2019-2020年高中數(shù)學第三章概率3.3幾何概型3.3.1-3.3.2幾何概型均勻隨機數(shù)的產(chǎn)生教學案新人教A版必修3

1、2019201920202020 年高中數(shù)學第三章概率年高中數(shù)學第三章概率 3.33.3 幾何概型幾何概型 3 33 31 1 一一 3 33 32 2 幾何幾何概型均概型均勻隨機數(shù)的產(chǎn)生教學案新人教勻隨機數(shù)的產(chǎn)生教學案新人教 A A 版必修版必修 3 3預習課本預習課本P135140, ,思考并完成以下問題思考并完成以下問題(1)什么是幾何概型？(2)幾何概型的兩大特點是什么？(3)幾何概型的概率計算公式是什么？(4)均勻隨機數(shù)的含義是什么？它的主要作用有哪些?新知初探1. 幾何概型的定義如果每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度(面積或體積)成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡

2、稱幾何概型.2. 幾何概型的特點(1)試驗中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果有無限多個.(2)每個結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等.3. 幾何概型概率公式在幾何概型中，事件 A 的概率的計算公式為：_構(gòu)成事件 A 的區(qū)域長度面積或體積P(A)=試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長度面積或體積4. 均勻隨機數(shù)的產(chǎn)生(1)計算器上產(chǎn)生0,1的均勻隨機數(shù)的函數(shù)是 RAND 函數(shù).(2)Excel 軟件產(chǎn)生0,1區(qū)間上均勻隨機數(shù)的函數(shù)為“rand()”.5用模擬的方法近似計算某事件概率的方法(1)試驗模擬的方法：制作兩個轉(zhuǎn)盤模型，進行模擬試驗，并統(tǒng)計試驗結(jié)果.(2)計算機模擬的方法：用 Excel 的軟件產(chǎn)生0,1區(qū)間上均勻隨機數(shù)進行

3、模擬.注意操60解析:選 A 陰影部分對應的圓心角度數(shù)和為 60,所以飛鏢落在陰影內(nèi)的概率為而=1,飛鏢落在陰影內(nèi)的次數(shù)約為 30X|=5.2.已知集合 M=x|2WxW6,N=x|0W2xWl，在集合 M 中任取一個元素 x,則xwMnN 的概率是（公式得|=|,得 S1=-故選 D.4.在區(qū)間1,1上隨機取一個數(shù) x,則 xe0,1的概率為.101解析：根據(jù)幾何概型的概率的計算公式，可得所求概率為十=2答案：2課堂講練設計，舉一能通類題典例(1)在區(qū)間1,2上隨機取一個數(shù) X,貝 y|x|W1 的概率為.作步驟小試身手1.一個靶子如右圖所示，隨機地擲一個飛鏢扎在靶子上，假設飛鏢既不會落在靶

4、心，也不會落在陰影部分與空白的交線上，現(xiàn)隨機向靶擲飛鏢30 次，則飛鏢落在陰影部分的次數(shù)約為（）AB10C15D201A-A.91B81C43D8解析：選 B因為 N=x|0W2xWl=x|lWxW2,又 M=x|2WxW6,所以 MnN=x|lWxW2,211所以所求的概率為耳 2=83.如圖所示,半徑為 4 的圓中有一個小狗圖案,在圓中隨機撒一粒豆子,它落在小狗圖案內(nèi)的概率是則小狗圖案的面積是（）4nB丁8nC丁16nD丁解析：選 D 設小狗圖案的面積為 Sy圓的面積 S=nX42=16n，由幾何概型的計算與長度有關的幾何概型(2)某汽車站每隔 15min 有一輛汽車到達，乘客到達車站的時

5、刻是任意的，求一位乘客到達車站后等車時間超過 10min 的概率.解析(1)T 區(qū)間1,2的長度為 3,由|x|W1,得 xG1,1，而區(qū)間1,1的2 長度為2,x 取每個值為隨機的，.在1,2上取一個數(shù) x,|x|W1 的概率 P=.2 答案： 3(2)解：設上一輛車于時刻到達，而下一輛車于時刻 T2到達，則線段 TJ2的長度為 15,設T是線段 W 上的點，且T5,T2T=10，如圖所示.記“等車時間超過 10min”為事件 A,則當乘客到達車站的時刻 t 落在線段 TJ 上(不含端點)時，事件 A 發(fā)生.P(A)=TJ 的長度=_!=丄P(A丿一 TT 的長度15 一 3，12即該乘客等

