20XX常微分方程考研復(fù)試習(xí)題庫及答案

1、123132133138139143144145146150151156157162164167168-173174177178180-184185189190192193194195198199202203205206210211216217221222226227229230233234235236241242將（2x-4y+6）dx+(x+y-3)dy=0化為齊次方程。243求解=f(x+y+1)244說明當(dāng)p(x連續(xù)時，線性齊次方程的0解唯一。245證明線性齊次方程任意兩個解的和與差仍是它的解。246常數(shù)變易法用變換y=C(x)exp(-dx)與線性齊次方程通解有什么不同248 dy/

2、dx-y=0.249求初值問題的解250求解2xy=4x.251求解方程y2y=xexp(2x),y(0)=0.252解方程=253設(shè)y(x),y(x)是一階線性方程兩個不相同的特解，試用這兩個特解來表示通解。254.用變量替換或微分方法將下面方程化為線性（1） xdx=( x2y+1)dy（2） (x+1)(y y-1)= y（3） y(x)=x+1255化下列方程為線性方程（1） y-y=x（2） y= y- x-1256將方程ydx+(y-x)dy=0給兩種解法。257試證明：凡具有通解為y=C(x) + (x)式的一階方程都是線性方程。其中(x) ， (x)為可微函數(shù)。常微分方程2答案

3、1231321331381391431441451461501511562157162163164167168173174177178180181184185189190192193194195198199202203205206210211216217221222226227229230233234235236241242方程變形為=，它的分子，分母兩條直線交點為（1,2）作變換，于是得到，它已經(jīng)是齊次方程。243令z=x+y+1,則1，于是=1+f(z),只要f(z)0,可分離變量得x=+C244因p(x)連續(xù)，y(x)= yexp(-)在p(x)連續(xù)的區(qū)間有意義，而exp(-)0。如果y

4、0，推出y(x)=0,如果y(x)0,故零解y(x)=0唯一。245設(shè)有兩個解y(x),y(x),則y (x)+p(x) y(x)0, y(x)+p(x) y(x) 0,則（y(x) y(x)）y(x)( y(x)+y(x)=( y (x)+p(x) y(x)+ y(x)+p(x) y(x) 0表明y(x)y(x)仍是解。246在線性齊次方程通解公式中C是任意常數(shù)而在常數(shù)變易法中C（x）是x的可微函數(shù)。將任意常數(shù)C變成可微函數(shù)C（x），期望它解決線性非齊次方程求解問題，這一方法成功了，稱為常數(shù)變易法。247用線性齊次方程通解公式得y=Cexp（sinx）249p(x)=-cosx用線性齊方程初

5、值問題解公式即得y=exp(sinx)250用線性方程通解公式：y=exp(-)(C+)dx)=exp(-x)(C+2exp (-x)=2+Cexp(-x)251公式求得方程通解y(x)=exp(2x) (C+ xexp(2x) exp(-2x)dx)=exp(2x)(c+x)利用初始條件代入上式y(tǒng)(0)=0=C,故y=x exp(2x)252x 看作自變量，y看成函數(shù)，則它是非線性方程，經(jīng)變形為x+y以x為未知函數(shù),y是自變量，它是線性方程，則通積分為x=exp()(c+=cexp(y)-y-1253任一解y(x)滿足（y(x) -y(x)）/ y(x)- y(x)=C,或(y(x)- -y

6、(x)+| y(x)這就是一階方程通解的結(jié)構(gòu)。254令z= x,則dz=2xdx,代入方程得1/2dz=(z-2y+1)dy它已經(jīng)是線性方程。（1） 令u=y,則=2yy,代回原方程得（x+1）(1/2u-1)=u,變形為=2這已經(jīng)是線性方程。（2） 它不是微分方程，但對它求導(dǎo)后得y(x)+1,這已經(jīng)是線性方程。-2xy=exp(x)cosx此為線性方程，從而通解為y=exp()(C+cosxexp(-)dx)=exp(x)(C+sinx) +y(x) (x),( (x)是已知可微函數(shù))此方程為線性方程，從而通解為y=exp(-dx)(C+(x) (x)exp(x)dx)dx=exp(-(x)(C+exp(x)( (x)-1)=Cexp(-(x)+ (x)-1255此為貝努利方程。令z=得z=,它是線性方程。（1） 此為黎卡提方程，通過觀察知它有一特解y=-x