第六章 非線性微分方程和穩(wěn)定性

1、第六章非線性微分方程和穩(wěn)定性研究對(duì)象二階駐定方程組自治系統(tǒng))d=X(x,y)dt字=Y(x,y)、dt1基本概念1)穩(wěn)定性考慮方程組dxdtf(t,x)6.1)其中x=(x)1x2dtdtdx2dt，f(x)(f(t；x,x，,x)1 12nf(t；x,x，x)2 12ndx(f(t;x,x，,x)丿n12nfldt丿總假設(shè)f(t,X)在IXD上連續(xù)，且關(guān)于x滿足局部李普希茲條件，IUR,區(qū)域DURn,f(t,0)=0，X=Nx2。V-=1i如果對(duì)任意給定的£>0，存在5(s)>0(一般£與t有關(guān))，使得當(dāng)任一X滿足00IX<力時(shí)，方程組(6.1)滿足初始

2、條件X(t0)=X0的解X(t)，均有|x(t)|<£對(duì)一切t>10成立，則稱方程組(6.1)的零解X=0為穩(wěn)定的。如果方程組(6.1)的零解X=0穩(wěn)定，且存在這樣的5>0，使當(dāng)IX|<力時(shí)，滿足000初始條件X(t)=X的解X(t)均有l(wèi)imx(t)=0，則稱零解X=0為漸近穩(wěn)定的。00tT+S如果X=0漸近穩(wěn)定，且存在域D，當(dāng)且僅當(dāng)VxgD時(shí)滿足初始條件X(t)=X的00000解均有l(wèi)imX(t)=0，則稱域D為(漸近)穩(wěn)定域或吸引域；如果穩(wěn)定域?yàn)槿臻g，即tT+S05=+S，則稱零解X=0為全局漸近穩(wěn)定的或簡(jiǎn)稱全局穩(wěn)定的。0當(dāng)零解x=0不是穩(wěn)定時(shí)，稱它為

3、不穩(wěn)定的。即就是說(shuō)：如果對(duì)某個(gè)給定的S>0，不論5>0怎樣小，總有一個(gè)x滿足|x|<6,使得由初始條件x（t）二x所確定的解x（t）,00"00至少存在某個(gè)ti>10使得|x（）|二£,則稱方程組（6.1）的零解x=0為不穩(wěn)定的。注：非零解的穩(wěn)定性可以通過(guò)平移變換后轉(zhuǎn)化為零解穩(wěn)定性問(wèn)題來(lái)討論。2）相平面與軌線考慮二階非自治微分方程組dx6.2)丁=X(t;x,y)dtsdy=Y(t;x,y)Idt它的解x=x（t）,y=y（t）在以t,x,y為坐標(biāo)的（歐氏）空間中決定了一條曲線，這條曲線稱為積分曲線。如果把時(shí)間t當(dāng)作參數(shù)，僅考慮x,y為坐標(biāo)的（歐氏）

4、空間，此空間稱為方程組（6.2）的相平面，若方程組是含三個(gè)以上未知函數(shù)的，則稱為相空間。在相平面（相空間）中方程組的解所確定的曲線稱為軌線。3）奇點(diǎn)與常點(diǎn)如果方程組（6.2）是駐定方程組（或稱為自治系統(tǒng)），即其右端函數(shù)不顯含時(shí)間t。此時(shí)（6.2）式變成dx6.3)-T=X(x,y)dts字=Y(x,y)fX(x,y)二0滿足方程組|y(x,y)二0、dt的點(diǎn)（x*,y*），即滿足X2（x*,y*）+Y2（x*,y*）二0的點(diǎn)，稱為方程組（6.3）的奇點(diǎn)（或平衡點(diǎn)），否則稱為常點(diǎn)。4）周期解、閉軌和極限環(huán)平面自治系統(tǒng)（6.3）的周期解在相平面上對(duì)應(yīng)的軌線稱之為閉軌線，簡(jiǎn)稱閉軌若在閉軌C的充分小的

