圖像的幾何變換

1、像素的空間關(guān)系圖像由基本單元-像素組成像素在圖像空間按照某種規(guī)律排列，相互之間有一定聯(lián)系像素有一定的空間位置空間變換-從一個空間到另一個空間坐標變換-從空間一個位置轉(zhuǎn)換到另外一個位置內(nèi)容：像素間的聯(lián)系；基本坐標變換；幾何失真校正數(shù)字圖象處理數(shù)字圖象處理數(shù)字圖象處理像素的空間關(guān)系-像素的鄰域鄰域和鄰接對于任意像素(i,j),把像素的集合(i+p,j+q)叫像素 (i,j)的鄰域，像素(i,j)附近的像素形成的區(qū)域，常用4鄰域、對角鄰域、8鄰域。數(shù)字圖象處理數(shù)字圖象處理數(shù)字圖象處理p3p2p1p4pp0p5P6p7像素的空間關(guān)系-像素的鄰域4鄰域與4鄰接上、下、左、右四個像素p0,p2,p4,p6

2、稱為p的4鄰域；互為4鄰接的兩像素叫4鄰接。數(shù)字圖象處理數(shù)字圖象處理數(shù)字圖象處理p3p2p1p4i,jp0p5P6p7像素的空間關(guān)系-像素的鄰域?qū)青徲蚺c對角鄰接右上、左上、右下、左下四個像素p1,p3,p5,p7稱為p的對角鄰域；互為對角鄰接的兩像素叫對角鄰接。數(shù)字圖象處理數(shù)字圖象處理數(shù)字圖象處理p3p2p1p4i,jp0p5P6p7像素的空間關(guān)系-像素的鄰域8鄰域與8鄰接上下左右4個像素和四個對角線像素p0p7為8鄰域；互為8鄰接的兩像素叫8鄰接數(shù)字圖象處理數(shù)字圖象處理數(shù)字圖象處理p3p2p1p4i,jp0p5P6p7像素的空間關(guān)系-連接和連通鄰接-考慮像素的空間關(guān)系連接-1、空間上是否接

3、觸 2、灰度是否滿足特定相似準則V表示連接的灰度值集合V=14連接、8連接、混合連接011010011數(shù)字圖象處理數(shù)字圖象處理數(shù)字圖象處理01101000101101001像素的空間關(guān)系-連接和連通連通-從像素坐標（x,y）p到像素坐標（s,t）q的一條通路由一系列具有坐標（x0,y0）（xi，yi）(xn,yn)的獨立像素組成。 1=I 0變化的過程就表示了標準坐標系中的一個點沿直線變化的過程就表示了標準坐標系中的一個點沿直線 ax+by=0 逐漸走向無窮遠處的過程。逐漸走向無窮遠處的過程。例點S(60 000， 40 000)在16位計算機上表示則大于32 767的最大坐標值， 需要進行復

4、雜的操作。但如果把S的坐標形式變成（Hx, Hy, H）形式的齊次坐標，則情況就不同了。在齊次坐標系中，設H12，則 (60 000，40 000)的齊次坐標為(1x/2, 1y/2, 1/2)，那么所要表示的點變?yōu)?30 000, 20 000, 1/2)，此點在16位計算機上二進制數(shù)所能表示的范圍之內(nèi)。像素的空間關(guān)系-幾何變換基礎 齊次坐標齊次坐標 現(xiàn)設點P0(x0, y0)進行平移后，移到P(x, y)，其中x方向的平移量為x，y方向的平移量為y。那么，點P(x, y)的坐標為 yyyxxx00如圖下所示。這個變換用矩陣的形式可以表示為 yxyxyx001001像素的空間關(guān)系-幾何變換基

5、礎 Oyxy0yxx0P0(x0 , y0)P(x , y)點的平移像素的空間關(guān)系-幾何變換基礎 而平面上點的變換矩陣 中沒有引入平移常量，無論a、b、c、d取什么值，都不能實現(xiàn)上述的平移變換。因此，需要使用23階變換矩陣，取其形式為 dcbaTyxT1001此矩陣的第一、二列構(gòu)成單位矩陣，第三列元素為平移常量。由上述可知，對2D圖像進行變換，只需要將圖像的點集矩陣乘以變換矩陣即可，2D圖像對應的點集矩陣是2n階的，而上式擴展后的變換矩陣是23階的矩陣，這不符合矩陣相乘時要求前者的列數(shù)與后者的行數(shù)相等的規(guī)則。像素的空間關(guān)系-幾何變換基礎 所以需要在點的坐標列矩陣x yT中引入第三個元素，增加一

