第二章 自動(dòng)控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型(工碩)

1、1A)(sR)(sC1G2G3G4G3H1H2H2第一節(jié)第一節(jié) 列寫系統(tǒng)微分方程式的一般方法列寫系統(tǒng)微分方程式的一般方法第二節(jié)第二節(jié) 非線性數(shù)學(xué)模型的線性化非線性數(shù)學(xué)模型的線性化第三節(jié)第三節(jié) 傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)第四節(jié)第四節(jié) 系統(tǒng)框圖及其等效變換系統(tǒng)框圖及其等效變換第五第五節(jié)節(jié) 控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)第六第六節(jié)節(jié) 信號(hào)流圖和梅遜公式的應(yīng)用信號(hào)流圖和梅遜公式的應(yīng)用34狀態(tài)變量描述狀態(tài)變量描述數(shù)學(xué)模型傳傳遞遞函函數(shù)數(shù)頻頻率率特特性性微微分分方方程程三種數(shù)學(xué)模型之三種數(shù)學(xué)模型之間有何關(guān)系？間有何關(guān)系？輸入輸出描述輸入輸出描述5系統(tǒng)系統(tǒng) 微分方程微分方程拉氏變換拉氏變換傅氏變換傅氏變換三種數(shù)

2、學(xué)模型之間關(guān)系三種數(shù)學(xué)模型之間關(guān)系傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)頻率特性頻率特性Sj 6 在實(shí)際工作中，這兩種方法是相輔相成的，由于機(jī)在實(shí)際工作中，這兩種方法是相輔相成的，由于機(jī)理分析法是基本的常用方法，本章著重討論這種方法。理分析法是基本的常用方法，本章著重討論這種方法。如何建立微如何建立微分方程分方程 ？78例例2-1 列寫列寫RLC circuit的微分方程的微分方程 顯然，這是一個(gè)顯然，這是一個(gè)二階二階線性線性常常微分方程微分方程。 輸入量為電壓輸入量為電壓ur(t) 輸出量為電壓輸出量為電壓uc(t)9ua(t)為輸入量，為輸入量， m為輸出量為輸出量 meaaaaactiRdttdiLtu)()

3、()(電動(dòng)機(jī)軸上的轉(zhuǎn)矩平衡方程電動(dòng)機(jī)軸上的轉(zhuǎn)矩平衡方程)()(tiCtMamm)()()()(tMtMtfdttdJcmmmmm)()()()()()()()(22tMRdttdMLtuCtCCfRdttdJRfLdttdJLcacaammemmammamamma顯然，顯然，這是這是也一個(gè)也一個(gè)二階二階線性常微分方程線性常微分方程。 電樞回路電壓平衡方程電樞回路電壓平衡方程電磁轉(zhuǎn)矩方程電磁轉(zhuǎn)矩方程10m mF F( (t t) )k kf fY Y( (t t) )22)()()()(dttydmdttdyftkytFmFf阻阻尼尼器器的的阻阻力力Ff阻阻尼尼器器的的阻阻力力Fk(彈彈簧簧的的

4、拉拉力力)Fk(彈彈簧簧的的拉拉力力)F(t)外外力力F(t)外外力力同樣同樣，這也是一個(gè)，這也是一個(gè)二階線性常微分方程二階線性常微分方程。 相似原理相似原理看似完全不同的系統(tǒng)，具有相同的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，可用看似完全不同的系統(tǒng)，具有相同的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，可用相同的數(shù)學(xué)模型來描述相同的數(shù)學(xué)模型來描述。11+1K2K功率放大+-m負(fù)載gu2R1R1R2Rau1RfuC2u1uMTG 先將系統(tǒng)先將系統(tǒng)分解分解為若干環(huán)節(jié)，為若干環(huán)節(jié)，分別分別寫出各環(huán)節(jié)的微分寫出各環(huán)節(jié)的微分方程，方程，消去消去中間變量，最后得出系統(tǒng)的微分方程。中間變量，最后得出系統(tǒng)的微分方程。12 嚴(yán)格地說，實(shí)際物理元件或系統(tǒng)都是非嚴(yán)格地說，實(shí)際

5、物理元件或系統(tǒng)都是非線性的。線性的。 非線性微分方程的求解很困難，沒有通非線性微分方程的求解很困難，沒有通用的解析求解方法用的解析求解方法 。 一定一定的條件下將非線性方程的條件下將非線性方程近似近似處理為處理為線性微分方程，可以使系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性的分線性微分方程，可以使系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性的分析大為簡(jiǎn)化。析大為簡(jiǎn)化。13控制系統(tǒng)都有一個(gè)平衡的工作狀態(tài)以及與之相控制系統(tǒng)都有一個(gè)平衡的工作狀態(tài)以及與之相對(duì)應(yīng)的對(duì)應(yīng)的工作點(diǎn)工作點(diǎn)。一個(gè)基本假設(shè)一個(gè)基本假設(shè)：在平衡點(diǎn)附近作微小變化。在平衡點(diǎn)附近作微小變化。 在給定工作點(diǎn)的在給定工作點(diǎn)的鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)將非線性函數(shù)將非線性函數(shù)展開為展開為泰勒級(jí)數(shù)泰勒級(jí)數(shù)。當(dāng)偏差范

