《空間幾何中的角度計(jì)算與距離計(jì)算》導(dǎo)學(xué)案

1、導(dǎo) 學(xué) 固 思. . . 1.利用直線與平面的平行和垂直的判定定理、性質(zhì)定理進(jìn)行一些空間幾何中的線面角和二面角的計(jì)算.2.空間幾何中有關(guān)的點(diǎn)面距離、空間幾何體的高和體積的計(jì)算.導(dǎo) 學(xué) 固 思. . . 前面我們了解了直線與平面所成的角、二面角的概念,那么在實(shí)際應(yīng)用中我們?nèi)绾斡?jì)算它們的角度呢?又有哪些方法技巧呢?我們在了解距離概念后,能否求出幾何體的高,進(jìn)一步求出空間幾何體的體積呢?今天我們將初步揭開它們的面紗,探尋解這類問題的方法規(guī)律呢?導(dǎo) 學(xué) 固 思. . . 問題1空間幾何體的角度和距離空間幾何體的角度和距離(1)空間幾何中有關(guān)角度的類型有:線線角:主要指兩條異面直線所成角. :直線與平面

2、所成角. :從一條直線出發(fā)的兩個半平面所成的圖形. 線面角二面角點(diǎn)到直線的距離點(diǎn)到平面的距離(2)空間幾何中有關(guān)距離的類型有: 、 、 . 、兩異面直線間的距離(不要求掌握)、直線與平面平行時的線面距離、 .這些距離問題往往都會轉(zhuǎn)化成點(diǎn)面、點(diǎn)線之間的距離來求解. 兩平行線間的距離兩平行平面之間的距離導(dǎo) 學(xué) 固 思. . . 問題2求直線與平面所成角的基本思想和方法求直線與平面所成角的基本思想和方法求直線和平面所成的角,幾何法一般先定斜足,再作垂線找射影,然后通過 求解,可以簡述為“作(作出線面角)證(證所作為所求)求(解直角三角形)”.通常,通過斜線上某個特殊點(diǎn)作出平面的垂線段,垂足和斜足的連

3、線是產(chǎn)生線面角的關(guān)鍵. 解直角三角形求二面角的基本思想和方法求二面角的基本思想和方法問題3求二面角時,關(guān)鍵是作出二面角的平面角,其常用作法有三種:導(dǎo) 學(xué) 固 思. . . (1)定義法:在二面角的棱上找一點(diǎn)(為了便于解決問題,可結(jié)合圖形找某特殊的點(diǎn)),在兩個半平面內(nèi)過該點(diǎn)分別作與棱 的射線. (2)垂面法:過棱上一點(diǎn)作棱的垂面,該平面與二面角的兩個半平面形成交線(實(shí)質(zhì)是射線),這 所成的角是二面角的平面角.垂直兩條交線(3)垂線法:如圖,由一個半平面內(nèi)不在棱上的點(diǎn)A向另一個半平面作垂線AB,垂足為B,由點(diǎn)B向二面角的棱作垂線BO,垂足為O,連接AO,易證 即為二面角的平面角.AOB導(dǎo) 學(xué) 固

4、思. . . 求空間中的點(diǎn)面距離的基本思想和方法求空間中的點(diǎn)面距離的基本思想和方法問題4空間中的距離問題都可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離,故解決點(diǎn)面距離問題是一切距離問題的基礎(chǔ),通常有以下幾種方法求空間中的點(diǎn)面距離:(1)找出該點(diǎn)到平面的 ,再找到垂線段所在的 ,然后 求出垂線段的長度,運(yùn)用這種方法求解關(guān)鍵在于垂足是否容易找到及三角形是否易解. (2)該點(diǎn)的垂線段不容易尋找時,可以將該點(diǎn)等價轉(zhuǎn)化為其他點(diǎn)到相應(yīng)平面的距離.垂線段三角形解直角三角形導(dǎo) 學(xué) 固 思. . . 如:直線與平面 時,該直線上任意一點(diǎn)到平面的距離相等;兩平面 時,其中一個平面上的任意一點(diǎn)到另一平面的距離相等;線段被平面 時,線段兩端的

5、點(diǎn)到平面的距離相等. (3)體積法:根據(jù)體積公式,若求出該幾何體的. 和 ,也就可以求出高,即點(diǎn)到平面的距離. 平行平分體積平行底面積導(dǎo) 學(xué) 固 思. . . 1A已知A,P,PA與平面所成的角為60,PA=4,則PA在平面上的射影的長度為().導(dǎo) 學(xué) 固 思. . . 已知平面ABC平面ABD=AB,直線m,n滿足:m平面ABC,n平面ABD,直線m,n所成的角為60,則二面角C-AB-D的大小為().2DA.30 B.60C.120 D.60或120【解析】 兩個半平面的垂線所成的角,與二面角相等或互補(bǔ),故選D.導(dǎo) 學(xué) 固 思. . . 在三棱錐A-BCD中,AD底面BCD,BDDC,AD

6、=BD=DC=1,則點(diǎn)D到平面ABC的距離h= .導(dǎo) 學(xué) 固 思. . . 4導(dǎo) 學(xué) 固 思. . . 求直線與平面所成的角求直線與平面所成的角導(dǎo) 學(xué) 固 思. . . 導(dǎo) 學(xué) 固 思. . . 求二面角求二面角如圖,在ABC中,ABBC,SA平面ABC,DE垂直平分SC,且分別交AC、SC于點(diǎn)D、E,又SA=AB,SB=BC,求二面角E-BD-C的大小.導(dǎo) 學(xué) 固 思. . . 求點(diǎn)到直線的距離求點(diǎn)到直線的距離如圖,底面是正方形ABCD,PC平面ABCD,E,F是AB,AD的中點(diǎn),AB=4,PC=3.(1)求證:EF平面PCH;(2)求點(diǎn)B到平面PEF的距離.導(dǎo) 學(xué) 固 思. . . 導(dǎo) 學(xué) 固 思. . . 在三棱錐P-ABC中,側(cè)面PAC與面ABC垂直,PA=PB=PC=3.(1)求證:ABBC;(2)若AC=4,求PB與平面ABC所成角的余弦值.導(dǎo) 學(xué) 固 思. . . 導(dǎo) 學(xué) 固 思.