6、個附加坐標，擴展為31的列矩陣x y 1T，這樣用三維空間點（x, y, 1）表示二維空間點（x, y），即采用一種特殊的坐標，可以實現(xiàn)平移變換，變換結(jié)果為 yxyyxxyxyxPTP0000011001式符合上述平移后的坐標位置。通常將23階矩陣擴充為33階矩陣，以拓寬功能。由此可得平移變換矩陣為 yxT1001yyyxxx00像素的空間關(guān)系-幾何變換基礎 111100100100000yxyyxxyxyxPTP 下面再驗證一下點P (x, y)按照33的變換矩陣T平移變換的結(jié)果 從上式可以看出，引入附加坐標后，擴充了矩陣的第3行， 并沒有使變換結(jié)果受到影響。這種用n1維向量表示n維向量的方

7、法稱為齊次坐標表示法。 像素的空間關(guān)系-幾何變換基礎 因此，2D圖像中的點坐標(x, y)通常表示成齊次坐標（Hx, Hy, H），其中H表示非零的任意實數(shù)，當H1時，則(x, y, 1)就稱為點(x, y)的規(guī)范化齊次坐標。顯然規(guī)范化齊次坐標的前兩個數(shù)是相應二維點的坐標， 沒有變化，僅在原坐標中增加了H1的附加坐標。 由點的齊次坐標（Hx, Hy, H）求點的規(guī)范化齊次坐標(x, y, 1)，可按如下公式進行： HHyyHHxx像素的空間關(guān)系-幾何變換基礎 齊次坐標的幾何意義相當于點(x, y)落在3D空間H1的平面上， 如圖所示。如果將XOY 平面內(nèi)的三角形abc 的各頂點表示成齊次坐標(

8、xi, yi, 1)(i=1, 2, 3)的形式，就變成H1平面內(nèi)的三角形a1b1c1的各頂點。 zxyOabca1b1c1H1齊次坐標的幾何意義齊次坐標的幾何意義像素的空間關(guān)系-幾何變換基礎 齊次坐標在2D圖像幾何變換中的另一個應用是：如某點S(60 000， 40 000)在16位計算機上表示則大于32 767的最大坐標值， 需要進行復雜的操作。但如果把S的坐標形式變成（Hx, Hy, H）形式的齊次坐標，則情況就不同了。在齊次坐標系中，設H12，則 (60 000，40 000)的齊次坐標為(x/2, y/2, 1/2)，那么所要表示的點變?yōu)?30 000, 20 000, 1/2)，此

9、點顯然在16位計算機上二進制數(shù)所能表示的范圍之內(nèi)。 因此，采用齊次坐標，并將變換矩陣改成33階的形式后， 便可實現(xiàn)所有2D圖像幾何變換的基本變換。 像素的空間關(guān)系-幾何變換基礎 二維圖像幾何變換的矩陣二維圖像幾何變換的矩陣 利用齊次坐標及改成33階形式的變換矩陣，實現(xiàn)2D圖像幾何變換的基本變換的一般過程是：將2n階的二維點集矩陣 表示成齊次坐標的形式，然后乘以相應的變換矩陣即可完成，即 變換后的點集矩陣=變換矩陣T變換前的點集矩陣（圖像上各點的新齊次坐標） （圖像上各點的原齊次坐標）niiyx200niiyx3001像素的空間關(guān)系-幾何變換基礎 設變換矩陣T為 smlqdcpbaT則上述變換可

10、以用公式表示為 nnnnnnyyyxxxTHHHHyHyHyHxHxHx3212132121111像素的空間關(guān)系-幾何變換基礎 圖像上各點的新齊次坐標規(guī)范化后的點集矩陣為 nnnyyyxxx32121111 引入齊次坐標后，表示2D圖像幾何變換的33矩陣的功能就完善了，可以用它完成2D圖像的各種幾何變換。下面討論33階變換矩陣中各元素在變換中的功能。幾何變換的33矩陣的一般形式為 像素的空間關(guān)系-幾何變換基礎 syxyxsiiii10001000100將齊次坐標 規(guī)范化后， 。由此可見， 當s1時，圖像按比例縮??；當0s1時，整個圖像按比例放大；當s1時，圖像大小不變。 syxii1100ii