6、車時間超過 10min 的概率是1. 解幾何概型概率問題的一般步驟(1)選擇適當?shù)挠^察角度(一定要注意觀察角度的等可能性)；(2)把基本事件轉(zhuǎn)化為與之對應的區(qū)域 D；(3)把所求隨機事件 A 轉(zhuǎn)化為與之對應的區(qū)域 I；(4)利用概率公式計算.2. 與長度有關的幾何概型問題的計算公式如果試驗的結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域的幾何度量可用長度表示，則其概率的計算公式為：P(A)_構(gòu)成事件 A 的區(qū)域長度P(A)試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長度.活學活用一個路口的紅燈亮的時間為 30 秒，黃燈亮的時間為 5 秒，綠燈亮的時間為 40 秒，當你到達路口時，看見下列三種情況的概率各是多少？(1)紅燈亮；(2)黃燈亮；(3

7、)不是紅燈亮.解：在 75 秒內(nèi)，每一時刻到達路口亮燈的時間是等可能的，屬于幾何概型P_紅燈亮的時間_30=2=全部時間=30+40+5=5(2)P=黃燈亮的時間5=丄=全部時間=75=15.(3)法 p=不是紅燈亮的時間=黃燈亮或綠燈亮的時間 453(3)法一：=全部時間=全部時間=75=5-23法二：P=iP(紅燈亮)=二=5V典例(1)(福建高考)如圖，矩形 ABCD 中，點 A 在 x 軸上,x+1,x0,點 B 的坐標為(1,0),且點 C 與點 D 在函數(shù) f(x)=1,2x+1,x0的圖象上.若在矩形 ABCD 內(nèi)隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率等于()A.CC.8(2)有一

8、個底面圓的半徑為 1、高為 2 的圓柱,點 O 為這個圓柱底面圓的圓心,在這個圓柱內(nèi)隨機取一點 P,則點 P 到點 0 的距離大于 1 的概率為.解析 (1)依題意得， 點 C 的坐標為(1,2),所以點 D 的坐標為(一 2,2),所以矩形 ABCD13的面積 S矩形ARCD=3X2=6,陰影部分的面積 S陰影=2X3X1=2,根據(jù)幾何概型的概率求解公矩形ABCD陰影223S21式，得所求的概率P=S*=6=4,故選B.矩形ABCD(2)先求點 P 到點 0 的距離小于 1 或等于 1 的概率，圓柱的體積 V圓柱=nXl2X2=2n,圓柱142以 O 為球心，1 為半徑且在圓柱內(nèi)部的半球的體

9、積 V半球=2x-nxi3=-n貝 9 點 P 到點 O 的半球23323n112距離小于 1 或等于 1 的概率為：=孑故點P到點 0 的距離大于 1 的概率為：13=3.題型二與面積和體積有關的幾何概型B4D22n3332答案(1)B(2)1X24在以 AB 為直徑的半圓內(nèi)的概率是(解析:選 B設質(zhì)點落在以 AB 為直徑的半圓內(nèi)為事件 A,則 P(A)=陰影面積長方形面積1.與面積有關的幾何概型的概率公式如果試驗的結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域的幾何度量可用面積表示，則其概率的計算公式為:P(A)_構(gòu)成事件 A 的區(qū)域面積P(試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域面積.2與體積有關的幾何概型概率的求法如果試驗的結(jié)果

