第八章?lián)p失分布第一次課

1、1第八章第八章 損失分布損失分布 2本章學(xué)習(xí)目標(biāo)1、掌握概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的相關(guān)知識2、掌握常用的損失分布及其性質(zhì)3、掌握獲得損失分布的一般過程3本章重點(diǎn)與難點(diǎn) 重點(diǎn)：損失分布的一般過程 難點(diǎn)：損失分布及其性質(zhì) 4本章內(nèi)容 第一節(jié) 概率論的基本概念 第二節(jié) 隨機(jī)變量及其概率分布 第三節(jié) 數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念 第四節(jié) 獲得損失分布的一般過程 第五節(jié) 貝葉斯估計(jì)5第一節(jié)第一節(jié) 概率論的基本概念概率論的基本概念 概率統(tǒng)計(jì)研究的對象：隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)量概率統(tǒng)計(jì)研究的對象：隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)量規(guī)律規(guī)律一、隨機(jī)試驗(yàn)與隨機(jī)事件一、隨機(jī)試驗(yàn)與隨機(jī)事件二、隨機(jī)事件的概率二、隨機(jī)事件的概率三、概率的運(yùn)算法則三、概率的運(yùn)算法則6

2、一、隨機(jī)試驗(yàn)與隨機(jī)事件一、隨機(jī)試驗(yàn)與隨機(jī)事件（一）必然現(xiàn)象與隨機(jī)現(xiàn)象（一）必然現(xiàn)象與隨機(jī)現(xiàn)象 在自然界與生產(chǎn)實(shí)踐和科學(xué)試驗(yàn)中，人在自然界與生產(chǎn)實(shí)踐和科學(xué)試驗(yàn)中，人們會觀察到各種各樣的現(xiàn)象，把它們歸納起們會觀察到各種各樣的現(xiàn)象，把它們歸納起來，大體上分為兩大類：來，大體上分為兩大類：71 1、必然現(xiàn)象（確定性現(xiàn)象）、必然現(xiàn)象（確定性現(xiàn)象） 變化結(jié)果是事先可以確定的，一定的條件必然導(dǎo)致某一結(jié)果這種關(guān)系通常可以用公式或定律來表示。2 2、隨機(jī)現(xiàn)象（偶然現(xiàn)象、不確定現(xiàn)象）、隨機(jī)現(xiàn)象（偶然現(xiàn)象、不確定現(xiàn)象） （1）在一定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的現(xiàn)象 （2）個別觀察的結(jié)果完全是偶然的、隨機(jī)會而定 （3

3、）大量觀察的結(jié)果會呈現(xiàn)出某種規(guī)律性 （隨機(jī)性中寓含著規(guī)律性）（隨機(jī)性中寓含著規(guī)律性） 統(tǒng)計(jì)規(guī)律性統(tǒng)計(jì)規(guī)律性十五的夜十五的夜晚能看見晚能看見月亮？月亮？十五的月十五的月亮比初十亮比初十圓！圓！8（二）隨機(jī)試驗(yàn)（二）隨機(jī)試驗(yàn)1 1、概念、概念 通常我們把根據(jù)某一研究目的，在一定條件下對自然現(xiàn)通常我們把根據(jù)某一研究目的，在一定條件下對自然現(xiàn)象所進(jìn)行的觀察或試驗(yàn)統(tǒng)稱為象所進(jìn)行的觀察或試驗(yàn)統(tǒng)稱為試驗(yàn)試驗(yàn)。 2 2、嚴(yán)格意義上的隨機(jī)試驗(yàn)滿足三個條件：、嚴(yán)格意義上的隨機(jī)試驗(yàn)滿足三個條件：試驗(yàn)可以在系統(tǒng)條件下重復(fù)進(jìn)行；試驗(yàn)可以在系統(tǒng)條件下重復(fù)進(jìn)行；試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是明確可知的；試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是明確可知的

4、；每次試驗(yàn)前不能肯定哪一個結(jié)果會出現(xiàn)。每次試驗(yàn)前不能肯定哪一個結(jié)果會出現(xiàn)。3 3、廣義的隨機(jī)試驗(yàn)是指對隨機(jī)現(xiàn)象的觀察（或?qū)嶒?yàn)）。、廣義的隨機(jī)試驗(yàn)是指對隨機(jī)現(xiàn)象的觀察（或?qū)嶒?yàn)）。實(shí)際應(yīng)用中多數(shù)試驗(yàn)不能同時滿足上述條件，常常從實(shí)際應(yīng)用中多數(shù)試驗(yàn)不能同時滿足上述條件，常常從廣義角度來理解。廣義角度來理解。9（三）隨機(jī)事件（三）隨機(jī)事件 1 1、概念、概念 隨機(jī)試驗(yàn)的每一種可能結(jié)果，稱為隨機(jī)試驗(yàn)的每一種可能結(jié)果，稱為隨機(jī)事件隨機(jī)事件，簡稱簡稱事件事件，通常用，通常用 A A、B B、C C 等來表示。等來表示。隨機(jī)事件隨機(jī)事件在一定條件下可能發(fā)生，也可能不發(fā)生。在一定條件下可能發(fā)生，也可能不發(fā)生。 （

5、1 1）基本事件）基本事件 我們把我們把不能再分不能再分的事件稱為的事件稱為基本事件基本事件。 由由若干個基本事件組合而成若干個基本事件組合而成的事件稱為的事件稱為復(fù)合復(fù)合事件事件。 10（2 2）必然事件）必然事件 我們把在一定條件下必然會發(fā)生的事件稱為我們把在一定條件下必然會發(fā)生的事件稱為必然事件必然事件，用用（即樣本空間在每次試驗(yàn)中是必然發(fā)生的）表示。（即樣本空間在每次試驗(yàn)中是必然發(fā)生的）表示。（3 3）不可能事件）不可能事件 我們把在一定條件下不可能發(fā)生的事件稱為我們把在一定條件下不可能發(fā)生的事件稱為不可能事不可能事件件，用，用表示。表示。 必然事件必然事件與與不可能事件不可能事件實(shí)際

6、上是實(shí)際上是確定性現(xiàn)象確定性現(xiàn)象，即它們，即它們不是隨機(jī)事件，不是隨機(jī)事件， 但是為了方便起見，我們把它們看作為兩但是為了方便起見，我們把它們看作為兩個特殊的隨機(jī)事件。個特殊的隨機(jī)事件。（4 4）樣本空間（）樣本空間（） 由基本事件構(gòu)成的全體（全集）由基本事件構(gòu)成的全體（全集）11二、隨機(jī)事件的概率二、隨機(jī)事件的概率（一）概率的定義（一）概率的定義 1 1、用來度量隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小的數(shù)值；、用來度量隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小的數(shù)值； 2 2、必然事件的概率為、必然事件的概率為1 1，表示為，表示為P ( )=1 3 3、不可能事件發(fā)生的可能性是零，、不可能事件發(fā)生的可能性是零，P( )=