11、iiyxsysx像素的空間關(guān)系-幾何變換基礎 圖像比例縮放變換圖像比例縮放變換 圖像比例縮放是指將給定的圖像在x軸方向按比例縮放fx倍， 在y軸方向按比例縮放fy倍，從而獲得一幅新的圖像。如果fxfy， 即在x軸方向和y軸方向縮放的比率相同，稱這樣的比例縮放為圖像的全比例縮放。如果fxfy，圖像的比例縮放會改變原始圖像的像素間的相對位置，產(chǎn)生幾何畸變。設原圖像中的點P0(x0,y0)比例縮放后，在新圖像中的對應點為P(x, y)，則P0(x0,y0)和P(x, y)之間的對應關(guān)系如圖6-3所示。 像素的空間關(guān)系-幾何變換基礎 放大后縮放前xy(x , y)(x0 , y0)O圖6-3 比例縮放

12、像素的空間關(guān)系-幾何變換基礎 比例縮放前后兩點P0(x0, y0)、P(x, y)之間的關(guān)系用矩陣形式可以表示為 10000000100yxfxfxyx（6-1） 公式（6-1）的逆運算為 110001000110000yxfxfxyx像素的空間關(guān)系-幾何變換基礎 即 fyyyfxxx00 比例縮放所產(chǎn)生的圖像中的像素可能在原圖像中找不到相應的像素點，這樣就必須進行插值處理。插值處理常用的方法有兩種， 一種是直接賦值為和它最相近的像素值， 另一種是通過一些插值算法來計算相應的像素值。前一種方法計算簡單， 但會出現(xiàn)馬賽克現(xiàn)象；后者處理效果要好些，但是運算量也相應增加。在下面的算法中直接采用了前一

13、種做法。實際上，這也是一種插值算法， 稱為最鄰近插值法（Nearest Neighbor Interpolation）。 像素的空間關(guān)系-幾何變換基礎 下面首先討論圖像的比例縮小。最簡單的比例縮小是當 fx=fy=12時，圖像被縮到一半大小，此時縮小后圖像中的(0， 0)像素對應于原圖像中的(0， 0)像素； (0， 1)像素對應于原圖像中的(0， 2)像素； (1， 0)像素對應于原圖像中的(2， 0)像素， 依此類推。圖像縮小之后，因為承載的信息量小了，所以畫布可相應縮小。此時， 只需在原圖像基礎上，每行隔一個像素取一點，每隔一行進行操作，即取原圖的偶（奇）數(shù)行和偶（奇）數(shù)列構(gòu)成新的圖像，

14、如圖6-4所示。如果圖像按任意比例縮小， 則需要計算選擇的行和列。 像素的空間關(guān)系-幾何變換基礎 圖6-4 圖像縮小一半像素的空間關(guān)系-幾何變換基礎 如果MN大小的原圖像F(x，y)縮小為 kMkN大?。╧1）的新圖像I(x，y)時，則I(x, y)=F(int(cx), int(cy)其中， c=1k。由此公式可以構(gòu)造出新圖像，如圖6-5所示。 k1/3圖6-5 圖像按任意比例縮小像素的空間關(guān)系-幾何變換基礎 當fxfy(fx, fy0)時，圖像不按比例縮小，這種操作因為在x方向和y方向的縮小比例不同，一定會帶來圖像的幾何畸變。圖像不按比例縮小的方法是： 如果MN大小的舊圖F(x，y)縮小為

15、k1Mk2N（k11，k21）大小的新圖像I(x，y)時，則 I(x, y)=F(int(c1x), int(c2y) 其中 2211,1kckc由此公式可以構(gòu)造出新圖像。 像素的空間關(guān)系-幾何變換基礎 圖像在縮小操作中，是在現(xiàn)有的信息里如何挑選所需要的有用信息。而在圖像的放大操作中，則需要對尺寸放大后所多出來的空格填入適當?shù)南袼刂?，這是信息的估計問題，所以較圖像的縮小要難一些。當fxfy2時，圖像被按全比例放大2倍， 放大后圖像中的(0，0)像素對應于原圖中的(0，0)像素；(0，1)像素對應于原圖中的(0，0.5)像素，該像素不存在，可以近似為(0，0)也可以近似 (0，1)； (0，2)

