第一章思考題

1、第一章思考題1.1平均速度與瞬時速度有何不同？在上面情況下，它們一致？21.2在極坐標(biāo)系中，vr=r,v.j-rd.為什么ar二r-rr而非r?為什么a=宀2宀而非rr?你能說出ar中的和中另一個rr出現(xiàn)的原因和它們的物理意義嗎？矚慫潤厲釤瘞睞櫪廡賴賃軔朧。1.3在內(nèi)稟方程中，an是怎樣產(chǎn)生的？為什么在空間曲線中它總沿著主法線方向？當(dāng)質(zhì)點(diǎn)沿空間運(yùn)動時，副法線方向的加速度等于零，而作用力在副法線方向的分量Fb般不等于零，這是不是違背了牛頓運(yùn)動定律呢？聞創(chuàng)溝燴鐺險(xiǎn)愛氌譴凈禍測樅。1.4在怎樣的運(yùn)動中只有a.而無為？在怎樣的運(yùn)動中又只有旳而無a?在怎樣的運(yùn)動中既有可而無a.？drdrdvdv1.5d

2、t與dt有無不同？dt與dt有無不同？試就直線運(yùn)動與曲線運(yùn)動分別加以討論1.6人以速度v向籃球網(wǎng)前進(jìn)，則當(dāng)其投籃時應(yīng)用什么角度投出？跟靜止時投籃有何不同？1.7雨點(diǎn)以勻速度v落下，在一有加速度a的火車中看，它走什么路經(jīng)？1.8某人以一定的功率劃船，逆流而上.當(dāng)船經(jīng)過一橋時，船上的漁竿不慎落入河中.兩分鐘后，此人才發(fā)現(xiàn)，立即返棹追趕.追到漁竿之處是在橋的下游600米的地方，問河水的流速是多大?殘騖樓諍錈瀨濟(jì)溆塹籟婭驟東。1.9物體運(yùn)動的速度是否總是和所受的外力的方向一致？為什么？1.10在那些條件下，物體可以作直線運(yùn)動？如果初速度的方向和力的方向一致，則物體是沿力的方向還是沿初速度的方向運(yùn)動？試

3、用一具體實(shí)例加以說明.釅錒極額閉鎮(zhèn)檜豬訣錐顧葒鈀。1.11質(zhì)點(diǎn)僅因重力作用而沿光滑靜止曲線下滑，達(dá)到任一點(diǎn)時的速度只和什么有關(guān)？為什么是這樣？假如不是光滑的將如何？彈貿(mào)攝爾霽斃攬磚鹵廡詒爾膚。1.12為什么被約束在一光滑靜止的曲線上運(yùn)動時，約束力不作功？我們利用動能定理或能量積分，能否求出約束力？如不能，應(yīng)當(dāng)怎樣去求？謀蕎摶篋飆鐸懟類蔣薔點(diǎn)鉍雜。1.13質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量是1千克，它運(yùn)動時的速度是v二3i2J3k，式中i、j、k是沿x、y、z軸上的單位矢量。求此質(zhì)點(diǎn)的動量和動能的量值。廈礴懇蹣駢時盡繼價騷巹癩龔。1.14在上題中，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)以上述速度運(yùn)動到（1，2，3）點(diǎn)時，它對原點(diǎn)0及z軸的動量矩各是多

4、少？1.15動量矩守恒是否就意味著動量也守恒？已知質(zhì)點(diǎn)受有心力作用而運(yùn)動時，動量矩是守恒的，問它的動量是否也守恒？煢楨廣鰳鯡選塊網(wǎng)羈淚鍍齊鈞。1.16如F二Fr,則在三維直角坐標(biāo)系中，仍有F=0的關(guān)系存在嗎？試驗(yàn)之。1.17在平方反比引力問題中，勢能曲線應(yīng)具有什么樣的形狀？01.18我國發(fā)射的第一顆人造地球衛(wèi)星的軌道平面和地球赤道平面的交角為68.5，比蘇聯(lián)及美國第一次發(fā)射的都要大。我們說，交角越大，技術(shù)要求越高，這是為什么？又交角大的優(yōu)點(diǎn)是什么？鵝婭盡損鵪慘歷蘢鴛賴縈詰聾。1.19盧瑟福公式對引力庫侖場來講也能適用嗎？為什么？第一章思考題解答1.1答：平均速度是運(yùn)動質(zhì)點(diǎn)在某一時間間隔t.：t