10、所構(gòu)成的區(qū)域的幾何度量可用體積表示，則其概率的計算公式為P(A)_構(gòu)成事件 A 的區(qū)域體積P(A)試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域體積.活學活用1在一球內(nèi)有一棱長為 1 的內(nèi)接正方體， 一點在球內(nèi)運動， 則此點落在正方體內(nèi)部的概率為()A.品n解析：選 D 由題意可得正方體的體積為 V=1.又球的直徑是正方體的體對角線，故球2；33n2.若將一個質(zhì)點隨機投入如圖所示的長方形 ABCD 中，其中 AB2,BC1，則質(zhì)點落B.32nD.3n343的半徑 R專球的體積 V2jnRj專 n則此點落在正方體內(nèi)的概率為 P=V*2#-用隨機模擬估計面積型的幾何概型典例解放軍某部隊進行特種兵跳傘演習，如圖所示,在

11、長為 16m,寬為 14m 的矩形內(nèi)有大、中、小三個同心圓，其半徑分別為 1m、2m、5m.若著陸點在圓環(huán) B 內(nèi)，則跳傘成績?yōu)楹细瘢蝗糁扅c在環(huán)狀的陰影部分，則跳傘成績?yōu)榱己?；若跳傘者的著陸點在小圓 A 內(nèi)，則跳傘成績?yōu)閮?yōu)秀；否則為不合格.若一位特種兵隨意跳下，假設他的著陸點在矩形內(nèi)，利用隨機模擬的方法求他的成績?yōu)榱己玫母怕?解設事件 A 表示“該特種兵跳傘的成績?yōu)榱己谩?(1)利用計算器或計算機產(chǎn)生兩組0,1上的均勻隨機數(shù)，=RAND,b=RAND.(2)經(jīng)過伸縮和平移變換，a=16a1-8,b=14R7,得到8,8與7,7上的均勻隨機數(shù).(3) 統(tǒng)計滿足一 8a8,7b7 的點(a,b)

12、的個數(shù) N.滿足 1a2+b24 的點(a,b)的個數(shù) N.1N(4)計算頻率 fn(A)=N即為所求概率的近似值.用隨機模擬方法估計長度型與面積型幾何概型的概率的聯(lián)系與區(qū)別(1)聯(lián)系：二者模擬試驗的方法和步驟基本相同，都需產(chǎn)生隨機數(shù)；(2)區(qū)別：長度型幾何概型只要產(chǎn)生一組均勻隨機數(shù)即可，所求事件的概率為表示事件的長度之比，對面積型幾何概型問題，一般需要確定點的位置，而一組隨機數(shù)是不能在平面上確定點的位置的，故需要利用兩組均勻隨機數(shù)分別表示點的橫縱坐標,從而確定點的位置,所求事件的概率為點的個數(shù)比.活學活用現(xiàn)向圖中所示正方形內(nèi)隨機地投擲飛鏢，試用隨機模擬的方法求飛鏢落在陰影部分的概率.解：(1

13、)利用計算器或計算機產(chǎn)生兩組 0 至 1 區(qū)間內(nèi)的均勻隨機數(shù),人(共N組)；(2)經(jīng)過平移和伸縮變換，a=2(ax0.5),b=2(b0.5)；1(3)數(shù)出滿足不等式 b4 的數(shù)組數(shù)叫.所求概率2122答案：3層級一學業(yè)水平達標1.如圖，一顆豆子隨機扔到桌面上，則它落在非陰影區(qū)域的概率為()A9B-6C-3D-362解析：選C試驗發(fā)生的范圍是整個桌面，其中非陰影部分面積占整個桌面的 9=3,而豆子落在任一點是等可能的，所以豆子落在非陰影區(qū)域的概率為 3,故選C.2.如圖所示，在一個邊長為 a，b(ab0)的矩形內(nèi)畫一個梯形，梯形上、下底長分別為 3 與 I，高為 b.向該矩形內(nèi)隨機地投一點，則

14、所投的點落在梯形內(nèi)部的概率為()A-1IB45C解析：選 cS矩形=ab，S梯形=Il3a+|ajb=1|ab-s 細故所投的點在梯形內(nèi)部的概率為 P=s梯形=矩形5123.已知函數(shù) f(x)=log2x,xG|，2,在區(qū)間|,2 上任取一點 x0,則使 f(x0)20 的概率為解析：欲使 f(x)=log2x0,則 xl,而 xG2，2,.X0G1,2,從而由幾何概型概率公式知所求概率 P=12一一可以發(fā)現(xiàn)， 試驗次數(shù)越多， 概率P越接近 14J.14.已知正三棱錐 SABC 的底面邊長為 4,高為 3,在正三棱錐內(nèi)任取一點 P,使得VABC0,y0,40、即兩直角邊邊長都為 120 米的等