6、圍很小時(shí)，可以。當(dāng)偏差范圍很小時(shí)，可以忽略忽略二二次次以以上上項(xiàng)。這種線性化方法稱為項(xiàng)。這種線性化方法稱為小偏差線性化方法小偏差線性化方法。14這就是非線性元件的線性化數(shù)學(xué)模型。這就是非線性元件的線性化數(shù)學(xué)模型。202200)(! 21)()(00 xxdxydxxdxdyyxfyxxxky0yyy0 xxx0 xdxdyk 給定給定A(x0，y0)為平衡點(diǎn)，非線性函數(shù)為平衡點(diǎn)，非線性函數(shù)y=f(x)在平衡點(diǎn)在平衡點(diǎn)A處處連續(xù)可微連續(xù)可微，則可將函數(shù)，則可將函數(shù) y=f(x) 在平衡點(diǎn)附近展開成泰勒級(jí)數(shù)在平衡點(diǎn)附近展開成泰勒級(jí)數(shù)忽略二次以上的各項(xiàng)，上式可以寫成忽略二次以上的各項(xiàng)，上式可以寫成

7、)(000 xxdxdyyyx注意：注意：某些嚴(yán)重的非線性，不能作線性化處理某些嚴(yán)重的非線性，不能作線性化處理拉氏變換復(fù)習(xí)拉氏變換復(fù)習(xí)1.定義：設(shè)函數(shù)定義：設(shè)函數(shù)f(t)當(dāng)當(dāng)t=0時(shí)有定義，而且積分時(shí)有定義，而且積分 存在，則稱存在，則稱F(s)是是f(t)的拉普拉斯變換。的拉普拉斯變換。 簡(jiǎn)稱拉氏變換。記為簡(jiǎn)稱拉氏變換。記為f(t)稱為稱為 F(s)的拉氏逆變換。記為：的拉氏逆變換。記為：0)()(dtetfsFst)()(tfLsF)()(1sFLtf2.幾個(gè)重要的拉氏變換幾個(gè)重要的拉氏變換1F(s)f(t)F(s)f(t)(t)( 1tt221ts121s31sateas1tsin22s

8、tcos22ssatte2)(1as第三節(jié)第三節(jié) 傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)(1)線性性質(zhì)線性性質(zhì))()()()(2121tfbLtfaLtbftafL(2)微分性質(zhì)微分性質(zhì) 若若 ，則有，則有f(0)為原函數(shù)為原函數(shù)f(t) 在在t=0時(shí)的初始值。時(shí)的初始值。)()(sFtfL) 0 () 0 () 0 ()()(121nnnnnffsfssFstfL(3)終值定理終值定理)(lim)(lim0ssFtfst注：注：sF(s)在在s右半平面和虛軸上是解析的。即右半平面和虛軸上是解析的。即sF(s)的極點(diǎn)的極點(diǎn)必須在必須在s左半平面。左半平面。第三節(jié)第三節(jié) 傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)的拉氏反變換例：求)1(1)(

9、2sssF1111) 1(1)(22ssssssF解：tetsFLtf1)()(1 直接按上式求原函數(shù)太復(fù)雜，一般都用查拉氏變換表的直接按上式求原函數(shù)太復(fù)雜，一般都用查拉氏變換表的方法求拉氏反變換，但方法求拉氏反變換，但F(s)必須是一種能直接查到的原函數(shù)必須是一種能直接查到的原函數(shù)的形式。若的形式。若F(s)不能在表中直接找到原函數(shù)，則需要將不能在表中直接找到原函數(shù)，則需要將F(s)展展開開成若干成若干部分分式部分分式之和，而這些部分分式的拉氏變換在之和，而這些部分分式的拉氏變換在表中表中可以可以查到查到。定義：從象函數(shù)定義：從象函數(shù)F(s)求原函數(shù)求原函數(shù)f(t)的運(yùn)算稱為拉氏反變換。的運(yùn)

10、算稱為拉氏反變換。記為記為 。由。由F(s)可按下式求出可按下式求出 式中式中C是實(shí)常數(shù)，而且大于是實(shí)常數(shù)，而且大于F(s)所有極點(diǎn)的實(shí)部。所有極點(diǎn)的實(shí)部。 )0()(21)()(1tdsesFjsFLtfjCjCst)()(1sFLtf第三節(jié)第三節(jié) 傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)第三節(jié)第三節(jié) 傳遞函數(shù)傳遞函數(shù) 建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的目的目的是為了對(duì)系統(tǒng)的性能是為了對(duì)系統(tǒng)的性能進(jìn)行分析。在給定外作用及初始條件下，求解微分進(jìn)行分析。在給定外作用及初始條件下，求解微分方程就可以得到系統(tǒng)的輸出響應(yīng)。這種方法比較直方程就可以得到系統(tǒng)的輸出響應(yīng)。這種方法比較直觀，特別是借助于計(jì)算機(jī)可以迅速而準(zhǔn)確地求得結(jié)

