《傳熱學》第3章_非穩(wěn)態(tài)熱傳導

1、13-1 3-1 非穩(wěn)態(tài)導熱基本概念非穩(wěn)態(tài)導熱基本概念3-2 3-2 零維問題的分析法零維問題的分析法集中參數(shù)法集中參數(shù)法3-3 3-3 典型一維非穩(wěn)態(tài)導熱的分析解典型一維非穩(wěn)態(tài)導熱的分析解3-4 3-4 半無限大物體的非穩(wěn)態(tài)導熱半無限大物體的非穩(wěn)態(tài)導熱3-5 3-5 簡單幾何形狀物體多維非穩(wěn)態(tài)導熱的分析解簡單幾何形狀物體多維非穩(wěn)態(tài)導熱的分析解23.1 非穩(wěn)態(tài)導熱的基本概念非穩(wěn)態(tài)導熱的基本概念定義：定義：物體的溫度隨時間而變化的導熱過程稱為非穩(wěn)態(tài)導熱分類：分類：物體溫度隨時間推移逐漸趨近于恒定的值(金屬熱處理) 物體溫度隨時間做周期性的變化(太陽輻射的地球1y和房屋1d)差別：差別：不同位置處

2、的導熱量處處不同 一般不能用熱阻的方法定量分析內容：內容：1.1.簡述非穩(wěn)態(tài)導熱的基本概念; 2.2.由簡單到復雜依次介紹零維問題、一維問題、半無限大物體的 導熱微分方程的分析解法。 3.3.總結求解非穩(wěn)態(tài)導熱問題的一般策略以及應用實例。,zyxft 表達形式：表達形式：3應用：應用：在動力機械起動、停機及變動工況運行時，急劇的溫度變化會 使部件因熱應力而破壞，因此需要確定物體內部的瞬時溫度場； 鋼制工件的熱處理是一個典型的非穩(wěn)態(tài)導熱過程，掌握工件中 溫度變化的速率是控制工件熱處理質量的重要因素。 金屬在加熱爐內加熱時需要確定它在加熱爐內停留的時間，以 保證達到規(guī)定的溫度。掌握：掌握：與穩(wěn)態(tài)導

3、熱問題類似，學習非穩(wěn)態(tài)導熱主要掌握基本概念、確定物體瞬時溫度場的方法和在一段時間間隔內物體所傳導熱量的計算方法。4兩個不同階段：兩個不同階段：非正規(guī)狀況階段非正規(guī)狀況階段 溫度分布主要受溫度分布主要受 ( (不規(guī)則情況階段不規(guī)則情況階段) ) 初始溫度初始溫度分布控制分布控制正規(guī)狀況階段正規(guī)狀況階段 溫度分布主要取決于溫度分布主要取決于( (正常情況階段正常情況階段) ) 邊界條件邊界條件及及物性物性非穩(wěn)態(tài)導熱問題定性分析：非穩(wěn)態(tài)導熱問題定性分析： 左金屬、右保溫，初始左金屬、右保溫，初始t0，左邊升高至，左邊升高至t1，溫度變化情況。溫度變化情況。第一階段：第一階段：P-B-LP-B-L第二

4、階段：第二階段：P-D-LP-D-L第三階段：第三階段：P-E-LP-E-L第四階段：第四階段：P-H-M (HMP-H-M (HM斜率大于斜率大于PHPH斜率斜率) )導熱過程的三個階段：導熱過程的三個階段： 非正規(guī)狀況階段（起始階段）、正規(guī)狀況階段、新的穩(wěn)態(tài)非正規(guī)狀況階段（起始階段）、正規(guī)狀況階段、新的穩(wěn)態(tài)51板左側導入的熱流量板左側導入的熱流量2板右側導出的熱流量板右側導出的熱流量從圖中可以看出，整個非穩(wěn)態(tài)從圖中可以看出，整個非穩(wěn)態(tài)傳熱過程中這兩個熱流量是不傳熱過程中這兩個熱流量是不相等的，但是隨著過程的進行相等的，但是隨著過程的進行其差別逐漸減小，直到進入穩(wěn)其差別逐漸減小，直到進入穩(wěn)態(tài)