15、腰直角三角形區(qū)域(不包括邊界).而-1O40120 x“A 與 C,B 與 D 之間的距離都不小于 40 米”(記為事件 M)的所有可能結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域為M=(x,y)|x40,y40,(x,y)，即圖中的陰影部分.12X40X401由幾何概型的概率計算公式得 P(M)=1-=9故 A 與 C，B 與 D 之間的距離都1X120X120不小于 40 米的概率為*22. (本小題滿分 12 分)海關對同時從 A,B,C 三個不同地區(qū)進口的某種商品進行抽樣檢測，從各地區(qū)進口此種商品的數(shù)量(單位：件)如表所示.工作人員用分層抽樣的方法從這些商品中抽取 6 件樣品進行檢測.地區(qū)ABC數(shù)量50150100

16、(1)求這 6 件樣品中來自 A，B，C 各地區(qū)商品的數(shù)量；(2)若在這 6 件樣本中隨機抽取 2 件送往甲機構(gòu)進行進一步檢測，求這 2 件商品來自相同地區(qū)的概率.解：(1)因為樣本容量與總體中的個體數(shù)的比是6_150+150+100=50，所以樣本中包含三個地區(qū)的個數(shù)數(shù)量分別是11150XTX_1,150X_3,100X_2.505050所以 A,B,C 三個地區(qū)的商品被選取的件數(shù)分別為 1,3,2.(2)設 6 件來自 A,B,C 三個地區(qū)的樣品分別為 A；B1,B2,BJq,q.則抽取的這 2 件商品構(gòu)成的所有基本事件為A，B，A，B，A，B，A，C，A，C，B，B，B，B，B，C ，B

17、123121213111C，B，B，B，C，B，C，B，C，B，C，C，C，共 15 個2232122313212每個樣品被抽到的機會均等，因此這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的記“抽取的這 2 件商品來自相同地區(qū)”為事件 D,則事件 D 包含的基本事件有B，B，B，B，B，B，C，C,共 4 個.121323124所以 P(D)=15，4即這 2 件商品來自相同地區(qū)的概率為2019-20202019-2020 年高中數(shù)學第三章概率年高中數(shù)學第三章概率 3.33.3 幾何概型學業(yè)分層測評蘇教版必修幾何概型學業(yè)分層測評蘇教版必修一、填空題1. 用隨機模擬的方法來估計圓周率 n 的近似值.在正方形中隨機

18、撒一把芝麻，如果撒了 1000 顆芝麻，落在正方形內(nèi)切圓內(nèi)的芝麻點數(shù)為 778 顆，那么這次模擬中 n 的近似值是.【解析】根據(jù)幾何概型及用頻率估計概率的思想，n=+=1卷，其中R為正方形內(nèi)切圓的半徑，解得 n=3.112.【答案】3.1122. 已知函數(shù) f(x)=log2x,xe2，2,在區(qū)間 22 上任取一點 x,則使 f(xo)20 的概率為.【解析】欲使 f(x)=log2x0,則 xl,而 xe2,2,xe1,2，從而由幾何概型概率公式知所求概率 P=2【答案】33._ 如圖 335，在平面直角坐標系中，Zx0T=60，以 0 為端點任作一射線，則射線落在銳角 ZxOT 內(nèi)的概率是

19、.212【解析】以 0 為起點作射線，設為 0A,則射線 OA 落在任何位置都是等可能的，落在ZxOT 內(nèi)的概率只與 ZxOT 的大小有關，符合幾何概型的條件.記“射線 0A 落在銳角 ZxOT內(nèi)”為事件 A,其幾何度量是 60，全體基本事件的度量是 360，由幾何概型概率計算公【答案】64.若將一個質(zhì)點隨機投入如圖 336 所示的長方形 ABCD 中，其中 AB=2,BC=1,則質(zhì)點落在以 AB 為直徑的半圓內(nèi)的概率是一【解析】由題意 AB=2,BC=1,可知長方形 ABCD 的面積 S=2X1=2，以 AB 為直徑n12的半圓的面積 S1=2XTTX12=y.故質(zhì)點落在以 AB 為直徑的半