5、鄰域中，除C之外，再無(wú)其它閉軌，稱C為孤立閉軌。如果在孤立閉軌C的充分小的鄰域中出發(fā)的非閉軌線，當(dāng)tT+8（或tT-g）都分別盤旋地趨于閉軌C，則稱它為系統(tǒng)（6.3）的極限環(huán)。極限環(huán)C將平面分為兩個(gè)區(qū)域：內(nèi)域和外域。當(dāng)極限環(huán)附近的軌線均正向(即tT+8時(shí))趨近于它時(shí)，稱此極限環(huán)為穩(wěn)定的。如果軌線均負(fù)向(即t時(shí))趨近于此極限環(huán)時(shí)，則稱它為不穩(wěn)定的。當(dāng)此極限環(huán)的一側(cè)軌線正向趨近于它，而另一側(cè)軌線負(fù)向趨近于它時(shí)，此極限環(huán)稱為半穩(wěn)定的。5) 李雅普諾夫(Liapunov)函數(shù)(V函數(shù))考慮非線性的自治微分方程組dx=/(x)f(0)=0(6.4)dt假設(shè)f(x)在某區(qū)域D:|x|<A(A為正常數(shù)

6、)內(nèi)具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)。設(shè)函數(shù)V(x)二V(x,x,x)在域D:|x|<H<A上具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且V(0)=0，12n1a)若在D上，恒有V(x)>0，則稱函數(shù)V(x)為常正的；1b)若在£0：0<|x|<H<A上,V(x)>0，則稱函數(shù)V(x)為定正的；c)若在D上，恒有V(x)<0，則稱函數(shù)V(x)為常負(fù)的；1d)若在D10:0<|x|<H<A上,V(x)<0，則稱函數(shù)V(x)為定負(fù)的；e)若V(x)在原點(diǎn)O(0,0,0)的任一鄰域內(nèi)既可取正值又可取負(fù)值，則稱V(x)為變號(hào)函數(shù)。常正、常負(fù)函數(shù)統(tǒng)稱為常號(hào)函數(shù)；

7、定正、定負(fù)函數(shù)統(tǒng)稱為定號(hào)函數(shù)。以上定義的函數(shù)為李雅普諾夫函數(shù)(V函數(shù))。6) 全導(dǎo)數(shù)dVdt設(shè)函數(shù)V(x)在原點(diǎn)O的鄰域內(nèi)連續(xù)可微，把函數(shù)二Y學(xué)f(x,X，,x)dxi12ni=1i稱為V(x)關(guān)于系統(tǒng)(6.4)的對(duì)時(shí)間t的全導(dǎo)數(shù)，記為dVdt(6.4)，特別地，如果系統(tǒng)已明確或不易混淆)，符號(hào)的下標(biāo)可略去。dVdt(6.4)2基本理論與基本方法1)平面系統(tǒng)的奇點(diǎn)分類二維線性自治系統(tǒng)的一般形式為dx76.5)=ax+bydtsdy=ex+dydt它的系數(shù)矩陣其特征方程是a一九bd一九=九2(a+d)九+(adbe)=0。將特征方程改寫為其中P=一trA=(a+d),q=detA=ad一be。若

8、q豐0,0(0,0)是(6.5)的唯一奇點(diǎn)，稱0(0,0)為初等奇點(diǎn)，q=0時(shí)，稱0(0,0)為高階奇點(diǎn)。我們主要研究初等奇點(diǎn)的性態(tài)。ab定理6.1對(duì)于系統(tǒng)(6.5),當(dāng)q=7=adbe豐0時(shí)，0(0,0)是它的唯一初等奇ed.(ab)點(diǎn)(簡(jiǎn)稱為奇點(diǎn))，九，九為矩陣A=的不為零的特征根，則可以根據(jù)特征根的不i2(ed丿同情況將奇點(diǎn)0(0,0)分為以下類型：a)若k八都是實(shí)數(shù)，且九九0，則當(dāng)九0,九0時(shí)，0(0,0)為穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)；121212當(dāng)九0,九0時(shí)，0(0,0)為不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)。12b)若九豐k都是實(shí)數(shù)，且kk0，則0(0,0)為鞍點(diǎn)。1212e)若k=k，則當(dāng)久=久0時(shí)，0(0,0)為穩(wěn)定奇

