第六章剛體動(dòng)力學(xué)_大學(xué)物理

1、第七章機(jī)械振動(dòng)I罔重點(diǎn)灘點(diǎn)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的角坐標(biāo)、角位移、角速度和角加速度的概念以及它們和有關(guān)線量的關(guān)系剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程，熟練使用剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律剛體對(duì)固定軸的角動(dòng)量的計(jì)算，正確應(yīng)用角動(dòng)量定理及角動(dòng)量守恒定理菌學(xué)習(xí)目糊掌握剛體的概念和剛體的基本運(yùn)動(dòng)理解轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的意義及計(jì)算方法，會(huì)利用平行軸定理和垂直軸定理求剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量掌握力矩的功，剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能，剛體的重力勢(shì)能等的計(jì)算方法了解進(jìn)動(dòng)現(xiàn)象和基本描述廠本章內(nèi)客:§6.1剛體和自由度的概念一.力矩力是引起質(zhì)點(diǎn)或平動(dòng)物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)(用動(dòng)量描述)發(fā)生變化的原因.力矩則是引起轉(zhuǎn)動(dòng)物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)(用動(dòng)量聚描述)發(fā)生變化的原因.將戸分解為垂直于z軸和

2、平行于z軸的兩個(gè)力社及肅，如右圖由于可不能改變物體繞z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)，因此定義肅對(duì)轉(zhuǎn)軸z的力矩為零這樣，任意力斤對(duì)z軸的力矩就等于力盒對(duì)z軸的力矩，即力矩取決于力的大小、方向和作用點(diǎn).在剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中，力矩只有兩個(gè)指向，因此一般可視為代數(shù)量.根據(jù)力對(duì)軸的力矩定義，顯然，當(dāng)力平行于軸或通過軸時(shí)，力對(duì)該軸的力矩皆為零.討論:(1)力對(duì)點(diǎn)的力矩.(2)力對(duì)定軸力矩的矢量形式力矩的方向由右螺旋法則確定.(3)力對(duì)任意點(diǎn)的力矩，在通過該點(diǎn)的任一軸上的投影，等于該力對(duì)該軸的力矩.例：已知棒長L,質(zhì)量M,在摩擦系數(shù)為“的桌面轉(zhuǎn)動(dòng)（如圖）求摩擦力對(duì)y軸的力矩.解：以桿的端點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),取Oxy坐標(biāo)系,如圖在

3、坐標(biāo)為x處取線元dx,根據(jù)題意，這一線元的質(zhì)量和摩擦力分別為曲二辛dxd/=/畑-g則該線元的摩擦力對(duì)y軸的力矩為dM:=-歹砥積分得摩擦力對(duì)y軸的力矩為注：在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中,力矩可用代數(shù)值進(jìn)行計(jì)算,例如二叫=丁艮-TP工込=TR-T'R二. 剛體對(duì)定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)定律實(shí)驗(yàn)證明:當(dāng)力矩M為零時(shí),則剛體保持靜止或勻速轉(zhuǎn)動(dòng),當(dāng)存在M時(shí),角加速度B與M成正比，而與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J成反比，即0也可寫成國際單位中k=1.若設(shè)作用在剛體上的外力對(duì)z軸的力矩總和為合外力矩剛體對(duì)z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J,則有Ms=J0上式表明，剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，剛體對(duì)該軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角加速度的乘積,等于作用在剛體上所有外力對(duì)該軸的力矩的代

4、數(shù)和.該式稱為剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程，也稱轉(zhuǎn)動(dòng)定律.討論:（1）M正比于B，力矩越大,剛體的B越大（2）力矩相同，若轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不同，產(chǎn)生的角加速度不同（3）與牛頓定律比較，轉(zhuǎn)動(dòng)定律的理論證明:如右圖，在剛體上任取一質(zhì)量元，作用在質(zhì)量元上的力可以分為兩類:表示來自剛體意外一切力的合力（稱外力），表示來自剛體內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)對(duì)該質(zhì)量元作用力的合理（稱內(nèi)力）.剛體繞定軸Z轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，質(zhì)量元以為半徑作圓周運(yùn)動(dòng)，按牛頓第二定律，有將此矢量方程兩邊都投影到質(zhì)量元的圓軌跡切線方向上，則有Et中£二叫Gr再將此式兩邊乘以,則得對(duì)固定軸的力矩肚+f事Lg窩=也刊對(duì)所有質(zhì)量元求和，則得等式右邊第一項(xiàng)為合外力矩;第