7、0 4 4、隨機(jī)事件、隨機(jī)事件A A的概率介于的概率介于0 0和和1 1之間，之間，0P(A)0 32例：例：某公司甲乙兩廠生產(chǎn)同種產(chǎn)品。甲廠生產(chǎn)某公司甲乙兩廠生產(chǎn)同種產(chǎn)品。甲廠生產(chǎn)400400件，其中一件，其中一級品為級品為280280件；乙廠生產(chǎn)件；乙廠生產(chǎn)600600件，其中一級品有件，其中一級品有360360件。若要從件。若要從該廠的全部產(chǎn)品中任意抽取一件，試求：該廠的全部產(chǎn)品中任意抽取一件，試求：抽出產(chǎn)品為一級抽出產(chǎn)品為一級品的條件下該產(chǎn)品出自甲廠的概率；品的條件下該產(chǎn)品出自甲廠的概率；抽出產(chǎn)品出自甲廠的抽出產(chǎn)品出自甲廠的條件下該產(chǎn)品為一級品的概率。條件下該產(chǎn)品為一級品的概率。解：解

8、：設(shè)設(shè)A A“甲廠產(chǎn)品甲廠產(chǎn)品”，B B“一級品一級品”，則：，則： P P( (A A) )0.40.4， P(B)P(B) 0.640.64，P(AB)P(AB)0.280.28 所求概率為事件所求概率為事件B B發(fā)生條件下發(fā)生條件下A A發(fā)生的條件概率發(fā)生的條件概率 P P( (A|BA|B) )0.28/0.640.28/0.64所求概率為事件所求概率為事件A A發(fā)生條件下發(fā)生條件下B B發(fā)生的條件概率發(fā)生的條件概率 P P(B|(B|A A) )0.28/0. 40.28/0. 4332 2、事件的獨(dú)立性、事件的獨(dú)立性例：例：有有1010件產(chǎn)品，其中件產(chǎn)品，其中8 8件為正品，件為正

9、品，2 2件為次品。從中件為次品。從中取取2 2次次, ,每次取每次取1 1件，設(shè)件，設(shè)A Ai i=第第i i次取到正品次取到正品 ，i=1,2i=1,221278(|)()910P AAP A2128(|)()10P AAP A不放回抽樣時，不放回抽樣時，放回抽樣時，放回抽樣時，即放回抽樣時，即放回抽樣時，A A1 1的發(fā)生對的發(fā)生對A A2 2的發(fā)生概率不影響的發(fā)生概率不影響 同樣，同樣，A A2 2的發(fā)生對的發(fā)生對A A1 1的發(fā)生概率不影響的發(fā)生概率不影響34獨(dú)立事件的定義： 定義：設(shè)定義：設(shè)A，B為兩隨機(jī)事件，且為兩隨機(jī)事件，且 若P(B|A)=P(B)， P(A|B)=P(A)，

10、從而使得P(AB)=P(A) P(B)時，稱A、B相互獨(dú)立相互獨(dú)立。 即有：( )0, ( )0P AP B)()()()()()()(BPAPAPABPBPBAPABP35（1）兩個事件獨(dú)立）兩個事件獨(dú)立一個事件的發(fā)生與否并不影響另一個事件發(fā)生一個事件的發(fā)生與否并不影響另一個事件發(fā)生的概率的概率P(A|B)P(A)，或，或 P(B|A)P(B)（2）獨(dú)立事件的乘法公式：）獨(dú)立事件的乘法公式： P(AB) P(A)P(B)1 1n n1 12 2n n 363 3、全概率公式、全概率公式（1 1）完備事件組）完備事件組事件事件A A1 1、 A A2 2、A An n互不相容，互不相容，A A

11、1 1A A2 2A An n且且P(P(A Ai i ) 0) 0（i=1i=1、2 2、.、n n）（2 2）對任一事件對任一事件B B，它總是與完備事件組，它總是與完備事件組A A1 1、 A A2 2、A An n之一同時發(fā)生，則有求之一同時發(fā)生，則有求P P( (B B) )的的全概率公式：全概率公式： niiiABPAPBP1)|()()(37例：例：假設(shè)有一道四選一的選擇題，某學(xué)生知道正假設(shè)有一道四選一的選擇題，某學(xué)生知道正確答案的可能性為確答案的可能性為2/32/3，他不知道正確答案時猜對，他不知道正確答案時猜對的概率是的概率是1/41/4。試問該生作出正確答案的概率？。試問該

12、生作出正確答案的概率？解：解：設(shè) A A知道正確答案知道正確答案，B B選擇正確選擇正確。 “選擇正確選擇正確”包括：包括：（1 1）“知道正確答案而選擇正確知道正確答案而選擇正確”（即（即ABAB）（2 2）“不知道正確答案但選擇正確不知道正確答案但選擇正確”（即（即 ）因此有：因此有：P(B)（2/3）1（1/3）（1/4）3/4即：即：BA)|()()|()()()()(ABPAPABPAPBAPABPBP 38（3 3）全概率公式的直觀意義是：）全概率公式的直觀意義是： 某一事件某一事件B B的發(fā)生有各種可能的原因的發(fā)生有各種可能的原因A Ai i（i=1,2, ,ni=1,2, ,n

13、）, ,如果如果B B是由原因是由原因A Ai i所引起，所引起，則則B B發(fā)生的概率為發(fā)生的概率為P(AP(Ai iB)B)， i=1,2, ,ni=1,2, ,n。 也即每一也即每一A Ai i的發(fā)生都可能導(dǎo)致的發(fā)生都可能導(dǎo)致B B 發(fā)生的概發(fā)生的概率為率為P(AP(Ai iB)B)，因此作為結(jié)果的事件，因此作為結(jié)果的事件B B 發(fā)生的概發(fā)生的概率是各個率是各個“原因原因”A Ai i 引發(fā)的概率的總和引發(fā)的概率的總和 ，即：，即：niiiniiABPAPBAPBP11)|()()()(394 4、貝葉斯公式、貝葉斯公式 與全概率公式相反，如果在觀察到事件與全概率公式相反，如果在觀察到事件

14、B B已經(jīng)發(fā)生的條件下，那么確定導(dǎo)致已經(jīng)發(fā)生的條件下，那么確定導(dǎo)致B B 發(fā)生的發(fā)生的各個原因各個原因A Ai i的概率時，就需要通過的概率時，就需要通過貝葉斯公貝葉斯公式式來求解。來求解。 （1 1）其公式敘述如下：）其公式敘述如下：40 若若n n個事件個事件A A1 1、 A A2 2、A An n互不相容，且有互不相容，且有P(AP(Ai i)0)0，i=1,2, ni=1,2, n，事件，事件，則對于，則對于任意隨機(jī)事件任意隨機(jī)事件，有：，有： niiiiiiiABPAPABPAPBPBAPBAP1)|()()|()()()()|(nAAAB,2141（2 2）貝葉斯公式的直觀意義）

15、貝葉斯公式的直觀意義 貝葉斯公式首先由英國統(tǒng)計(jì)學(xué)家貝葉斯給出。貝葉斯公式首先由英國統(tǒng)計(jì)學(xué)家貝葉斯給出。 它的直觀意義是：在觀察到事件它的直觀意義是：在觀察到事件B已經(jīng)發(fā)生的已經(jīng)發(fā)生的條件下，尋找導(dǎo)致條件下，尋找導(dǎo)致A發(fā)生的每個原因發(fā)生的每個原因Ai的概率。其中：的概率。其中： P(Ai )稱為事件稱為事件Ai的的先驗(yàn)（或驗(yàn)前）概率先驗(yàn)（或驗(yàn)前）概率 P(Ai|B)稱為事件稱為事件Ai的的后驗(yàn)（或驗(yàn)后）概率后驗(yàn)（或驗(yàn)后）概率42 例：例：根據(jù)以往的臨床記錄，某種診斷癌癥的試驗(yàn)具有5%的假陽性及5%的假陰性：若設(shè)A=試驗(yàn)反應(yīng)是陽性，C=被診斷患有癌癥 則有：已知某一群體P(C)=0.005，問這種

