高考中的概率與統(tǒng)計問題

1、高考專題突破六高考中的概率與統(tǒng)計問題題型一古典概型與幾何概型在區(qū)間0,e上隨機取一個實數(shù)x,則fx）的值不小fex,OWxvl,例1(1)若函數(shù)fx)咄丄Inx十e,1WxWe于常數(shù)e的概率是（）11+e答案B解析當0Wx<1時,x)ve當1WxWe時,Wfx)W1+e,.fx)的值不小于常數(shù)e，/.1WxWe,e1所求概率為丁二1，故選B.（2）現(xiàn)有2名女教師和1名男教師參加說題比賽,共有2道備選題目,若每位選手從中有放回地隨機選出一道題進行說題,其中恰有一男一女抽到同一道題的概率為（）2-_B1-3AAc.1D.3答案C解析記兩道題分別為A,B,所有抽取的情況為AAA,AAB,ABA

2、,ABB,BAA,BAB,BBA,BBB（其中第1個、第2個分別表示兩個女教師抽取的題目，第3個表示男教師抽取的題目），共有8種其中滿足恰有一男一女抽到同一道題目的情況為ABA,ABB,BAA,BAB,共4種故所求事件的概率為1.故選C.思維升華幾何概型與古典概型的本質(zhì)區(qū)別在于試驗結(jié)果的無限性，幾何概型經(jīng)常涉及的幾何度量有長度、面積、體積等，解決幾何概型的關(guān)鍵是找準幾何測度；古典概型是命題的重點，對于較復雜的基本事件，列舉時要按照一定的規(guī)律進行，做到不重不漏跟蹤訓練1(1)已知函數(shù)fx)=3x3+ax2+b2x+l,若a是從1,2,3中任取的一個數(shù)，b是從0,1,2中任取的一個數(shù)，則該函數(shù)有兩

3、個極值點的概率為()7152A.gB.3C.9D.3答案D解析f(x)二x2+2ax+b2，要使函數(shù)fx)有兩個極值點，則有A二(2a)2-4方2>0，即a2>b2.由題意知所有的基本事件有9個，即(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一個數(shù)表示a的取值，第二個數(shù)表示b的取值.滿足a2>b2的有6個基本事件，即(1,0),(2,0),(2,1),(3,0),(3,1),(3,2),所以所求事件的概率為6二2如圖所示，正方形BCDE和正方形ABFG的邊長分別為2a和a,連接CE和CG,現(xiàn)將一把芝麻隨機地

4、撒在該圖形中，則芝麻落在陰影部分的概率是()a3A,10333B.5C.20Dy答案A解析設題圖中陰影部刀的面積是S,則S-S正方形ABFGSBCEAGC，S正方形ABFG"2S厶bce二2X2aX2a二2a2,SAGC-|（a+2a）Xa二|a2，S-|a2，又整體區(qū)域的面積為5a2，:二1o,故選A.a2芝麻落在陰影部分的概率是一5a2題型二概率與統(tǒng)計的綜合應用例2（2016全國I）某公司計劃購買1臺機器，該種機器使用三年后即被淘汰.機器有一易損零件，在購進機器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個200元在機器使用期間，如果備件不足再購買，則每個500元現(xiàn)需決策在購買機器時應同

5、時購買幾個易損零件，為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得下面柱狀圖記x表示1臺機器在三年使用期內(nèi)需更換的易損零件數(shù)，y表示1臺機器在購買易損零件上所需的費用(單位：元)，n表示購機的同時購買的易損零件數(shù)(1) 若n=19，求y與x的函數(shù)解析式；(2) 若要求“需更換的易損零件數(shù)不大于n”的頻率不小于0.5,求n的最小值；(3) 假設這100臺機器在購機的同時每臺都購買19個易損零件，或每臺都購買20個易損零件，分別計算這100臺機器在購買易損零件上所需費用的平均數(shù)，以此作為決策依據(jù)，購買1臺機器的同時應購買19個還是20個易損零件？解(1)當xW19時，y=380

6、0；當x>19時，y二3800+500(x-19)二500x-5700.所以y與x的函數(shù)解析式為800,xW19,(x£N).、500x-5700,x>19(2) 由柱狀圖知，需更換的零件數(shù)不大于18的頻率為0.46，不大于19的頻率為0.7，故n的最小值為19.(3) 若每臺機器在購機同時都購買19個易損零件，則這100臺機器中有70臺在購買易損零件上的費用為3800,20臺的費用為4300,10臺的費用為4800，因此這100臺機器在購買易損零件上所需費用的平均數(shù)為缶(3800X70+4300X20+4800X10)=4000；若每臺機器在購機同時都購買20個易損零件

