利用構(gòu)造法求數(shù)列通項(xiàng)公式的常見(jiàn)題型與解法分析

1、'論文發(fā)表專家一J中國(guó)學(xué)木期刊網(wǎng)%ww.qikanwangPnei利用構(gòu)造法求數(shù)列通項(xiàng)公式的常見(jiàn)題型與解法分析摘要：數(shù)列是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容，也是進(jìn)入大學(xué)學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基本工具?？v觀歷年全國(guó)各地高考數(shù)學(xué)試題，幾乎都會(huì)涉及數(shù)列的題型，而這類題型一般都會(huì)要求考生求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。在近幾年的高考數(shù)學(xué)試題中，命題趨勢(shì)逐漸趨向利用“構(gòu)造法”求數(shù)列的通項(xiàng)公式。如何針對(duì)這種題型獲得快速解決問(wèn)題的技巧，這需要考生在平日備考中掌握利用構(gòu)造法求數(shù)列通項(xiàng)公式的常見(jiàn)題型與解關(guān)鍵詞：數(shù)列通項(xiàng)公式構(gòu)造法常見(jiàn)題型解法分析一、題型：形如“a=pa+q”的遞推關(guān)系求解策略：由于遞推關(guān)系a=pa+q不是普通的等差、等比數(shù)列

2、關(guān)系，我們可以構(gòu)造新數(shù)列：a+x=p（a+x），根據(jù)系數(shù)關(guān)系有：（p-1）x=q,則可求出X，所以數(shù)列a+x是以首項(xiàng)為a+x,公比為p的等比數(shù)列，于是有a+x=（a+x）p，所以a=（a+x）p-x.例題：已知數(shù)列a滿足a=1,a=a+1，求數(shù)列a通項(xiàng)公式.解析：結(jié)合題型的求解策略，構(gòu)造新數(shù)列：a+x=（a+x），即a=a-x，利用待定系數(shù)法得：-x=1，即x=-3，所以數(shù)列a-3是以首項(xiàng)為a-3=2，公比為的等比數(shù)列，即有a-3二（a-3）（），所以a=3-2（）.二、題型變式一：形如“a=pa+q”的遞推關(guān)系求解策略：設(shè)想構(gòu)造新數(shù)列：a+xq=p（a+xq），根據(jù)系數(shù)關(guān)系有：（p-q）x=

3、1，則可求出X，即數(shù)列a+xq以首項(xiàng)為a+xq，公比為p的等比數(shù)列，即有a+xq=（a+x）p，所以a=（a+xq）p-xq.'論文發(fā)表專家一J中國(guó)學(xué)木%ww.qikanwangPnet例題：已知數(shù)列a滿足a=1,a=3a+2,求數(shù)列a通項(xiàng)公式.解析：結(jié)合變式一的求解策略，構(gòu)造新數(shù)列：a+x2=3(a+x2).于是有a=3a+x2,利用待定系數(shù)法可得：x=1，即數(shù)列a+2是以首項(xiàng)為a+2=3,公比為3的等比數(shù)列，于是有a+2=(a+2)3,所以a=3-2.三、題型變式二：形如“a=pa+qa"的遞推關(guān)系求解策略：設(shè)想構(gòu)造新數(shù)列：a+xa=y(a+xa)，根據(jù)系數(shù)關(guān)系則有：y-

4、x=p，xy=q，則可求出和，即數(shù)列a+xa是以首項(xiàng)a+xa，公比為y的等比數(shù)列，于是有a+xa=(a+xa)y，這種題型需要根據(jù)x，y的具體值才可以求出數(shù)列的通項(xiàng).例題：已知數(shù)列a滿足a=2,a=3，a=a+a,求數(shù)列a通項(xiàng)公式.解析：結(jié)合變式二的求解策略，設(shè)想構(gòu)造新數(shù)列：a+xa=y(a+xa)，即a=(y-x)a+xya，利用待定系數(shù)法可得：y-x=，xy=，即x=-1，y=-(或x=，y=1，結(jié)果一樣).于是a-a=-(a-a)，即數(shù)列a-a是以首項(xiàng)a-a=1，公比為-的等比數(shù)列，即a-a二(-)，由n的不同取值得出不同表達(dá)式，利用疊加法有a-a+a-a+a-a=(-)+(-)+(-)

5、，消去中間一些項(xiàng)可得：a-a=1-(-),所以a二-(-).四、題型變式三：形如“a=k(a=ka)”的遞推關(guān)系求解策略：由遞推關(guān)系a=ka可知，等式的右邊含有指數(shù)(分?jǐn)?shù)),一般指數(shù)是分?jǐn)?shù)的形式，可利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，兩邊取以k為底的對(duì)數(shù)，即：loga=log(ka),得：loga=1+loga，這種情形可以構(gòu)造新數(shù)列：loga+x=(loga+x)，根據(jù)系數(shù)關(guān)系有:-x=1，得x=-2,即數(shù)列l(wèi)oga-2以首項(xiàng)為loga-2，公比為的等比數(shù)列，于是醫(yī)一論文發(fā)袤專家一J中國(guó)黠斛網(wǎng)fwww.qikanwang.nellogka-2二(loga-2)(),所以a=k().例題：已知數(shù)列a滿足a=1,a=2,求數(shù)列a通項(xiàng)公式.解析：遞推關(guān)系a=2=2a,結(jié)合變式三的求解策略，等式兩邊同時(shí)取以2為底的對(duì)數(shù)，即loga=log（2a）,即loga=loga+1，這種情形可以構(gòu)造新數(shù)列：loga+x二（loga+x），即loga=loga-x，利用待定系數(shù)法得：-x=