16、方法能否用于普查？(|)5%, (|)5%,P A CP A C()( | )( )P ACP C AP A( )(|)0.087( ) (|)( ) (|)P CP A CP C P A CP C P A C若P(C)較大，不妨設(shè)P(C)=0.8推出P(C|A)=0.987說明這種試驗(yàn)方法可在醫(yī)院用解：解：考察P(C|A)的值：由題意可知： P(A|C) =95% 若用于普查，100個陽性病人中被診斷患有癌癥的大約有8.7個，所以不宜用于普查。43四、小概率事件實(shí)際不可能性原理四、小概率事件實(shí)際不可能性原理 隨機(jī)事件的概率表示了隨機(jī)事件在一次隨機(jī)事件的概率表示了隨機(jī)事件在一次試驗(yàn)中出現(xiàn)的可能

17、性大小。若隨機(jī)事件的概試驗(yàn)中出現(xiàn)的可能性大小。若隨機(jī)事件的概率很小，例如小于率很小，例如小于0.05、0.01、0.001，稱之，稱之為為小概率事件。小概率事件。 44 小概率事件雖然不是不可能事件，但在一小概率事件雖然不是不可能事件，但在一次試驗(yàn)中出現(xiàn)的可能性很小，不出現(xiàn)的可能性次試驗(yàn)中出現(xiàn)的可能性很小，不出現(xiàn)的可能性很大很大 ，以至于實(shí)際上可以看成是不可能發(fā)生，以至于實(shí)際上可以看成是不可能發(fā)生的。在統(tǒng)計(jì)學(xué)上的。在統(tǒng)計(jì)學(xué)上，把小概率事件在一次試驗(yàn)中，把小概率事件在一次試驗(yàn)中看成是實(shí)際不可能發(fā)生的事件稱為小概率事件看成是實(shí)際不可能發(fā)生的事件稱為小概率事件實(shí)際不可能性原理，亦稱為小概率原理實(shí)際不

18、可能性原理，亦稱為小概率原理。小概。小概率事件實(shí)際不可能性原理是統(tǒng)計(jì)學(xué)上進(jìn)行率事件實(shí)際不可能性原理是統(tǒng)計(jì)學(xué)上進(jìn)行假設(shè)假設(shè)檢驗(yàn)（顯著性檢驗(yàn)）檢驗(yàn)（顯著性檢驗(yàn)）的基本依據(jù)。的基本依據(jù)。 45第二節(jié)第二節(jié) 隨機(jī)變量及其概率分布隨機(jī)變量及其概率分布 一、隨機(jī)變量的概念 二、隨機(jī)變量的概率分布 三、隨機(jī)變量的數(shù)字特征 四、常見的離散型概率分布 五、常見的連續(xù)型概率分布46一、隨機(jī)變量的概念一、隨機(jī)變量的概念在隨機(jī)試驗(yàn)中在隨機(jī)試驗(yàn)中, ,常見的試驗(yàn)結(jié)果分為兩類：常見的試驗(yàn)結(jié)果分為兩類：中心問題：將試驗(yàn)結(jié)果數(shù)量化中心問題：將試驗(yàn)結(jié)果數(shù)量化 示數(shù)的示數(shù)的降雨量；候車人數(shù)；發(fā)生交通事故的次數(shù)示性的示性的明天天氣

19、（晴，多云）；化驗(yàn)結(jié)果（陽性，陰性）等47一、隨機(jī)變量的概念一、隨機(jī)變量的概念（一）隨機(jī)變量的概念及特征（一）隨機(jī)變量的概念及特征 隨機(jī)變量即表示隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的變量。隨機(jī)變量即表示隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的變量。 （1 1）取值是隨機(jī)的，事先不能確定取哪一個）取值是隨機(jī)的，事先不能確定取哪一個 （2 2）一個取值對應(yīng)隨機(jī)試驗(yàn)的一個可能結(jié)果）一個取值對應(yīng)隨機(jī)試驗(yàn)的一個可能結(jié)果 （3 3）用大寫字母如）用大寫字母如X、Y、Z. . 或或 、 、 來表來表示，具體取值則用相應(yīng)的小寫字母如示，具體取值則用相應(yīng)的小寫字母如x、y、z來來表示。表示。 48 （4 4）若）若X的可能取值的可能取值x1、x2、xn，具有

20、確定，具有確定的概率的概率P(x1)、 P(x2)、 、 P(xn)，其中：，其中： P(xi)=P(X=xi)，稱為，稱為概率函數(shù)概率函數(shù)。 則則X 叫做叫做P(X)的的隨機(jī)變量隨機(jī)變量， P(X)叫做隨機(jī)變量叫做隨機(jī)變量X的的概率函數(shù)概率函數(shù)。 （5）隨機(jī)變量的特點(diǎn)：）隨機(jī)變量的特點(diǎn)： X的全部可能取值是互斥且構(gòu)成完備事件組；的全部可能取值是互斥且構(gòu)成完備事件組； X的部分可能取值描述隨機(jī)事件。的部分可能取值描述隨機(jī)事件。49 每一個隨機(jī)變量都有分布函數(shù)。它是取值在每一個隨機(jī)變量都有分布函數(shù)。它是取值在00，11的單調(diào)、右連續(xù)實(shí)函數(shù)。反過來，數(shù)學(xué)家證明這的單調(diào)、右連續(xù)實(shí)函數(shù)。反過來，數(shù)學(xué)家

21、證明這種函數(shù)可以分解為種函數(shù)可以分解為其中其中F1(x)是跳躍函數(shù)，是跳躍函數(shù)，F(xiàn)2(x)是是絕對連續(xù)函數(shù)絕對連續(xù)函數(shù)（這（這種函數(shù)一定有導(dǎo)函數(shù)種函數(shù)一定有導(dǎo)函數(shù)- -密度函數(shù)），密度函數(shù)），F(xiàn)3(x)是所謂是所謂奇奇異函數(shù)異函數(shù)（連續(xù)，但沒有導(dǎo)數(shù)，所以沒有密度函數(shù)）。（連續(xù)，但沒有導(dǎo)數(shù)，所以沒有密度函數(shù)）。（二）隨機(jī)變量的分類（二）隨機(jī)變量的分類)()()()(332211xFcxFcxFcxF1 1、隨機(jī)變量的分類依據(jù)、隨機(jī)變量的分類依據(jù)-隨機(jī)變量的分布函數(shù)隨機(jī)變量的分布函數(shù)50 （1） 分布函數(shù)是分布函數(shù)是 F1(x)-跳躍函數(shù)的隨機(jī)變量，稱跳躍函數(shù)的隨機(jī)變量，稱離離散型隨機(jī)變量散型隨機(jī)