11、觀，特別是借助于計(jì)算機(jī)可以迅速而準(zhǔn)確地求得結(jié)果。但是如果系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)改變或某個(gè)參數(shù)變化時(shí)，果。但是如果系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)改變或某個(gè)參數(shù)變化時(shí)，就要重新列寫并求解微分方程，不便于對(duì)系統(tǒng)的分就要重新列寫并求解微分方程，不便于對(duì)系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)。析和設(shè)計(jì)。 拉氏變換是求解線性微分方程的簡(jiǎn)捷方法拉氏變換是求解線性微分方程的簡(jiǎn)捷方法。當(dāng)。當(dāng)采用這一方法時(shí)，微分方程的求解問題化為代數(shù)方采用這一方法時(shí)，微分方程的求解問題化為代數(shù)方程和查表求解的問題，這樣就使計(jì)算大為簡(jiǎn)便。程和查表求解的問題，這樣就使計(jì)算大為簡(jiǎn)便。第三節(jié)第三節(jié) 傳遞函數(shù)傳遞函數(shù) 更重要的是，由于采用了這一方法，能把以線性更重要的是，由于采用了這一方法，

12、能把以線性微分方程式描述系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能的數(shù)學(xué)模型，轉(zhuǎn)換為微分方程式描述系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能的數(shù)學(xué)模型，轉(zhuǎn)換為在復(fù)數(shù)域的代數(shù)形式的數(shù)學(xué)模型在復(fù)數(shù)域的代數(shù)形式的數(shù)學(xué)模型傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)。 傳遞函數(shù)不僅可以表征系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，而且可傳遞函數(shù)不僅可以表征系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，而且可以用來研究系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)或參數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)性能的影響。以用來研究系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)或參數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)性能的影響。經(jīng)典控制理論中廣泛應(yīng)用的頻率法和根軌跡法，就是經(jīng)典控制理論中廣泛應(yīng)用的頻率法和根軌跡法，就是以傳遞函數(shù)為基礎(chǔ)建立起來的以傳遞函數(shù)為基礎(chǔ)建立起來的。 傳遞函數(shù)是經(jīng)典控制理論中最基本和最重要的概傳遞函數(shù)是經(jīng)典控制理論中最基本和最重要的概念。念。2

13、01.1.傳遞函數(shù)的定義傳遞函數(shù)的定義在零初始條件下，對(duì)微分方程在零初始條件下，對(duì)微分方程進(jìn)行拉氏變換得：進(jìn)行拉氏變換得： 線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，定義為零初始條件下，系統(tǒng)輸線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，定義為零初始條件下，系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比。出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比。)()(11101110sRasasasabsbsbsbsCnnnnmmmm21傳遞函數(shù)一般是復(fù)變量傳遞函數(shù)一般是復(fù)變量s 的有理分式，所有系數(shù)均的有理分式，所有系數(shù)均為實(shí)數(shù)，且為實(shí)數(shù)，且n m 。傳遞函數(shù)只傳遞函數(shù)只取決于系統(tǒng)或元件的結(jié)構(gòu)和參數(shù)取決于系統(tǒng)或元件的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，而與，而與輸入量的形式無

14、關(guān)，也不反映系統(tǒng)內(nèi)部的任何信息。輸入量的形式無關(guān)，也不反映系統(tǒng)內(nèi)部的任何信息。傳遞函數(shù)只適用于傳遞函數(shù)只適用于線性定常系統(tǒng)線性定常系統(tǒng)，反映，反映零初始條件零初始條件下下系統(tǒng)或元件的運(yùn)動(dòng)情況。系統(tǒng)或元件的運(yùn)動(dòng)情況。22傳遞函數(shù)與微分方程一一對(duì)應(yīng)，有不同的表示形傳遞函數(shù)與微分方程一一對(duì)應(yīng)，有不同的表示形式：式：時(shí)間常數(shù)形式，零、極點(diǎn)形式時(shí)間常數(shù)形式，零、極點(diǎn)形式。分母中。分母中s的最高的最高階次階次n即為系統(tǒng)的即為系統(tǒng)的階次階次。例例2-4 列寫列寫RLC circuit的傳遞函數(shù)的傳遞函數(shù) 輸入量為電壓輸入量為電壓ur(t) 輸出量為電壓輸出量為電壓uc(t) 112RCsLCssUsUrc

15、2411RZ CsRZ122B點(diǎn)為虛地點(diǎn)為虛地0Bu21ii 21)()(ZsUZsUoiTssCsRCsRZZsUsUsGio11)()()(1212CR2CRT1例例2-5建立如圖所示建立如圖所示RC電路的傳遞函數(shù)電路的傳遞函數(shù)比例微分控制器比例微分控制器251111CsRRZ22RZ ) 1() 1(1)(11211212sKCsRRRCsRRRZZsG比例微分控制器比例微分控制器12RRK 靜態(tài)放大系數(shù)靜態(tài)放大系數(shù)CR1例例2-6建立如圖所示建立如圖所示RC電路的傳遞函數(shù)電路的傳遞函數(shù)26（1）比例環(huán)節(jié)）比例環(huán)節(jié)rucu1R2RKsGsRsC)()()( 組成自動(dòng)控制系統(tǒng)的元件很多，按

