圓錐曲線的原理最詳細圖解平面與圓錐面的截線

1、平面與圓錐面的截線立幾畫板制作）改變平面的位置，可得到三種曲線，它們統(tǒng)稱為圓錐曲線（下圖由軟件二、分類探究：從平面圖形入手，開始討論一條直線與等腰三角形的位置關(guān)系:將等腰三角形拓廣為圓錐，直線拓廣為平面。如果用一平面去截一個正圓錐，而且這個平面不通過圓錐的頂點，會出現(xiàn)哪些情況呢？如下圖：歸納提升：定理在空間中，取直線l為軸，直線1'與l相交于O點，其夾角為“，1'圍繞l旋轉(zhuǎn)得到以O(shè)為頂點，1'為母線的圓錐面，任取平面兀，若它與軸1交角為3（兀與1平行，記作3=。），則:(1) 3>a,平面(2) 3=a,平面(3) 3Va,平面兀與圓錐的交線為橢圓；兀與圓錐的交線

2、為拋物線;兀與圓錐的交線為雙曲線。三、證明結(jié)論:利用Dandelin雙球（這兩個球位于圓錐的內(nèi)部，一個位于平面的上方，一個位于平面的下方，并且與平面及圓錐均相切）證明：3>%平面與圓錐的交線為橢圓.二點義|以定義戶動藺口示控制由II冏困PF1|=2.9615(PF2|=4.0175|PO1|=2.9615|PQ2|=4.0175|PA|二81956|PF1|門，J=0.361IPAI2C=25218236.979。e二立二。,361：如圖，利用切線長相等，容易證明PF1+PF2=PQ1+PQ2=Q1Q2=定值.卜面證明：3="時，平面與圓錐面的交線為拋物線。如圖.設(shè)平面靠與圜悔

3、內(nèi)切球栩切于點F1球與圓錐的交線為S,過該交裳的平面為一ir與/交于直線孫在平面不與圓錐的截線上任就一點P,連接PB.過點P作PA，m,交m于點A.過點P作F垂統(tǒng),垂足為B,連接內(nèi)B,JWAB±mt所以/產(chǎn)AB是1c與一所成二面角的平面角，連攜點P般住的D（點，與S相交于點Qi,連接BQ.則/HPQi=s/apb=a在RtAAPE中.P8MA«Hg在RtZXFEQ.中.PB=PQ1eo5.工8E2_."PActwa*又:他*Laa1即PF,=PA,動點P到定點巴的距離等于它到定宜線m的距離，故當。=5時.平面苛削螳交或為橄物線.卜面討論當平面與圓錐面的交線為雙曲線

4、時準線的及離心率:我們就圖中下面的氏nddin球進行付的.即討論一條準線的情冊,上面一支*曲線的準線同現(xiàn)“Ji在裁口上任取點F.連接尸后.過好和圜幡頂點O作伸線，與律相切于Q,球號覬椎的交線NS.記所在的平面為截面寓與平面一相交于直線M過點P在富中作PAJ_e,交m于點4過F作平面/的垂線，等足為訊連接QBARPg為直角三角形，且NQPBh。.ZXPA3也是宜體三角形,SZAFB&在RtZPM中,PBPQtcosa.在RiZXPAH中.FB-PAe崢段二曲#PA又丁產(chǎn)人=9:.普=定胤PAMMtaV0<<0<於：c<»/B>cOs5->1P

5、Arosa'：E是雙曲線的一條準緩，且甕$>Lcosa換個角度看圖：容易知道：截得的圓錐曲線的離心率等于截面和圓錐軸的夾角的余弦與圓錐頂角一半的余弦之比.四、知識運用一個半徑為2的球放在桌面上，桌面上的一點儲印正上方有一個光源A,AA與球相切，AAi=6,球召桌面上的投影是什么形狀？離心率是多少？用圖霸制作三維直觀圖:解答參看下圖:五、圖形制作三種曲線的丹迪林Dandelin雙球圖可以在幾何圖霸中統(tǒng)一到一幅圖中，主要制作步驟如下：1 .作全自由點O,過點O作平行于z軸上的點B,過B作平行于x軸上的點C,作點B、關(guān)于O的對稱點B'、C'.2 .選取點O、B、C,作圓

6、錐，選取點O、B'、C',作圓錐.3 .在圓B上任取點D,作D關(guān)于B對稱點，連接OD,OD,在OD上任取一點E,以E為圓心畫過點D'、D的心點圓，在圓E上任取點F,連EF,它表示截面的位置，可以繞點E轉(zhuǎn)動.4.作角OEF的平分線，與軸BB'交于O1;作角DEF的平分線，與軸BB'交于O2,它們就是雙球的球心.5.過球心01、02分別作邊EF的垂線，垂足分別為F1、F2,它們就是焦點6 .選取點01、F1,作球01（圖中顯示大圓，光照后顯示為球），同法作球02.7 .取線EF上的點G、H,作GD0垂線上的伸縮點I,作點I關(guān)于點G的對稱點I按向量GH平稱點I、I得點12、I".添加面II2I"I，'連接四邊，表示截面.它的長寬可以用點G、H、I控制；點F控制其轉(zhuǎn)動.8.添加下底圓上的點J,連結(jié)OJ交截面于點K,選取點J、K,添加軌跡，它就是截線，如上圖中的橢圓.9 .點E按向量OD平移得點E'