22、變量，跳躍點(diǎn)的跳躍度就是它的取值和概率；，跳躍點(diǎn)的跳躍度就是它的取值和概率； （2 2）分布函數(shù)是）分布函數(shù)是 F2(x)-絕對連續(xù)函數(shù)的隨機(jī)變量，絕對連續(xù)函數(shù)的隨機(jī)變量，稱稱連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量，其導(dǎo)函數(shù)就是密度函數(shù)；，其導(dǎo)函數(shù)就是密度函數(shù)； （3 3）分布函數(shù)是）分布函數(shù)是 F3(x)-奇異函數(shù)的，稱奇異函數(shù)的，稱奇異型隨機(jī)奇異型隨機(jī)變量變量（罕見）。（罕見）。 （奇異函數(shù)奇異函數(shù)函數(shù)本身有不連續(xù)點(diǎn)（跳變點(diǎn)）或其導(dǎo)函數(shù)本身有不連續(xù)點(diǎn)（跳變點(diǎn)）或其導(dǎo)數(shù)與積分有不連續(xù)點(diǎn)的情況，這類函數(shù)統(tǒng)稱為奇異函數(shù)或奇數(shù)與積分有不連續(xù)點(diǎn)的情況，這類函數(shù)統(tǒng)稱為奇異函數(shù)或奇異信號。）異信號。） （4 4）

23、另外還有）另外還有三個基本類型的混合型隨機(jī)變量三個基本類型的混合型隨機(jī)變量。 不考慮奇異型，我們可以從分布函數(shù)上判斷隨機(jī)變量的不考慮奇異型，我們可以從分布函數(shù)上判斷隨機(jī)變量的類型，也可以從類型，也可以從隨機(jī)變量的取值上隨機(jī)變量的取值上判斷（判斷（可數(shù)無窮可數(shù)無窮和和不可數(shù)不可數(shù)無窮無窮）。）。512 2、兩種常見類型的隨機(jī)變量、兩種常見類型的隨機(jī)變量 如上，根據(jù)取值特點(diǎn)的不同，隨機(jī)變量可分為：如上，根據(jù)取值特點(diǎn)的不同，隨機(jī)變量可分為： （1 1）離散型隨機(jī)變量）離散型隨機(jī)變量如果隨機(jī)變量如果隨機(jī)變量X的所的所有可能取值可以逐個列舉出來，則該隨機(jī)變量就是有可能取值可以逐個列舉出來，則該隨機(jī)變量就

24、是離散型隨機(jī)變量。如產(chǎn)品檢驗(yàn)中的次品數(shù)等。離散型隨機(jī)變量。如產(chǎn)品檢驗(yàn)中的次品數(shù)等。 （2 2）連續(xù)型隨機(jī)變量）連續(xù)型隨機(jī)變量如果隨機(jī)變量如果隨機(jī)變量X的所的所有可能取值不能一一列舉出來，而是取數(shù)軸上某一有可能取值不能一一列舉出來，而是取數(shù)軸上某一區(qū)間內(nèi)的任一點(diǎn)，則該隨機(jī)變量就是連續(xù)型隨機(jī)變區(qū)間內(nèi)的任一點(diǎn)，則該隨機(jī)變量就是連續(xù)型隨機(jī)變量。如一個沿?cái)?shù)軸進(jìn)行隨機(jī)運(yùn)動的質(zhì)點(diǎn)，它在數(shù)軸量。如一個沿?cái)?shù)軸進(jìn)行隨機(jī)運(yùn)動的質(zhì)點(diǎn)，它在數(shù)軸上的位置上的位置是一個隨機(jī)變量，可以取任何實(shí)數(shù)，即是一個隨機(jī)變量，可以取任何實(shí)數(shù)，即（，）；還如；還如測量誤差等。測量誤差等。52（一）離散型隨機(jī)變量的概率分布（一）離散型隨機(jī)變

25、量的概率分布 1、離散型隨機(jī)變量、離散型隨機(jī)變量X的的概率分布概率分布表示的是表示的是X的有限個可的有限個可能取值為能取值為xi與其概率與其概率 pi（i=1i=1，2 2，n n）之間的對應(yīng)關(guān)系。）之間的對應(yīng)關(guān)系。 2 2、概率分布具有如下兩個基本性質(zhì)：、概率分布具有如下兩個基本性質(zhì)： （1） pi0，i=1,2,n； （2）11niip二、隨機(jī)變量的概率分布二、隨機(jī)變量的概率分布 1 1、寫出可能取值即寫出樣本點(diǎn)、寫出可能取值即寫出樣本點(diǎn) 2 2、寫出相應(yīng)的概率即寫出每一個樣、寫出相應(yīng)的概率即寫出每一個樣 本點(diǎn)出現(xiàn)的概率本點(diǎn)出現(xiàn)的概率（2 2）被稱作正則性）被稱作正則性概率分布概率分布53

26、3 3、離散型概率分布的表示：、離散型概率分布的表示：（1）概率函數(shù)：）概率函數(shù)：P(X= xi )= pi（2）分布列：）分布列：（3）分布圖）分布圖X = xix1x2xnP(X =xi)=pip1p2pn0.60.300 1 2 xP( x )圖圖 離散型隨機(jī)變量的概率分布離散型隨機(jī)變量的概率分布在圖中，離散型隨機(jī)在圖中，離散型隨機(jī)變量的概率分布具有變量的概率分布具有跳躍點(diǎn)和跳躍高度的跳躍點(diǎn)和跳躍高度的特點(diǎn)，而跳躍高度代特點(diǎn)，而跳躍高度代表概率函數(shù)表概率函數(shù)p(xi )54例：例：某人騎自行車從學(xué)校到火車站，一路上要經(jīng)某人騎自行車從學(xué)校到火車站，一路上要經(jīng) 過過3 3個獨(dú)立的交通燈，設(shè)各

27、燈工作獨(dú)立，且設(shè)個獨(dú)立的交通燈，設(shè)各燈工作獨(dú)立，且設(shè) 各燈為紅燈的概率為各燈為紅燈的概率為p p，0 0pp1 1，以，以X表示首次表示首次 停車時所通過的交通燈數(shù)，求停車時所通過的交通燈數(shù)，求X的概率分布律。的概率分布律。1(0)() P XP Ap；12(1)()(1) P XP A Ap p；2123(2)()(1) P XP A A App；3123(3)()(1) P XP A A Ap；pX0123pp(1-p) (1-p)2p (1-p)3 0 ,1 ,2 3XXXXS注意：為的一個劃分 解：解： 設(shè)設(shè)Ai=第第i個燈為紅燈個燈為紅燈 ，則，則P( (Ai)=)=p，i=1,2,

28、3 =1,2,3 且且A1, ,A2, ,A3相互獨(dú)立。相互獨(dú)立。表示首次停車時到遇到的是表示首次停車時到遇到的是第三個紅燈，也即前兩個紅第三個紅燈，也即前兩個紅燈沒有趕上。燈沒有趕上。55（二）隨機(jī)變量的分布函數(shù)（二）隨機(jī)變量的分布函數(shù)xX 1 1、定義：、定義：若若是一個隨機(jī)變量（離散或連續(xù)型均可），是一個隨機(jī)變量（離散或連續(xù)型均可），對于任意實(shí)數(shù)對于任意實(shí)數(shù)x，令，令F(x)=P(x),則稱則稱F(x)是隨機(jī)變量是隨機(jī)變量的分的分布函數(shù)。布函數(shù)。2 2、 F(x)的幾何意義：的幾何意義：3 3、 F(x)的代數(shù)意義：的代數(shù)意義： F(x)，即事件即事件x的概率，的概率，它是它是x的一個實(shí)