16、照其傳遞函數(shù)的組成自動(dòng)控制系統(tǒng)的元件很多，按照其傳遞函數(shù)的異同，可以歸納為幾種典型環(huán)節(jié)，這對(duì)于研究自動(dòng)控制異同，可以歸納為幾種典型環(huán)節(jié)，這對(duì)于研究自動(dòng)控制系統(tǒng)是很方便的。系統(tǒng)是很方便的。特點(diǎn)：輸出不失真、不延遲、成比例地復(fù)現(xiàn)輸入信號(hào)的變化特點(diǎn)：輸出不失真、不延遲、成比例地復(fù)現(xiàn)輸入信號(hào)的變化 tKrtC :方程式 比例環(huán)節(jié)的特征參數(shù)只有一個(gè)，即放大系數(shù)比例環(huán)節(jié)的特征參數(shù)只有一個(gè)，即放大系數(shù)K。工。工程上如無彈性變形的杠桿傳動(dòng)、電子放大器檢測(cè)儀表、程上如無彈性變形的杠桿傳動(dòng)、電子放大器檢測(cè)儀表、比例式執(zhí)行機(jī)構(gòu)、電位器、測(cè)速發(fā)電機(jī)等都是比例環(huán)節(jié)比例式執(zhí)行機(jī)構(gòu)、電位器、測(cè)速發(fā)電機(jī)等都是比例環(huán)節(jié)的一些實(shí)

17、際例子。的一些實(shí)際例子。 27（2）慣性環(huán)節(jié)）慣性環(huán)節(jié)例如：例如：RC網(wǎng)絡(luò)、單容水槽、電加熱爐、網(wǎng)絡(luò)、單容水槽、電加熱爐、 直流電機(jī)的勵(lì)磁回路等。直流電機(jī)的勵(lì)磁回路等。1)()()(TsKsGsRsCRCcuru特點(diǎn)：輸出量延緩地反映輸入量的變化規(guī)律特點(diǎn)：輸出量延緩地反映輸入量的變化規(guī)律微分方程微分方程 tKrtcdttdcT慣性時(shí)間常數(shù)T28例如：例如：運(yùn)算放大器。運(yùn)算放大器。sKsGsRsC)()()(rucu1RC（3）積分環(huán)節(jié)）積分環(huán)節(jié)特點(diǎn)：環(huán)節(jié)的輸出量與輸入量對(duì)時(shí)間的積分成正比，即有特點(diǎn)：環(huán)節(jié)的輸出量與輸入量對(duì)時(shí)間的積分成正比，即有 dttrKtCtc方程式： 當(dāng)有一個(gè)恒定的輸入量作

18、用于積分環(huán)當(dāng)有一個(gè)恒定的輸入量作用于積分環(huán)節(jié)，其輸出量就與時(shí)間成正比地?zé)o限增加。節(jié)，其輸出量就與時(shí)間成正比地?zé)o限增加。積分環(huán)節(jié)具有記憶功能，在控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)積分環(huán)節(jié)具有記憶功能，在控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)中，常用積分環(huán)節(jié)來中，常用積分環(huán)節(jié)來改善系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能改善系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能。積分環(huán)節(jié)在單位階躍輸入下的響應(yīng)積分環(huán)節(jié)在單位階躍輸入下的響應(yīng)29（4）微分環(huán)節(jié)）微分環(huán)節(jié)KssGsRsC)()()(特點(diǎn)：特點(diǎn)：理想的微分環(huán)節(jié)的輸出與輸入信號(hào)對(duì)時(shí)間的微分成正比理想的微分環(huán)節(jié)的輸出與輸入信號(hào)對(duì)時(shí)間的微分成正比 dttdrKtC：微分方程 在階躍輸入作用下的輸出響應(yīng)為一理想脈沖（實(shí)際上在階躍輸入作用下的輸出響應(yīng)為一理想脈

19、沖（實(shí)際上無法實(shí)現(xiàn)），由于微分環(huán)節(jié)能預(yù)示輸出信號(hào)的變化趨勢(shì)，無法實(shí)現(xiàn)），由于微分環(huán)節(jié)能預(yù)示輸出信號(hào)的變化趨勢(shì)，所以所以常用來改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性常用來改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。 實(shí)際上實(shí)際上可實(shí)現(xiàn)的微分環(huán)可實(shí)現(xiàn)的微分環(huán)節(jié)都具有一定的慣性，其傳遞函數(shù)如下：節(jié)都具有一定的慣性，其傳遞函數(shù)如下：實(shí)用的實(shí)用的RC網(wǎng)絡(luò)網(wǎng)絡(luò)3031（5）振蕩環(huán)節(jié)）振蕩環(huán)節(jié) (0 1 )特點(diǎn)：如輸入為一階躍信號(hào)，則環(huán)節(jié)的輸出卻是周期振蕩形式特點(diǎn)：如輸入為一階躍信號(hào)，則環(huán)節(jié)的輸出卻是周期振蕩形式 12 222222TssTKsRsCsGtKrtCdttdcTdttcdT：傳遞函數(shù)微分方程：阻尼比放大系數(shù)時(shí)間常數(shù),KT具有上式形式的傳

