2019-2020年高一數(shù)學上冊銜接教材 滬教版

1、2019-20202019-2020 年高一數(shù)學上冊銜接教材滬教版年高一數(shù)學上冊銜接教材滬教版引入引入乘法公式乘法公式第一講因式分解第一講因式分解1.1提取公因式1.2.公式法（平方差，完全平方，立方和，立方差）1.3分組分解法1.4十字相乘法（重、難點）1.5關(guān)于x的二次三項式 ax2+bx+c（a*0）的因式分解.第二講函數(shù)與方程第二講函數(shù)與方程2.1一元二次方程2.1.1根的判別式2.1.2根與系數(shù)的關(guān)系（韋達定理）22二次函數(shù)2.2.1二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和性質(zhì)2.2.2二次函數(shù)的三種表示方式2.2.3二次函數(shù)的簡單應(yīng)用第三講第三講三角形的“四心乘法公式乘法公式我們在初中

2、已經(jīng)學習過了下列一些乘法公式：（1）平方差公式）平方差公式；（2）完全平方公式）完全平方公式我們還可以通過證明得到下列一些乘法公式(a+b)(a一ab2b)=3a+;b(a一b)(a+ab2b)=3a一；3b(a+b+c=a+b+c2(ab+bc；)ac(a+b)-a+3ab+3a2b+；(a一b)=a-3ab+3a2b一.b對上面列出的五個公式，有興趣的同學可以自己去證明例例1計算：(x+1)(x一1)(x2一x+1)(x2+x+1).解法一：解法一：原式=解法二：解法二：原式=(x+1)(x2一x+1)(x一1)(x2+x+1)例例2已知，求的值解：解：a2+b2+c2=(a+b+c)2一

3、2(ab+bc+ac)=8.練習練習1填空：(1)()；(2)；(3)(a+2b一c)2=a2+4b2+c2+(2選擇題：1）若是一個完全平方式，則等于（A）（B）（C）(D)2）不論，為何實數(shù)，的值()（A）總是正數(shù)(B) 總是負數(shù)（C）可以是零(D) 可以是正數(shù)也可以是負第一講因式分解第一講因式分解因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分組分解法另外還應(yīng)了解求根法及待定系數(shù)法1十字相乘法十字相乘法例例1分解因式：1）立方和公式）立方和公式2）立方差公式）立方差公式3）三數(shù)和平方公式）三數(shù)和平方公式4）兩數(shù)和立方公式）兩數(shù)和立方公式5）兩數(shù)差立方公式）兩數(shù)差立方公式(1)x

4、23x2；(3)；(4)解：解：(1)如圖1.1-1,將二次項X2分解成圖中的兩個x的積，再將常數(shù)項2分解成一1與一2的乘積， 而圖中的對角線上的兩個數(shù)乘積的和為一3x， 就是X2-3x+2中的一次項，所以，有X23x+2=(x1)(x-2).說明：說明：今后在分解與本例類似的二次三項式時，可以直接將圖1.1一1中的兩個x用1來表示(如圖1.12所示).(2) 由圖1.1一3，得x2+4x12=(x2)(x+6).(3) 由圖1.14，得(4)=xy+(xy)1=(x1)(y+1)(如圖1.15所示).課堂練習課堂練習一、填空題：1、把下列各式分解因式：1)_2)_3)4)5)6)7)_8)_

5、9)_(10)2、x2一4x+=(X+3)C+3、若 x2+ax+b=(x+2)C一4)則，。、選擇題：(每小題四個答案中只有一個是正確的)1、在多項式(1)(2)(3)(4)(5)中，有相同因式的是()A、只有(1)(2)B、只有(3)(4)C、只有(3)(5)D、(1)和(2)；(3)和(4)；(3)和(5)2、分解因式得()3、分解因式得()A、B、C、D、4、若多項式可分解為，則、的值是()A、，B、，C、，D、，2)x24x12；0.于是(1)當b2-4ac0時，方程的右端是一個正數(shù)，因此，原方程有兩個不相等的實數(shù)根1，2(2) 當b2-4 4ac=0 0時，方程的右端為零，因此，原