20、圓內(nèi)的概率 P=q=7-【答案】75一只螞蟻在三邊邊長分別為 3,4,5 的三角形的邊上爬行，某時刻該螞蟻距離三角形的三個頂點的距離均超過 1 的概率為解析】邊長為 3,4,5 構(gòu)成直角三角形，【答案】26.只螞蟻在邊長分別為 6,8,10 的 AABC 區(qū)域內(nèi)隨機爬行，則其恰在到頂點 A 或頂點B 或頂點 C 的距離小于 1 的地方的概率為60式，可得 P(A)=360716.1+1P=13T4S122【解析】由題意知，三角形 ABC 為直角三角形,記“恰在到頂點 A 或 B 或 C 的距離小于 1”為事件 A.則事件 A 發(fā)生的圖形為圖中陰影部分面積，1n因為S,=2XnX1227._ 已

21、知集合 A=(x,y)|x|Wl,|y|Wl，現(xiàn)在集合內(nèi)任取一點，使得 X2+y21 的概率是【解析】 集合 A 表示的平面圖形是如圖所示的邊長為 1 的正方形， 其內(nèi)切圓為 X2+y2=1.設“在集合內(nèi)取一點， 使得 X2+y2W1”為事件 A,即所取的點在單位圓 X2+y2=1 上或內(nèi)部由幾何概型知P(A)=4-答案】8.已知正三棱錐 SABC 的底面邊長為 4,高為 3,在正三棱錐內(nèi)任取一點 P,使得VPABCPABCABC知,P點在三棱錐SABC的中截面AoBoC的下方，P=1S所以 P(A)ABC2448答案】n482VSABC的概率是SABC答案】、解答題9.兩人約定在 20:00

22、 到 21:00 之間相見，并且先到者必須等遲到者 40 分鐘方可離去,如果兩人出發(fā)是各自獨立的，在 20:00 至 21:00 各時刻相見的可能性是相等的，求兩人在約定時間相見的概率.【解】設兩人分別于 x 時和 y 時到達約見地點，要使兩人能在約定時間范圍內(nèi)相見,22當且僅當一 3x-y3-兩人到達約見地點所有時刻(x,y)的各種可能結(jié)果可用圖中的單位正方形內(nèi)(包括邊界)的點來表示，兩人能在約定的時間范圍內(nèi)相見的所有時刻(x,y)的各種可能結(jié)果可用圖中的陰影部分(包括邊界)來表示，因此陰影部分與單位正方形的面積比就反映了兩人在約定時間范圍內(nèi)相遇的可能性的大小，也就是所求的概率為：10.已知

23、|x|W2,|y|W2,點 P 的坐標為（x，y）.求當 x,yGR R 時，點 P 滿足(x2”+(y2)2W4 的概率;(2)求當 x,yGZ Z 時，點 P 滿足(x2 上+(y2”W4 的概率.【解】 如圖， 點 P 所在的區(qū)域為正方形 ABCD 的內(nèi)部(含邊界)， 滿足(x2)2+(y-2)2W4的點的區(qū)域為以(2,2)為圓心，2 為半徑的圓面(含邊界).又S正方形ABCD4X4=16,rSp=陰影PS單位正方形HD=812=9.S扇形=nSn扇形=S16Q 正方形ABCD16若 x,yWZ,則點 P 的坐標有(一 2,2),(2,1),(2,0),(2,1),(2,2),(1，2)，(1,1)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(0，2)，(0，1)，(0,0)，(0,1)，(0,2),(1,2),(1,1),(1,0),(1,1),(1,2),(2,2)(2,1),(2,0),(2,1),(2,2)共 25 個，滿足(x2”+(y2”W4 的有(0,2),(1,1),51(1,2),(2,0),(2,1)共 5 個，.點 P 滿足(x2)2+(y2)2W4 的概率 P：=-能力提升1如圖 337,半徑為 10cm 的圓