20、遞函數(shù)在具有上式形式的傳遞函數(shù)在控制工程中控制工程中經(jīng)常會(huì)碰到，例如經(jīng)常會(huì)碰到，例如1）R-L-C電路的傳遞函數(shù)電路的傳遞函數(shù) 112RCsLCssUsUrc 322）彈簧）彈簧-質(zhì)量質(zhì)量-阻尼器系統(tǒng)的傳遞函數(shù)阻尼器系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 11 2fsmssFsY3）直流他勵(lì)電動(dòng)機(jī)在變化時(shí)的傳遞函數(shù)）直流他勵(lì)電動(dòng)機(jī)在變化時(shí)的傳遞函數(shù) 112sssEsNmamG上述三個(gè)傳遞函數(shù)在化成式統(tǒng)一形式時(shí)，雖然它們的阻上述三個(gè)傳遞函數(shù)在化成式統(tǒng)一形式時(shí)，雖然它們的阻尼比尼比 和和1/T所含的具體內(nèi)容各不相同，但只要滿足所含的具體內(nèi)容各不相同，但只要滿足0 1，則它們都是振蕩環(huán)節(jié)。，則它們都是振蕩環(huán)節(jié)。34（6）純

21、滯后環(huán)節(jié)）純滯后環(huán)節(jié) sesGsRsC)()()(例如：例如：液壓、氣動(dòng)和機(jī)械傳動(dòng)系統(tǒng)等。液壓、氣動(dòng)和機(jī)械傳動(dòng)系統(tǒng)等。 trtC速度距離35控制系統(tǒng)總是由許多元件組合而成。從信息傳控制系統(tǒng)總是由許多元件組合而成。從信息傳遞的角度去看，可以把一個(gè)系統(tǒng)劃分為若干環(huán)節(jié)，遞的角度去看，可以把一個(gè)系統(tǒng)劃分為若干環(huán)節(jié)，每一個(gè)環(huán)節(jié)都有對(duì)應(yīng)的輸入量、輸出量以及它們的每一個(gè)環(huán)節(jié)都有對(duì)應(yīng)的輸入量、輸出量以及它們的傳遞函數(shù)。傳遞函數(shù)。為了表明每一個(gè)環(huán)節(jié)在系統(tǒng)中的功能，在控制為了表明每一個(gè)環(huán)節(jié)在系統(tǒng)中的功能，在控制工程中，我們常常應(yīng)用所謂工程中，我們常常應(yīng)用所謂“框圖框圖”的概念。的概念。控制系統(tǒng)的控制系統(tǒng)的框圖框圖

22、(block diagram)是描述系統(tǒng)各是描述系統(tǒng)各元部件之間信號(hào)傳遞關(guān)系的元部件之間信號(hào)傳遞關(guān)系的數(shù)學(xué)圖形數(shù)學(xué)圖形，它表示了系，它表示了系統(tǒng)中各變量之間的因果關(guān)系以及對(duì)各變量所進(jìn)行的統(tǒng)中各變量之間的因果關(guān)系以及對(duì)各變量所進(jìn)行的運(yùn)算，是控制理論中描述復(fù)雜系統(tǒng)的一種簡(jiǎn)便計(jì)算。運(yùn)算，是控制理論中描述復(fù)雜系統(tǒng)的一種簡(jiǎn)便計(jì)算。36一一. .框圖的組成和繪制方法框圖的組成和繪制方法u(t)U(s)u(t) U(s)u(t)U(s)R(s)U(s)u(t)r(t)u(t)r(t)U(s) R(s)加號(hào)常省略加號(hào)常省略,負(fù)號(hào)負(fù)號(hào)必須標(biāo)出必須標(biāo)出)()()(sRsGsCC(s)R(s)r(t)c(t)G(s

23、)(1)信號(hào)線信號(hào)線 (3)相加點(diǎn)相加點(diǎn)(比較點(diǎn)比較點(diǎn))(2)引出點(diǎn)引出點(diǎn)(分支點(diǎn)分支點(diǎn))(4)方框方框1. 框圖框圖組成組成 37例例2-7 繪制繪制RC網(wǎng)絡(luò)的框圖網(wǎng)絡(luò)的框圖RCcuruiRI(s)(sUc)(sUrCs1解解（1）列寫該網(wǎng)絡(luò)的運(yùn)動(dòng)方程式）列寫該網(wǎng)絡(luò)的運(yùn)動(dòng)方程式)(1)()()()(sICssUsUsRIsUccr)(1)()()()(sICssURsUsUsIccr（2）畫出上述兩式對(duì)應(yīng)的框圖）畫出上述兩式對(duì)應(yīng)的框圖)(sUr)(sUc)(sIR1Cs1)(sI)(sUc)(sUr)(sIR1Cs1)(sUc（3）各單元框圖按信號(hào)的流向依次連接）各單元框圖按信號(hào)的流向依次連