9、結(jié)點(diǎn)或退化結(jié)點(diǎn)，當(dāng)久=久0121212時(shí)，0(0,0)為不穩(wěn)定奇結(jié)點(diǎn)或退化結(jié)點(diǎn)。d)k1,k2為一對(duì)共軛復(fù)根，則當(dāng)Re九0時(shí)，0(0,0)為穩(wěn)定焦點(diǎn)；當(dāng)Re九0時(shí)，O(0,0)為不穩(wěn)定焦點(diǎn)；當(dāng)11Re九=0時(shí)，0(0,0)為中心。1注：奇結(jié)點(diǎn)(也稱臨界結(jié)點(diǎn))是它周圍的軌線均沿確定的方向趨于(或遠(yuǎn)離)它，且不同軌線切向也異。若特征根九=九的初等因子的次數(shù)為1,則對(duì)應(yīng)臨界結(jié)點(diǎn)，初等因子的12次數(shù)為2，則對(duì)應(yīng)退化結(jié)點(diǎn)。定理6.2設(shè)0(0,0)為方程組dX=ax+by+X(x,y)dt<y=cx+dy+Y(x,y)、dt6.6)的孤立奇點(diǎn)，若X(x,y)，Y(x,y)滿足條件a)在奇點(diǎn)0(0,0

10、)的鄰域內(nèi)有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)；b)X(x,y)=o(r)，Y(x,y)=o(r)，r=x2+y2。則如果0(0,0)是對(duì)應(yīng)線性系統(tǒng)(6.5)的結(jié)點(diǎn)、焦點(diǎn)或鞍點(diǎn)，那么0(0,0)也是非線性系統(tǒng)(6.6)的同類型奇點(diǎn)。2)穩(wěn)定性定理與方法方法1常系數(shù)線性系統(tǒng)穩(wěn)定性判定一般地，n維常系數(shù)線性微分方程組dx=Axdt其中A為n階常數(shù)矩陣。方程組(6.7)的特征方程為6.7)det(A-XE)=06.8)。定理6.3若特征方程(6.8)的根均具有負(fù)實(shí)部，則方程組(6.7)的零解是漸近穩(wěn)定的。若特征方程(6.8)具有正實(shí)部的根，則方程組(6.7)的零解是不穩(wěn)定的。若特征方程(6.8)沒(méi)有正實(shí)部的根，但有零

11、根或具零實(shí)部的根，則方程組(6.7)的零解可能是穩(wěn)定的也可能是不穩(wěn)定的，這要看零根或具零實(shí)部的根其初等因子的次數(shù)是否等于1而定。定理6.4設(shè)給定常系數(shù)的n次代數(shù)方程aXn+aXn-i+a久n-2hfa久+a=0012n-1naa0aa10其中a>0，作行列U式A二a，A二10,A二aaa90112aa332132aaa543aa00010aaa00A=321=aA，這里a二0,(Vi>n)。nnn-1iaaaaa2n-12n-22n-32n-4n那么，所給代數(shù)方程的一切根均有負(fù)實(shí)部的充分必要條件是下列不等式同時(shí)成立：a>0，A>0，A>0，A>0，A>