5、內(nèi)位矢大小和方向改變的平均快慢速度，其方向沿位移的方向即沿.：t對應(yīng)的軌跡割線方向；瞬時速度是運(yùn)動質(zhì)點(diǎn)在某時刻或某未知位矢和方向變化的快慢程度其方向沿該時刻質(zhì)點(diǎn)所在點(diǎn)軌跡的切線方向。在鳳0的極限情況，二者一致，在勻速直線運(yùn)動中二者也一致的?；[叢媽羥為贍債蟶練淨(jìng)櫧撻曉。1.2答：質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動時，徑向速度Vr和橫向速度V0的大小、方向都改變，而ar中的r只反映了Vr本身大小的改變，屯中的rm只是V0本身大小的改變。事實(shí)上，橫向速度V0方向的改變會引起徑向速度Vr大小大改變，-廠2就是反映這種改變的加速度分量；經(jīng)向速度Vr的方向改變也引起V0的大小改變，另一個rr即為反映這種改變的加速度分量，故ar=r

6、r2,2.。這表示質(zhì)點(diǎn)的徑向與橫向運(yùn)動在相互影響，它們一起才能完整地描述質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動變化情況預(yù)頌圣鉉儐歲齦訝驊糴買闥齙。1.3答：內(nèi)稟方程中，an是由于速度方向的改變產(chǎn)生的，在空間曲線中，由于a恒位于密切面內(nèi)，速度V總是沿軌跡的切線方向，而an垂直于v指向曲線凹陷一方，故an總是沿助法線方向。質(zhì)點(diǎn)沿空間曲線運(yùn)動時，=，F(xiàn)b=0z何與牛頓運(yùn)動定律不矛盾。因質(zhì)點(diǎn)除受作用力F,還受到被動的約反作用力R，二者在副法線方向的分量成平衡力FbR0,故ab=0符合牛頓運(yùn)動率。有人會問：約束反作用力靠誰施加，當(dāng)然是與質(zhì)點(diǎn)接觸的周圍其他物體由于受到質(zhì)點(diǎn)的作用而對質(zhì)點(diǎn)產(chǎn)生的反作用力。有人也許還會問：某時刻若Fb與R

7、b大小不等，ab就不為零了？當(dāng)然是這樣，但此時刻質(zhì)點(diǎn)受合力的方向與原來不同，質(zhì)點(diǎn)的位置也在改變，副法線在空間中方位也不再是原來ab所在的方位，又有了新的副法線，在新的副法線上仍滿足FbR0即卩ab=0。這反映了牛頓定律得瞬時性和矢量性，也反映了自然坐標(biāo)系的方向雖質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動而變。滲釤嗆儼勻諤鱉調(diào)硯錦鋇絨鈔。1.4答：質(zhì)點(diǎn)在直線運(yùn)動中只有a而無an，質(zhì)點(diǎn)的勻速曲線運(yùn)動中只有an而無a；質(zhì)點(diǎn)作變速運(yùn)動時即有at又有an。dr1.5答：dt即反應(yīng)位矢r大小的改變又反映其方向的改變，是質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動某時刻的速度矢量,dr而dt只表示r大小的改變。如在極坐標(biāo)系中,dr.:drrirjrdt而dt。在直線運(yùn)動中，

8、規(guī)定了直線的正方向后，drdtdrdtdrdr且dt的正負(fù)可表示dt的指向，二者都可表示質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)19/68鐃誅臥瀉噦dr豐drdrdtdt，且dt也表示不了動速度；在曲線運(yùn)動中drdt的指向，二者完全不同。圣騁貺頂廡縫勵羆。dvdvdt表示質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動速度的大小，方向的改變是加速度矢量，而dt只是質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動速度大小的改變。在直線運(yùn)動中規(guī)定了直線的正方向后，二者都可表示質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的加速度；在曲線運(yùn)動dv.序dvaan,而a中，二者不同，dtdto擁締鳳襪備訊顎輪爛薔報(bào)贏無。1.6答：不論人是靜止投籃還是運(yùn)動投籃，球?qū)Φ氐姆较蚩倯?yīng)指向籃筐，其速度合成如題1.6題1-6圖圖所示，故人以速度V向球網(wǎng)前進(jìn)時應(yīng)向