29、函數(shù)。對于任意的的一個實(shí)函數(shù)。對于任意的x1x2，均有：，均有： P(x1 x2)=P(x2) P(x1)因此可得：因此可得： P(x1 x2)=F(x2) F(x1)564 4、分布函數(shù)的性質(zhì)、分布函數(shù)的性質(zhì) 由于由于F(x)表示事件表示事件x的概率，因此若知道的概率，因此若知道的分布函的分布函數(shù)數(shù)F(x)，就能知道，就能知道在任何一個區(qū)間上的取值概率。從這在任何一個區(qū)間上的取值概率。從這個意義上說，相對于概率函數(shù)，分布函數(shù)完整地描述了隨機(jī)個意義上說，相對于概率函數(shù)，分布函數(shù)完整地描述了隨機(jī)變量的變化情況。它具有以下性質(zhì)：變量的變化情況。它具有以下性質(zhì)： （1 1）0 F(x) 1，對一切對

30、一切x（，）成立成立； （2 2）F(x)是是x的單調(diào)不減函數(shù)。的單調(diào)不減函數(shù)。 （3 3） （4 4）F(x)至多有可列個間斷點(diǎn)至多有可列個間斷點(diǎn)，而在其間斷點(diǎn)上也是右，而在其間斷點(diǎn)上也是右連續(xù)的。連續(xù)的。1221 0()()()P xXxF xF x1)(lim)(, 0)(lim)(xFFxFFxx576例：例：用隨機(jī)變量來描述擲一顆骰子出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)的試驗(yàn)情況。用隨機(jī)變量來描述擲一顆骰子出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)的試驗(yàn)情況。解：解：令令表示擲一顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，它可以取表示擲一顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，它可以取1到到6共共6個個自然數(shù)，相應(yīng)點(diǎn)數(shù)發(fā)生的概率均為自然數(shù)，相應(yīng)點(diǎn)數(shù)發(fā)生的概率均為1/6。(1)列成如下的概率分

31、布表；列成如下的概率分布表；(2)其概率分布如下圖所示：其概率分布如下圖所示：123456P1/61/61/61/61/61/61/612345Px58（3 3）的分布函數(shù)的分布函數(shù)F(x)為：為：F(x)的圖形為：的圖形為：61)5 , 4 , 3 , 2 , 1(1610)(xkkxkkxxF1/61123456xF(x)59由上面的例子可知：由上面的例子可知：(1)(1)若離散型隨機(jī)變量若離散型隨機(jī)變量的概率分布列是的概率分布列是P X=xk = pk , k =1,2,3,xxkkp則則 F(x) = P(X x) = x(2)(2)由于由于F(x) 是是取取 的諸值的諸值 xk 的概

32、的概率之和，故又稱率之和，故又稱 F(x) 為為累積概率函數(shù)累積概率函數(shù). .60 (3)(3)從上例的圖形表示中可知，從上例的圖形表示中可知，F(xiàn)(x) 的圖形是的圖形是階梯狀的圖形階梯狀的圖形，它在，它在的一切有概率的點(diǎn)的一切有概率的點(diǎn)xk 即圖中即圖中的的x=1，2，,6 處有處有跳躍跳躍，其躍度分別等于，其躍度分別等于取值取值xk的概率的概率pk，即本例中的，即本例中的 P( =1) , P( =2) , P( =6)。 （4）由圖形可知，在由圖形可知，在分布函數(shù)分布函數(shù)F(x)的任意一個的任意一個連續(xù)點(diǎn)連續(xù)點(diǎn)x上，上，取值取值x的概率都是的概率都是0。因?yàn)椋?。因?yàn)椋?P(=x) = F

33、(x+0) F(x) = 0 這一點(diǎn)對于連續(xù)型隨機(jī)變量也是成立的。這一點(diǎn)對于連續(xù)型隨機(jī)變量也是成立的。 （5）任一分布函數(shù)處處）任一分布函數(shù)處處右連續(xù)，即：右連續(xù)，即：).(),()(lim000 xxFxFxx61簡單總結(jié)簡單總結(jié) 對對離散隨機(jī)變量的離散隨機(jī)變量的分布函數(shù)分布函數(shù)應(yīng)注意應(yīng)注意： (1) F(x)是遞增的階梯函數(shù)是遞增的階梯函數(shù); (2) 其間斷點(diǎn)均為右連續(xù)的其間斷點(diǎn)均為右連續(xù)的; (3) 其間斷點(diǎn)即為其間斷點(diǎn)即為的可能取值點(diǎn)的可能取值點(diǎn); (4) 其間斷點(diǎn)的跳躍高度是對應(yīng)的概率值。其間斷點(diǎn)的跳躍高度是對應(yīng)的概率值。62（三）連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布（三）連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分

34、布1 1、連續(xù)型隨機(jī)變量的直觀解釋、連續(xù)型隨機(jī)變量的直觀解釋 正如對隨機(jī)事件一樣正如對隨機(jī)事件一樣,我們所關(guān)心的不僅是試驗(yàn)會出現(xiàn)什我們所關(guān)心的不僅是試驗(yàn)會出現(xiàn)什么結(jié)果么結(jié)果,更重要的是要知道這些結(jié)果以怎樣的概率出現(xiàn)更重要的是要知道這些結(jié)果以怎樣的概率出現(xiàn),也即也即對隨機(jī)變量對隨機(jī)變量,我們不但要知道它取什么值我們不但要知道它取什么值,而且要知道它取這而且要知道它取這些值的概率些值的概率. 與離散型隨機(jī)變量不同，一些隨機(jī)現(xiàn)象所出現(xiàn)的試驗(yàn)結(jié)與離散型隨機(jī)變量不同，一些隨機(jī)現(xiàn)象所出現(xiàn)的試驗(yàn)結(jié)果不止取可列個，例如測量誤差、分子的運(yùn)動速度，候車時果不止取可列個，例如測量誤差、分子的運(yùn)動速度，候車時等待時間

35、等等皆是。這時用來描述試驗(yàn)結(jié)果的隨機(jī)變量能取等待時間等等皆是。這時用來描述試驗(yàn)結(jié)果的隨機(jī)變量能取到某個區(qū)間到某個區(qū)間a,b）或其中的一切值。）或其中的一切值。63 對于取連續(xù)值的隨機(jī)變量我們所關(guān)心的也并不是它取某對于取連續(xù)值的隨機(jī)變量我們所關(guān)心的也并不是它取某個特定值的概率，例如在測量誤差的討論中，我們感興趣的個特定值的概率，例如在測量誤差的討論中，我們感興趣的測量誤差小于某個數(shù)的概率；在候車等待時間的問題研究測量誤差小于某個數(shù)的概率；在候車等待時間的問題研究中，我們關(guān)心的是候車時間在某個范圍（中，我們關(guān)心的是候車時間在某個范圍（a,b）中的概率。）中的概率。 總之，對于取連續(xù)值的隨機(jī)變量，我

36、們感興趣的是取值總之，對于取連續(xù)值的隨機(jī)變量，我們感興趣的是取值于某個區(qū)間（于某個區(qū)間（a,b）中的概率，或取值于若干個這種區(qū)間的）中的概率，或取值于若干個這種區(qū)間的概率。因此要求概率。因此要求a b和和b都是事件。都是事件。64 連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量X所有可能取值充滿一所有可能取值充滿一個區(qū)間個區(qū)間, 對這種類型的隨機(jī)變量對這種類型的隨機(jī)變量, 不能象不能象離散型隨機(jī)變量那樣離散型隨機(jī)變量那樣, 以指定它取每個值以指定它取每個值概率的方式概率的方式, 去給出其概率分布去給出其概率分布, 而是通而是通過給出所謂過給出所謂“概率密度函數(shù)概率密度函數(shù)”的方式的方式.652、連續(xù)型隨機(jī)變量、