12、0。012n-1n注意：這是霍維茲（Hurwitz）定理，用來(lái)判別代數(shù)方程根的實(shí)部是否均為負(fù)。方法2一次（線性）近似系統(tǒng)穩(wěn)定性判定若非線性微分方程組6.9):=血+Rx）滿足條件網(wǎng)X)|xllT0，當(dāng)|x|顯然x=0是方程組（6.9）的解。方程組（6.9）對(duì)應(yīng)的線性方程組6.7)dx=Axdt稱為方程組（6.9）的一次近似系統(tǒng)（或線性近似系統(tǒng)）。定理6.5若特征方程（6.8）沒(méi)有零根或零實(shí)部的根，則非線性方程組（6.9）的零解的穩(wěn)定性與其線性近似系統(tǒng)（6.7）的零解的穩(wěn)定性態(tài)一致。這就是說(shuō)，當(dāng)特征方程（6.8）的根均具有負(fù)實(shí)部時(shí)方程組（6.9）的零解是漸近穩(wěn)定的，而當(dāng)特征方程具有正實(shí)部的根時(shí)，

13、其零解是不穩(wěn)定的。方法3李雅普諾夫第二方法（V函數(shù)法）不必求出方程組的解，而通過(guò)構(gòu)造一個(gè)具有特殊性質(zhì)的函數(shù)V（x）（李雅普諾夫函數(shù)或V函數(shù)）及其通過(guò)方程組的全導(dǎo)數(shù)警的性質(zhì)，來(lái)確定方程組解的穩(wěn)定性。這種方法稱為李雅普諾夫第二方法。以下兩個(gè)定理是這個(gè)方法的具體實(shí)現(xiàn)。定理6.6（李雅普諾夫穩(wěn)定性定理）對(duì)于微分方程組dx=f（兀）,f（0）=0（6.4）dtdV如果有定正函數(shù)V（x），其通過(guò)（6.4）的全導(dǎo)數(shù)一廠為常負(fù)函數(shù)或恒等于零，則方程組dt（6.4）的零解是穩(wěn)定的；dV如果有定正函數(shù)V（x），其通過(guò)（6.4）的全導(dǎo)數(shù)為定負(fù)函數(shù)，則方程組（6.4）的dt零解是漸近穩(wěn)定的；dV如果存在函數(shù)V（X）和

14、某非負(fù)常數(shù)卩，而通過(guò)（6.4）的全導(dǎo)數(shù)一廠可以表示為dtdV=rV+W（x），且當(dāng)r=0時(shí)W為定正函數(shù)，而當(dāng)卩豐0時(shí)W為常正函數(shù)或恒等于零；dt又在X=0的任意小鄰域內(nèi)都至少存在某個(gè)X，使V（X）>0,貝I方程組（6.4）的零解是不穩(wěn)定的。dV定理6.7如果存在定正函數(shù)V（X），其通過(guò)（6.4）的全導(dǎo)數(shù)一廠為常負(fù)函數(shù)，但使得dt在dV（x）=o的點(diǎn)x的集合中除零解之外并不包含方程組（6.4）的整條正半軌線，則方程dt組（6.4）的零解是漸近穩(wěn)定的。3）極限環(huán)存在性定理定理6.8（龐加萊一班狄克生（bendixson）環(huán)域定理）對(duì)于二階駐定微分方程組（6.3）,設(shè)其右端函數(shù)X,Y在相平面的某區(qū)域G內(nèi)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。如果G內(nèi)存在有界的環(huán)形閉域D，在其內(nèi)不含有方程組（6.3）的奇點(diǎn)，而（6.3）的經(jīng)過(guò)域D上點(diǎn)的解x=x（t）,y=y（t），當(dāng)t>t（或t<t）時(shí)不離開(kāi)該域，則或者其本身是一個(gè)周期解（閉軌線），或者它按正向00（或負(fù)向）趨近于D內(nèi)的某一周期解（閉軌線）。QXQY定理6.9（班狄克生準(zhǔn)則）如果于G內(nèi)存在單連通域D*，在其內(nèi)函數(shù)丁+=不變QxQy號(hào)且在D*內(nèi)的任何子域上不恒等于零，則方程組（6.3）在域D*內(nèi)不存在任何閉軌，更不存在任何極限環(huán)。定理