16、像素對應于原圖像中的(0，1)像素；(1，0)像素對應于原圖中的(0.5，0)，它的像素值近似于(0， 0)或(1，0)像素； (2，0)像素對應于原圖中的(1，0)像素，依此類推。其實這是將原圖像每行中的像素重復取值一遍，然后每行重復一次。圖6-6是原始圖像，圖6-7和圖6-8是分別采用上述兩種近似方法放大后的圖像。 像素的空間關(guān)系-幾何變換基礎 圖6-6 放大前的圖像 像素的空間關(guān)系-幾何變換基礎 圖6-7 按最近鄰域法放大兩倍的圖像 圖6-9 按最近鄰域法放大五倍的圖像 放大5倍像素的空間關(guān)系-幾何變換基礎 按比例將原圖像放大k倍時，如果按照最近鄰域法則需要將一個像素值添在新圖像的kk的

17、子塊中，如圖6-9所示。顯然，如果放大倍數(shù)太大， 按照這種方法處理會出現(xiàn)馬賽克效應。 一般地，當fxfy(fx, fy0)時，圖像在x方向和y方向不按比例放大， 此時， 這種操作由于x方向和y方向的放大倍數(shù)不同，一定帶來圖像的幾何畸變。放大的方法是將原圖像的一個像素添到新圖像的一個k1k2的子塊中去。為了提高幾何變換后的圖像質(zhì)量， 常采用線性插值法。該方法的原理是，當求出的分數(shù)地址與像素點不一致時，求出周圍四個像素點的距離比，根據(jù)該比率， 由四個鄰域的像素灰度值進行線性插值， 如圖6-10所示。 像素的空間關(guān)系-幾何變換基礎 圖6-10 線性插值法示意圖 (x , y)(x , y1)(x1

18、, y)x , y(x1 , y1)p1 p1 qq像素的空間關(guān)系-幾何變換基礎 簡化后的灰度值計算式如下:g（x，y）=（1-q）（1-p）g（x，y）+pg（x+1，y） +q（1-p）g（x，y+1）+pg（x+1，y+1） 圖像平移變換圖像平移變換 x2 , y1圖6-12 圖像平移像素的空間關(guān)系-幾何變換基礎 設點P0(x0, y0)進行平移后，移到P(x, y)，其中x方向的平移量為x，y方向的平移量為y。那么，點P(x, y)的坐標為 yyyxxx00 利用齊次坐標，變換前后圖像上的點P0(x0, y0)和P(x, y)之間的關(guān)系可以用如下的矩陣變換表示為 11001001100

19、yxyxyx（6-2）像素的空間關(guān)系-幾何變換基礎 對變換矩陣求逆，可以得到式（6-2）的逆變換 11001001100yxyxyx即 yyyxxx00像素的空間關(guān)系-幾何變換基礎 對于平移后不在原圖像中的點，可以直接將它的像素值統(tǒng)一設置為0或者255（對于灰度圖就是黑色或白色）。同樣，若有像素點不在原圖像中，也就說明原圖像中有點被移出顯示區(qū)域。如果不想丟失被移出的部分圖像，可以將新生成的圖像寬度擴大|x|， 高度擴大|y|。 像素的空間關(guān)系-幾何變換基礎 圖6-13 平移前的圖像 圖6-14 平移后的圖像 圖6-15 平移擴大后的圖像 圖像鏡像變換圖像鏡像變換 圖像的鏡像變換不改變圖像的形狀

20、。圖像的鏡像(Mirror)變換分為兩種：一種是水平鏡像，另外一種是垂直鏡像。圖像的水平鏡像操作是將圖像左半部分和右半部分以圖像垂直中軸線為中心進行鏡像對換；圖像的垂直鏡像操作是將圖像上半部分和下半部分以圖像水平中軸線為中心進行鏡像對換，如圖6-16所示。 像素的空間關(guān)系-幾何變換基礎 圖6-16 圖像的鏡像 水 平 鏡 像垂 直 鏡 像像素的空間關(guān)系-幾何變換基礎 圖像的鏡像變換也可以用矩陣變換表示。設點P0(x0, y0)進行鏡像后的對應點為P(x, y)，圖像高度為fHeight，寬度為fWidth， 原圖像中P0(x0, y0)經(jīng)過水平鏡像后坐標將變?yōu)椋╢Width-x0，y0）， 其