5、二項(xiàng)為所有內(nèi)力對(duì)z軸的力矩總和,由于內(nèi)力總是成對(duì)出現(xiàn),而且每對(duì)內(nèi)力大小相等、方向相反,且在一條作用線上,因此內(nèi)力對(duì)z軸的力矩的和恒等于零.即證.三. 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量剛體對(duì)某Z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,等于剛體上各質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與該質(zhì)點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸垂直距離平方的乘積之和,即J二7山鮎？事實(shí)上剛體的質(zhì)量是連續(xù)分布的,故上式中的求和可寫為定積分,即剛體對(duì)軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的大小決定于三個(gè)因素,即剛體的質(zhì)量、質(zhì)量對(duì)軸的分布情況和轉(zhuǎn)軸的位置.(1)J與剛體的總質(zhì)量有關(guān)例1兩根等長的細(xì)木棒和細(xì)鐵棒繞端點(diǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量解：在如圖的棒上取一線元dx,則積分得其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J=*H/d齊=；"=MlhJoz3顯然，本題中嘰沁尿，貝y(2)J與

6、質(zhì)量分布有關(guān)例2圓環(huán)繞中心軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量解:在如圖的圓環(huán)上取一線元dl,則積分得其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為xL柑JC盅iJor她mr例3圓盤繞中心軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量解：在如圖的圓盤上取一寬為dr的圓環(huán)帶，令"加血,則質(zhì)量元?jiǎng)t積分得圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為(3)J與轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)例4均勻細(xì)棒繞端點(diǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量解：在如圖棒上取一線元dx,積分得棒的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為/=|J'?Ux=-MlJo3例5均勻細(xì)棒對(duì)通過中心并與棒垂直得軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量解:如圖,以桿的中心O為坐標(biāo)原點(diǎn),取Oxz坐標(biāo)系.積分得棒對(duì)z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為12工叮血二四. 平行軸定理及垂直軸定理1.平行軸定理設(shè)剛體得質(zhì)量為M,質(zhì)心為C,剛體對(duì)通過質(zhì)心某

7、軸Z（稱為質(zhì)心軸）得轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為人如有另一與Z軸平行的任意軸丈且z和刃兩軸間的垂直距離L.剛體對(duì)藝軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量設(shè)為，則可以證明:險(xiǎn)7+血©即剛體對(duì)任意軸軸）的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于剛體對(duì)通過質(zhì)心并與該軸平行的軸（z軸）的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量幾加上剛體的質(zhì)量與兩軸間垂直距離L平方的乘積.這個(gè)結(jié)論稱為平行軸定理.例1:求均勻細(xì)棒的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.解：如圖,已知均質(zhì)桿對(duì)質(zhì)心軸Z的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為心=1門功仇，為通過桿的一端、且與Z軸平行的刃軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量人,按平行軸定理有2. 垂直軸定理如右圖所示,x、y軸在剛體內(nèi),z軸垂直于剛體.則剛體對(duì)z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于其對(duì)x、y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和此即為垂直軸定理.例求對(duì)圓盤的一條直徑的轉(zhuǎn)動(dòng)

8、慣量解：以圓盤圓心C為坐標(biāo)圓點(diǎn),建立xyz坐標(biāo)系如右圖易求得圓盤對(duì)z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為根據(jù)垂直軸定理，有五. 轉(zhuǎn)動(dòng)定律的應(yīng)用舉例例1一輕繩繞在半徑r=20cm的飛輪邊緣,在繩端施以F=98N的拉力,飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J=0.5kg.m2,飛輪與轉(zhuǎn)軸間的摩擦不計(jì),(如圖)求:(1)飛輪的角加速度(2)如以重量P=98N的物體掛在繩端，試計(jì)算飛輪的角加速度解：根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律，有Fr=Jfi(2)分別對(duì)物體和飛輪進(jìn)行受力分析,如圖所示,根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律和轉(zhuǎn)動(dòng)定律,有因?yàn)閮H十，所以有9Bg0.20.5+10lx0.22=21.8rad/s2例2一根長為l,質(zhì)量為m的均勻細(xì)直棒,可繞軸O在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng),初始時(shí)它

