小學(xué)數(shù)學(xué)五大幾何模型

1、小學(xué)數(shù)學(xué)五大幾何模型知識框架一、等積模型等底等高的兩個(gè)三角形面積相等;兩個(gè)三角形高相等，面積比等于它們的底之比;兩個(gè)三角形底相等，面積比等于它們的高之比;夾在一組平行線之間的等積變形，如右圖SACDSBCD；反之，如果SaacdSabcd,則可知直線AB平行于CD.等底等高的兩個(gè)平行四邊形面積相等（長方形和正方形可以看作特殊的平行四邊形）;三角形面積等于與它等底等高的平行四邊形面積的一半;面積比等于它們的高之比.兩個(gè)平行四邊形高相等，面積比等于它們的底之比；兩個(gè)平行四邊形底相等,二、共角定理（鳥頭定理）兩個(gè)三角形中有一個(gè)角相等或互補(bǔ)，這兩個(gè)三角形叫做共角三角形.共角三角形的面積比等于對應(yīng)角（相

2、等角或互補(bǔ)角）兩夾邊的乘積之比.Saabc：Saade（ABAC）:（ADAE）三、蝴蝶定理任意四邊形中的比例關(guān)系（蝴蝶定理”：）GS&：&或者SS3S2S4AO:OCSS2：S4S3蝴蝶定理為我們提供了解決不規(guī)則四邊形的面積問題的一個(gè)途徑.通過構(gòu)造模型，一方面可以使不規(guī)則四邊形的面積關(guān)系與四邊形內(nèi)的三角形相聯(lián)系；另一方面，也可以得到與面積對應(yīng)的對角線的比例關(guān)系.DS2OAI梯形中比例關(guān)系（梯形蝴蝶定理S的對應(yīng)份數(shù)為四、相似模型（一）金字塔模型（二）沙漏模型ADAEDEAFABACBCAG；&ABC22AF2:AG2所謂的相似三角形,就是形狀相同，大小不同的三角形（只要

3、其形狀不改變，不論大小怎樣改變它們都相似),與相似三角形相關(guān)的常用的性質(zhì)及定理如下：相似三角形的一切對應(yīng)線段的長度成比例，并且這個(gè)比例等于它們的相似比;相似三角形的面積比等于它們相似比的平方；連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線.三角形中位線定理：三角形的中位線長等于它所對應(yīng)的底邊長的一半.相似三角形模型，給我們提供了三角形之間的邊與面積關(guān)系相互轉(zhuǎn)化的工具.在小學(xué)奧數(shù)里，出現(xiàn)最多的情況是因?yàn)閮蓷l平行線而出現(xiàn)的相似三角形.五年級奧數(shù).幾何.五大模型五、共邊定理（燕尾定理）有一條公共邊的三角形叫做共邊三角形。共邊定理：設(shè)直線AB與PQ交于點(diǎn)M,SPABQABPMQM特殊情況：當(dāng)PQ/AB時(shí)，

4、易知4PAB與4QAB的高相等，從而SAPAB=SAQAB例題精講一、鳥頭定理AE=1AC,CD=1BC,541三角形DEF的面積BF=6AB，那么三角形ABC的面積等于多少？如圖16-4,已知.【考點(diǎn)】【解析】三角形的鳥頭模型【難度】3星【題型】解答如下圖，連接AD,BE,CF.有ABE,AABC的高相等，面積比為底的比，則有AEACSaBE=XSaBC=_SABCAC5同理有SAEF=ABSaBE，即二SAEF=5*6SABC=ABC.類似的還可以得到SCDE=4SABC=5SABC,SBDF=-3SABC=,SABC所以有+S1-(CDE+SBDF)=(1-1-165-1)861ABC1

5、20ABCTDEFU為更二角形ABC的面積120【答案】【鞏固】61120。1如圖，在AABC中，延長AB至D,使BDAB,延長BC至E,使CE1BC,2點(diǎn)，若ABC的面積是2,則4DEF的面積是多少？F是AC的中【考點(diǎn)】【解析】三角形的鳥頭模型【難度】3星【題型】解答在ABC和4CFE中，ACB與FCE互補(bǔ)，.SabcACBC224"SAfceFCCE111'又S.',ABC2,所以S(FCE0.5.Mia.同理可得SAadf2,SAbde3.所以SadefABCSACEFDEBSAADF20.5323.5【答案】3.5。、三角形相似模型【例2】如圖，三角形PDM的

