二次函數(shù)圖像與性質(zhì)專(zhuān)習(xí)題復(fù)習(xí)題

1、 二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)一、二次函數(shù)的基本形式1. 二次函數(shù)基本形式：的性質(zhì)：a 的絕對(duì)值越大，拋物線的開(kāi)口越小。的符號(hào)開(kāi)口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱(chēng)軸性質(zhì)向上軸時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，隨的增大而減??；時(shí)，有最小值向下軸時(shí)，隨的增大而減??；時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，有最大值2. 的性質(zhì)：上加下減。的符號(hào)開(kāi)口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱(chēng)軸性質(zhì)向上軸時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，隨的增大而減?。粫r(shí)，有最小值向下軸時(shí)，隨的增大而減??；時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，有最大值3. 的性質(zhì)：左加右減。的符號(hào)開(kāi)口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱(chēng)軸性質(zhì)向上X=h時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，隨的增大而減??；時(shí)，有最小值向下X=h時(shí)，隨的增大而減??；時(shí)，隨的增大而增大；

2、時(shí)，有最大值4. 的性質(zhì)：的符號(hào)開(kāi)口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱(chēng)軸性質(zhì)向上X=h時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，隨的增大而減?。粫r(shí)，有最小值向下X=h時(shí)，隨的增大而減??；時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，有最大值二、二次函數(shù)圖象的平移 1. 平移步驟：方法一： 將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式，確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)； 保持拋物線的形狀不變，將其頂點(diǎn)平移到處，具體平移方法如下： 2. 平移規(guī)律 在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“值正右移，負(fù)左移；值正上移，負(fù)下移”概括成八個(gè)字“左加右減，上加下減” 方法二：沿軸平移:向上（下）平移個(gè)單位，變成（或）沿軸平移：向左（右）平移個(gè)單位，變成（或） 三、二次函數(shù)與的比較從解析式上看，與是兩種不同的表達(dá)形式，后

3、者通過(guò)配方可以得到前者，即，其中四、二次函數(shù)圖象的畫(huà)法五點(diǎn)繪圖法：利用配方法將二次函數(shù)化為頂點(diǎn)式，確定其開(kāi)口方向、對(duì)稱(chēng)軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后在對(duì)稱(chēng)軸兩側(cè)，左右對(duì)稱(chēng)地描點(diǎn)畫(huà)圖.一般我們選取的五點(diǎn)為：頂點(diǎn)、與軸的交點(diǎn)、以及關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)、與軸的交點(diǎn)，（若與軸沒(méi)有交點(diǎn)，則取兩組關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)）.畫(huà)草圖時(shí)應(yīng)抓住以下幾點(diǎn)：開(kāi)口方向，對(duì)稱(chēng)軸，頂點(diǎn)，與軸的交點(diǎn)，與軸的交點(diǎn).五、二次函數(shù)的性質(zhì) 1. 當(dāng)時(shí)，拋物線開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為當(dāng)時(shí)，隨的增大而減??；當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大；當(dāng)時(shí)，有最小值 2. 當(dāng)時(shí)，拋物線開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大；當(dāng)時(shí)，隨的增大而減??；當(dāng)時(shí)，有最大值

4、六、二次函數(shù)解析式的表示方法1. 一般式：（，為常數(shù)，）；2. 頂點(diǎn)式：（，為常數(shù)，）；3. 兩根式：（，是拋物線與軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)）.注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點(diǎn)式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫(xiě)成交點(diǎn)式，只有拋物線與軸有交點(diǎn)，即時(shí)，拋物線的解析式才可以用交點(diǎn)式表示二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化.七、二次函數(shù)的圖象與各項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān)系 1. 二次項(xiàng)系數(shù)二次函數(shù)中，作為二次項(xiàng)系數(shù)，顯然 當(dāng)時(shí)，拋物線開(kāi)口向上，的值越大，開(kāi)口越小，反之的值越小，開(kāi)口越大； 當(dāng)時(shí)，拋物線開(kāi)口向下，的值越小，開(kāi)口越小，反之的值越大，開(kāi)口越大總結(jié)起來(lái)，決定了拋物線開(kāi)口的大小和方向，的正負(fù)決定開(kāi)口方