9、在水平位置求它由此下擺&角時(shí)的解：在直棒上取如圖的質(zhì)量元dm,則積分得整個(gè)直棒重力對(duì)軸O的力矩為由上式可以看出,重力對(duì)整個(gè)棒的合力矩等于重力全部集中于質(zhì)心所產(chǎn)生的力矩.則角加速度為：丹M13.s61dwd=二mg:COS&1=e72mP21：dZd日鮎仙二墜蘭加又，則桿下擺至&角速度少為例3圓盤以砒）在桌面上轉(zhuǎn)動(dòng)，受摩擦力而靜止求到圓盤靜止所需時(shí)間解：在圓盤內(nèi)取一半徑為r的,厚度為dr的環(huán)帶，其質(zhì)量為m=b血=口-2nz<V,該環(huán)帶的摩擦力對(duì)質(zhì)心軸的力矩為積分得圓盤的摩擦力力矩為匹由轉(zhuǎn)動(dòng)定律得必所以Jwa/2例4如圖一個(gè)剛體系統(tǒng),已知轉(zhuǎn)動(dòng)慣量弓，現(xiàn)有一水平作用力作

10、用于距軸為處求軸對(duì)棒的作用力（也稱軸反力）解：設(shè)軸對(duì)棒的作用力為N,分解為皿楓由轉(zhuǎn)動(dòng)定律得由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理得解得打擊中心汕=Q思考題1.剛體可有不止一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量嗎?除了剛體的形狀和質(zhì)量以外,要求它的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,還要已知什么信息?2. 能否找到這樣一個(gè)軸,剛體繞該軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量比繞平行于該軸并通過質(zhì)心的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量小?3. 剛體在力矩作用下繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng),當(dāng)力矩增大或減小時(shí),其角速度和角加速度將如何變化?4. 貓有一條長長的尾巴,它習(xí)慣于在陽臺(tái)上睡覺,因而從陽臺(tái)上掉下來的事情時(shí)有發(fā)生.長期的觀察表明貓從高層的樓房的陽臺(tái)掉到樓外的人行道上時(shí),受傷的程度將隨高度的增加而減少,據(jù)報(bào)道有只貓從32層樓掉下來,也僅

11、僅只有胸腔和一顆牙齒有輕微的損傷.為什么會(huì)這樣呢?（點(diǎn)擊圖片播放動(dòng)畫）§6.2繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能動(dòng)能定理一.轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能剛體I繞定軸z轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量匚，某時(shí)刻t，角速度，角加速度為卩，設(shè)想剛體是由大量質(zhì)點(diǎn)組成，現(xiàn)研究質(zhì)量為加i的質(zhì)點(diǎn)i,如圖顯然，質(zhì)點(diǎn)i的速度為吒計(jì),由質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的定義知，質(zhì)量i的動(dòng)能為由于動(dòng)能為標(biāo)量且永為正，故整個(gè)剛體的動(dòng)能E等于組成剛體所有質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的算數(shù)和，即兔二乞遼+皿i刊"二fts切阿=y拐即繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能,等于剛體對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量于其角速度平方乘l7mu2積的一半.將剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能與質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能加以比較，再一次看出轉(zhuǎn)動(dòng)慣量人對(duì)應(yīng)于質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量，即

12、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是剛體繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大小的量度.二.力矩的功力的累積過程力矩的空間累積效應(yīng)功的定義如圖，設(shè)繞定軸z轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上P點(diǎn)作用有一力斤，現(xiàn)研究剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)力斤在其作用點(diǎn)P的元路程ds上的功.由圖易得(±4=F-dr=：理訊日&=Fnz.os別0=即作用在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上的力戸的元功，等于該力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩于剛體的元角位移的乘積.這也稱為力矩的元功.力矩作功的微分形式對(duì)一有限過程剛體從角坐標(biāo)劃到坯的過程中，力矩對(duì)剛體所作的功為若力矩M為常數(shù),則上式可以進(jìn)一步寫成既作用在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上的常力矩在某一轉(zhuǎn)動(dòng)過程中對(duì)剛體所作的功,等于該力矩與剛體角位移的乘積.討論:厘=匸&込3=4合力矩