24、接38)()(1)(2111sIsIsCsU)(1)(22sIsCsUC)()(1)(111sUsURsIrsC21)(2sI)(sUCsC11)()(21sIsI)(1sU21R)()(1sUsUC)(2sI11R)()(1sUsUr)(1sI解解（1）列寫該網(wǎng)絡(luò)的運(yùn)動(dòng)方程式）列寫該網(wǎng)絡(luò)的運(yùn)動(dòng)方程式（2）畫出上述方程對(duì)應(yīng)的框圖）畫出上述方程對(duì)應(yīng)的框圖（3）各單元框圖按信號(hào)的流向依次連接）各單元框圖按信號(hào)的流向依次連接雙雙T網(wǎng)絡(luò)可不可以看成網(wǎng)絡(luò)可不可以看成兩個(gè)兩個(gè)RC網(wǎng)絡(luò)的串聯(lián)？網(wǎng)絡(luò)的串聯(lián)？rucu1R2R1i2irucu1R2R1i2i1u1usC11sC21隔離放大器sC21)(sUCsC

25、11)(1sU21R)(2sI11R)(sUr)(1sIk)()(1)(122sUsURsIC39（1）列寫系統(tǒng)中每個(gè)部件）列寫系統(tǒng)中每個(gè)部件的運(yùn)動(dòng)方程式的運(yùn)動(dòng)方程式(注意負(fù)載效應(yīng)注意負(fù)載效應(yīng))；（2）寫出相應(yīng)的傳遞函數(shù)，并畫出對(duì)應(yīng)的框圖；）寫出相應(yīng)的傳遞函數(shù)，并畫出對(duì)應(yīng)的框圖；（3）將）將各單元框圖按信號(hào)的流向依次連接各單元框圖按信號(hào)的流向依次連接起來，輸入起來，輸入量位于框圖的最左端，輸出量位于框圖的最右端；量位于框圖的最左端，輸出量位于框圖的最右端；一個(gè)復(fù)雜的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，其方框間的連接必然是錯(cuò)一個(gè)復(fù)雜的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，其方框間的連接必然是錯(cuò)綜復(fù)雜的，為了便于分析和計(jì)算，需要將結(jié)構(gòu)圖中的一綜復(fù)

26、雜的，為了便于分析和計(jì)算，需要將結(jié)構(gòu)圖中的一些方框基于些方框基于“等效等效”的概念進(jìn)行重新排列和整理，使復(fù)的概念進(jìn)行重新排列和整理，使復(fù)雜的結(jié)構(gòu)圖得以簡(jiǎn)化。雜的結(jié)構(gòu)圖得以簡(jiǎn)化。1G2G3G1H2H)(sR)(sC4G40 在控制工程中，任何復(fù)雜的系統(tǒng)，其框圖主要在控制工程中，任何復(fù)雜的系統(tǒng)，其框圖主要串聯(lián)串聯(lián)、并聯(lián)并聯(lián)和和反饋反饋三種基本形式連接而成。三種基本形式連接而成。 框圖的等效變換必須遵守一個(gè)基本原則，即變換框圖的等效變換必須遵守一個(gè)基本原則，即變換前后各變量關(guān)系保持不變的原則。前后各變量關(guān)系保持不變的原則。1.串聯(lián)連接串聯(lián)連接 series)()()()()()(1112sRsGsU

27、sUsGsCN個(gè)環(huán)節(jié)個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)串聯(lián)后，等效的后，等效的傳遞函數(shù)為傳遞函數(shù)為這這N個(gè)環(huán)節(jié)個(gè)環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)之積之積。 常用的框圖等效變換方法有二：一是常用的框圖等效變換方法有二：一是環(huán)節(jié)的合并環(huán)節(jié)的合并，二是，二是信號(hào)信號(hào)分支點(diǎn)或相加點(diǎn)的移動(dòng)分支點(diǎn)或相加點(diǎn)的移動(dòng)。 412.并聯(lián)連接并聯(lián)連接 parallel)()()()()()()(2121sRsGsRsGsCsCsC42)()()()()()(, )()()(sCsHsBsBsRsEsEsGsC)()()()()(1 sRsGsCsGsH當(dāng)當(dāng)H(s)=1時(shí)，稱為單位反饋時(shí)，稱為單位反饋反饋反饋連接時(shí)連接時(shí)，等效傳遞函數(shù)的，等效傳遞函數(shù)的分

28、子分子為為前向通路傳遞函數(shù)前向通路傳遞函數(shù)分母分母為為1回路傳遞函數(shù)回路傳遞函數(shù)43該框圖中有沒有典型連接？該框圖中有沒有典型連接？該框圖中包括該框圖中包括三種三種典型連接：典型連接：串聯(lián)，并聯(lián)串聯(lián)，并聯(lián)和和反饋反饋 441G1H)(sR)(sC)(1323232HHGGGG)(sR)(s(1HGGGHHGGGGG1G2G1H)(sR32HH 3G)(sC)(sR)(sC)(13232321HHGGGGG1H45移動(dòng)移動(dòng)相加相加點(diǎn)點(diǎn)或引出或引出點(diǎn)點(diǎn)的的位置位置！ 46)(sG)(sR)(sC)(sX)(sG)(sR)(sC)(sX)(sG)(sG)(sR)(sC)(s