6、方程有兩個等的實數(shù)根xi=x2=-；一一(3) 當b24 4acA0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根時，方程有兩個不相等的實數(shù)根當當 A=A=0時時,方程有兩個相等的實數(shù)根方程有兩個相等的實數(shù)根例例1判定下列關(guān)于x的方程的根的情況(其中a為常數(shù))， 如果方程有實數(shù)根，寫出方程的實數(shù)根.3) )=x2=，方程沒有實數(shù)根，方程沒有實數(shù)根. .當當 AVAV01)x2-3x+3=0；2)x2-ax-1=0；(3)x2ax+(a1)=0；(4)x22x+a=0.解：(1)TA A=324x1x3=3V0,方程沒有實數(shù)根.(2)該方程的根的判別式 A A=a24x1x(1)=a2+40,所以方程一定有兩個不

7、等的實數(shù)根(3)由于該方程的根的判別式為A A=a24x1x(a1)=a24a+4=(a2)2,所以,1當a=2時，A A=0,所以方程有兩個相等的實數(shù)根x1=x2=1；2當a 定2 2 時，A A0,所以方程有兩個不相等的實數(shù)根x1=1,x2=a1.(3)由于該方程的根的判別式為A A=224x1xa=44a=4(1a)，所以1當 A A0,即4(1a)0,即aV1時，方程有兩個不相等的實數(shù)根，；2當 A A=0,即a=1時，方程有兩個相等的實數(shù)根x1=x2=1；3當 A AV0,即a1時，方程沒有實數(shù)根.說明：說明：在第3,4小題中，方程的根的判別式的符號隨著a的取值的變化而變化，于是，在

8、解題過程中，需要對a的取值情況進行討論，這一方法叫做分類討分類討論論.分類討論這一思想方法是高中數(shù)學中一個非常重要的方法,在今后的解題中會經(jīng)常地運用這一方法來解決問題.2.1.2根與系數(shù)的關(guān)系根與系數(shù)的關(guān)系( (韋達定理韋達定理) )若一元二次方程ax2+bx+c=0(a 書)有兩個實數(shù)根則有所以，一元二次方程的根與系數(shù)之間存在下列關(guān)系：如果如果ax2+ +bx+ +c= =0(a農(nóng)農(nóng)) )的兩根分別是的兩根分別是x1，x2, ,那么那么X+x2=,兀兀嚴嚴2= =這一關(guān)系也被稱為韋達定理韋達定理特別地，對于二次項系數(shù)為1的一元二次方程x2+px+q=0,若齊，x2是其兩根，由韋達定理可知兀+

9、兀2=p,x】.兀2=,艮卩p=一(兀+兀2),q=x.兀2，所以，方程x2+px+q=0可化為x2(x1+x2)x+x1x2=0,由于x1，x2是一元二次方程x2+px+q=0的兩根，所以，x1，x2也是一元二次方程x2(x1+x2)x+x.x2=0.因此有以兩個數(shù)叫，以兩個數(shù)叫，x2為根的一元二次方程為根的一元二次方程( (二次項系數(shù)為二次項系數(shù)為1) )是是X(x1+ +x2)x+ +xfx2= =0例例2已知方程的一個根是2,求它的另一個根及k的值.分析：分析：由于已知了方程的一個根，可以直接將這一根代入，求出k的值，再由方程解出另一個根.但由于我們學習了韋達定理，又可以利用韋達定理來

10、解題，即由于已知了方程的一個根及方程的二次項系數(shù)和常數(shù)項，于是可以利用兩根之積求出方程的另一個根，再由兩根之和求出k的值.解法一：解法一：T2是方程的一個根，.*.5x22+kx26=0,*.k=7.所以，方程就為5x27x6=0,解得x1=2,x2=.所以，方程的另一個根為一，k的值為一7.解法二解法二： 設(shè)方程的另一個根為兀,貝V2x1=, x1=.由()+2=， 得k=7.所以，方程的另一個根為一，k的值為一7.例例3已知關(guān)于x的方程x2+2(m2)x+m2+4=0有兩個實數(shù)根， 并且這兩個實數(shù)根的平方和比兩個根的積大21,求m的值.分析分析：本題可以利用韋達定理，由實數(shù)根的平方和比兩個