6、面積是8平方厘米，長方形ABCD的長是6厘米，寬是4厘米，M是BC的中點(diǎn)，則三角形APD的面積是平方厘米.【考點(diǎn)】相似三角形模型【難度】4星【題型】填空【解析】本題在矩形內(nèi)連接三點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)三角形，而且其中一點(diǎn)是矩形某一條邊的中點(diǎn)，一般需要通過這一點(diǎn)做垂線.取AD的中點(diǎn)N,連接MN,設(shè)MN交PD于K.則三角形PDM被分成兩個(gè)三角形，而且這兩個(gè)三角形有公共的底邊MK,可知三角形PDM的一1884面積等于MKBC8（平萬厘米）,所以MK=-（厘米），那么NK4-一（厘米）.2333因?yàn)镹K是三角形APD的中位線，所以AP2NK8（厘米），所以三角形APD的面積為1 8-68（平方厘米）.23【答案】

7、8?！眷柟獭咳鐖D，三角形ABC的面積為60平方厘米，D、E、F分別為各邊的中點(diǎn)，那么陰影部分的面積是平方厘米.【考點(diǎn)】相似三角形模型【難度】4星【題型】填空【解析】陰影部分是一個(gè)不規(guī)則的四邊形,不方便直接求面積，可以將其轉(zhuǎn)化為兩個(gè)三角形的面積之差.而從圖中來看，既可以轉(zhuǎn)化為BEF與EMN的面積之差，又可以轉(zhuǎn)化為BCM與CFN的面積之差.（法1）如圖,連接DE.由于D、E、F分別為各邊的中點(diǎn)，那么BDEF為平行四邊形，且面積為三角形ABC面積的一半，即30平方厘米；那么BEF的面積為平行四邊形BDEF面積的一半，為15平方厘米.根據(jù)幾何五大模型中的相似模型，由于DE為三角形ABC的中位線，長度為

8、BC的一半，則1EM:BMDE:BC1:2,所以EM_EB;3_,1EN:FNDE:FC1:1,所以EN-EF.21 111那么EMN的面積占BEF面積的11，所以陰影部分面積為151-12.5（平方厘米）.2 366（法2）如圖,連接AM.根據(jù)燕尾定理，Sabm：SbcmAE：EC1:1,SACM：SbcmAD:DB1:1,所以SBCO-SABC-6020平方厘米，而SBDCSABC6030平方厘米，所以3 322_1_SFCNSBDC7.5平方厘米，4那么陰影部分面積為207.512.5（平方厘米）.【總結(jié)】求三角形的面積，一般有三種方法：利用面積公式：底高2;利用整體減去部分；利用比例和

9、模型.【答案】【例3】12.5。如圖，已知$abc14,點(diǎn)D,E,F分別在AB,BC,CA上，且AD2,BD5,AFFC,SH邊形DBEFSaABE則Saabe是多少?【考點(diǎn)】【解析】相似三角形模型【難度】4星【題型】解答ABC的面積已知，若知道4ABE的面積占ABC的幾分之幾就可以計(jì)算出4ABE的面積.連,SH邊形DBEFSaABE-SADEFSAADEAC與DE平行,SAABESACDBAD2,BD5:ACD:S.'.CDB2:5SaabbSacdb5SBC5141077【答案】10?！眷柟獭咳鐖D，ABCD為正方形，AMNBDEFC1cm且MN2cm,請問四邊形PQRS的面積為多少

10、?【考點(diǎn)】相似三角形模型【難度】4星【題型】解答(法1)由AB/CD,后MP有MNDC所以PCMQQCMBEC所以MQ11以PQMC-MC2311-MC,所以SSPQR占Samcf的g，所以SSPQR(112)-(cm2).3(法2)如圖，連結(jié)AE,則SABE48(cm2),而RBABEREF所以受EFABEFSabr一SABE32c16,J8(cm).而Smbq33_1c,1c,2MNSans343(cm),因?yàn)?2DCMPPC所以MP1MC3SMNP1142,、,、一一1243-(cm),陰影部分面積等于SABRSANSSMBQSMNP16三、蝴蝶模型【例4】梯形的下底是上底的1.5倍，三