29、X)(sG)(sR)(sC)(sX)(1sG(1)(1)相加相加點(diǎn)的后移點(diǎn)的后移(2)(2)相加相加點(diǎn)的前移點(diǎn)的前移47)(sC)(sG)(sR)(sR)(sC)(1sG)(sG)(sR)(sR)(sC)(sG)(sR)(sC)(sG)(sC)(sG)(sR)(sC(4)(4)引出點(diǎn)的前移引出點(diǎn)的前移(5)(5)相鄰的相鄰的相加相加點(diǎn)的移動(dòng)點(diǎn)的移動(dòng))(sR)(1sX)(sC)(2sX)(sR)(1sX)(sC)(2sX)(sR)(1sX)(sC)(2sX)(sC)(sG)(sR? ?)(sC)(sG)(sR48)(sR)(sR)(sR)(sR)(sR)(sR)(sR)(sR)(sR(7)相鄰的

30、相鄰的相加相加點(diǎn)與引出點(diǎn)的移動(dòng)點(diǎn)與引出點(diǎn)的移動(dòng))(sR)(sC)(sC)(sX)(sR)(sR)(sC)(sX)(sR)(sC)(sC)(sX)(sX麻煩，最好麻煩，最好不要用！不要用！4950A51A A)(sR)(sC1G2G3G4G3H1H24HGA A)(sR)(sC1G4G3H1H243321HGGGG)(sR)(sC1H33224343211HGGHGGGGGG 52注意事項(xiàng)注意事項(xiàng)53一一.開環(huán)傳遞函數(shù)與前向通道傳遞函數(shù)開環(huán)傳遞函數(shù)與前向通道傳遞函數(shù)1G2G)(sDH)(sR)(sC)(sE)(sB 將反饋環(huán)節(jié)將反饋環(huán)節(jié)H(s)的輸出端斷開，則的輸出端斷開，則前向通道前向通道傳遞

31、函數(shù)傳遞函數(shù)G1(s)G2(s)與與反饋通道反饋通道傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)H(s)的乘積的乘積G1(s)G2(s)H(s)稱稱為系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù), ,相當(dāng)于相當(dāng)于B(s)/E(s)。 自動(dòng)控制系統(tǒng)在工作過程中，經(jīng)常會(huì)受到兩類輸入自動(dòng)控制系統(tǒng)在工作過程中，經(jīng)常會(huì)受到兩類輸入信號(hào)的作用，一類是給定的有用輸入信號(hào)信號(hào)的作用，一類是給定的有用輸入信號(hào)r(t)，另一類，另一類則是阻礙系統(tǒng)進(jìn)行正常工作的擾動(dòng)信號(hào)則是阻礙系統(tǒng)進(jìn)行正常工作的擾動(dòng)信號(hào)d(t)。54)()()()()()(sCsHsRsBsRsERR)()()(1)()()()()()(sRsCsHsRsCsHsRsRsERRR1

32、G2G)(sDH)(sR)(sC)(sE)(sB1.R(s)作用作用時(shí)時(shí)的閉環(huán)傳遞函數(shù)的閉環(huán)傳遞函數(shù)(D(s)=0)()()(1)()()()(2121sHsGsGsGsGsRsCR)()()(1121sHsGsG551G2G)(sDH)(sR)(sC)(sE)(sB2.D(s)作用作用時(shí)時(shí)閉環(huán)傳遞函數(shù)閉環(huán)傳遞函數(shù)(R(s)=0)()()(1)()()(212sHsGsGsGsDsCD)()()()()(sDsCsHsDsEDD)()()(1)()(212sHsGsGsGsH)()()()(sCsHsBsEDD不會(huì)因?yàn)檩斎氩粫?huì)因?yàn)檩斎胄盘?hào)位置的變信號(hào)位置的變化而改變！化而改變！反饋通道中的負(fù)號(hào)

33、如何處理？反饋通道中的負(fù)號(hào)如何處理？56)()()()(1)()()()()(1)()(2122121sDsHsGsGsGsRsHsGsGsGsG)()()(sEsEsEDR1G2G)(sDH)(sR)(sC)(sE)(sB)()()(sCsCsCDR疊加原理疊加原理)()()()(1)()()()()()(1121221sDsHsGsGsHsGsRsHsGsG無論輸入輸出如何變化，閉環(huán)傳遞函數(shù)的分母不變！無論輸入輸出如何變化，閉環(huán)傳遞函數(shù)的分母不變！57上式稱為上式稱為閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式。閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式。 上式稱為上式稱為閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程。閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程。 特征方程的根稱為特征