7、，則這100臺機器中有90臺在購買易損零件上的費用為4000,10臺的費用為4500，因此這100臺機器在購買易損零件上所需費用的平均數(shù)為血(4000X90+4500X10)=4050.比較兩個平均數(shù)可知，購買1臺機器的同時應購買19個易損零件思維升華概率與統(tǒng)計作為考查考生應用意識的重要載體，已成為近幾年高考的一大亮點和熱點它與其他知識融合、滲透，情境新穎，充分體現(xiàn)了概率與統(tǒng)計的工具性和交匯性跟蹤訓練2某校從高一年級學生中隨機抽取40名學生，將他們的期中考試數(shù)學成績(滿分100分，成績均為不低于40分的整數(shù))分成六段：40,50),50,60),，90,100后得到如圖所示的頻率分布直方圖(1

8、) 求圖中實數(shù)a的值；(2) 若該校高一年級共有640人，試估計該校高一年級期中考試數(shù)學成績不低于60分的人數(shù)；(3) 若從數(shù)學成績在40,50)與90,100兩個分數(shù)段內(nèi)的學生中隨機選取2名學生，求這2名學生的數(shù)學成績之差的絕對值不大于10的概率解由已知，得10X(0.005+0.010+0.020+a+0.025+0.010)=1，解得a=0.030.根據(jù)頻率分布直方圖，可知成績不低于60分的頻率為1-10X(0.005+0.010)=0.85.由于該校高一年級共有學生640人，利用樣本估計總體的思想，可估計該校高一年級期中考試數(shù)學成績不低于60分的人數(shù)為640X0.85二544.（3）易

9、知成績在40,50）分數(shù)段內(nèi)的人數(shù)為40x0.05二2,這2人分別記為A,B；成績在90,100分數(shù)段內(nèi)的人數(shù)為40X0.1=4，這4人分別記為CD,E屮.若從數(shù)學成績在40,50）與90,100兩個分數(shù)段內(nèi)的學生中隨機選取2名學生，則所有的基本事件有（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（A，F(xiàn)），（B，C），（B，D），（B，E），（B，F(xiàn)），（C，D），（C，E），（C，F(xiàn)），（D，E），（D，F(xiàn)），（E，F(xiàn)），共15個如果2名學生的數(shù)學成績都在40,50）分數(shù)段內(nèi)或都在90,100分數(shù)段內(nèi)，那么這2名學生的數(shù)學成績之差的絕對值一定不大于10.如果一個成績在40,50）分數(shù)段內(nèi)

10、，另一個成績在90,100分數(shù)段內(nèi)，那么這2名學生的數(shù)學成績之差的絕對值一定大于10.記“這2名學生的數(shù)學成績之差的絕對值不大于10”為事件M，則事件M包含的基本事件有（A，B），（C，D），（C，E），（C，F(xiàn)），（D，E），（D，F(xiàn)），（E，F(xiàn)），共7個，故所求概率P（M）-Z15.題型三概率與統(tǒng)計案例的綜合應用例3某大學餐飲中心為了解新生的飲食習慣，在全校一年級學生中進行了抽樣調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下表所示：喜歡甜品不喜歡甜品總計南方學生602080北方學生101020總計7030100(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，問是否有95%的把握認為“南方學生和北方學生在選用甜品的飲食習慣方面有差異”；(2)已知

11、在被調(diào)查的北方學生中有5名數(shù)學系的學生，其中2名喜歡甜品，現(xiàn)在從這5名學生中隨機抽取3人，求至多有1人喜歡甜品的概率附：P心k°)0.1000.0500.010k02.7063.8416.635n(adbc)2"(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)°解(1)將2X2列聯(lián)表中數(shù)據(jù)代入公式計算，得100X(60X10-20X10)2100K2二心476270X30X80X2021由于4.762>3.841，所以有95%的把握認為“南方學生和北方學生在選用甜品的飲食習慣方面有差異”(2)設這5名數(shù)學系的學生喜歡甜品的為a1,a2,不喜歡甜品的為b1,b2,b3

12、,從5名數(shù)學系的學生中任取3人的一切可能結(jié)果所組成的基本事件空間Q(a1,a2,b1),(a1,a2,b2),(a1,a2,bj,(a1,b1,b2),(a1,b2,bj,(a1,b1,bj,(a2,b1，b2)，(a2，b2，b3)，(a2，b1，b3)，(b1，b2，b3)Q由10個基本事件組成，且這些基本事件出現(xiàn)是等可能的.用A表示“3人中至多有1人喜歡甜品”這一事件，則A-(a1,b1,b2),(a1,b2,bj,(a1,b1,b3),(a2,b1,b2),(a2,b2,bj,(a2,b1,bj,(b1,b2,b3),A由7個基本事件組成，因而PA)二良思維升華統(tǒng)計以考查抽樣方法、樣本