11、角形OBC的面積是9cm2,問三角形AOD的面積是多少?【考點(diǎn)】梯形模型【難度】2星【題型】解答五年級奧數(shù).幾何.五大模型【解析】根據(jù)梯形蝴蝶定理，a:b1:1.52:3,Saod：Sboca2:b222:324:9,所以SAOD4cm2【答案】4?！眷柟獭咳鐖D，梯形ABCD中，AOB、COD的面積分別為1.2和2.7,求梯形ABCD的面積.【考點(diǎn)】梯形模型【難度】2星【題型】解答【解析】根據(jù)梯形蝴蝶定理，Saob：Sacoda2：b24:9,所以a:b2:3,Saod：Saobab:a2b:a3:2,ULI13SAODSCOB1.21.8,S梯形ABCD1.21.81.82.77.52L2【

12、答案】7.5?！纠?】如圖，長方形中，若三角形1的面積與三角形3的面積比為4比5,四邊形2的面積為36,則三角形1的面積為【考點(diǎn)】梯形模型【難度】3星【題型】填空【解析】做輔助線如下：利用梯形模型，這樣發(fā)現(xiàn)四邊形2分成左右兩邊，其面積正好等于三角形1和三角形3,所以1的面積就是36-16,3的面積就是36-20.454520?！眷柟獭咳鐖D，正方形ABCD面積為3平方厘米，M是AD邊上的中點(diǎn).求圖中陰影部分的面積.【考點(diǎn)】梯形模型【難度】3星【題型】解答【解析】因?yàn)镸是AD邊上的中點(diǎn)，所以AM:BC1:2,根據(jù)梯形蝴蝶定理可以知道Saamg:Saabg:Samcg:Sabcg221:(12):(

13、12):21:2:2:4,設(shè)Saagm1份，則Samcd份，所以正方形的面積為1224312份，S陰影224份，所以與影：品方形1:3,所【答案】例6以Si影1平方厘米.1。平方厘米，那么正方形ABCD面積是平方厘米.【考點(diǎn)】【解析】【答案】【鞏固】梯形模型【難度】3星【題型】填空連接DE,根據(jù)題意可知方厘米），那么Sabcd12。BE:AD1:2,根據(jù)蝴蝶定理得S弟形（12）29（平方厘米），Saecd3（平12（平方厘米）.右圖中ABCD是梯形，ABED是平行四邊形，已知三角形面積如圖所示（單位：平方厘米），陰影在下圖的正方形ABCD中，E是BC邊的中點(diǎn)，AE與BD相交于F點(diǎn)，三角形BEF

14、的面積為1部分的面積是平方厘米.【考點(diǎn)】【解析】【答案】【例71梯形模型【難度】3星【題型】填空連接AE.由于AD與BC是平行的，所以AECD也是梯形，那么SocdSoae.根據(jù)蝴蝶定理，_2SOCDSOAESOCESOAD2816,故Socd16,所以Socd4（平方厘米）.另解：在平行1 1四邊形ABED中，Sade1Sabed116812（平方厘米），所以2 2SaoeSadeSaod1284（平方厘米），根據(jù)蝴蝶定理，陰影部分的面積為8244（平方厘米）.4。E是平行四邊形ABCD的CD邊上的一點(diǎn)，BD、AE相交于點(diǎn)F,已知三角形AFD的面積是6,三角形DEF的面積是4,求四邊形BCE

15、F的面積為多少？D【考點(diǎn)】梯形模型【難度】3星【題型】解答【解析】如圖，在平行線中的蝴蝶中，蝴蝶翅膀相等都為6,而頂上的三角形為6X6F=9,，”處的三角形面積為9+6-6-4=5從而所求四邊形面積為5=6=11.【答案】11?！眷柟獭咳鐖D所示，BD、CF將長方形ABCD分成4塊，DEF的面積是5平方厘米，CED的面積是10平方厘米.問：四邊形ABEF的面積是多少平方厘米？【考點(diǎn)】梯形模型【難度】3星【題型】解答【解析】連接BF,根據(jù)梯形模型，可知三角形BEF的面積和三角形DEC的面積相等，即其面積也是10平方厘米，再根據(jù)蝴蝶定理，三角形BCE的面積為1010520（平方厘米），所以長方形的面