21、矩陣表達式為 110001001100yxfWidthyx(6-3)像素的空間關(guān)系-幾何變換基礎 逆運算矩陣表達式為 110001001100yxfWidthyx即 yyxfWidthx00像素的空間關(guān)系-幾何變換基礎 同樣， P0(x0, y0)經(jīng)過垂直鏡像后坐標將變?yōu)?x0，fHeight-y0)， 其矩陣表表達式為 110010001100yxfHeightyx(6-4)像素的空間關(guān)系-幾何變換基礎 逆運算矩陣表達式為 110010001100yxfHeightyx即 yfWidthyxx00像素的空間關(guān)系-幾何變換基礎 圖6-17 鏡像前的圖像 像素的空間關(guān)系-幾何變換基礎 圖6-18

22、 水平鏡像 圖6-19 垂直鏡像 圖像旋轉(zhuǎn)變換圖像旋轉(zhuǎn)變換一般圖像的旋轉(zhuǎn)是以圖像的中心為原點，將圖像上的所有像素都旋轉(zhuǎn)一個相同的角度。圖像的旋轉(zhuǎn)變換是圖像的位置變換，但旋轉(zhuǎn)后，圖像的大小一般會改變。和圖像平移一樣， 在圖像旋轉(zhuǎn)變換中既可以把轉(zhuǎn)出顯示區(qū)域的圖像截去， 也可以擴大圖像范圍以顯示所有的圖像。如圖6-20、 圖6-21所示。 像素的空間關(guān)系-幾何變換基礎 圖6-20 旋轉(zhuǎn)前的圖像 1243像素的空間關(guān)系-幾何變換基礎 1243圖6-21 旋轉(zhuǎn)后的圖像（擴大圖像、 轉(zhuǎn)出部分被截） 圖像的旋轉(zhuǎn)變換也可以用矩陣變換表示。設點P0(x0, y0)旋轉(zhuǎn)角后的對應點為P(x, y)， 如圖6-22

23、所示。那么， 旋轉(zhuǎn)前后點P0(x0, y0)、 P(x, y)的坐標分別是： 圖6-22 圖像旋轉(zhuǎn)角rrxy(x , y)(x0 , y0)O像素的空間關(guān)系-幾何變換基礎 cossinsincoscossin)sin(sincossinsincoscos)cos(sincos000000yxrrryyxrrrxryrx寫成矩陣表達式為 11000cossin0sincos100yxyx(6-5)像素的空間關(guān)系-幾何變換基礎 cossinsincoscossin)sin(sincossinsincoscos)cos(sincos000000yxrrryyxrrrxryrx其逆運算為其逆運算為 1

24、1000cossin0sincos100yxyx像素的空間關(guān)系-幾何變換基礎 圖6-23 圖像旋轉(zhuǎn)角 30像素的空間關(guān)系-幾何變換基礎 利用公式（6-5）進行圖像旋轉(zhuǎn)時需要注意如下兩點： （1） 圖像旋轉(zhuǎn)之前， 為了避免信息的丟失， 需坐標平移圖6-24 圖像旋轉(zhuǎn)之前進行的平移 xyyxOO像素的空間關(guān)系-幾何變換基礎 （2） 圖像旋轉(zhuǎn)之后，會出現(xiàn)許多空洞點， 如圖6-23所示。對這些空洞點必須進行填充處理，否則畫面效果不好，一般也稱這種操作為插值處理。最簡單的方法是行插值方法或列插值方法： 找出當前行的最小和最大的非白點的坐標，記作： (i, k1)、 (i, k2)。 在(k1, k2)范