5、向，的大小決定開(kāi)口的大小2. 一次項(xiàng)系數(shù) 在二次項(xiàng)系數(shù)確定的前提下，決定了拋物線的對(duì)稱(chēng)軸 在的前提下，當(dāng)時(shí)，即拋物線的對(duì)稱(chēng)軸在軸左側(cè)；當(dāng)時(shí)，即拋物線的對(duì)稱(chēng)軸就是軸；當(dāng)時(shí)，即拋物線對(duì)稱(chēng)軸在軸的右側(cè) 在的前提下，結(jié)論剛好與上述相反，即當(dāng)時(shí)，即拋物線的對(duì)稱(chēng)軸在軸右側(cè)；當(dāng)時(shí)，即拋物線的對(duì)稱(chēng)軸就是軸；當(dāng)時(shí)，即拋物線對(duì)稱(chēng)軸在軸的左側(cè)總結(jié)起來(lái)，在確定的前提下，決定了拋物線對(duì)稱(chēng)軸的位置的符號(hào)的判定：對(duì)稱(chēng)軸在軸左邊則，在軸的右側(cè)則，概括的說(shuō)就是“左同右異”總結(jié)： 3. 常數(shù)項(xiàng) 當(dāng)時(shí)，拋物線與軸的交點(diǎn)在軸上方，即拋物線與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為正； 當(dāng)時(shí)，拋物線與軸的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，即拋物線與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為； 當(dāng)時(shí)，拋

6、物線與軸的交點(diǎn)在軸下方，即拋物線與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為負(fù) 總結(jié)起來(lái)，決定了拋物線與軸交點(diǎn)的位置 總之，只要都確定，那么這條拋物線就是唯一確定的二次函數(shù)解析式的確定：根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式，通常利用待定系數(shù)法用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式必須根據(jù)題目的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)男问?，才能使解題簡(jiǎn)便一般來(lái)說(shuō)，有如下幾種情況：1. 已知拋物線上三點(diǎn)的坐標(biāo)，一般選用一般式；2. 已知拋物線頂點(diǎn)或?qū)ΨQ(chēng)軸或最大（?。┲担话氵x用頂點(diǎn)式；3. 已知拋物線與軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，一般選用兩根式；4. 已知拋物線上縱坐標(biāo)相同的兩點(diǎn)，常選用頂點(diǎn)式八、二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng) 二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)一般有五種情況，可以用一般式或頂

7、點(diǎn)式表達(dá) 1. 關(guān)于軸對(duì)稱(chēng) 關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)后，得到的解析式是； 關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)后，得到的解析式是； 2. 關(guān)于軸對(duì)稱(chēng) 關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)后，得到的解析式是； 關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)后，得到的解析式是； 3. 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng) 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)后，得到的解析式是； 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)后，得到的解析式是； 4. 關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱(chēng)（即：拋物線繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°） 關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱(chēng)后，得到的解析式是；關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱(chēng)后，得到的解析式是 5. 關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng) 關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)后，得到的解析式是 根據(jù)對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，顯然無(wú)論作何種對(duì)稱(chēng)變換，拋物線的形狀一定不會(huì)發(fā)生變化，因此永遠(yuǎn)不變求拋物線的對(duì)稱(chēng)拋物線的表達(dá)式時(shí)，可以依據(jù)題意或方便運(yùn)算的原則，選擇合適的形式，習(xí)慣

8、上是先確定原拋物線（或表達(dá)式已知的拋物線）的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開(kāi)口方向，再確定其對(duì)稱(chēng)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開(kāi)口方向，然后再寫(xiě)出其對(duì)稱(chēng)拋物線的表達(dá)式二次函數(shù)圖像參考： 十一、【例題精講】一、一元二次函數(shù)的圖象的畫(huà)法【例1】求作函數(shù)的圖象【例2】求作函數(shù)的圖像。分析：畫(huà)二次函數(shù)圖象步驟： (1)配方； (2)列表； (3)描點(diǎn)成圖； 也可利用圖象的對(duì)稱(chēng)性，先畫(huà)出函數(shù)的左（右）邊部分圖象，再利用對(duì)稱(chēng)性描出右（左）部分就可。二、一元二次函數(shù)性質(zhì)【例3】求函數(shù)的最小值及圖象的對(duì)稱(chēng)軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)，并求它的單調(diào)區(qū)間?！纠?】求函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱(chēng)軸、最值。 【點(diǎn)評(píng)】要研究二次函數(shù)頂點(diǎn)、對(duì)稱(chēng)軸、最值、單調(diào)區(qū)間等性質(zhì)時(shí)，