16、積為2010260（平方厘米）.四邊形ABEF的面積為605102025（平方厘米）.【答案】25。例8如圖所示，BD、CF將長方形ABCD分成4塊，DEF的面積是4平方厘米，CED的面積是6平方厘米.問：四邊形ABEF的面積是多少平方厘米？BEF的面積和三角形DEC的BCE的面積為6649（平方【考點(diǎn)】梯形模型【難度】3星【題型】解答【解析】（法1）連接BF,根據(jù)面積比例模型或梯形蝴蝶定理，可知三角形面積相等，即其面積也是6平方厘米，再根據(jù)蝴蝶定理，三角形五年級奧數(shù).幾何.五大模型厘米），所以長方形的面積為96230（平方厘米）.四邊形ABEF的面積為3046911（平方厘米）.（法2）由題

17、意可知，空-2,根據(jù)相似三角形性質(zhì)，ED空2,所以三角形BCE的面積EC63EBEC3、，2.為：6-9（平方厘米）.則三角形CBD面積為15平方厘米，長方形面積為15230（平方厘3米）.四邊形ABEF的面積為3046911（平方厘米）.【答案】【鞏固】11。如圖，長方形ABCD被CE、DF分成四塊，已知其中3塊的面積分別為2、5、8平方厘米，那么余下的四邊形OFBC的面積為平方厘米.【考點(diǎn)】【解析】【答案】例9【考點(diǎn)】【解析】梯形模型【難度】3星【題型】填空連接DE、CF.四邊形EDCF為梯形，所以SEODSFOCSecd48面積為2459。SEOFSCOD,所以SEODSFOCSEODS

18、fFOC?又根據(jù)蝴蝶定理,SEOFSCOD212（平方厘米）.那么長方形ABCD的面積為12289（平方厘米）.正方形ABCD的邊長為6,E是BC的中點(diǎn)（如圖）。梯形模型【難度】3星【題型】填空四邊形816,所以SEOD4（平方厘米）,224平方厘米，四邊形OFBC的OECD的面積為連結(jié)DE,S°S-2EOS-DE2,即Sdeo-Sbed-366,SSaboSbeoSabe332'9,所以Soecd6915o【答案】15。【鞏固】如圖，長方形ABCD中，AOB是直角三角形且面積為54,OD的長是16,OB的長是9.那么四邊形OECD的面積是【難度】3星【題型】填空【考點(diǎn)】梯形

19、模型【解析】解法一：連接DE,依題意SiAOB11BOAO9AO2254,所以AO12,則SAOD1-11一-DOAO-161296.又因?yàn)镾/,aob22-1一一一，_3Sdoe54-16OE,所以O(shè)E6-,二24付S.'BOESOECDS，：bdc123*S:,BOES,ABDSBOEdLUbj54963530-119-.88解法二：由于Saod：SaobOD:OB16:9,所以SiaoddUd5416954,根據(jù)蝴蝶定理,S.：BOESaod一一一3一，S,；aobsfdoe,所以Sboe54549630一，所以8SoecdS：bdcS.'.BOE1S'ABDSj

20、BOE【答案】11958。四、燕尾定理【例10】如右圖，面積為1的4ABC中，BD:DE:EC1:2:1,CF:FG:GA1:2:1,AH:HI:IB1:2:1,求陰影部分面積.【考點(diǎn)】燕尾定理【解析】解答【題型】【難度】3星設(shè)IG交HF于M,IG交HD于NDF交EI于P.連接AM，IF.AI:AB3:4,AF:AC3:4,SaaifSAABC16-SAFIM:SAAMFIHSFIM:SAAIMFG：GA2,1SAAIMSAAIF4入ABC64AH:AI1:3-1SAAHMe&ABC,64AH:AB1:4AF:AC3:4,Saahf國&ABC16同理SACFDSABDH3SSA

21、ABC16-SAFDH7S-SAABC16HM:HF6416AI:AB3:4,AF:AC3:4,IF/BC又.IF:BC3:4,DE:BCDE:IF2:3,DP:PF2:3,同理HN:ND2:3,HM:HF1:4,HN:HD2:5,17SAHMN-SAHDFSAABC10160160同理6個(gè)小陰影三角形的面積均為160陰影部分面積6160218021o80【鞏固】如圖,ABC的面積為1,點(diǎn)D、E是BC邊的三等分點(diǎn)，點(diǎn)F、G是AC邊的三等分點(diǎn)，那么四邊形JKIH的面積是多少?CC【考點(diǎn)】燕尾定理【難度】3星【題型】解答【解析】連接CK、CI、CJ.根據(jù)燕尾定理，Sack:SabkCD：BDSAB