37、概率密度定義、連續(xù)型隨機(jī)變量、概率密度定義 設(shè)設(shè)F（x）是隨機(jī)變量是隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，若存的分布函數(shù)，若存在一個非負(fù)的函數(shù)在一個非負(fù)的函數(shù)f(x),對任何實(shí)數(shù)對任何實(shí)數(shù)x，有，有 ，則稱，則稱X為連續(xù)型隨機(jī)為連續(xù)型隨機(jī)變量，同時稱變量，同時稱f(x)為為X的概率密度函數(shù)，簡稱概的概率密度函數(shù)，簡稱概率密度。率密度。dttfxFx )()( f (x)xoy66由定義知：由定義知：1. 連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)F(x) 是連續(xù)函數(shù)是連續(xù)函數(shù).2. 對對f(x)的連續(xù)點(diǎn)，有的連續(xù)點(diǎn)，有 )()( xfxF由此由此 F(x)與與f(x)可以互推?？梢曰ネ啤?73、概率密度

38、函數(shù)的性質(zhì)、概率密度函數(shù)的性質(zhì)（1）0)(xf（2）1)(dxxf這兩條性質(zhì)是判定一個函數(shù)這兩條性質(zhì)是判定一個函數(shù) f(x)是否為某隨機(jī)變量是否為某隨機(jī)變量X的的概率密度函數(shù)的充要條概率密度函數(shù)的充要條件件.o f (x)xy68（3）dxxfxFxFxXxPxx211221)()()()( f (x)xoyx1x269 故故 X的密度的密度 f(x) 在在 x 這一點(diǎn)的值，恰好是這一點(diǎn)的值，恰好是X落在區(qū)間落在區(qū)間 上的概率與區(qū)間長度上的概率與區(qū)間長度 之比的極限之比的極限. 這里，如果把概率理解為質(zhì)量，這里，如果把概率理解為質(zhì)量，則則 f (x)相當(dāng)于線密度。相當(dāng)于線密度。x ,(xxx

39、若若x是是 f(x)的連續(xù)點(diǎn)，則：的連續(xù)點(diǎn)，則：xxxXxPx )(lim0 x)(lim0 xxxxdttf=f(x)4. 對對 f(x)的進(jìn)一步理解的進(jìn)一步理解:70 要注意的是，密度函數(shù)要注意的是，密度函數(shù) f (x)在某點(diǎn)處在某點(diǎn)處a的高度，并不反映的高度，并不反映X取值的概率。取值的概率。 但是，但是，這個高度越大，則這個高度越大，則X取取a附近的值的概率就附近的值的概率就越大。也可以說，在某點(diǎn)密度曲線的高度越大。也可以說，在某點(diǎn)密度曲線的高度反映了概率集中在該點(diǎn)附近的程度反映了概率集中在該點(diǎn)附近的程度. f (x)xo71若不計(jì)高階無窮小，有：若不計(jì)高階無窮小，有：xxfxxXxP

40、 )( 它表示隨機(jī)變量它表示隨機(jī)變量 X 取值于取值于 的的概率近似等于概率近似等于 .,(xxxxxf)(xxf)(在連續(xù)型隨機(jī)變量中所起的作用與在連續(xù)型隨機(jī)變量中所起的作用與kkpxXP)(在離散型隨機(jī)變量理論中所起的在離散型隨機(jī)變量理論中所起的作用相類似作用相類似.72連續(xù)型連續(xù)型r.v取任一指定值的概率為取任一指定值的概率為0.即：即：, 0)( aXPa為任一指定值為任一指定值這是因?yàn)檫@是因?yàn)樾枰赋龅氖切枰赋龅氖?. 0),()()()(0 xxaFaFaXxaPaXP 由于連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)是連續(xù)函數(shù)，由于連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)是連續(xù)函數(shù)， 00)()(limxaFaF

41、x從而從而P( X = a )=0. 73 由于由于連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量唯一被它的唯一被它的密度函數(shù)密度函數(shù)所確定所確定. 所以，若已知密度函數(shù)，該連續(xù)型所以，若已知密度函數(shù)，該連續(xù)型隨機(jī)變量的概率規(guī)律就得到了全面描述。隨機(jī)變量的概率規(guī)律就得到了全面描述。 f (x)xo74一個很有用的比喻-測度l將“概率”比喻成“質(zhì)量”l在一條直線上分布總質(zhì)量為1的物質(zhì)l概率函數(shù)總質(zhì)量為1的可數(shù)個質(zhì)點(diǎn)分布在直線上l概率分布函數(shù)分布在x左邊的總質(zhì)量l概率密度函數(shù)在x處的概率的密度752713)(2;10432230)(1XPxFXkxxxkxxfX）求（；的分布函數(shù)）求（）確定常數(shù)（其它具有概率密度設(shè)

42、隨機(jī)變量例76 其它其它解解, 043,2230,)(xxxkxxf6111kdxxf得得由由)()(即由：即由：1224330dxxdxkx)(611422432302kxxkx得得)(77 4,143,22630,60,0)()2(3300 xxdxxdxxxdxxxxFxx分分布布函函數(shù)數(shù)4234212226232302330 xxxxxdxxdxxxx)()(其中：其中：78 4, 143,42330,120, 0)(22xxxxxxxxF即分布函數(shù)即分布函數(shù) 48411272713 FFXP）（79三、隨機(jī)變量的數(shù)字特征三、隨機(jī)變量的數(shù)字特征（一）隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望（一）隨機(jī)變量的數(shù)

43、學(xué)期望 數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望又稱均值，描述一個隨機(jī)變量所有又稱均值，描述一個隨機(jī)變量所有可能取值的平均值?？赡苋≈档钠骄?。1 1、離散型隨機(jī)變量、離散型隨機(jī)變量 X X的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望 相當(dāng)于所有可能取值以概率為權(quán)數(shù)的平均值相當(dāng)于所有可能取值以概率為權(quán)數(shù)的平均值2 2、連續(xù)型隨機(jī)變量、連續(xù)型隨機(jī)變量X X 的數(shù)學(xué)期望：的數(shù)學(xué)期望： iiipxXE )(dxxxfxE )()( 803 3、數(shù)學(xué)期望的主要數(shù)學(xué)性質(zhì)、數(shù)學(xué)期望的主要數(shù)學(xué)性質(zhì)（1）若）若k是一常數(shù)，則是一常數(shù)，則 E (k X) k E(X) （2）對于任意兩個隨機(jī)變量）對于任意兩個隨機(jī)變量X、Y，有，有 E(X+Y)E(X)E(Y

44、) （3）若兩個隨機(jī)變量）若兩個隨機(jī)變量X、Y相互獨(dú)立，則相互獨(dú)立，則 E(XY)E(X) E(Y) 81(X - EX)2 隨機(jī)變量隨機(jī)變量X 的取值偏離平均值的情況的取值偏離平均值的情況 , 是是X的函數(shù)的函數(shù), 也是也是隨機(jī)變量隨機(jī)變量 E(X - EX)2 隨機(jī)變量隨機(jī)變量X的取值偏離平均值的平均的取值偏離平均值的平均偏離程度偏離程度 數(shù)數(shù)定義：定義：即記為的方差為則稱存在若是一個隨機(jī)變量設(shè),)(,)(,22DXXEXXEEXXEX2)(EXXEDX 方差方差DX)(標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差差均均方方差差（二）隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差（二）隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差注：注：82（二）隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差

