上述方程聯(lián)立得到一個(gè)方程組，但該方程組上述方程聯(lián)立得到一個(gè)方程組，但該方程組并不完備。為了求解，還必需采用所研究的并不完備。為了求解，還必需采用所研究的流體對(duì)象流體對(duì)象牛頓型流體的本構(gòu)方程：牛頓型流體的本構(gòu)方程：n n （5-465-46）yvxyx0高分子材料流變學(xué)第五章 輸運(yùn)過程的基本方程及基本流動(dòng)形式424.4.平行板間的等溫拖曳流平行板間的等溫拖曳流 和管道中的壓力流和管道中的壓力流n和必要的邊界條件。在本問題中，邊界條件和必要的邊界條件。在本問題中，邊界條件為：為：n n （5-475-47）n n上述方程組合在一起，構(gòu)成一個(gè)定解問題。

36、上述方程組合在一起，構(gòu)成一個(gè)定解問題。通過簡單的運(yùn)算，容易求得流體在兩塊無限通過簡單的運(yùn)算，容易求得流體在兩塊無限大平板間等溫拖曳流中的速度分布和溫度分大平板間等溫拖曳流中的速度分布和溫度分布：布： WyyxTTv000WHyHyxTTvv0高分子材料流變學(xué)第五章 輸運(yùn)過程的基本方程及基本流動(dòng)形式434.4.平行板間的等溫拖曳流平行板間的等溫拖曳流 和管道中的壓力流和管道中的壓力流n得流體在兩塊無限大平板間等溫拖曳流中的得流體在兩塊無限大平板間等溫拖曳流中的速度分布和溫度分布：速度分布和溫度分布： n n （5-485-48）n以及流體內(nèi)的剪切應(yīng)力以及流體內(nèi)的剪切應(yīng)力 ，可見，可見，該剪切應(yīng)力

37、等于常數(shù)值。該剪切應(yīng)力等于常數(shù)值。)()(222000yHyHvkTTHyvvWxHvyx/00高分子材料流變學(xué)第五章 輸運(yùn)過程的基本方程及基本流動(dòng)形式444.4.平行板間的等溫拖曳流平行板間的等溫拖曳流 和管道中的壓力流和管道中的壓力流n 圖圖5-5繪出流場(chǎng)內(nèi)的速度分繪出流場(chǎng)內(nèi)的速度分布和溫度分布圖。由圖知，布和溫度分布圖。由圖知，在無限大平行板間的等溫在無限大平行板間的等溫拖曳流中，速度分布為線拖曳流中，速度分布為線性分布，即速度分量性分布，即速度分量v x沿沿y方向線性變化；而溫度分方向線性變化；而溫度分布為拋物線分布，在流道布為拋物線分布，在流道中央中央y=H/2處溫度最高，接處溫度最

38、高，接近兩板處流體溫度與板的近兩板處流體溫度與板的溫度相等，等于溫度相等，等于TW 。 高分子材料流變學(xué)第五章 輸運(yùn)過程的基本方程及基本流動(dòng)形式454.4.平行板間的等溫拖曳流平行板間的等溫拖曳流 和管道中的壓力流和管道中的壓力流n流道中央物料溫度升高的原因是由于粘性流流道中央物料溫度升高的原因是由于粘性流動(dòng)耗散外部能量所致，因此在流動(dòng)中兩塊大動(dòng)耗散外部能量所致，因此在流動(dòng)中兩塊大板要保持預(yù)先設(shè)定的溫度不變，必須加以冷板要保持預(yù)先設(shè)定的溫度不變，必須加以冷卻，將熱量導(dǎo)出流體。這也提醒我們?cè)趯?shí)際卻，將熱量導(dǎo)出流體。這也提醒我們?cè)趯?shí)際加工中，機(jī)筒內(nèi)物料的真實(shí)溫度要比加工設(shè)加工中，機(jī)筒內(nèi)物料的真實(shí)溫