9、高于籃筐的方向投出。靜止投籃是直接向籃筐投出，（事實(shí)上要稍高一點(diǎn)，使球的運(yùn)動有一定弧度，便于投籃）。贓熱俁閫歲匱閶鄴鎵騷鯛漢鼉。1.7答：火車中的人看雨點(diǎn)的運(yùn)動，是雨點(diǎn)的勻速下落運(yùn)動及向右以加速度a的勻速水平直線運(yùn)動的合成運(yùn)動如題1.7圖所示，壇搏鄉(xiāng)囂懺蔞鍥鈴氈淚躋馱釣。題1-7圖.1t2x=at2oxy*是固定于車的坐標(biāo)系，雨點(diǎn)相對車的加速度a=-a,其相對運(yùn)動方程Y=S消去t的軌跡22v2.yxa如題圖，有人會問：車上的人看雨點(diǎn)的軌跡是向上凹而不是向下凹呢？因加速度總是在曲線凹向的內(nèi)側(cè)，a垂直于V方向的分量an在改變著V的方向，該軌跡上凹。蠟變黲癟報(bào)倀鉉錨鈰贅籜葦繯。1.8答：設(shè)人發(fā)覺干落

10、水時，船已上行s，上行時船的絕對速度V船-V水，則s-船-V水2船反向追趕竿的速度V船V水，設(shè)從反船到追上竿共用時間t，則（V船V水）t=600s又竿與水同速，則V水（2t）=600+=得V水=150m.水min1.9答：不一定一致，因?yàn)槭歉淖兾矬w運(yùn)動速度的外因，而不是產(chǎn)生速度的原因，加速度的方向與合外力的方向一致。外力不但改變速度的大小還改變速度的方向，在曲線運(yùn)動中外力與速度的方向肯定不一致，只是在加速度直線運(yùn)動二者的方向一致。買鯛鴯譖曇膚遙閆擷凄屆嬌擻。1.10答：當(dāng)速度與物體受的合外力同一方位線且力矢的方位線不變時，物體作直線運(yùn)動。在曲線運(yùn)動中若初速度方向與力的方向不一致，物體沿出速度的

11、方向減速運(yùn)動，以后各時刻既可沿初速度方向運(yùn)動，也可沿力的方向運(yùn)動，如以一定初速度上拋的物體，開始時及上升過程中初速度的方向運(yùn)動，到達(dá)最高點(diǎn)下落過程中沿力的方向運(yùn)動。綾鏑鯛駕櫬鶘蹤韋轔糴飆銃麥。在曲線運(yùn)動中初速度的方向與外力的方向不一致，物體初時刻速度沿初速度的反方向，但以后既不會沿初速度的方向也不會沿外力的方向運(yùn)動，外力不斷改變物體的運(yùn)動方向，各時刻的運(yùn)動方向與外力的方向及初速度的方向都有關(guān)。如斜拋物體初速度的方向與重力的方向不一致，重力的方向決定了軌道的形狀開口下凹，初速度的方向決定了射高和射程。驅(qū)躓髏彥浹綏譎飴憂錦諑瓊針。1.11答：質(zhì)點(diǎn)僅因重力作用沿光滑靜止曲線下滑，達(dá)到任意點(diǎn)的速度只和

12、初末時刻的高度差有關(guān)，因重力是保守力，而光滑靜止曲線給予質(zhì)點(diǎn)的發(fā)向約束力不做功，因此有此結(jié)論貓蠆驢繪燈鮒誅髏貺廡獻(xiàn)鵬縮。假如曲線不是光滑的，質(zhì)點(diǎn)還受到摩擦力的作用，摩擦力是非保守力，摩擦力的功不僅與初末位置有關(guān)，還與路徑有關(guān)，故質(zhì)點(diǎn)到達(dá)任一點(diǎn)的速度不僅與初末高度差有關(guān)，還與曲線形狀有關(guān)。鍬籟饗逕瑣筆襖鷗婭薔嗚訝擯。1.12答:質(zhì)點(diǎn)被約束在一光滑靜止的曲線上運(yùn)動時，約束力的方向總是垂直于質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方向，故約束力不做功，動能定理或能量積分中不含約束力，故不能求出約束力。但用動能定理或能量積分可求出質(zhì)點(diǎn)在某位置的速度，從而得出an，有牛頓運(yùn)動方程FnRn二口可便可求出Rn，即為約束力構(gòu)氽頑黌碩飩薺齦