5、階段兩者達到平衡。態(tài)階段兩者達到平衡。陰影線的部分代表了復合壁在升溫過程中所積聚的能量陰影線的部分代表了復合壁在升溫過程中所積聚的能量63.1.2 導熱微分方程解的唯一性定律導熱微分方程解的唯一性定律導熱微分方程初始條件,邊界條件導熱問題完整數(shù)學描述規(guī)定的初始條件和邊界條件下求解導熱微分方程笛卡爾、圓柱和圓球坐標系下的導熱微分方程可以統(tǒng)一表示為ttcPgraddiv其中，tgraddiv是溫度的拉普拉斯算子 ，在cp為常數(shù)的條件下，t2引入擴散系數(shù) ，于是有pcapctat2導熱微分方程導熱微分方程初始條件初始條件邊界條件邊界條件zyxfzyxt,0 ,00 ,tzyxt()()wwfth t

6、tn(第三類邊界條件,n為換熱表面外法線，h,tf已知，tw, 未知)wnt7唯一解定律：唯一解定律：如果某一函數(shù)滿足導熱微分方程導熱微分方程以及一定的初始條件初始條件與 邊界條件邊界條件，那么此函數(shù)就是這一特定導熱問題的唯一解。唯一解。(1) (1) 問題的分析問題的分析 如圖所示，存在兩個換熱環(huán)節(jié)：如圖所示，存在兩個換熱環(huán)節(jié)：t tf fh ht tf fh hx xt t 0 0t tf fh hx xt t 0 0a a 流體與物體表面的對流換熱環(huán)節(jié)流體與物體表面的對流換熱環(huán)節(jié) b b 物體內部的導熱物體內部的導熱hrh1rhhrrBih1(2) (2) 畢渥數(shù)的定義：畢渥數(shù)的定義：3

7、.1.3 第三邊界條件下第三邊界條件下Bi數(shù)對溫度分布的影響數(shù)對溫度分布的影響兩個熱阻比值的量綱一的量兩個熱阻比值的量綱一的量8hhrrBih1 Bi03.1.3 第三邊界條件下第三邊界條件下Bi數(shù)對溫度分布的影響數(shù)對溫度分布的影響當當 時，時， ，可以忽略對流換熱熱阻，可以忽略對流換熱熱阻當當 時，時， ，可以忽略導熱熱阻，可以忽略導熱熱阻當當 時，時， ，需要同時考慮兩種熱阻，需要同時考慮兩種熱阻Bihrr 0Bihrr 1Bihrr 厚度2金屬板初始溫度t0外界溫度t表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)h導熱系數(shù)9無量綱數(shù)的簡要介紹無量綱數(shù)的簡要介紹對于一個對于一個特征數(shù)特征數(shù)，應該掌握其，應該掌握其定義式定義

8、式物理意義物理意義，以及定義式中以及定義式中各個參數(shù)的意義各個參數(shù)的意義?；舅枷耄寒斔芯康膯栴}非常復雜，涉及到的參數(shù)很多，為了基本思想：當所研究的問題非常復雜，涉及到的參數(shù)很多，為了 減少問題所涉及的參數(shù)，于是人們將這樣一些參數(shù)組減少問題所涉及的參數(shù)，于是人們將這樣一些參數(shù)組 合起來，使之能合起來，使之能表征一類物理現(xiàn)象表征一類物理現(xiàn)象，或物理過程的，或物理過程的主主 要特征，并且沒有量綱要特征，并且沒有量綱。 因此，畢渥數(shù)、雷諾數(shù)這樣的無量綱數(shù)又被稱為因此，畢渥數(shù)、雷諾數(shù)這樣的無量綱數(shù)又被稱為特征數(shù)特征數(shù)，或，或者準則數(shù)，比如，畢渥數(shù)又稱畢渥準則。以后會陸續(xù)遇到許多類者準則數(shù)，比如，畢渥