39、度要比加工設(shè)備的設(shè)定溫度高許多，要注意防止物料備的設(shè)定溫度高許多，要注意防止物料“燒燒焦焦”。高分子材料流變學(xué)第五章 輸運(yùn)過程的基本方程及基本流動(dòng)形式464.4.平行板間的等溫拖曳流平行板間的等溫拖曳流 和管道中的壓力流和管道中的壓力流n5.2 圓形管道中的壓力流圓形管道中的壓力流 n管道中的壓力流存在于許多高分子流變測(cè)量管道中的壓力流存在于許多高分子流變測(cè)量儀器和高分子材料加工過程中，比如毛細(xì)管儀器和高分子材料加工過程中，比如毛細(xì)管流變儀、熔融指數(shù)儀、擠出機(jī)口模、注射模流變儀、熔融指數(shù)儀、擠出機(jī)口模、注射模具流道中。按管道截面形狀不同，又分為圓具流道中。按管道截面形狀不同，又分為圓形管道，矩

40、形管道，異形流道等多種。物料形管道，矩形管道，異形流道等多種。物料在管中流動(dòng)，是因?yàn)楣艿纼啥舜嬖趬毫Σ?，在管中流?dòng)，是因?yàn)楣艿纼啥舜嬖趬毫Σ?，因此稱壓力流。又稱因此稱壓力流。又稱Poiseuille流動(dòng)?，F(xiàn)在流動(dòng)。現(xiàn)在以圓形管道為例，討論流體在壓力作用下的以圓形管道為例，討論流體在壓力作用下的流動(dòng)情況。流動(dòng)情況。高分子材料流變學(xué)第五章 輸運(yùn)過程的基本方程及基本流動(dòng)形式474.4.平行板間的等溫拖曳流平行板間的等溫拖曳流 和管道中的壓力流和管道中的壓力流n設(shè)管道內(nèi)徑為設(shè)管道內(nèi)徑為R R，長，長度為度為L L，在管道內(nèi)取，在管道內(nèi)取柱坐標(biāo)系（柱坐標(biāo)系（r r，z z）如圖如圖5-65-6所示。物料

41、所示。物料沿沿z z方向流動(dòng)，在不方向流動(dòng)，在不同半徑同半徑r r處物料流速處物料流速不等，故不等，故r r方向?yàn)樗俜较驗(yàn)樗俣忍荻确较颍欢忍荻确较?；方向方向?yàn)橹行苑较?。為中性方向。高分子材料流變學(xué)第五章 輸運(yùn)過程的基本方程及基本流動(dòng)形式484.4.平行板間的等溫拖曳流平行板間的等溫拖曳流 和管道中的壓力流和管道中的壓力流n同樣，對(duì)流動(dòng)情況作適當(dāng)?shù)暮喕俣ǎ和瑯樱瑢?duì)流動(dòng)情況作適當(dāng)?shù)暮喕俣ǎ簄1)設(shè)物料為不可壓縮的遵循冪律方程的非牛設(shè)物料為不可壓縮的遵循冪律方程的非牛頓型粘性流體。頓型粘性流體。n2)設(shè)管徑設(shè)管徑R管長管長L；流速只有；流速只有z分量分量vz不等不等于零，于零，vz也只有沿也只有

42、沿r方向的速度梯度分量方向的速度梯度分量n 不等于零。物料在管壁無滑移。偏應(yīng)力不等于零。物料在管壁無滑移。偏應(yīng)力張量中只有張量中只有 。0rzzrrvz高分子材料流變學(xué)第五章 輸運(yùn)過程的基本方程及基本流動(dòng)形式494.4.平行板間的等溫拖曳流平行板間的等溫拖曳流 和管道中的壓力流和管道中的壓力流n3)3)管壁溫度為恒溫管壁溫度為恒溫T TW W ；流體與外界的熱交換；流體與外界的熱交換只通過管壁進(jìn)行，即熱流矢量只有只通過管壁進(jìn)行，即熱流矢量只有q q r r分量分量不等于零。溫度場(chǎng)不隨時(shí)間變化。不等于零。溫度場(chǎng)不隨時(shí)間變化。n4)4)設(shè)流體內(nèi)壓力設(shè)流體內(nèi)壓力p p沿沿z z方向有梯度，壓力梯度方