13、話騖門戲鷯。1.13答：動量p=mv=1,32223=4吧動能T12T=_mv=222+22T32=8（nm）1.14答：ijkJ=r漢mv=123=（2j3_6i）+（9_j3）+（2_6k32V31.15答：動量矩守恒意味著外力矩為零，但并不意味著外力也為零，故動量矩守恒并不意味著動量也守恒。如質(zhì)點(diǎn)受有心力作用而運(yùn)動動量矩守恒是由于力過力心，力對力心的矩為零，但這質(zhì)點(diǎn)受的力并不為零，故動量不守恒，速度的大小和方向每時每刻都在改變。輒嶧陽檉籪癤網(wǎng)儂號澩蠐鑭釃。1.16答：若F=Fr,在球坐標(biāo)系中有：Fr-:r由于坐標(biāo)系的選取只是數(shù)學(xué)手段的不同，它不影響力場的物理性質(zhì)，故在三維直角坐標(biāo)系中仍有

14、F=0的關(guān)系。在直角坐標(biāo)系中堯側(cè)閆繭絳闕絢勵蜆贅瀝紕縭。r二xiyjzk,Fr=FxriFyijFzrk故i-xFxr-:yFyrk-zFzrj-yFryrk；zFrzrxi+yj+zkr八FrFrFrr事實(shí)上據(jù)“”算符的性質(zhì)，上述證明完全可以簡寫為7xF(rr=0這表明有心力場是無旋場記保守立場1.17答平方反比力場中系統(tǒng)的勢能k2mr，其勢能曲線如題圖1.17圖所示,題1-17圖由TVr二E知T二E-Vr,因T0,故有EVr。若E：0，其勢能曲線對應(yīng)于近日點(diǎn)rmin和遠(yuǎn)日點(diǎn)max之間的一段。近日點(diǎn)處EVrT即為進(jìn)入軌道需要的初動能若E0則質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動無界，對應(yīng)于雙曲線軌道的運(yùn)動；若E=0位于

15、有界和無界之間，對應(yīng)于拋物線軌道的運(yùn)動；這兩種軌道的運(yùn)動都沒有近日點(diǎn)，即對大的r質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動是無界的，當(dāng)r很大時Vr，還是選無限遠(yuǎn)為零勢點(diǎn)的緣故，從圖中可知，做雙曲軌道運(yùn)動比拋物軌道和橢圓軌道需要的進(jìn)入軌道需要的動能要大。事實(shí)及理論都證明，平方反比引力場中質(zhì)點(diǎn)的軌道正是取決于進(jìn)入軌道時初動能的大小識饒鎂錕縊灩筧嚌儼淒儂減攙。由k2mrk2rV2即速度V的大小就決定了軌道的形狀，圖中Ti，T2，T3對應(yīng)于進(jìn)入軌道時的達(dá)到第一二三宇宙速度所需的能量由于物體總是有限度的，故r有一極小值Re，既相互作用的二質(zhì)點(diǎn)不可能無限接近，對于人造衛(wèi)星的發(fā)射農(nóng)其為地球半徑。ToE-Vr為地面上發(fā)射時所需的初動能，圖示

16、Toi，To2，To3分別為使衛(wèi)星進(jìn)入軌道時達(dá)到一二三宇宙速度在地面上的發(fā)射動能。Toi-Tii刊23.為進(jìn)入軌道前克服里及空氣阻力做功所需的能量。凍鈹鋨勞臘錯癇婦脛糴鈹賄鶚。1.18答：地球附近的物體都受到隨地球自轉(zhuǎn)引起的慣性離心力的作用，此力的方位線平行于赤道平面，指向背離地軸。人造地球衛(wèi)星的軌道平面和地球赤道平面的夾角越大，則衛(wèi)星的慣性離心力與軌道平面的家教越大，運(yùn)動中受的影響也越大，對衛(wèi)星導(dǎo)向控制系統(tǒng)的要求越高。交角越大，對地球的直接探測面積越大，其科學(xué)使用價值越高。恥諤銪滅縈歡煬鞏鶩錦聰櫻鄶。mv2-k=E,其中k=若V22k,貝U，e01.19答：對庫侖引力場有2r片：；0r，軌道