11、根的積大21得到關(guān)于m的方程，從而解得m的值.但在解題中需要特別注意的是，由于所給的方程有-b力2一仏+-b72-4ac-2b2a2a2a-b+ib2-4acxx-122a-b-ib2-4acb2-(b-24ac)4ac2a4a24a2兩個實數(shù)根，因此，其根的判別式應(yīng)大于零解：解：設(shè)x1,x2是方程的兩根，由韋達定理，得X+兀2=2 （m2）,X 兀2=%2+4.訐+呀xx2=21,.（x+x2）23Xx2=21,即2（m2）23（m2+4）=21,化簡，得m216m17=0,解得m=1,或m=17.當m=1時，方程為x2+6x+5=0,A A0,滿足題意；當m=17時，方程為x2+30 x+

12、293=0,A A=3024x1x293V0,不合題意，舍去綜上,m=17說明說明：（1）在本題的解題過程中,也可以先研究滿足方程有兩個實數(shù)根所對應(yīng)的m的范圍，然后再由“兩個實數(shù)根的平方和比兩個根的積大 2121”求出m的值，取滿足條件的m的值即可.（1）在今后的解題過程中,如果僅僅由韋達定理解題時,還要考慮到根的判別式 A A 是否大于或大于零.因為，韋達定理成立的前提是一元二次方程有實數(shù)根例例4已知兩個數(shù)的和為4,積為12,求這兩個數(shù)分分析： 我們可以設(shè)出這兩個數(shù)分別為x,y,利用二元方程求解出這兩個數(shù).也可以利用韋達定理轉(zhuǎn)化出一元二次方程來求解解法一：解法一：設(shè)這兩個數(shù)分別是x,y,則x

13、+y=4,xy=12由，得y=4x,代入，得x（4x）=12,即x24x12=0,X=2,X?=6.或因此,這兩個數(shù)是2和6解法二：解法二：由韋達定理可知,這兩個數(shù)是方程x24x12=0的兩個根解這個方程,得x1=2,x2=6所以,這兩個數(shù)是2和6說明：說明：從上面的兩種解法我們不難發(fā)現(xiàn),解法二（直接利用韋達定理來解題）要比解法一簡捷例例5若x1和x2分別是一元二次方程2x2+5x3=0的兩根.（1）求IXX21的值；（2）求的值；（3）X13+X23解：解：TX和x2分別是一元二次方程2x2+5x3=0的兩根，?I IXX2I3Xi2+X22一2XX2=(X+兀2)24兀兀2=+6=,IX_

14、X2I=.于是有下面的結(jié)論：若若x、和和x2分別是一元二次方程分別是一元二次方程ax2+ +bx+ +c= =0( (a 0),),則則x1x2l= =( (其其中中A=A=b24ac).).今后，在求一元二次方程的兩根之差的絕對值時，可以直接利用上面的結(jié)論.例 6若關(guān)于X的一元二次方程X2X+a4=0 的一根大于零、 另一根小于零， 求實數(shù)a的取值范圍解：設(shè)X,X2是方程的兩根，則XX2=a40.由得a4，由得7a4.Aa的取值范圍是a4.練習練習選擇題：()方程的根的情況是()(A)有一個實數(shù)根(B)有兩個不相等的實數(shù)根(C)有兩個相等的實數(shù)根(D)沒有實數(shù)根(2)若關(guān)于X的方程mX2+(

15、2m+)X+m=0有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)m的取值范圍是()(A)m(C)m,且m003填空:(D若方程X23X=0 的兩根分別是X和X2，則=.(2) 方程mx2+x2m=0(m工 0 0)的根的情況.(3) 以一 3和為根的一元二次方程是3.已知，當k取何值時，方程kx2+ax+b=0有兩個不相等的實數(shù)根？b+Jb2-4ac-b-Jb2-4ac2Jb2-4ac2a2a2aIX_X2I=1)5325(-)2-2X(-)+33722_437(_3、9()24X3+x23=(X+x2)(X2XX2+X22)=(X+x2)(X+x2)2_3XX2=()x()23x()=.說明：說明：一元二次方