45、（二）隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差 1、方差是它的各個可能取值偏離其均值的離差平方的均值，記為D(x)或2 2、離散型隨機(jī)變量的方差：離散型隨機(jī)變量的方差： 3、連續(xù)型隨機(jī)變量的方差：、連續(xù)型隨機(jī)變量的方差：dxxfxxD )()(22 iiipxXD22)()( 83 4 4、方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映隨機(jī)變量取值的、方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映隨機(jī)變量取值的分散程度。它們的分散程度。它們的值越大，說明離散程度越值越大，說明離散程度越大大，其概率分布曲線越扁平。，其概率分布曲線越扁平。 5 5、方差的主要數(shù)學(xué)性質(zhì)：、方差的主要數(shù)學(xué)性質(zhì)：（1 1）若）若k k是一常數(shù)，則是一常數(shù)，則 D(k)0；（2 2）D(kX)

46、k2 D(X) （3 3）若兩個隨機(jī)變量）若兩個隨機(jī)變量X、Y相互獨(dú)立，則相互獨(dú)立，則 D(X+Y)D(X)D(Y) 84l例4：試求優(yōu)質(zhì)品件數(shù)的數(shù)學(xué)期望、方差和標(biāo)準(zhǔn)差。l解：2 . 13 . 026 . 011 . 00)(iiipxXE36. 03 . 0) 2 . 12(6 . 0) 2 . 11 (1 . 0) 2 . 10()()(2222 iiipxXD 0.6xi012pi0.10.60.385(,)Cov X Y定義：定義： 對于隨機(jī)變量X,Y，如果E(X-E(X)(Y-E(Y)存在, 則稱其為隨機(jī)變量X與Y的協(xié)方差，記作(, )(-()( -( )Cov X YE XE XY

47、 E Y2(,)-()()Cov X XE XE XD X顯然86|(,) |()()Cov X YD XD Y22(, ) (-()(-( )Cov X YE XE XYE Y證明證明當(dāng)方差當(dāng)方差D(X)和和D(Y)存在時，協(xié)方差必存在。存在時，協(xié)方差必存在。22-()-( )E XE XE YE Y()( )D X D Y87（1）若）若(X,Y)為為離散型離散型隨機(jī)向量，其分布律為：隨機(jī)向量，其分布律為：,1,2,ijijP Xx Yypi j (, )-()-( )ijijijCov X YxE XyE Yp則 （2）若）若(X,Y)為為連續(xù)型連續(xù)型隨機(jī)向量，其概率密度為隨機(jī)向量，其概

48、率密度為f(x,y)( , ) - ( ) - ( ) ( , )Cov X Yx E Xy E Y f x y dxdy 則 88常用的計(jì)常用的計(jì)算公式算公式反之不成立反之不成立(, )( ,)Cov X YCov Y X(, )()() ( )Cov X YE XYE X E Y(, )0XYCov X Y 若 與 獨(dú)立，則 (,)(, )CovXYCbb ovaXaY1212(, )(, )(, )Cov XX YCov X YCov X Y89(,)(,)CovX YCovaXaY(,)(,)Cov XYCovbXbY( ,)()( )( )0CovYEYaaaEE Y(, )()(

49、)()0Cov XEXbbbEE X9011818181001118181818180XY(,)Cov X YXP382838110YP3828381109133()( 1)1088iiiE Xx p 33()( 1)1088iiiE Yy p ()0ijijijE XYx y p (, )()() ( )0Cov X YE XYE X E Y解：解：92E(XY)的計(jì)算的計(jì)算81111111)(YXPP，81012112)(YXPP，81113113)(YXPP，81101221)(YXPP，0002222)(YXPP，81103223)(YXPP，81111131)(YXPP，810111

50、32)(YXPP，81111133)(YXPP，ijijjiPYXXYE0)(由已知的由已知的Xi 、Yj的值及其聯(lián)合分布律可計(jì)算得：的值及其聯(lián)合分布律可計(jì)算得：93相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)具有如下的性質(zhì)： （1）相關(guān)系數(shù)是一個無量綱的值 （2）0| | 0 （3）當(dāng) =0，兩個變量不相關(guān)（不存在線性相關(guān)） （4）當(dāng) | |=1，兩個變量完全線性相關(guān) YXXYYXCov ),( 94.,的分布函數(shù)的分布函數(shù)求求即即只取一個值只取一個值設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量XcXPcX1cxcxpxFxxkk10)(:解解1cx)(xF)()(,acxcxxFXcXPcX101的的分分布布函函數(shù)數(shù)為為則則即即只只

51、取取一一個個常常數(shù)數(shù)值值若若隨隨機(jī)機(jī)變變量量.)(為退化分布或單點(diǎn)分布為退化分布或單點(diǎn)分布并稱并稱 a0 DXcEX（一）（一）退化分布退化分布四、常見離散型隨機(jī)變量的概率分布四、常見離散型隨機(jī)變量的概率分布 例例95例.,%,的的概概率率分分布布和和分分布布函函數(shù)數(shù)求求來來描描述述廢廢品品出出現(xiàn)現(xiàn)的的情情況況用用隨隨機(jī)機(jī)變變量量從從中中任任取取一一個個進(jìn)進(jìn)行行檢檢查查一一批批產(chǎn)產(chǎn)品品的的廢廢品品率率為為XX5:%,.)()(:概概率率分分布布表表如如下下則則兩兩種種情情況況表表示示用用不不合合格格和和表表示示用用合合格格只只能能取取解解95101XPX95.005.010PXppPXpqpx

52、qpppxXPXxxxx1101101011011或或表表示示為為則則其其概概率率分分布布為為兩兩個個數(shù)數(shù)值值和和只只取取若若隨隨機(jī)機(jī)變變量量,)(,.)(,)(分分布布或或兩兩點(diǎn)點(diǎn)分分布布又又稱稱伯伯努努利利分分布布服服從從則則此此時時稱稱BernoulliX10（二）兩點(diǎn)分布（二）兩點(diǎn)分布定義定義1 1：9610121pppPxxX定義定義2 2： 對這種只描述了對這種只描述了兩種對立結(jié)果兩種對立結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn)，的隨機(jī)試驗(yàn)，稱為伯努利試驗(yàn)。習(xí)慣上，把伯努利試驗(yàn)的一種稱為伯努利試驗(yàn)。習(xí)慣上，把伯努利試驗(yàn)的一種結(jié)果成為結(jié)果成為“成功成功”，另一種結(jié)果稱為另一種結(jié)果稱為“失敗失敗”。 更一般地，

53、若隨機(jī)變量更一般地，若隨機(jī)變量X只取只取x1和和x2兩個兩個數(shù)值，則其概率分布可表示為數(shù)值，則其概率分布可表示為97 1、兩點(diǎn)分布：、兩點(diǎn)分布：只有兩個可能取值的隨機(jī)變量所只有兩個可能取值的隨機(jī)變量所服從的分布，即為兩點(diǎn)分布。其概率函數(shù)為：服從的分布，即為兩點(diǎn)分布。其概率函數(shù)為：2、0-1分布：分布：只取只取0和和1兩個值的隨機(jī)變量所服從兩個值的隨機(jī)變量所服從的分布稱為的分布稱為0-1分布。其概率函數(shù)為：分布。其概率函數(shù)為：說明說明)2 , 1()(kpxPkk) 1 , 0()1 ()(1kppkPkk兩點(diǎn)分布是最簡單的一種分布兩點(diǎn)分布是最簡單的一種分布,任何一個只有兩種任何一個只有兩種可能