22、K:SCBKAG:CG1:2,所以SACK:SABK:SCBK1:2:4,那么Sack1sSACK3121類似分析可得S2SAGI15AF:CF2:1,BD:CD2:1,可得SACJ那么,Scgkj-11742184根據(jù)對稱性，可知四邊形CEHJ的面積也為,那么四邊形JKIH84周圍的圖形的面積之和為Scgkj2Sagic17SABE2842161，一一,-,所以四邊形JKIH的面積為11537061709701的正六邊形如圖擺放，求陰影三角形的面積.DEF的邊長為6個(gè)單位小正【答案】-9_。70課堂檢測【隨練1】四個(gè)面積為【考點(diǎn)】三角形的鳥頭模型【難度】4星【題型】解答【解析】如圖，將原圖擴(kuò)

23、展成一個(gè)大正三角形DEF,則AGF與CEH都是正三角形.假設(shè)正六邊形白勺邊長為為a,則AGF與CEH的邊長都是4a,所以大正三角形4217,那么它的面積為單位小正三角形面積的49倍.而一個(gè)正六邊形是由三角形組成的，所以一個(gè)單位小正三角形的面積為61,三角形DEF的面積為理由于FA4a,FB3a,所以AFB與三角形DEF的面積之比為4312.7749同理可知BDC、AEC與三角形DEF的面積之比都為12,所以ABC的面積占三角形DEF面49491313"649e-1213積的1_3一，所以ABC的面積的面積為494913【答案】-。6【隨練2】已知圖中每個(gè)正六邊形的面積都是1,則圖中虛

24、線圍成的五邊形ABCDE的面積是【考點(diǎn)】三角形的鳥頭模型【難度】4星【題型】解答【解析】從圖中可以看出，虛線AB和虛線CD外的圖形都等于兩個(gè)正六邊形的一半，也就是都等于一個(gè)正六邊形的面積；虛線BC和虛線DE外的圖形都等于一個(gè)正六邊形的一半，那么它們合起來等于一個(gè)正六邊形的面積；虛線AE外的圖形是兩個(gè)三角形，從右圖中可以看出，每個(gè)三角形都是一個(gè)正六邊形面積的1,所以虛線外圖形的面積等于131231，所以五邊形的面積是663八26.3110336|。家庭作業(yè)【作業(yè)1】僅用下圖這把刻度尺，最少測量次，就能得出三角形ABC和三角形BCD的面積比?！究键c(diǎn)】三角形的鳥頭模型【難度】5星【題型】解答【解析】

25、連接DA并延長交BC邊的延長線于E點(diǎn)，然后測出EA和ED的長度，由于EA與ED在一條直線上，所以測一次就能EA和ED長度，根據(jù)共邊定理可知，三角形ABC與三角形BCD的面積比就等于EA比ED,故最少測量1次就可解決問題?！敬鸢浮?次?！咀鳂I(yè)2】如圖，正方形ABCD中，E、F、G、H分別為各邊的中點(diǎn)，J為GD的中點(diǎn)，EJ交CD于I。已知正方形ABCD邊長為10cm,則圖中陰影部分的面積是cm2.【考點(diǎn)】相似三角形模型【難度】4星【題型】填空五年級奧數(shù).幾何.五大模型【解析】方法一、連結(jié)EG、FJ可得GI:IF=2:3,所以陰影部分的面積應(yīng)該是正方形EFGH的十分之也就是大正方形的十分之一，為10cm2。方法二：根據(jù)同底等高的兩個(gè)三角形面積相等，左圖中陰影面積與右圖中的陰影面積相等。只要找到底邊的比例關(guān)系便可以解答。根據(jù)相似三角形”就是常說的沙漏定理。來找到底邊a、b的比例關(guān)系,但是需要添加輔助線，如圖所示：延長EA到K,使得EA=AK因?yàn)镋K:GJ=4:1,所以EI:IJ=4:1,三角形EGJ的面積是正方形面積的八分之一441,2SegiS|egj-1010-10(cm2)14-58【答案】10。【作業(yè)3】如圖，三角形ABC的面積是1,BDDEEC,CFFGGA,三角形A