16、程的兩根之差的絕對值兩根之差的絕對值是一個重要的量，今后我們經(jīng)常會遇到求這一個量的問題，為了解題簡便，我們可以探討出其一般規(guī)律：設(shè)X和X2分別是一元二次方程aX2+bX+c=0(a# #0),貝V，2)3)X2+X2(X+X)22XX+=42=X2X2X2-X2222(xx)2129習題習題2.1A組組選擇題:(1)已知關(guān)于x的方程x2+kx-2=0的一個根是 1,則它的另一個根是()(A)3(B)3(C)2(D)22)下列四個說法：1方程x2+2x7=0的兩根之和為一 2,兩根之積為一 7；2方程x22x+7=0的兩根之和為一 2,兩根之積為 7；3方程 3x27=0的兩根之和為 0,兩根之

17、積為；4方程 3x2+2x=0的兩根之和為一 2,兩根之積為 0.其中正確說法的個數(shù)是()(A)1個(B)2個(C)3個(D)4個(3)關(guān)于x的一元二次方程ax25x+a2+a=0 的一個根是 0,則a的值是()(A)0(B)1(C)1(D)0,或一 1填空:(1)_ 方程kx2+4x1=0的兩根之和為一 2,則k=.(2)_方程2x2x4=0的兩根為 a a,卩，則 a a2+P P2=.(3) 已知關(guān)于x的方程x2ax3a=0 的一個根是一 2,則它的另一個根是(4)方程 2x2+2x1=0的兩根為x1和x2，貝川x1x2l=試判定當m取何值時，關(guān)于x的一元二次方程m2x2(2m+1)x+

18、1=0有兩個不相等的實數(shù)根？有兩個相等的實數(shù)根？沒有實數(shù)根？求一個一元二次方程，使它的兩根分別是方程x27x1=0各根的相反數(shù).B組組選擇題:若關(guān)于x的方程x2(k21)xk1=0的兩根互為相反數(shù),則k的值為()(A)1,或1(B)1(C)1(D)0填空:(1)若m,n是方程x2+xxx1=0的兩個實數(shù)根，則m2n+mn2mn的值等于.(2)_如果a,b是方程x2+x1=0 的兩個實數(shù)根，那么代數(shù)式a3+a2b+ab2+b3的值是.已知關(guān)于x的方程x2kx2=0.(1) 求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根；(2) 設(shè)方程的兩根為x1和x2，如果 2(x1+x2)x1x2，求實數(shù)k的取值范圍.一元二

19、次方程ax2+bx+c=0(aOO)的兩根為x1和x2.求：(1) Ix1x21和；(2)x13x23關(guān)于x的方程x2+4x+m=0的兩根為x1，x2滿足 Ix1x2I=2,求實數(shù)m的值.C1組212選擇題：1)已知一個直角三角形的兩條直角邊長恰好是方程 2x28x7=0的兩根,則這個直角三角形的斜邊長等于()(A)(B)3(C)6(D)9(2)若x1，x2是方程2x24x+1=0的兩個根，則的值為()(A)6(B)4(C)3(D)1234123451(3)如果關(guān)于x的方程x22(1m)x+m2=0 有兩實數(shù)根 a a,卩，則 a a+卩的取值范圍為(A)a a+pp(B)a a+pp1p1(

20、D)a a+p1p1時，y隨著x的增大而減?。徊捎妹椟c法畫圖，選頂點A(1,4),與x軸交于點B和C,與y軸的交點為D(0,1),過這五點畫出圖象(如圖25所示).說明：說明：從這個例題可以看出，根據(jù)配方后得到的性質(zhì)畫函數(shù)的圖象，可以直接選出關(guān)鍵點,減少了選點的盲目性,使畫圖更簡便、圖象更精確函數(shù)函數(shù)y y= =axax2 2+ +bxbx+ +c c圖象作圖要領(lǐng)：圖象作圖要領(lǐng)：(1)(1)確定開口方向：由二次項系數(shù)確定開口方向：由二次項系數(shù)a決定決定(2)(2)確定對稱軸：對稱軸方程為確定對稱軸：對稱軸方程為(3)(3)確定圖象與確定圖象與x軸的交點情況軸的交點情況，若厶若厶。則與則與x軸有