13、的頻率分布、樣本特征數(shù)的計算為主，概率以考查概率計算為主，往往和實際問題相結(jié)合，要注意理解實際問題的意義，使之和相應的概率計算對應起來，只有這樣才能有效地解決問題跟蹤訓練3某校計劃面向高一年級1200名學生開設校本選修課程，為確保工作的順利實施，先按性別進行分層抽樣，抽取了180名學生對社會科學類、自然科學類這兩大類校本選修課程進行選課意向調(diào)查，其中男生有105人在這180名學生中選擇社會科學類的男生、女生均為45人其中n=a+b+c+d.(1)分別計算抽取的樣本中男生、女生選擇社會科學類的頻率，并以統(tǒng)計的頻率作為概率，估計實際選課中選擇社會科學類的學生人數(shù)；(2)根據(jù)抽取的180名學生的調(diào)查

14、結(jié)果，完成以下2X2列聯(lián)表.并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認為科類的選擇與性別有關(guān)？選擇自然科學類選擇社會科學類總計男生女生總計P(K2±k0)0.5000.4000.2500.1500.100k00.4550.7081.3232.0722.706P(心k00.0500.0250.0100.0050.001k03.8415.0246.6357.87910.828n(adbc)2'°"(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'解(1)由條件知，抽取的男生有105人，女生有180-105二75(人)男生選擇社會科學類的頻率為釜=7，女

15、生選擇社會科學類的頻率為等二3.由題意，知男生總數(shù)為1200X105180二700女生總數(shù)為1200X75180二500所以估計選擇社會科學類的人數(shù)為700X3+500x|=600.(2)根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)，可得列聯(lián)表如下：選擇自然科學類選擇社會科學類總計男生6045105女生304575總計9090180二367心5.1429>5.024180X(60X45-30X45)2105X75X90X90所以在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下能認為科類的選擇與性別有關(guān)yWx,i在不等式組°<xW3'所表示的平面區(qū)域內(nèi)的所有格點(橫、縱坐標均為整數(shù)的點稱為1iy>x格

16、點)中任取3個點,則該3點恰能作為一個三角形的3個頂點的概率為9答案答案10解析不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)的格點有(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共5個，從中任取3個點，有10種取法，其中共線的3點不能構(gòu)成三角形，有(3,1)，(3,2)，(3,3)1種情況，所以能夠作為三角形3個頂點的情況有9種，故所求概率是0.2.如圖所示,四個相同的直角三角形與中間的小正方形拼成一個邊長為2的大正方形,且直n角三角形中較小的銳角e=6現(xiàn)在向該正方形區(qū)域內(nèi)隨機地投擲一枚飛鏢，則飛鏢落在小正方形內(nèi)的概率是答案¥解析易知小正方形的邊長為£3-1，故小正方形的面積為S

17、二（V3-1）2二4-20,又大正方形的面積為S二2X2二4,故飛鏢落在小正方形內(nèi)的概率P二豊二43二2-2<3.S423.（2018唐山模擬）某工廠有25周歲以上（含25周歲）工人300名，25周歲以下工人200名.為研究工人的日平均生產(chǎn)量是否與年齡有關(guān)，現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從中抽取了100名工人，先統(tǒng)計了他們某月的日平均生產(chǎn)件數(shù)，然后按工人年齡在“25周歲以上（含25周歲）”和“25周歲以下”分為兩組，再將兩組工人的日平均生產(chǎn)件數(shù)分成5組：50,60），60,70），70,80），80,90），90,100分別加以統(tǒng)計，得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)從樣本中日平均生產(chǎn)件數(shù)不足

18、60的工人中隨機抽取2人，求至少抽到一名“25周歲以下組”工人的概率；(2)規(guī)定日平均生產(chǎn)件數(shù)不少于80的為“生產(chǎn)能手”，請你根據(jù)已知條件完成2X2列聯(lián)表，并判斷是否有90%的把握認為“生產(chǎn)能手與工人所在的年齡組有關(guān)”？P(K2±k0)0.1000.0500.0100.001k02.7063.8416.63510.828附：K2=叭皿一晌2.(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)解(1)由已知得，樣本中有25周歲以上(含25周歲)組工人60名，25周歲以下組工人40名所以樣本中日平均生產(chǎn)件數(shù)不足60的工人中，25周歲以上(含25周歲)組工人有60X0.005X10二3(人)，記為A

19、,A2,A3；25周歲以下組工人有40X0.005X10=2(人)，記為B1，B2.從中隨機抽取2名工人，所有的可能結(jié)果共有10種，它們是他,A2),(A,A3),(A2,A3),(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)其中，至少有1名“25周歲以下組”工人的可能結(jié)果共有7種，它們是(A，B)，(A，B2)，7(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2)故所求的概率P二而(2)由頻率分布直方圖可知，在抽取的100名工人中，“25周歲以上(含25周歲)組”中的生產(chǎn)能手有60X（0.02+0.0