17、是雙曲線的一點(diǎn)，與斥力情況相同，盧瑟福公式也適用，不同的是引力情況下力心在雙曲線凹陷V。刖仿照課本上的推證方法，在入射速度r的情況下即可得盧瑟福公式。近代物理學(xué)的正,方位內(nèi)側(cè)；若軌道橢圓E0或拋物線E=0，盧瑟福公式不適用,負(fù)粒子的對撞試驗(yàn)可驗(yàn)證這一結(jié)論的近似正確性。鯊腎鑰詘褳鉀溈懼統(tǒng)庫搖飭緡。第一章習(xí)題丄21.1沿水平方向前進(jìn)的槍彈，通過某一距離s的時間為t1，而通過下一等距離s的時間為t.試證明槍彈的減速度（假定是常數(shù)）為碩癘鄴頏謅攆檸攜驤蘞鷥膠據(jù)。2st?-匕t1t2t121.2某船向東航行，速率為每小時15km,在正午某一燈塔。另一船以同樣速度向北航行，在下午1時30分經(jīng)過此燈塔。問在

18、什么時候，兩船的距離最近？最近的距離是多少？閿擻輳嬪諫遷擇植秘騖輛塤鵜。1.3曲柄。入二r，以勻角速*繞定點(diǎn)0轉(zhuǎn)動。此曲柄借連桿AB使滑塊B沿直線Ox運(yùn)動。求連桿上c點(diǎn)的軌道方程及速度。設(shè)AC二CB二a,-AOB二，ABO=*。氬嚕躑竄貿(mào)懇彈濾頷澩紛釓鄧。第1.3題圖1.4細(xì)桿0L繞0點(diǎn)以角速轉(zhuǎn)動，并推動小環(huán)C在固定的鋼絲AB上滑動。圖中的d為已知常數(shù)，試求小球的速度及加速度的量值。釷鵒資贏車贖孫滅獅贅慶獷緞。第1.4題圖1.5礦山升降機(jī)作加速度運(yùn)動時，其變加速度可用下式表示:r哄、a=c1sinI2T丿式中c及T為常數(shù)，試求運(yùn)動開始t秒后升降機(jī)的速度及其所走過的路程。已知升降機(jī)的初速度為零。

19、1.6一質(zhì)點(diǎn)沿位失及垂直于位失的速度分別為r及，式中及是常數(shù)。試證其沿位矢及垂直于位失的加速度為跆-円2嚴(yán)1.7試自x=rcos）y=rsinv出發(fā)，計(jì)算X及y。并由此推出徑向加速度ar及橫向加速度aj。1.8直線FM在一給定的橢圓平面內(nèi)以勻角速-繞其焦點(diǎn)F轉(zhuǎn)動。求此直線與橢圓的焦點(diǎn)M的速度。已知以焦點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓的極坐標(biāo)方程為慫闡譜鯪逕導(dǎo)嘯畫長涼馴鴇撟。1ecosv式中a為橢圓的半長軸，e為偏心率，都是常數(shù)。1.9質(zhì)點(diǎn)作平面運(yùn)動，其速率保持為常數(shù)。試證其速度矢量v與加速度矢量a正交。1.10一質(zhì)點(diǎn)沿著拋物線y=2px運(yùn)動其切向加速度的量值為法向加速度量值的-2k倍。如此質(zhì)點(diǎn)從正焦弦匕P、

20、2的一端以速度u出發(fā)，試求其達(dá)到正焦弦另一端時的速率。諺辭調(diào)擔(dān)鈧諂動禪瀉類謹(jǐn)覡鸞。Vo。嘰覲詿縲鐋囁偽純鉿錈癱懇跡。1.11質(zhì)點(diǎn)沿著半徑為r的圓周運(yùn)動，其加速度矢量與速度矢量間的夾角保持不變。求質(zhì)點(diǎn)的速度隨時間而變化的規(guī)律。已知出速度為1.12在上題中，試證其速度可表為v=v0ez血:式中二為速度矢量與x軸間的夾角，且當(dāng)t=0時，二二入。1.13假定一飛機(jī)從A處向東飛到B處，而后又向西飛回原處。飛機(jī)相對于空氣的速度為v，而空氣相對于地面的速度為v0。A與B之間的距離為I。飛機(jī)相對于空氣的速度v保持不變。熒紿譏鉦鏌觶鷹緇機(jī)庫圓鍰緘。a假定vo=,即空氣相對于地面是靜止的，試證來回飛行的總時間為t