25、圍內(nèi)進行插值，插值的方法是：空點的像素值等于前一點的像素值。 同樣的操作重復到所有行。經(jīng)過如上的插值處理之后， 圖像效果就變得自然。如圖6-25所示。列插值方法與此類同。像素的空間關(guān)系-幾何變換基礎 圖6-25 圖6-23中的圖像處理后的效果 像素的空間關(guān)系-幾何變換基礎 圖6-26 旋轉(zhuǎn)前的圖像 像素的空間關(guān)系-幾何變換基礎 圖6-27 旋轉(zhuǎn)15并進行插值處理的圖像 像素的空間關(guān)系-幾何變換基礎 圖6-28 被放大的旋轉(zhuǎn)前圖像 像素的空間關(guān)系-幾何變換基礎 6-29 旋轉(zhuǎn)30 并進行插值處理的放大圖像 像素的空間關(guān)系-幾何變換基礎 圖像復合變換圖像復合變換 圖像的復合變換是指對給定的圖像連續(xù)

26、施行若干次如前所述的平移、鏡像、比例、旋轉(zhuǎn)等基本變換后所完成的變換，圖像的復合變換又叫級聯(lián)變換。利用齊次坐標，對給定的圖像依次按一定順序連續(xù)施行若干次基本變換， 其變換的矩陣仍然可以用33階的矩陣表示，而且從數(shù)學上可以證明，復合變換的矩陣等于基本變換的矩陣按順序依次相乘得到的組合矩陣。設對給定的圖像依次進行了基本變換F1，F(xiàn)2，F(xiàn)N，它們的變換矩陣分別為T1，T2，TN，按照公式（6-1）（6-6）的表示形式，圖像復合變換的矩陣T可以表示為：T=TNTN-1T1。 像素的空間關(guān)系-幾何變換基礎 1. 復合平移復合平移 設某個圖像先平移到新的位置P1(x1, y1)后，再將圖像平移到P2(x2,

27、 y2)的位置，則復合平移矩陣為 1001001100100110010012121221121yyxxyxyxTTT 由此可見，盡管一些順序的平移，用到矩陣的乘法，但最后合成的平移矩陣，只需對平移常量作加法運算。 (6-7) 像素的空間關(guān)系-幾何變換基礎 2. 復合比例復合比例 同樣，對某個圖像連續(xù)進行比例變換，最后合成的復合比例矩陣，只要對比例常量作乘法運算即可。復合比例矩陣如下： 1000000100000010000002121221121ddaadadaTTT(6-8) 像素的空間關(guān)系-幾何變換基礎 3. 復合旋轉(zhuǎn)復合旋轉(zhuǎn) 類似地，對某個圖像連續(xù)進行旋轉(zhuǎn)變換，最后合成的旋轉(zhuǎn)變換矩陣等

28、于兩次旋轉(zhuǎn)角度的和，復合旋轉(zhuǎn)變換矩陣如下式所示： 1000)cos()sin(0)sin()cos(1000cossin0sincos1000cossin0sincos212121212222111121TTT(6-9) 像素的空間關(guān)系-幾何變換基礎 上述均為相對原點(圖像中央)作比例、旋轉(zhuǎn)等變換，如果要相對某一個參考點作變換，則要使用含有不同種基本變換的圖像復合變換。不同的復合變換， 其變換過程不同，但是無論它的變換過程多么復雜，都可以分解成一系列基本變換。相應地， 使用齊次坐標后，圖像復合變換的矩陣由一系列圖像基本幾何變換矩陣依次相乘而得到。下面通過一個例子討論含有不同種基本變換的圖像復合

29、變換。 像素的空間關(guān)系-幾何變換基礎 從6.2和6.5節(jié)的討論中可以看出，在進行圖像的比例縮放、 圖像的旋轉(zhuǎn)變換時，整個變換過程由兩部分組成，即需要兩個獨立的算法。首先，需要一個算法來完成幾何變換本身，用它描述每個像素如何從其初始位置移動到終止位置； 同時， 還需要一個用于灰度級插值的算法。這是因為，在一般情況下，原始（輸入）圖像的位置坐標(x, y)為整數(shù)， 而變換后（輸出）圖像的位置坐標為非整數(shù)， 即產(chǎn)生“空穴”， 反過來也是如此。因此，一般地，在進行圖像的幾何變換時， 除了要進行其本身的幾何變換外， 還要進行灰度級插值處理。 像素的空間關(guān)系-幾何變換基礎 灰度像素插值處理（兩種方法）：A