13、的功(2) 力矩的功就是力的功(3) 內(nèi)力矩作功之和為零三.轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理力矩功的效果力矩的元功此式表示繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體動(dòng)能的微分,等于作用在剛體上所有外力元功的代數(shù)和這就是繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能定理的微分形式.若定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體在外力作用下，角速度從四變到嗎，則由微分式，可得到式中A表示剛體角速度從印變到碼這一過程中,作用于剛體上的所有外力所作功的代數(shù)和.上式表明，繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體在任一過程中動(dòng)能的增量,等于在該過程中作用在剛體上所有外力所作功的總和.這就是繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能定理的積分形式.剛體的機(jī)械能等于剛體的動(dòng)能、重力勢(shì)能之和.其中的重力勢(shì)能為故剛體的機(jī)械能又可表示為剛體的機(jī)械能守恒,則有-+喘

14、衣d=：c對(duì)于包括剛體的系統(tǒng),功能原理和機(jī)械能守恒定律仍成立.例1一根長為l,質(zhì)量為m的均勻細(xì)直棒,可繞軸O在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng),初始時(shí)它在水平位置求它由此下擺&角時(shí)的解：易得桿擺至白角時(shí)對(duì)O軸的力矩為由動(dòng)能定理,重力矩作的功得即例2圖示裝置可用來測(cè)量物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.待測(cè)物體A裝在轉(zhuǎn)動(dòng)架上,轉(zhuǎn)軸Z上裝一半徑為r的輕鼓輪,繩的一端纏繞在鼓輪上,另一端繞過定滑輪懸掛一質(zhì)量為m的重物.重物下落時(shí),由繩帶動(dòng)被測(cè)物體A繞Z軸轉(zhuǎn)動(dòng).今測(cè)得重物由靜止下落一段距離h.所用時(shí)間為t.求物體A對(duì)Z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量幾設(shè)繩子不可伸縮，繩子、各輪質(zhì)量及輪軸處的摩擦力矩忽略不計(jì).待測(cè)物a的機(jī)械能：£典=0，童壯

15、=0重物m的機(jī)械能：玨=-礙E盟=沁'湮十心於/2=護(hù)后+就滬-）由機(jī)械能守恒得：w來+滬腫十応H（護(hù)）=0二R=&又由則可得故，物體A對(duì)Z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量幾為思考題1兩個(gè)重量相同的球分別用密度為劇，烤的金屬制成，今分別以角速度聽和聘繞通過球心的軸轉(zhuǎn)動(dòng)，試問這兩個(gè)球的能量之比多大？§6.3動(dòng)量矩和動(dòng)量矩守恒定律一 .質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩（角動(dòng)量）定理和動(dòng)量矩守恒定律1. 質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩設(shè)一質(zhì)點(diǎn)在平面S，如圖所示在時(shí)刻t,質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量為朋0,對(duì)某固定點(diǎn)O質(zhì)點(diǎn)的位矢為產(chǎn),則質(zhì)點(diǎn)對(duì)O點(diǎn)的動(dòng)量矩（或質(zhì)點(diǎn)對(duì)O點(diǎn)的角動(dòng)量）定義為：位矢產(chǎn)和動(dòng)量朋°的矢積,即根據(jù)矢積定義,質(zhì)點(diǎn)對(duì)O點(diǎn)動(dòng)量的大

16、小為：指向由右螺旋法則確定.（可以證明,質(zhì)點(diǎn)對(duì)某點(diǎn)的動(dòng)量矩,在通過該點(diǎn)的任意軸上的投影就等于質(zhì)點(diǎn)對(duì)該軸的動(dòng)量矩）特例：質(zhì)點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，"rpn說明:（1）質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩與質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量及位矢（取決于固定點(diǎn)的選擇）有關(guān)（2）當(dāng)質(zhì)點(diǎn)作平面運(yùn)動(dòng)時(shí)，質(zhì)點(diǎn)對(duì)運(yùn)動(dòng)平面內(nèi)某參考點(diǎn)O的動(dòng)量矩也稱為質(zhì)點(diǎn)對(duì)過O垂直于運(yùn)動(dòng)平面的軸的動(dòng)量矩例一質(zhì)點(diǎn)m，速度為v，如圖所示A、B、C分別為三個(gè)參考點(diǎn)，此時(shí)m相對(duì)三個(gè)點(diǎn)的距離分別為此I、遍.求此時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)對(duì)三個(gè)參考點(diǎn)的動(dòng)量矩解:質(zhì)點(diǎn)對(duì)某點(diǎn)的動(dòng)量矩,在通過該點(diǎn)的任意軸上的投影就等于質(zhì)點(diǎn)對(duì)該軸的動(dòng)量矩2. 質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理質(zhì)點(diǎn)為m的質(zhì)點(diǎn)，在力戸的作用下運(yùn)動(dòng)，某一時(shí)刻t，質(zhì)點(diǎn)