21、02Ib假定空氣速度為向東（或向西），試證來回飛行的總時間為tBt0C假定空氣的速度為向北（或向南），試證來回飛行的總時間為tNto1.14一飛機(jī)在靜止空氣中每小時的速率為100千米。如果飛機(jī)沿每邊為6千米的正方形飛行，且風(fēng)速為每小時28千米，方向與正方形的某兩邊平行，則飛機(jī)繞此正方形飛行一周，需時多少？鶼漬螻偉閱劍鯫腎邏蘞闋簣擇。1.15當(dāng)一輪船在雨中航行時，它的雨篷遮著篷的垂直投影后2米的甲板，篷高4米。但當(dāng)輪船停航時，甲板上干濕兩部分的分界線卻在篷前3米。如果雨點(diǎn)的速度為8米/秒，求輪船的速率。紂憂蔣氳頑薟驅(qū)藥憫騖覲僨鴛。1.16寬度為d的河流，其流速與到河岸的距離成正比。在河岸處，水流

22、速度為零，在河流中心處，其值為C。一小船以相對速度u沿垂直于水流的方向行駛，求船的軌跡以及船在對岸靠攏的地點(diǎn)。穎芻莖峽餑億頓裊賠瀧漲負(fù)這。1.17小船M被水沖走后，由一蕩槳人以不變的相對速度C2朝岸上A點(diǎn)劃回。假定河流速OA下降。如欲使此質(zhì)點(diǎn)到達(dá)斜面度G沿河寬不變，且小船可以看成一個質(zhì)點(diǎn)，求船的軌跡。濫驂膽閉驟羥闈詔寢賻減棲綜。1.18一質(zhì)點(diǎn)自傾角為的斜面上方O點(diǎn)，沿一光滑斜槽上所需的時間為最短，問斜槽OA與豎直線所成之角二應(yīng)為何值？銚銻縵嚌鰻鴻鋟謎諏涼鏗穎報(bào)。第1.18題圖1.19將質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)豎直拋上于有阻力的媒質(zhì)中。設(shè)阻力與速度平方成正比，即Rm/gv?。如上拋時的速度為v，試證此質(zhì)點(diǎn)

23、又落至投擲點(diǎn)時的速度為擠貼綬電麥結(jié)鈺贖嘵類羋罷鴇。:V。V1.1k2v2o1.20一槍彈以仰角:、初速度Vo自傾角為：的斜面的下端發(fā)射。試證子彈擊中斜面的地方和發(fā)射點(diǎn)的距離d（沿斜面量?。┘按司嚯x的最大值分別為賠荊紳諮侖驟遼輩襪錈極嚕辮。cos2:2max2gsec1.21將一質(zhì)點(diǎn)以初速Vo拋出，與水平線所成之角為：。此質(zhì)點(diǎn)所受到的空氣阻力為其速度的mk倍，m為質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量，k為比例系數(shù)。試求當(dāng)此質(zhì)點(diǎn)的速度與水平線所成之角又為時所需的時間。塤礙籟饈決穩(wěn)賽釙冊庫麩適緄。1.22如向互相垂直的勻強(qiáng)電磁場E、B中發(fā)射一電子，并設(shè)電子的初速度V與E及B垂直。試求電子的運(yùn)動規(guī)律。已知此電子所受的力為eEv

24、B，式中e為電場強(qiáng)度，e為電子所帶的電荷，v為任一瞬時電子運(yùn)動的速度。裊樣祕廬廂顫諺鍘羋藺遞燦擾。1.23在上題中，如aB=0，則電子的軌道為在豎直平面xy平面的拋物線；mVb如E=0，則電子的軌道為半徑等于eB的圓。試證明之。1.24質(zhì)量為m與2m的兩質(zhì)點(diǎn)，為一不可伸長的輕繩所聯(lián)結(jié)，繩掛在一光滑的滑輪上。在mmg的下端又用固有長度為a、倔強(qiáng)系數(shù)k為a的彈性繩掛上另外一個質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)。在開始時，全體保持豎直，原來的非彈性繩拉緊，而有彈性的繩則處在固有的長度上。由此靜止?fàn)顟B(tài)釋放后，求證這運(yùn)動是簡諧的，并求出其振動周期及任何時刻兩段繩中的張力T及T。倉嫗盤紲囑瓏詁鍬齊驚絛鯛鱧。T“2m第1.24