21、兩個交點軸有兩個交點，可可由方程由方程X X2 2+ +bxbx+ +c=0c=0求出求出若若 4=0則與則與x軸有一個交點軸有一個交點， 可由方可由方程程X X2 2+ +bxbx+ +c=0c=0求出求出若若 AvO則與則與x軸有無交點。軸有無交點。(4)(4)確定圖象確定圖象與與y軸的交點情況軸的交點情況，令令x=0得得出出y=c, ,所以交點坐標為所以交點坐標為(0, ,c) )(5)(5)由以上各要素出草圖。由以上各要素出草圖。練習：作出以下二次函數(shù)的草圖(1)(2)(3)例例2某種產(chǎn)品的成本是120元/件， 試銷階段每件產(chǎn)品的售價x(元)與產(chǎn)品的日銷售量y(件)之間關(guān)系如下表所示：

22、x/元130150165y/件705035若日銷售量y是銷售價x的一次函數(shù)，那么，要使每天所獲得最大的利潤,每件產(chǎn)品 的 銷 售 價 應(yīng) 定 為 多 少 元 ？ 此 時 每 天 的 銷 售 利 潤 是 多 少 ？分析分析： 由于每天的利潤=日銷售量yx(銷售價x120),日銷售量y又是銷售價x的一次函數(shù)，所以，欲求每天所獲得的利潤最大值，首先需要求出每天的利潤與銷售價x之間的函數(shù)關(guān)系，然后，再由它們之間的函數(shù)關(guān)系求出每天利潤的最大值解：解：由于y是x的一次函數(shù)，于是，設(shè)y=kx+(B)將x=130,y=70；x=150,y=50代入方程，有解得k=1，b=200y=x+200設(shè)每天的利潤為z(

23、元)則z=(x+200)(x120)=x2+320 x24000=(x160)2+1600，當x=160時，z取最大值1600.答：答：當售價為160元/件時，每天的利潤最大，為1600元例 3把二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖像向上平移 2個單位，再向左平移 4 個單位，得到A)y=2x2B)y=2x24x+2函數(shù)y=x2的圖像，求b,c的值.解法一：y=x2+bx+c=(x+)2，把它的圖像向上平移 2個單位，再向左平移 4個單位,得到的圖像，也就是函數(shù)y=x2的圖像，所以，-4=0,2解得-=8，c=14.b2c-+2=0,、4解法二：把二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖像向上平移 2個單位，

24、再向左平移 4 個單位，得到函數(shù)y=x2的圖像，等價于把二次函數(shù)y=x2的圖像向下平移 2個單位，再向右平移 4 個單位，得到函數(shù)y=x2+bx+c的圖像.由于把二次函數(shù)y=x2的圖像向下平移 2 個單位，再向右平移 4個單位，得到函數(shù)y=(x4)2+2的圖像，即為y=x28x+14的圖像，化函數(shù)y=x28x+14與函數(shù)y=x2+bx+c表示同一個函數(shù)，b=8,c=14.說明：本例的兩種解法都是利用二次函數(shù)圖像的平移規(guī)律來解決問題，所以，同學們要牢固掌握二次函數(shù)圖像的變換規(guī)律.這兩種解法反映了兩種不同的思維方法：解法一，是直接利用條件進行正向的思維來解決的，其運算量相對較大；而解法二，則是利用

25、逆向思維，將原來的問題等價轉(zhuǎn)化成與之等價的問題來解，具有計算量小的優(yōu)點.今后，我們在解題時，可以根據(jù)題目的具體情況，選擇恰當?shù)姆椒▉斫鉀Q問題.例 4已知函數(shù)y=x2，22x 2，求該函數(shù)的最大值與最小值，并求出函數(shù)取最大值和最小值時所對應(yīng)的自變量x的值.分析：本例中函數(shù)自變量的范圍是一個變化的范圍，需要對a的取值進行討論.解：(1)當a=2 時，函數(shù)y=x2的圖象僅僅對應(yīng)著一個點(一 2,4)，所以，函數(shù)的最大值和最小值都是 4,此時x=2；(2)當一 2VaV0時，由圖 2.26可知，當x=2 時，函數(shù)取最大值y=4；當x=a時，函數(shù)取最小值y=a2；(3) 當 0022 時，由圖 2.26