17、相對(duì)固定點(diǎn)O的位矢為巴速度為込按上述質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩的定義，有兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，得dZ_d由于，故上式右邊第二項(xiàng)為零，而第一項(xiàng)中F汀二M,因此,上式右邊第二項(xiàng)是作用在質(zhì)點(diǎn)上所有力的合力對(duì)O點(diǎn)的力矩，即此式表明，在慣性系中,質(zhì)點(diǎn)對(duì)任意固定點(diǎn)O的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù),等于作用在質(zhì)點(diǎn)上所有力的合力對(duì)同一點(diǎn)O的力矩.這就是質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩定理.質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩定理的微分形式:質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩定理的積分形式:質(zhì)點(diǎn)所受合力矩的沖量矩等于質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩的增量說明:(1)沖量矩是質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩變化的原因(2)質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩的變化是力矩對(duì)時(shí)間的積累結(jié)果質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩定理也可直接用來求解質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)問題,特別是質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中始終和一個(gè)點(diǎn)或一根軸相關(guān)聯(lián)的問

18、題,例如單擺運(yùn)動(dòng),行星運(yùn)動(dòng)等問題.3. 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩守恒定律在質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩定理可以看出,當(dāng)作用在質(zhì)點(diǎn)上的合力對(duì)固定點(diǎn)的力矩恒為零時(shí),質(zhì)點(diǎn)對(duì)該點(diǎn)的動(dòng)量矩為常矢量,即若應(yīng)三o時(shí)上=常矢量這就是質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量守恒定律.討論:(1) 動(dòng)量矩守恒定律是物理學(xué)的基本定律之一,它不僅適用于宏觀體系,也適用于微觀體系,且在高速低速范圍均適用(2) 通常對(duì)有心力：戸過O點(diǎn),M=0,動(dòng)量矩守恒.例如由動(dòng)量矩守恒定律可導(dǎo)出行星運(yùn)動(dòng)的開普勒第二定律行星對(duì)太陽的位矢在相等的時(shí)間內(nèi)掃過相等的面積例發(fā)射一宇宙飛船去考察一質(zhì)量為M、半徑為R的行星,當(dāng)飛船靜止于空間距行星中心4R時(shí)，以速度發(fā)射一質(zhì)量為m的儀器要使該儀器恰好掠過行星表面求

19、0角及著陸滑行的初速度多大解:由引力場(chǎng)（有心力）系統(tǒng)的機(jī)械能守恒得由質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩守恒得所以有二 .剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)量矩定理和動(dòng)量矩守恒定律1. 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)量矩剛體以角速度e繞定軸z轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，剛體上任意一點(diǎn)均在各自所在的垂至于z軸的平面那作圓周運(yùn)動(dòng)，如圖.由于剛體上任一質(zhì)點(diǎn)對(duì)z軸的動(dòng)量矩都具有相同的方向（或者說都具有相同的正負(fù)號(hào)），因此整個(gè)剛體對(duì)z軸的動(dòng)量矩®應(yīng)為各質(zhì)點(diǎn)對(duì)z軸的動(dòng)量矩之和，即=工A邂卩再=工心坍=J尹上式表明，繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體對(duì)z軸的動(dòng)量矩,等于剛體對(duì)該軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角速度的乘積.2. 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)量矩定理將動(dòng)量矩表達(dá)式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，得由于剛體對(duì)給定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是一