20、05）X10=15（人），“25周歲以下組”中的生產(chǎn)能手有40X（0.0325+0.005）X10二15（人）,據(jù)此可得2X2列聯(lián)表如下：生產(chǎn)能手非生產(chǎn)能手總計25周歲以上（含25周歲）組15456025周歲以下組152540總計3070100所以得k二n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)100X（15X25-15X45）225心17960X40X30X7014因為1.79<2.706.所以沒有90%的把握認為“生產(chǎn)能手與工人所在的年齡組有關(guān)”4某省電視臺為了解該省衛(wèi)視一檔成語類節(jié)目的收視情況，抽查東、西部各5個城市，得到觀看該節(jié)目的人數(shù)的統(tǒng)計數(shù)據(jù)（單位：千人），并

21、畫出如下莖葉圖，其中一個數(shù)字被污損(1)求東部各城市觀看該節(jié)目的觀眾的平均人數(shù)超過西部各城市觀看該節(jié)目的觀眾的平均人數(shù)的概率；(2)該節(jié)目的播出極大地激發(fā)了觀眾對成語知識學習積累的熱情，現(xiàn)從觀看節(jié)目的觀眾中隨機統(tǒng)計了4位觀眾學習成語知識的周均時間(單位：小時)與年齡(單位：歲)，并繪制了如下對照表：年齡x20304050周均學習成語知識時間y2.5344.5根據(jù)表中數(shù)據(jù)，試求線性回歸方程y=bx+a，并預測年齡為55歲的觀眾周均學習成語知識的時間A£工比_nxyA參考公式：b=7二,a=y一bx.5x2nx2i=1i解(1)設被污損的數(shù)字為a,則a有10種情況.由8889909192

22、>83838790a99，得a<8，有8種情況使得東部各城市觀看該節(jié)目的觀眾的平均人數(shù)超過西部各城市觀看該節(jié)目的觀眾的平均人數(shù)，所求概率為器二5.(2)由表中數(shù)據(jù)，計算得x二35,y=3.5,a£1xiyi4xy525-4X35X3.5b=i=1=007丈x2-4匚25400-4X352.'i=1'a=ybx=3.50.07X35=1.05.ay=0.07x1.05.當x=55時，ya=4.9.即預測年齡為55歲的觀眾周均學習成語知識的時間為4.9小時5長沙某購物中心在開業(yè)之后，為了解消費者購物金額的分布情況，在當月的電腦消費小票中隨機抽取n張進行統(tǒng)計，將

23、結(jié)果分成6組，分別是0,100),100,200),200,300),300,400),400,500)，500,600，制成如圖所示的頻率分布直方圖(假設消費金額均在0,600元的區(qū)間內(nèi))(1) 若按分層抽樣的方法在消費金額為400,600元區(qū)間內(nèi)抽取6張電腦小票,再從中任選2張,求這2張小票均來自400,500)元區(qū)間的概率；(2) 為做好五一勞動節(jié)期間的商場促銷活動,策劃人員設計了兩種不同的促銷方案方案一：全場商品打八折方案二：全場購物滿100元減20元,滿300元減80元,滿500元減120元,以上減免只取最高優(yōu)惠,不重復減免,利用直方圖的信息分析：哪種方案優(yōu)惠力度更大,并說明理由(直

24、方圖中每個小組取中間值作為該組數(shù)據(jù)的替代值)解(1)由題意知，在400,500)元區(qū)間內(nèi)抽4張，分別記為a,b,c,d,在500,600元區(qū)間內(nèi)抽2張，分別記為E,F,設“2張小票均來自400,500）元區(qū)間”為事件A，從中任選2張，有以下選法：ab，ac，ad，aE，aF，bc，bd，bE，bF，cd，cE，cF，dE，dF，EF,共15種.其中，2張小票均來自400,500）元區(qū)間的有ab，ac，ad，bc，bd，cd，共6種，2p（a）=5（2）方法一由頻率分布直方圖可知，各組頻率依次為0.1,0.2,0.25,0.3,0.1,0.05.方案一：購物的平均費用為0.8X（50X0.1+1

25、50X0.2+250X0.25+350X0.3+450X0.1+550X0.05）二0.8X275二220（元）.方案二：購物的平均費用為50X0.1+130X0.2+230X0.25+270X0.3+370X0.1+430X0.05二228（元）.220V228,方案一的優(yōu)惠力度更大.方法二由頻率分布直方圖可知，各組頻率依次為0.1,0.2,0.25,0.3,0.1,0.05，方案一：平均優(yōu)惠金額為0.2X（50X0.1+150X0.2+250X0.25+350X0.3+450X0.1+550X0.05）二0.2X275二55（元）.方案二：平均優(yōu)惠金額為20X（0.2+0.25）+80X（0.3+