26、可知，當x=a時，函數(shù)取最大值y=a2；當x=0 時,函數(shù)取最小值y=0.法，對a的所有可能情形進行討論.此外，本例中所研究的二次函數(shù)的自變量的取值不是取任意的實數(shù)，而是取部分實數(shù)來研究，在解決這一類問題時，通常需要借助于函數(shù)圖象來直觀地解決問題.練習練習1.選擇題：y-a2V4i/丨丨/Z2Oax圖 2.26說說明 ：明 ： 在本例中 ， 利用 了 分類 討 論的方(1)下列函數(shù)圖象中，頂點不在坐標軸上的是()(C)y=2x21(D)y=2x24x(2)函數(shù)y=2(x1)2+2是將函數(shù)y=2x2()(A) 向左平移 1 個單位、再向上平移 2個單位得到的(B) 向右平移 2 個單位、再向上平

27、移 1個單位得到的(C) 向下平移 2 個單位、再向右平移 1個單位得到的(D) 向上平移 2 個單位、再向右平移 1個單位得到的2填空題(1) 二次函數(shù)y=2x2mx+n圖象的頂點坐標為(1,一 2),則m=,n=.(2)_已知二次函數(shù)y=x2+(m2)x2m， 當m=時，函數(shù)圖象的頂點在y軸上；當m=時，函數(shù)圖象的頂點在x軸上；當m=時，函數(shù)圖象經(jīng)過原點.(3)_ 函數(shù)y=3(x+2)2+5 的圖象的開口向，對稱軸為，頂點坐標為;當x=時，函數(shù)取最值y=；當x時，y隨著x的增大而減小.3.求下列拋物線的開口方向、對稱軸、頂點坐標、最大(小)值及y隨x的變化情況,并畫出其圖象.(1)y=x2

28、2x3；(2)y=1+6xx2.4已知函數(shù)y=x22x+3，當自變量x在下列取值范圍內(nèi)時，分別求函數(shù)的最大值或最小值，并求當函數(shù)取最大(小)值時所對應(yīng)的自變量x的值：(1)x 2；(2)x22；(3)22x11；(4)00 x3A0時時，拋物線拋物線y= =ax2+ +bx+ +c(a 0)與與x軸有兩個交點軸有兩個交點；反過來反過來，若拋物若拋物線線y= =ox2+ +bx+ +c(o 0)與與x軸有兩個交點，則軸有兩個交點，則 AA0也成立也成立. .(2)(2) 當當 A A0時時， 拋物拋物線線yo+bx+Ha O)與與x軸有一個交點軸有一個交點( (拋物線的頂點拋物線的頂點) )；反

29、過來，若拋物線反過來，若拋物線丁丁= =02+ +心兀心兀+ + 創(chuàng)創(chuàng))與與x軸有一個交點，則軸有一個交點，則 A=A=0也成立也成立. .( (3) )當當 AVAV0時，拋物線時，拋物線y= =ax2+ +bx+ +c(a 0)與與x軸沒有交點；反過來，若拋物軸沒有交點；反過來，若拋物線線y= =ax2+ +bx+ +c(a 0)與與x軸沒有交點，則軸沒有交點，則 AVAV0也成立也成立. .=ax2-(x1+x2)x+x1x2a(x-x1)(x-x2).由上面的推導(dǎo)過程可以得到下面結(jié)論：若拋物線若拋物線y= =ax2+ +bx+ +c(a# #0)與與x軸交于軸交于A(x，0)，B(x2

30、, ,0)兩點，則其函數(shù)關(guān)系兩點，則其函數(shù)關(guān)系式可以表示為式可以表示為y= =a(x- -x1)(xx2)(a 0)這樣，也就得到了表示二次函數(shù)的第三種方法：3. .交點式交點式: :y= =a(xx1)(xx2)(a 0)，其中，其中x、，、，x2是二次函數(shù)圖象與是二次函數(shù)圖象與x軸交軸交點的橫坐標點的橫坐標今后，在求二次函數(shù)的表達式時，我們可以根據(jù)題目所提供的條件，選用一般式、頂點式、交點式這三種表達形式中的某一形式來解題例 1 已知某二次函數(shù)的最大值為 2,圖像的頂點在直線yx+1上，并且圖象經(jīng)過點(3，1)，求二次函數(shù)的解析式分析：在解本例時，要充分利用題目中所給出的條件最大值、頂點位