25、題圖1.25滑輪上系一不可伸長的繩，繩上懸一彈簧，彈簧另一端掛一重為W的物體。當(dāng)滑輪以勻速轉(zhuǎn)動時，物體以勻速V0下降。如將滑輪突然停住，試求彈簧的最大伸長及最大張力。假定彈簧受W的作用時的靜伸長為0。綻萬璉轆娛閬蟶鬮綰瀧恒蟬轅。1.26 彈性繩上端固定，下端懸有m及m兩質(zhì)點(diǎn)。設(shè)a為繩的固有長度，b為加m后的伸長，c為加m后的伸長。今將m任其脫離而下墜，試證質(zhì)點(diǎn)m在任一瞬時離上端O的距離為驍顧燁鶚巰瀆蕪領(lǐng)鱺賻驃弒綈。abccosgtYb1.27 一質(zhì)點(diǎn)自一水平放置的光滑固定圓柱面凸面的最高點(diǎn)自由滑下。問滑至何處，此質(zhì)點(diǎn)將離開圓柱面？假定圓柱體的半徑為r?，嶀暈R曖惲錕縞馭篩涼貿(mào)錒戧。1.28重為W

26、的不受摩擦而沿半長軸為a、半短軸為b的橢圓弧滑下，此橢圓的短軸是豎直的。如小球自長2軸的端點(diǎn)開始運(yùn)動時，其初速度為零，試求小球在到達(dá)橢圓的最低點(diǎn)時它對橢圓的壓力。鎦詩涇艷損樓紲鯗餳類礙穡鰳。1.29一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)自光滑圓滾線的尖端無初速地下滑。試證在任何一點(diǎn)的壓力為2mgcosr，式中二為水平線和質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動方向間的夾角。已知圓滾線方程為櫛緶歐鋤棗鈕種鵑瑤錟奧傴輥。x=a2)sin2),y二-a1二ccos21.30在上題中，如圓滾線不是光滑的，且質(zhì)點(diǎn)自圓滾線的尖端自由下滑，達(dá)到圓滾線的最低點(diǎn)時停止運(yùn)動，則摩擦系數(shù)應(yīng)滿足下式轡燁棟剛殮攬瑤麗鬮應(yīng)頁諳絞。e1試證明之。1.31假定單擺在有阻力的媒質(zhì)

27、中振動，并假定振幅很小，故阻力與二成正比，且可寫為_gR二-2mkN，式中m是擺錘的質(zhì)量，丨為擺長，k為比例系數(shù)。試證當(dāng)k2vh2，則其軌道方程可寫成ar1ecoskv,2h2-、.k2h2Ak2h2k=，a=-，e=廠試證明之。式中hJ（A為積分常數(shù)）。1.45如Sa及Sp為質(zhì)點(diǎn)在遠(yuǎn)日點(diǎn)及近日點(diǎn)處的速率，試證明sp:sa=1e:1-e1.46質(zhì)點(diǎn)在有心力作用下運(yùn)動。此力的量值為質(zhì)點(diǎn)到力心距離r的函數(shù)，而質(zhì)點(diǎn)的速率則_a,與距離成反比，即v一r。如果a2h2h=r爲(wèi),求點(diǎn)的軌道方程。設(shè)當(dāng)r=ro時，二=0。稟虛嬪賑維嚌妝擴(kuò)踴糶欏灣鯧。1.47a某彗星的軌道為拋物線，其近日點(diǎn)距離為地球軌道（假定

28、為圓形）半徑的n。則此彗星運(yùn)行時，在地球軌道內(nèi)停留的時間為一年的陽簍埡鮭罷規(guī)嗚舊巋錟麗鮑軫。2 n2n-13 二n2n倍，試證明之。b試再證任何作拋物線軌道的彗星停留在地球軌道（仍假定為圓形）內(nèi)的最長時間為一年的3二倍，或約為76日。1.48試根據(jù)1.9中所給出的我國第一顆人造地球衛(wèi)星的數(shù)據(jù)，求此衛(wèi)星在近地點(diǎn)和遠(yuǎn)地點(diǎn)的速率Vi及v以及它繞地球運(yùn)行的周期.（參看79頁）。溈氣嘮戇萇鑿鑿櫧諤應(yīng)釵藹紼。2jta-r=aecosE,dt=T1.49在行星繞太陽的橢圓運(yùn)動中，如令-，式中為周期，a為半長軸，e為偏心率，E為一個新的參量，在天文學(xué)上叫做偏近點(diǎn)角。試由能量方程推出下面的開普勒方程：鋇嵐縣緱虜