30、 像素移交把幾何變換想像成將輸入圖像的灰度一個個像素地轉(zhuǎn)移到輸出圖像中。 一個輸入像素被映射到四個輸出像素之間，則其灰度值按照插值法在四個像素之間分配。B 像素填充把幾何變換想像成輸出圖像的灰度一個像素地從到輸入圖像中找到對應的位置。 對應的位置落在四個像素之間，則其灰度由四個像素插值決定。 像素的空間關(guān)系-幾何變換基礎 圖6-30 灰度級插值處理（像素變換） 像素移交像素填充x0 x0f (x , y) , (x0 , y0)整型f (x , y) , (x0 , y0)非整型g(x , y) , (x , y)非整型g(x , y) , (x , y)整型yxxyy0y0像素的空間關(guān)系-幾

31、何變換基礎 在像素填充法中，變換后（輸出）圖像的像素通常被映射到原始（輸入）圖像中的非整數(shù)位置，即位于四個輸入像素之間。因此， 為了決定與該位置相對應的灰度值，必須進行插值運算。最簡單的插值方法是零階插值或稱為最近鄰插值，也叫最近鄰域法，參見本書6.2節(jié)。一階插值或稱雙線性插值法和零階插值法相比可產(chǎn)生更令人滿意的效果，只是程序稍復雜一些， 運行時間稍長一些。它的原理如圖6-10和圖6-31所示， 插值計算公式參見6.2.1中的公式（6-2）。像素的空間關(guān)系-幾何變換基礎 像素的空間關(guān)系-幾何失真校正最鄰近像元法將距離最近的鄰點灰度賦給待求像素。雙線性內(nèi)插-原圖像坐標為 (X0,Y0)，它的輸出

32、圖像坐標變換求得的(X,Y)，但在 不是整數(shù)時，就要用周圍點內(nèi)插出其值。雙線性內(nèi)插是當變換后坐標(x,y)不在網(wǎng)格點上，則可用與之相鄰的四個整數(shù)位置上的像素灰度進行插值（或代替），比如用最接近像素代替。線性內(nèi)插具有低通性質(zhì)，使高頻信息受損，圖像模糊。 數(shù)字圖象處理數(shù)字圖象處理數(shù)字圖象處理圖6-31 雙線性插值 插值點f (0 , 0)f (0 , 1)f (1 , 0)f (x , y) (x , 0)(x , y)(0 , y)(0 , 1)y(0 , 0)f (1 , 1)(1 , 1)(x , 1)x(1 , 0)像素的空間關(guān)系-幾何變換基礎 在這里還要說明一點，為了提高雙線性插值的速度

33、，雙線性插值也可以分解為三個線性插值來實現(xiàn)，公式如下： f(x, 0)=f(0, 0)+xf(1, 0)-f(0, 0) f(x, 1)=f(0, 1)+xf(1, 1)-f(0, 1) (6-10) f(x, y)=f(x, 0)+yf(x, 1)-f(x, 0) 因為公式(6-2)需要用到四次乘法、八次加(或減)法運算，而公式(6-10)表示的第二種方法只需要三次乘法和六次加 (或減)法， 所以幾何變換程序一般選擇后者。像素的空間關(guān)系-幾何變換基礎 在幾何運算中，雙線性灰度插值的平滑作用可能會使圖像的細節(jié)產(chǎn)生退化，尤其是在進行放大處理時，這種影響將更為明顯。而在其他應用中， 雙線性插值的斜

34、率不連續(xù)性會產(chǎn)生不希望得到的結(jié)果。這兩種情況都可以通過高階插值得到修正， 當然這需要增加計算量。使用高階插值函數(shù)的例子有：三次樣條、 Legendre中心函數(shù)和sin(x)/函數(shù)(即sin(x)函數(shù))。高階插值常用卷積來實現(xiàn)。 像素的空間關(guān)系-幾何變換基礎 像素的空間關(guān)系-幾何失真校正幾何畸變校正 三次卷積法（如果在變換后的坐標附近能找到16個鄰點，則可采用此法）數(shù)字圖象處理數(shù)字圖象處理數(shù)字圖象處理圖像復合變換的示例圖像復合變換的示例P128 圖6-32 坐標系的平移 OxyOyx(x , y)(a , b)ba像素的空間關(guān)系-幾何變換基礎 兩個坐標系之間的坐標變換矩陣表達式為： 110010