54、結(jié)果的隨機(jī)現(xiàn)象可能結(jié)果的隨機(jī)現(xiàn)象, 比如新生嬰兒是男還是女、比如新生嬰兒是男還是女、明天是否下雨、種籽是否發(fā)芽等明天是否下雨、種籽是否發(fā)芽等, 都屬于兩點(diǎn)分布。都屬于兩點(diǎn)分布。98上上的的均均勻勻分分布布。個個點(diǎn)點(diǎn)服服從從則則稱稱的的概概率率分分布布為為若若隨隨機(jī)機(jī)變變量量, 2 , 1121nixxxnXninxXPX niiniixxnDXxxnEX12111)(: 易易見見(三)n個點(diǎn)上的均勻分布99例如：例如：如果隨機(jī)變量如果隨機(jī)變量 X 的分布律為的分布律為實(shí)例實(shí)例 拋擲骰子并記出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為隨機(jī)變量拋擲骰子并記出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為隨機(jī)變量 X,Xkp161234566161616161則有則

55、有 ., )(),(服服從從均均勻勻分分布布則則稱稱其其中中Xjiaaji 均勻分布隨機(jī)數(shù)均勻分布隨機(jī)數(shù)演示演示Xkpnaaa21nnn111100例：例：.,.,次次試試開開成成功功的的概概率率在在第第問問這這人人的的概概率率被被使使用用匙匙都都以以即即每每次次試試開開時時每每一一把把鑰鑰選選取取一一把把開開門門他他隨隨機(jī)機(jī)地地門門的的其其中中僅僅有有一一把把是是能能開開這這把把鑰鑰匙匙他他共共有有一一個個人人要要開開門門knn1kkkiAAAAWiA121則則記記次次試試開開成成功功表表示示第第設(shè)設(shè)解解,:)()()()()()(kkkkkAPAPAPAPAAAAPWP121121則則,)

56、,()(211111111kpqpnpqnnkk記記).(,.,pGXXpqPkpqkXPXk記記為為服服從從幾幾何何分分布布則則稱稱其其中中的的概概率率分分布布為為若若隨隨機(jī)機(jī)變變量量110211)(數(shù)數(shù)事事件件首首次次出出現(xiàn)現(xiàn)的的試試驗(yàn)驗(yàn)次次（四）幾何分布（四）幾何分布定義：定義：10121pqDXpEX 幾何分布描述了獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，首幾何分布描述了獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，首次成功發(fā)生在第次成功發(fā)生在第k k次的概率。次的概率?；蛘哒f，在獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中或者說，在獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中, ,設(shè)事件設(shè)事件A發(fā)生的發(fā)生的概率為概率為p, , 則幾何分布描述的是則幾何分布描述的是X為直到事件為直到事件A首次發(fā)生

57、為止所進(jìn)行的試驗(yàn)次數(shù)首次發(fā)生為止所進(jìn)行的試驗(yàn)次數(shù)。幾何分布的期望和方差幾何分布的期望和方差102（五）二項(xiàng)分布（五）二項(xiàng)分布1、貝努利試驗(yàn)及其概率公式、貝努利試驗(yàn)及其概率公式 將某隨機(jī)試驗(yàn)重復(fù)進(jìn)行將某隨機(jī)試驗(yàn)重復(fù)進(jìn)行n 次，若各次試次，若各次試驗(yàn)結(jié)果互不影響，即每次試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的概驗(yàn)結(jié)果互不影響，即每次試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的概率都不依賴于其它各次試驗(yàn)的結(jié)果，則稱這率都不依賴于其它各次試驗(yàn)的結(jié)果，則稱這n次試驗(yàn)是獨(dú)立的次試驗(yàn)是獨(dú)立的。103 對于對于n次獨(dú)立的試驗(yàn)，如果每次試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)次獨(dú)立的試驗(yàn)，如果每次試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)且只出現(xiàn)對立事件且只出現(xiàn)對立事件A與與 之一之一 ，在每次試驗(yàn)中出，在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)現(xiàn)

58、A的概率是常數(shù)的概率是常數(shù)p(0p1) ，因而出現(xiàn)對立事件，因而出現(xiàn)對立事件 的概率是的概率是1-p=q，則稱這一串重復(fù)的獨(dú)立試驗(yàn)為，則稱這一串重復(fù)的獨(dú)立試驗(yàn)為n重貝努利試驗(yàn)，簡稱貝努利試驗(yàn)。重貝努利試驗(yàn)，簡稱貝努利試驗(yàn)。 A104 2 2、二項(xiàng)概率公式、二項(xiàng)概率公式 在在n重貝努利試驗(yàn)中，事件重貝努利試驗(yàn)中，事件A恰好發(fā)生恰好發(fā)生k(0kn)次的概率為次的概率為: k=0,1,2，n knkkknqpCkP)(1051)公式適用的條件公式適用的條件2)公式的結(jié)構(gòu)特征公式的結(jié)構(gòu)特征knkknnppCkP )1()(（其中（其中k = 0，1，2，n ）實(shí)驗(yàn)總次數(shù)實(shí)驗(yàn)總次數(shù)事件事件 A 發(fā)生的次

59、數(shù)發(fā)生的次數(shù)事件事件 A 發(fā)生的概率發(fā)生的概率發(fā)生的概率發(fā)生的概率事件事件A106 若把式與二項(xiàng)展開式若把式與二項(xiàng)展開式相比較就可以發(fā)現(xiàn)，在相比較就可以發(fā)現(xiàn)，在n重貝努利試驗(yàn)中，事件重貝努利試驗(yàn)中，事件A發(fā)生發(fā)生k次的概率恰好等于次的概率恰好等于 展開式中的第展開式中的第k+1項(xiàng)，項(xiàng)，所以也把上式稱作所以也把上式稱作二項(xiàng)概率公式二項(xiàng)概率公式 。nkknkknnqpCpq0)(1073、二項(xiàng)分布、二項(xiàng)分布 因此，因此，二項(xiàng)分布可定義為：二項(xiàng)分布可定義為：若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量x所有可所有可能的取值為零和正整數(shù)：能的取值為零和正整數(shù)：0，1，2， ，n，且有，且有 (k=0，1，2，n)其中其中p0

60、，q0，p+q=1，則稱則稱隨機(jī)變量隨機(jī)變量X服從參服從參數(shù)為數(shù)為n和和p的二項(xiàng)分布的二項(xiàng)分布，記為，記為 XB(n，p)。knkkknqpCkP)(108需要注意的是：需要注意的是：pqpCXPqqpCXP111110100110,1094、二項(xiàng)分布、二項(xiàng)分布B（n,p）的期望和方差）的期望和方差),(nkqpCkXPXknkkn1201的的分分布布律律為為：）隨隨機(jī)機(jī)變變量量（npEX npqDX (2)(2)期望期望(3)(3)方差方差110 5 5、二項(xiàng)分布的應(yīng)用條件：、二項(xiàng)分布的應(yīng)用條件： （1）各觀察單位只具有互相對立的一種結(jié)果，如）各觀察單位只具有互相對立的一種結(jié)果，如陽性或陰性