29、榮產(chǎn)濤團(tuán)藺締崳惲。T=E-esinEmc31.50質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)在有心斥力場r中運(yùn)動，式中r為質(zhì)點(diǎn)到力心O的距離，c為常數(shù)。當(dāng)質(zhì)點(diǎn)離0很遠(yuǎn)時，質(zhì)點(diǎn)的速度為V.，而其漸進(jìn)性與o的垂直距離則為（即瞄準(zhǔn)距離）。試求質(zhì)點(diǎn)與O的最近距離a。懨俠劑鈍觸樂鷴燼觶騮揚(yáng)銥鯊。120/68第一章習(xí)題解答1.1由題可知示意圖如題1.1.1圖:SSLtlt2題1.1.1圖設(shè)開始計(jì)時的時刻速度為Vo,由題可知槍彈作勻減速運(yùn)動設(shè)減速度大小為a.則有：2122s=Vot1t2-at1t2L2由以上兩式得Vo-t1at再由此式得2st2-tlt1t2t1t2證明完畢1.2.1圖1.2解由題可知，以燈塔為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)如

30、題題1.2.1圖23/68設(shè)A船經(jīng)過to小時向東經(jīng)過燈塔，則向北行駛的toB船經(jīng)過2小時經(jīng)過燈塔任意時刻A船的坐標(biāo)Xa=-(15to-15t),yA=0B船坐標(biāo)xB=o，yB-15to+1-:021 -15t2則AB船間距離的平方d2=(xa-xbf+(yA-yB2即-(門f22十15to+1i-15t1d2=(15to_15tfi2丿221=45ot2-(9ooto+675+225t：+225to+12丿d2對時間t求導(dǎo)dd2dt=9oot-9ooto675dd2=0AB船相距最近，即dt，所以3t-toh4即午后45分鐘時兩船相距最近最近距離_k_333f認(rèn)4丿I42丿km1.3解加題1.

31、3.2圖第1.3題圖題1.3.2圖由題分析可知，點(diǎn)C的坐標(biāo)為x=rcos+aco就y=asin即2a又由于在二AOB中，有sin，（正弦定理）所以聯(lián)立以上各式運(yùn)用sin2cos2=1由此可得cosx-acos-x、a2y2a24y2r23y2x2a2r2=2x.a2y2化簡整理可得2!22a+2y3+2X-Lu/2y2a2X429/68此即為c點(diǎn)的軌道方程(2)要求c點(diǎn)的速度，分別求導(dǎo)x=rsinqsin；2coswcosy廠其中又因?yàn)閞sin=2asin-對兩邊分別求導(dǎo)故有屮._rcocos2acos即所以222rcos-、2忙wcos-rsin-sin-2cos屮丿第1.4題圖2；s_co

32、s24sin3sinOL繞O點(diǎn)以勻角速度轉(zhuǎn)動，C在AB上滑動，因此C點(diǎn)有一個垂直桿的速度分量v-OC-d川XC點(diǎn)速度d2x2COST又因?yàn)?-所以C點(diǎn)加速度dVc二、ad2seerseerdt22tanv-2d，seetanr22xd2x21.5解由題可知，變加速度表示為r毗、a=e1sinil2T丿由加速度的微分形式我們可知dva=dt代入得(兀t、dv=e1sindt2T.丿對等式兩邊同時積分v0dv1-sindt2T可得：空eeos二七n2TD（D為常數(shù)）代入初始條件:=0時，v=0，故D2TeJIv=et空jieos-1.2T丿又因?yàn)閐sv=dt所以2TJit+cosnV2T-1dt丿對等式兩邊同時積分，可得:s=c1t2竺IL2二2T二tJi1.6解由題可知質(zhì)點(diǎn)的位矢速度v二r沿垂直于位矢速度v_-上又因?yàn)閂，即r=，r曲A=V-丁即rdva二dtddtdtr打(取位矢方向，垂直位矢方向j)所以ddtdr.idtdtddtrd2dta=r-L2ir：j即沿位矢方向加速度a=r-r2垂直位矢方向加速度a_=L2r二對求導(dǎo)2r二rr對求導(dǎo)二二-r2r一r把代入式中可