35、011IIyxbayx它的逆變換矩陣表達式是： 110010011yxbayxII像素的空間關(guān)系-幾何變換基礎 為了推導公式簡單起見，假設圖像未旋轉(zhuǎn)時中心坐標為(a， b)，旋轉(zhuǎn)后中心坐標為 (c，d) (在新的坐標系下旋轉(zhuǎn)后新圖像左上角為原點)， 則旋轉(zhuǎn)變換矩陣表達式為 110010011000cossin0sincos100100111000cossin0sincos100100111001001100yxbadcyxdcyxdcyx(6-11)像素的空間關(guān)系-幾何變換基礎 其逆變換表達式為 110010010000cossin0sincos1001001100yxdcbayx(6-12)

36、即 1100cossincossinsincossincos100yxbdcadcyx(6-13)像素的空間關(guān)系-幾何變換基礎 因此 bdcyxyadcyxxcossincossinsincossincos00(6-14) 公式（6-10）說明繞任意點（a, b）旋轉(zhuǎn)的幾何變換是由平移旋轉(zhuǎn)平移三個基本變換所構(gòu)成，即先將坐標系平移到點（a, b）， 再進行旋轉(zhuǎn)，然后將旋轉(zhuǎn)后的圖像平移回原來的坐標原點。 像素的空間關(guān)系-幾何變換基礎 利用上面的轉(zhuǎn)換公式（6-12）（6-14），就可以比較方便地編寫出實現(xiàn)圖像旋轉(zhuǎn)的VC+函數(shù)。首先應計算出公式中需要的幾個參數(shù)：a，b，c，d和旋轉(zhuǎn)后新圖像的高、寬度。

37、現(xiàn)在已知圖像的原始寬度為lWidth，高度為lHeight，以圖像中心為坐標系原點，則原始圖像四個角的坐標分別為 21,21,21,2121,21,21,21lHeightlWidthlHeightlWidthlHeightlWidthlHeightlWidth像素的空間關(guān)系-幾何變換基礎 按照旋轉(zhuǎn)公式（6-11）（6-14），在旋轉(zhuǎn)后的新圖像中，這四個點坐標為 cos21sin21,sin21cos21)4, 4(cos21sin21,sin21cos21) 3, 3(cos21sin21,sin21cos21)2, 2(cos21sin21,sin21cos21) 1, 1(lHeight

38、lWidthlHeightlWidthfDstYfDstXlHeightlWidthlHeightlWidthfDstYfDstXlHeightlWidthlHeightlWidthfDstYfDstXlHeightlWidthlHeightlWidthfDstYfDstX像素的空間關(guān)系-幾何變換基礎 則新圖像的寬度lNewWidth和高度lNewHeight為lNewWidth=max(fDstX4-fDstY1, fDstX3-fDstY2)lNewHeight=max(fDstX4-fDstY1, fDstX3-fDstY2 ) 如果令 bdcfadcfcossinsincos21(6-

39、15) 由已知及假設 21,21,21,21lNewHeightdlNewWidthclHeightblWidtha由公式（6-13）得 2010cossinsincosfyxyfyxx(6-16) 公式（6-16）、（6-17）便是圖像繞任意點（a，b）旋轉(zhuǎn)的變換公式，由此便可以編寫出實現(xiàn)該變換的VC+程序。事實上，只要先按上述公式計算出旋轉(zhuǎn)后新圖像的高度和寬度以及常數(shù)f1和f2，并按照公式（6-17）計算出變換后圖像上的點(i0, j0)： / 計算該像素在源DIB中的坐標 i0 =(float) j) * f sina + (float) i) * f cosa + f2; j0 = (float) j) * f cosa + (float) i) * f sina + f1;6.7 透透 視視 變變 換換 6.7.1 透視變換透視變換 把三維物體或?qū)ο筠D(zhuǎn)變?yōu)槎S圖形表示的過程稱為投影變換。根據(jù)視點（投影中心）與投影平面之間距離的不同，投影可分為平行投影和透視投影，透視投影即透視變換。平行投影的視點與投影平面之間的距離為無窮大， 而對透視