20、常量，因此利用前面講過的轉(zhuǎn)動(dòng)定律，可以將上式進(jìn)一步寫成上式表明，繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體對(duì)z軸的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù),等于作用在剛體上所有外力對(duì)z軸的力矩的代數(shù)和.這就是剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)情況下的動(dòng)量矩定理.動(dòng)量矩定理微分形式:匹公=ds=dJ爐將上式兩邊乘以dt并積分，得動(dòng)量矩定理積分形式:叫隔分別表示在®和俎時(shí)刻轉(zhuǎn)動(dòng)剛體對(duì)Z軸得動(dòng)量矩，一成為在時(shí)間內(nèi)對(duì)z軸得沖量矩沖量矩表示了力矩在一段時(shí)間間隔內(nèi)的積累效應(yīng).上式表明,定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)量矩在某一時(shí)間間隔內(nèi)的增量,等于同一時(shí)間間隔內(nèi)作用在剛體上的沖量矩.3. 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)量矩守恒定律當(dāng)作用在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上的所有外力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩代數(shù)和為零時(shí),根據(jù)

21、動(dòng)量矩定理式'，剛體在運(yùn)動(dòng)過程中動(dòng)量矩保持不變（守恒），即購=0時(shí)，'燦=常量.以上的討論是對(duì)繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體進(jìn)行的.對(duì)繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的可變形物體來說，如果物體上各點(diǎn)繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度相同，即可用同一角速度來描述整個(gè)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)，則某一時(shí)刻t，物體對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)軸的動(dòng)量矩也可表示為該物體在時(shí)刻t對(duì)同一軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角速度的乘積.只是由于物體上各點(diǎn)相對(duì)于軸的位置是可變的，所以對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不再是一個(gè)常量，可表示為可以證明，這是可變形物體對(duì)轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)仍然等于作用于該=p可變形物體的所有外力對(duì)同一軸的力矩的代數(shù)和，即仍成立.這時(shí)如果作用在可變形物體上所有外力對(duì)該軸的力矩的代數(shù)和恒

22、為零，則在運(yùn)動(dòng)過程中，可變形物體對(duì)轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩保持不變（守恒）.更一般地說，如果作用在質(zhì)點(diǎn)系上所有外力對(duì)某一固定軸的力矩之和為零,則質(zhì)點(diǎn)系對(duì)該軸的動(dòng)量矩保持不變,這是動(dòng)量矩守恒定律的更為一般的表述形式.動(dòng)量矩守恒定律在實(shí)際生活中及工程中有著廣泛的應(yīng)用.例如花樣滑冰的表演者可以容過伸展或收回手腳（改變對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量）的動(dòng)作來調(diào)節(jié)旋轉(zhuǎn)的角速度.例一長為l的勻質(zhì)細(xì)桿,可繞通過中心的固定水平軸在鉛垂面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動(dòng),開始時(shí)桿靜止于水平位置一質(zhì)量與桿相同的昆蟲以速度購垂直落到距O點(diǎn)l/4處的桿上,昆蟲落下后立即向桿的端點(diǎn)爬行,如圖所示.若要使桿以勻角速度轉(zhuǎn)動(dòng).求昆蟲沿桿爬行的速度解：設(shè)桿和昆蟲的質(zhì)量均為m，

23、昆蟲與桿碰后以共同的角速度轉(zhuǎn)動(dòng)昆蟲落到桿上的過程為完全非彈性碰撞,對(duì)于昆蟲和桿構(gòu)成的系統(tǒng),和外力矩為零,動(dòng)量矩守恒,故有化簡(jiǎn)此式可得桿的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度,即由題可知，此后桿以此角速度作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)設(shè)碰后t時(shí)刻，桿轉(zhuǎn)過白角，昆蟲爬到距O點(diǎn)為r的位置處,此時(shí),昆蟲和桿系統(tǒng)所受合外力矩為根據(jù)動(dòng)量定理，有由題設(shè)0不變，所以其中幾的值為帶入上式有mgr&=-2m?rdr因此，為了使保持不變，昆蟲的爬行速率應(yīng)為drg閔9g71g12飛V-cosaiI-:cosf咖）出2®,324四7；說明：此題使一個(gè)系統(tǒng)繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)問題在解此題的過程中應(yīng)用了動(dòng)量矩定理，該定理與剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律的區(qū)別.三 .進(jìn)動(dòng)如圖為一玩具