第三章函數(shù)(高中數(shù)學(xué)競賽標(biāo)準(zhǔn)教材)

1、第三章函數(shù)（高中數(shù)學(xué)競賽標(biāo)準(zhǔn)教材）第三章函數(shù)一、基礎(chǔ)知識定義1映射，對于任意兩個(gè)集合A,B,依對應(yīng)法則f,若對A中的任意一個(gè)元素x，在B中都有唯一一個(gè)元素與之對應(yīng)，則稱f：AB為一個(gè)映射。定義2單射，若f:AB是一個(gè)映射且對任意x,yA,xy,都有ff則稱之為單射。定義3滿射，若f:AB是映射且對任意yB,都有一個(gè)xA使得f=y,則稱f：AB是A到B上的滿射。定義4一映射，若f:AB既是單射又是滿射，則叫做映射，只有映射存在逆映射，即從B到A由相反的對應(yīng)法則f-1構(gòu)成的映射，記作f-1:ABo定義5函數(shù)，映射f:AB中，若AB都是非空數(shù)集，則這個(gè)映射為函數(shù)。A稱為它的定義域，若xA,yB,且f

2、=y，則y叫做x的象，x叫y的原象。集合f|xA叫函數(shù)的值域。通常函數(shù)由解析式給出，此時(shí)函數(shù)定義域就是使解析式有意義的未知數(shù)的取值范圍，如函數(shù)y=3-1的定義域?yàn)閤|x>0,xR.定義6反函數(shù)，若函數(shù)f:AB是一一映射，則它的逆映射f-1:AB叫原函數(shù)的反函數(shù)，通常寫作y=f-1.這里求反函數(shù)的過程是：在解析式y(tǒng)=f中反解x得x=f-1，然后將x,y互換得y=f-1,最后指出反函數(shù)的定義域即原函數(shù)的值域。例如：函數(shù)y=的反函數(shù)是y=1-.定理1互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對稱。定理2在定義域上為增函數(shù)的函數(shù)，其反函數(shù)必為增函數(shù)。定義7函數(shù)的性質(zhì)。單調(diào)性：設(shè)函數(shù)f在區(qū)間I上滿足

3、對任意的x1,x2I并且x1f），則稱f在區(qū)間I上是增函數(shù)，區(qū)間I稱為單調(diào)增區(qū)間。奇偶性：設(shè)函數(shù)y=f的定義域?yàn)镈,且D是關(guān)于原點(diǎn)對稱的數(shù)集，若對于任意的xD,都有f=-f,則稱f是奇函數(shù)；若對任意的xD,都有f=f，則稱f是偶函數(shù)。奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱。周期性：對于函數(shù)f,如果存在一個(gè)不為零的常數(shù)T,使得當(dāng)x取定義域內(nèi)每一個(gè)數(shù)時(shí)，f=f總成立，則稱f為周期函數(shù)，T稱為這個(gè)函數(shù)的周期，如果周期中存在最小的正數(shù)T0,則這個(gè)正數(shù)叫做函數(shù)f的最小正周期。定義8如果實(shí)數(shù)a0,所以f遞增。由題設(shè)f=-1=f，所以x-1=1-y，所以x+y=2.例4奇函數(shù)f在定義域內(nèi)是減函數(shù)

4、，又f+fO，則由得nO。同理有+n=0,x=,但與0,所以f在上遞增，同理f在卜，+8)上遞增。在方程f=f-1中，記f=f-1=y，則y>0,又由f-1=y得f=x，所以x>0,所以x,y-,+8).若xy，設(shè)xy也可得出矛盾。所以x=y.即f=x，化簡得3x5+2x4-4x-1=0,即=0,因?yàn)閤>0,所以3x4+5x3+5x2+5x+1>0,所以x=1.三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題.已知X=-1,0,1,y=-2,-1,0,1,2，映射f:Xty滿足：對任意的xX,它在y中的象f使得x+f為偶數(shù)，這樣的映射有個(gè)。.給定A=1,2,3,B=-1,0,1和映射f:Xty,若f為單