31、置，從而可以將二次函數(shù)設(shè)成頂點式，再由函數(shù)圖象過定點來求解出系數(shù)a.解：二次函數(shù)的最大值為 2,而最大值一定是其頂點的縱坐標，頂點的縱坐標為 2.又頂點在直線y=x+l 上,所以，2=x+1,x=1.頂點坐標是(1,2).設(shè)該二次函數(shù)的解析式為，二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(3,1),.*.,解得a=2.二次函數(shù)的解析式為，即y=-2x2+8x-7.于是，若拋物線yax2+bx+c(a 主0)與x軸有兩個交點A( (x則x1，x2是方程ax2+bx+c0的兩根，所以0)，B(x2，0)，即所以x1+x2，x1x2-(x1+x2)，x1x2yax2+bx+ca()說明：在解題時,由最大值確定出頂點的縱坐

32、標,再利用頂點的位置求出頂點坐標,然后設(shè)出二次函數(shù)的頂點式,最終解決了問題因此,在解題時,要充分挖掘題目所給的條件,并巧妙地利用條件簡捷地解決問題例 2已知二次函數(shù)的圖象過點(一 3,0),(1,0),且頂點到x軸的距離等于 2,求此二次函數(shù)的表達式分析一：由于題目所給的條件中,二次函數(shù)的圖象所過的兩點實際上就是二次函數(shù)的圖象與x軸的交點坐標,于是可以將函數(shù)的表達式設(shè)成交點式解法一：二次函數(shù)的圖象過點(-3,0),(1,0),可設(shè)二次函數(shù)為y=a(x+3)(x-1)(aO)O),展開,得y=ax22ax-3a,頂點的縱坐標為,由于二次函數(shù)圖象的頂點到x軸的距離2,|-4a|=2,即a=所以，二

33、次函數(shù)的表達式為丁=，或y=-.分析二：由于二次函數(shù)的圖象過點(一 3,0),(1,0),所以，對稱軸為直線x=-1,又由頂點到x軸的距離為2,可知頂點的縱坐標為2,或-2,于是,又可以將二次函數(shù)的表達式設(shè)成頂點式來解,然后再利用圖象過點(-3,0),或(1,0),就可以求得函數(shù)的表達式解法二：二次函數(shù)的圖象過點(-3,0),(1,0),對稱軸為直線x=-1又頂點到x軸的距離為 2,頂點的縱坐標為 2,或-2于是可設(shè)一次函數(shù)為y=a(x+1)2+2,或y=a(x+1)22,由于函數(shù)圖象過點(1,0),.0=a(1+1)2+2,或 0=a(1+1)22.a=,或a=.所以，所求的二次函數(shù)為y=-

34、(x+1)2+2,或y=(x+1)2-2.說明：說明：上述兩種解法分別從與x軸的交點坐標及頂點的坐標這兩個不同角度,利用交點式和頂點式來解題,在今后的解題過程中,要善于利用條件,選擇恰當?shù)姆椒▉斫鉀Q問題例例3已知二次函數(shù)的圖象過點(-1,-22),(0,-8),(2,8),求此二次函數(shù)的表達式解：解：設(shè)該二次函數(shù)為y=ax2+bx+c(a 0).由函數(shù)圖象過點(-1,-22),(0,-8),(2,8),可得22=ab+c,8=c,8=4a+2b+c,解得a=-2,b=12,c=-8所以,所求的二次函數(shù)為y=-2x2+12x-8通過上面的幾道例題,同學們能否歸納出：在什么情況下,分別利用函數(shù)的一

35、般式、頂點式、交點式來求二次函數(shù)的表達式？練習練習1選擇題:(1) 函數(shù)y=-x2+x-1圖象與x軸的交點個數(shù)是()(A)0個(B)1個(C)2個(D)無法確定(2) 函數(shù)y=2(x+1)2+2 的頂點坐標是()(A)(1，2)(B)(1，-2)(C)(-1，2)(D)(-1，-2)2填空：(1) 已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過與x軸交于點(一 1,0)和(2,0)，則該二次函數(shù)的解析式可設(shè)為y=a(aO)O).(2)_ 二次函數(shù)y=x2+A3x+1的函數(shù)圖象與x軸兩交點之間的距離為.3根據(jù)下列條件，求二次函數(shù)的解析式.1)圖象經(jīng)過點(1,-2),(0,-3),(-1,-6)；(2)當x=3時，函數(shù)有