34、方程的根稱為閉環(huán)系統(tǒng)的根或閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)。閉環(huán)系統(tǒng)的根或閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)。 控制系統(tǒng)的控制系統(tǒng)的信號(hào)流圖信號(hào)流圖(Signal-Flow Graph )與與框圖框圖一樣都是描述系統(tǒng)各元部件之間信號(hào)傳遞關(guān)系的一樣都是描述系統(tǒng)各元部件之間信號(hào)傳遞關(guān)系的數(shù)學(xué)圖數(shù)學(xué)圖形形。對(duì)于結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜的系統(tǒng)，結(jié)構(gòu)圖的變換和化簡(jiǎn)過對(duì)于結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜的系統(tǒng)，結(jié)構(gòu)圖的變換和化簡(jiǎn)過程往往顯得繁瑣而費(fèi)時(shí)。與結(jié)構(gòu)圖相比，信號(hào)流圖符號(hào)程往往顯得繁瑣而費(fèi)時(shí)。與結(jié)構(gòu)圖相比，信號(hào)流圖符號(hào)簡(jiǎn)單，更便于繪制和應(yīng)用，而且可以利用梅遜公式直接簡(jiǎn)單，更便于繪制和應(yīng)用，而且可以利用梅遜公式直接求出任意兩個(gè)變量之間的傳遞函數(shù)。求出任意兩個(gè)變量之間的傳

35、遞函數(shù)。但是，信號(hào)流圖只適用于但是，信號(hào)流圖只適用于線性線性系統(tǒng)，而結(jié)構(gòu)圖不僅系統(tǒng)，而結(jié)構(gòu)圖不僅適用于適用于線性線性系統(tǒng)，還可用于系統(tǒng)，還可用于非線性非線性系統(tǒng)。系統(tǒng)。信號(hào)流圖起源于信號(hào)流圖起源于梅遜梅遜利用圖示法來描述一個(gè)或一組利用圖示法來描述一個(gè)或一組線性代數(shù)方程式，它是由節(jié)點(diǎn)和支路組成的一種信號(hào)傳線性代數(shù)方程式，它是由節(jié)點(diǎn)和支路組成的一種信號(hào)傳遞網(wǎng)絡(luò)。遞網(wǎng)絡(luò)。58一、信號(hào)流圖的基本組成單元一、信號(hào)流圖的基本組成單元1.節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)：表示系統(tǒng)中的：表示系統(tǒng)中的變量變量，圖中用，圖中用表示。表示。2.支路支路：連接節(jié)點(diǎn)的有向線段，圖中用：連接節(jié)點(diǎn)的有向線段，圖中用表示表示。12axx 45431

36、4235312hxxfxexdxxcxxgxbxaxx例如：描述系統(tǒng)的方程組為例如：描述系統(tǒng)的方程組為 591.節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn) 輸入節(jié)點(diǎn)、輸出節(jié)點(diǎn)、混合節(jié)點(diǎn)輸入節(jié)點(diǎn)、輸出節(jié)點(diǎn)、混合節(jié)點(diǎn)2.前向通路前向通路 從輸入節(jié)點(diǎn)到輸出節(jié)點(diǎn)，從輸入節(jié)點(diǎn)到輸出節(jié)點(diǎn)，并與任何一個(gè)節(jié)點(diǎn)相交并與任何一個(gè)節(jié)點(diǎn)相交 不多于一次的通路不多于一次的通路，叫前向通路。，叫前向通路。3.回路回路 起點(diǎn)和終點(diǎn)在同一節(jié)點(diǎn)，且與其他節(jié)點(diǎn)相交不多起點(diǎn)和終點(diǎn)在同一節(jié)點(diǎn)，且與其他節(jié)點(diǎn)相交不多 于一次的閉合通路叫單獨(dú)回路。于一次的閉合通路叫單獨(dú)回路。605.前向通路增益前向通路增益在在前向通路前向通路中，各支路增益中，各支路增益 的乘積叫做前向通

37、路增益。的乘積叫做前向通路增益。6.回路增益回路增益回路回路中各支路增益中各支路增益 的乘積叫做回路增益。的乘積叫做回路增益。4.不接觸回路不接觸回路 相互間沒有公共節(jié)點(diǎn)的回路稱為不接觸回路。相互間沒有公共節(jié)點(diǎn)的回路稱為不接觸回路。61 梅遜公式給出了系統(tǒng)信號(hào)流圖中，梅遜公式給出了系統(tǒng)信號(hào)流圖中，任意輸入節(jié)點(diǎn)任意輸入節(jié)點(diǎn)與輸出節(jié)點(diǎn)之間的增益與輸出節(jié)點(diǎn)之間的增益，即傳遞函數(shù)。其公式為：，即傳遞函數(shù)。其公式為： N - 為從輸入節(jié)點(diǎn)到輸出節(jié)點(diǎn)的為從輸入節(jié)點(diǎn)到輸出節(jié)點(diǎn)的前向通路前向通路的總條數(shù)的總條數(shù)Pk - 為第為第k條前向通路條前向通路增益增益(傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)) Masons signal-flow gain formula62k-為第為第k條前向通路特征式的條前向通路特征式的余子式余子式，即在，即在中，中，除去與第除去與第k條前向通路接觸的回路（包括有公共節(jié)點(diǎn)部條前向通路接觸的回