43、向有梯度，壓力梯度n n 為常數(shù)。重力和慣性力忽略不計(jì)。為常數(shù)。重力和慣性力忽略不計(jì)。zp高分子材料流變學(xué)第五章 輸運(yùn)過程的基本方程及基本流動(dòng)形式504.4.平行板間的等溫拖曳流平行板間的等溫拖曳流 和管道中的壓力流和管道中的壓力流n由此可以得到輸運(yùn)過程基本方程的簡化形式。由此可以得到輸運(yùn)過程基本方程的簡化形式。n注意本例中我們采用的是柱坐標(biāo)系，由于坐注意本例中我們采用的是柱坐標(biāo)系，由于坐標(biāo)基矢量的不同，輸運(yùn)過程基本方程的顯式標(biāo)基矢量的不同，輸運(yùn)過程基本方程的顯式在不同坐標(biāo)系中也不相同。具體到本例中，在不同坐標(biāo)系中也不相同。具體到本例中，其簡化形式為：其簡化形式為：高分子材料流變學(xué)第五章 輸運(yùn)

44、過程的基本方程及基本流動(dòng)形式514.4.平行板間的等溫拖曳流平行板間的等溫拖曳流 和管道中的壓力流和管道中的壓力流n連續(xù)性方程：連續(xù)性方程： （5-49）n n運(yùn)動(dòng)方程：運(yùn)動(dòng)方程： z方向方向 （5-50）n n能量方程：能量方程： （5-51）n其中熱流矢量等于其中熱流矢量等于 （5-52）0zvzrzrrrzp101rvrqrrzrzrrTkqr高分子材料流變學(xué)第五章 輸運(yùn)過程的基本方程及基本流動(dòng)形式524.4.平行板間的等溫拖曳流平行板間的等溫拖曳流 和管道中的壓力流和管道中的壓力流n 同樣引入所研究的流體對(duì)象同樣引入所研究的流體對(duì)象冪律流體的本構(gòu)方冪律流體的本構(gòu)方程：程：n （5-53

45、）n和邊界條件。和邊界條件。n在本問題中，邊界條件為：在本問題中，邊界條件為：n n （5-54）nzrzrvKWRrRrzTTv00000rrzrTrv高分子材料流變學(xué)第五章 輸運(yùn)過程的基本方程及基本流動(dòng)形式534.4.平行板間的等溫拖曳流平行板間的等溫拖曳流 和管道中的壓力流和管道中的壓力流n解上述方程定解問題，得到冪律流體流過圓管的壓力解上述方程定解問題，得到冪律流體流過圓管的壓力 流場(chǎng)中的速度分布和溫度分布：流場(chǎng)中的速度分布和溫度分布： n （5-555-55）n n n （5-565-56）n式中：式中：k k為流體的導(dǎo)熱系數(shù)，為流體的導(dǎo)熱系數(shù)，K K為冪律方程的系數(shù)，為冪律方程的系數(shù)，n n為為非牛頓指數(shù)。（非牛頓指數(shù)。（5-555-55） nnnnnnzRrRnnzpKv11111121nnnnnnnWRrRnnzpKkTT1313211113411高分子材料流變學(xué)第五章 輸運(yùn)過程的基本方程及基本流動(dòng)形式544.4.平行板間的等溫拖曳流平行板間的等溫拖曳流 和管道中的壓力流和管道中的壓力流n式中出現(xiàn)負(fù)號(hào)的意義是物料總是沿著壓力下式中出現(xiàn)負(fù)號(hào)的意義是物料總是沿著壓力下降方向流動(dòng)。降方向流動(dòng)。n討論：首先