5、射，則f有個(gè)；若f為滿射，則f有個(gè)；滿足ff=f的映射有個(gè)。.若直線y=與函數(shù)y=x2+2x圖象相交于點(diǎn)，則圖象與直線一共有個(gè)交點(diǎn)。.函數(shù)y=f的值域?yàn)?則函數(shù)g=f+的值域?yàn)椤?已知f=，貝y函數(shù)g=ff的值域?yàn)椤?已知f=|x+a|，當(dāng)x>3時(shí)f為增函數(shù)，則a的取值范圍是。.設(shè)y=f在定義域內(nèi)是增函數(shù)，則y=f的單調(diào)遞減區(qū)間為。.若函數(shù)y=存在反函數(shù)y=-1，則y=-1的圖象與y=-的圖象關(guān)于直線對稱。.函數(shù)f滿足=1-,則f=。0.函數(shù)y=,x的反函數(shù)是。1.求下列函數(shù)的值域：y=;y=;y=x+2;y=已知定義在R上，對任意xR,f=f，且f是偶函數(shù)，又當(dāng)x2,3時(shí)，f=x，則當(dāng)

6、x-2,0時(shí)，求f的解析式。四、高考水平訓(xùn)練題.已知a,f定義域是。.下列函數(shù)是否為奇函數(shù)：f=;g=|2x+1|-|2x-1|;=;y=設(shè)函數(shù)y=f,對任意非零實(shí)數(shù)x1,x2滿足f=f+f，又f在是增函數(shù)，則不等式f+f<0的解集為。.函數(shù)f=，其中P,為R的兩個(gè)非空子集，又規(guī)定f=y|y=f,xP,f=y|y=f,x,給出如下判斷：若Pn=,貝Ufnf=；若pn,貝yfnf；若pu=r,貝yfuf=R；若pur則fufR.其中正確的判斷是。.函數(shù)y=f的反函數(shù)是y=f-1，并且f=3997，則f=。.已知y=f是定義域?yàn)?6,6的奇函數(shù)，且當(dāng)x0,3時(shí)是一次函數(shù)，當(dāng)x3,6時(shí)是二次函

7、數(shù)，又f=2，當(dāng)x3,6時(shí)，f<f=3。求f的解析式0.設(shè)a>0,函數(shù)f定義域?yàn)镽且f=，求證：f為周期函數(shù)。1.設(shè)關(guān)于x的方程2x2-tx-2=0的兩根為a,B,已知函數(shù)f=,求f、f;求證：f在a，B上是增函數(shù)；對任意正數(shù)x1,x2，求證：0,a1,F是奇函數(shù)，則G=F是.若=x，則下列等式中正確的有.F=-2-F;F=;F=F;F)=-x.設(shè)函數(shù)f:RtR滿足f=1，且對任意x,yR,都有f=ff-f-x+2，貝yf=.已知f是定義在R上的函數(shù)，f=1，且對任意xR都有f>f+5,f<f+i。若g=f+i-x，貝yg=.函數(shù)f=的單調(diào)遞增區(qū)間是.函數(shù)f=的奇偶性是

8、：奇函數(shù)，偶函數(shù)。函數(shù)y=x+的值域?yàn)?設(shè)f=,對任意的aR,記V=axf-ax|x1,3-inf-ax|x1,3，試求V的最小值。0.解方程組：1.設(shè)N+,f:N+tN+滿足：f嚴(yán)格遞增；對任意nN+,有ff=n，求證：對任意nN+,都有nWf<六、聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題.求證：恰有一個(gè)定義在所有非零實(shí)數(shù)上的函數(shù)f,滿足：對任意x工0,f=x?f;對所有的x工-y且xy工0,有f+f=1+f.設(shè)f對一切x>0有定義，且滿足：f在是增函數(shù)；任意x>0,ff=1，試求f.f:0,1R滿足：任意x0,1,f>0；=1;當(dāng)x,y,x+y0,1時(shí)，f+f<f,試求最小常數(shù)c,對滿足，的函數(shù)f都有f<cx.試求f=6-4-3+5的最小值。.對給定的正數(shù)p,q，有p+q>1>p2+q2,試求f=+在1-q,p上的最大值。.已知f:R且f=.當(dāng)x時(shí)，試求f的最大