9、方法有兩個(gè)：(1) 配方法；如例3(2) 公式法：適用于不容易配方題目(二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)數(shù)或分?jǐn)?shù))如例4，可避免出錯(cuò)。任何一個(gè)函數(shù)都可配方成如下形式：【二次函數(shù)題型總結(jié)】1.關(guān)于二次函數(shù)的概念例1 如果函數(shù)是二次函數(shù)，那么m的值為 。例2 拋物線的開(kāi)口方向是 ；對(duì)稱(chēng)軸是 ；頂點(diǎn)為 。-1OX=1YX2.關(guān)于二次函數(shù)的性質(zhì)及圖象例3 函數(shù)的圖象如圖所示，則a、b、c，的符號(hào)為 ，例4 已知abc=0 9a3bc=0,則二次函數(shù)y=ax2bxc的圖像的頂點(diǎn)可能在（ ）（A） 第一或第二象限 （B）第三或第四象限 （B） （C）第一或第四象限 （D）第二或第三象限3.確定二次函數(shù)的解析式3o-13yx

10、例5 已知：函數(shù)的圖象如圖：那么函數(shù)解析式為（ ）（A） （B）（C） （D）4.一次函數(shù)圖像與二次函數(shù)圖像綜合考查例6 已知一次函數(shù)y=ax+c二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a0),它們?cè)谕蛔鴺?biāo)系中的大致圖象是( ). 例7 如圖：ABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，AB在X軸上，點(diǎn)C在第一象限，AC與Y軸交于點(diǎn)D，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0）（1）求 B、C、D三點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）拋物線經(jīng)過(guò)B、C、D三點(diǎn)，求它的解析式；【練習(xí)題】一、選擇題1. 二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是( )A.(2,11) B.（2，7） C.（2，11） D. （2，3）2. 把拋物線向上平移1個(gè)單位，得到的拋物線是（ ）A. B.

11、 C. D. 3.函數(shù)和在同一直角坐標(biāo)系中圖象可能是圖中的( ) 4.已知二次函數(shù)的圖象如圖所示,則下列結(jié)論: a,b同號(hào);當(dāng)和時(shí),函數(shù)值相等;當(dāng)時(shí), 的值只能取0.其中正確的個(gè)數(shù)是( ) 個(gè) 個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)5.已知二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)（-1，）及部分圖象(如圖),由圖象可知關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)根分別是（）. 6. 已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，則點(diǎn)在（ ）A第一象限B第二象限C第三象限 D第四象限7.方程的正根的個(gè)數(shù)為（ ）個(gè) 個(gè) 個(gè). 3 個(gè)8.已知拋物線過(guò)點(diǎn)A(2,0),B(-1,0),與軸交于點(diǎn)C,且OC=2.則這條拋物線的解析式為A. B. C. 或 D. 或二、填空題9

12、二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸是，則_。10已知拋物線y=-2（x+3）²+5，如果y隨x的增大而減小，那么x的取值范圍是_.11一個(gè)函數(shù)具有下列性質(zhì)：圖象過(guò)點(diǎn)（1，2），當(dāng)0時(shí)，函數(shù)值隨自變量的增大而增大；滿足上述兩條性質(zhì)的函數(shù)的解析式是 （只寫(xiě)一個(gè)即可）。12拋物線的頂點(diǎn)為C，已知直線過(guò)點(diǎn)C，則這條直線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積為 。13. 二次函數(shù)的圖象是由的圖象向左平移1個(gè)單位,再向下平移2個(gè)單位得到的,則b= ,c= 。14如圖，一橋拱呈拋物線狀，橋的最大高度是16米，跨度是40米，在線段AB上離中心M處5米的地方，橋的高度是 (取.三、解答題：15.已知二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸是,圖象經(jīng)過(guò)(1,-6),且與軸的交點(diǎn)為(0,).(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式;(2)當(dāng)x為何值時(shí),這個(gè)函數(shù)的函數(shù)值為0(3)當(dāng)x在什么范圍內(nèi)變化時(shí),這個(gè)函數(shù)的函數(shù)值隨x的增大而增大第15題圖16.某種爆竹點(diǎn)燃后，其上升高度h（米）和時(shí)間t（秒）符合關(guān)系式 （0<t2），其中重