36、最小值 5,且經(jīng)過點(1,11)；(3)函數(shù)圖象與x軸交于兩點(1 一邁，0)和(1+邁，0),并與y軸交于(0,2).2.2.3二次函數(shù)的簡單應(yīng)用一、函數(shù)圖象的平移變換與對稱變換一、函數(shù)圖象的平移變換與對稱變換1平移變換平移變換問題 1在把二次函數(shù)的圖象進行平移時，有什么特點？依據(jù)這一特點，可以怎樣來研究二次函數(shù)的圖象平移？我們不難發(fā)現(xiàn)：在對二次函數(shù)的圖象進行平移時，具有這樣的特點只改變函數(shù)圖象的位置、不改變其形狀，因此，在研究二次函數(shù)的圖象平移問題時，只需利用二次函數(shù)圖象的頂點式研究其頂點的位置即可例 1求把二次函數(shù)y=x24x+3的圖象經(jīng)過下列平移變換后得到的圖象所對應(yīng)的函數(shù)解析式：(1

37、)向右平移 2個單位， 向下平移 1 個單位； (2)向上平移 3個單位， 向左平移 2個單位分析：分析：由于平移變換只改變函數(shù)圖象的位置而不改變其形狀(即不改變二次項系數(shù))，所以只改變二次函數(shù)圖象的頂點位置(即只改變一次項和常數(shù)項)，所以，首先將二次函數(shù)的解析式變形為頂點式，然后，再依據(jù)平移變換后的二次函數(shù)圖象的頂點位置求出平移后函數(shù)圖像所對應(yīng)的解析式解：解：二次函數(shù)y=2 2x24 4x3 3的解析式可變?yōu)閥=2(xl)2l,其頂點坐標為(1，1)(1) 把函數(shù)y=2(x1)21的圖象向右平移2個單位，向下平移1個單位后,其函數(shù)圖象的頂點坐標是(3,2),所以,平移后所得到的函數(shù)圖象對應(yīng)的

38、函數(shù)表達式就為y=2(x3)22.(2) 把函數(shù)y=2(x1)21的圖象向上平移3個單位，向左平移2個單位后，其函數(shù)圖象的頂點坐標是(1，2)，所以，平移后所得到的函數(shù)圖象對應(yīng)的函數(shù)表達式就為y=2(x+1)2+2.2對稱變換對稱變換問題 2 在把二次函數(shù)的圖象關(guān)于與坐標軸平行的直線進行對稱變換時，有什么特點？依據(jù)這一特點，可以怎樣來研究二次函數(shù)的圖象平移？我們不難發(fā)現(xiàn)：在把二次函數(shù)的圖象關(guān)于與坐標軸平行的直線進行對稱變換時，具有這樣的特點只改變函數(shù)圖象的位置或開口方向、不改變其形狀，因此，在研究二次函數(shù)圖象的對稱變換問題時，關(guān)鍵是要抓住二次函數(shù)的頂點位置和開口方向來解決問題.例 2求把二次函

39、數(shù)y=2x24x+1的圖象關(guān)于下列直線對稱后所得到圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式：(1) 直線x=1；(2) 直線y=1.解：解：(1)如圖2.27，把二次函數(shù)y=2x24x+1的圖象關(guān)于直線x=1作對稱變換后，只改變圖象的頂點位置，不改變其形狀.由于y=2x24x+1=2(x1)21,可知，函數(shù)y=2x24x+1圖象的頂點為A(1,1)所以，對稱后所得到圖象的頂點為A1(3，1)，所以，二y=2(x+3)21，即y=2x2+12x+17.(2)如圖2.28，把二次函數(shù)y=2x24x+1的圖象關(guān)于直線x=1作對稱變換后，只改變圖象的頂點位置和開口方向，不改變其形狀.由于y=2x24x+1=2(x1)21，可知，函數(shù)y=2x24x+1圖象的頂點為A(1,1)，所以，對稱后所得到圖象的頂點為B(1，3)，且開口向下，所以，二次函數(shù)y=2x24x+1的圖象關(guān)于直線y=1對稱后所得到圖象的函數(shù)解析式為y=2(x1)2+3，即y=2x2+4x+1.練習練習1.選擇題：(1)把函數(shù)y=(x1)2+4 的圖象向左平移