9、數(shù)又稱畢渥準則。以后會陸續(xù)遇到許多類似的準則數(shù)。特征數(shù)涉及到的似的準則數(shù)。特征數(shù)涉及到的幾何尺度幾何尺度稱為稱為特征長度特征長度，一般用符，一般用符號號l表示。表示。103.2 零維問題的分析法零維問題的分析法集中參數(shù)法集中參數(shù)法定義定義: 固體內部的導熱熱阻遠小于其表面的換熱熱阻時，任何時刻 固體內部的溫度都趨于一致，以致可以認為整個固體在同一 瞬間均處于同一溫度下。(類比質心類比質心)特點特點: 溫度僅是時間的一元函數(shù) ，而與空間坐標無關 。應用應用: 物體導熱系數(shù)極大；幾何尺寸極??；表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)極低。方法方法: 忽略物體內部導熱熱阻的簡化方法集中參數(shù)法集中參數(shù)法0Bi )(ft Pcta

10、t23.2.1 集中參數(shù)法溫度場的分析解集中參數(shù)法溫度場的分析解問題問題: 任意形狀固體，體積V，表面積A，均勻初始溫度t0，置于t0.2后后,正規(guī)狀況階段的熱量比為：正規(guī)狀況階段的熱量比為：0211111110expsincossin2sin1FQQ0211211201111110expJJJ2J21FQQ 021111111311110expcossin-cossin2cossin31FQQ平板平板圓柱圓柱圓球圓球26總結總結分析解分析解(溫度分布溫度分布)及其及其導熱量導熱量計算式，可以將它們計算式，可以將它們統(tǒng)一表示統(tǒng)一表示為：為：BFAQQfFA021010210exp1exp,11

11、273.3.3 非穩(wěn)態(tài)導熱正規(guī)狀況階段的非穩(wěn)態(tài)導熱正規(guī)狀況階段的工程計算方法工程計算方法分析解分析解主要用于科學計算，對內在特性及影響進行分析主要用于科學計算，對內在特性及影響進行分析(理解理解)工程計算方法工程計算方法直接用于計算出所需要的值直接用于計算出所需要的值(掌握掌握)方法方法圖線法圖線法(海斯勒提出的諾謨圖海斯勒提出的諾謨圖)近似擬合公式法近似擬合公式法(campo)1. 1. 圖線法圖線法),()cos(cossinsin2),(111110021xBiFofxxeF三個變量，因此，需要分開繪制三個變量，因此，需要分開繪制以以無限大平板無限大平板為例，為例，F(xiàn)00.2 時，取其級

12、數(shù)第一項可得時，取其級數(shù)第一項可得第一步：根據(jù)公式第一步：根據(jù)公式(3-25)，得到，得到),(0BiFofm0 x圖圖3-728第二步：根據(jù)公式第二步：根據(jù)公式(3-28)，得到，得到),()cos()(),(1xBifxxm無傅里葉數(shù)無傅里葉數(shù)F0第三步：平板中任一點的溫度為第三步：平板中任一點的溫度為00mm同理，非穩(wěn)態(tài)換熱過程中的交換熱量可以利用同理，非穩(wěn)態(tài)換熱過程中的交換熱量可以利用(3-31)(3-33)繪制。繪制。解的應用范圍：解的應用范圍： 書中的書中的諾謨圖諾謨圖及及下面的擬合函數(shù)下面的擬合函數(shù)僅適用僅適用恒溫介質的第三類恒溫介質的第三類邊界條件邊界條件或或第一類邊界條件的加

13、熱及冷卻過程第一類邊界條件的加熱及冷卻過程，并且，并且F F0 00.20.2圖圖3-8圖圖3-9292. 2. 近似擬合公式法近似擬合公式法320121)(J1)1()(dxcxbxaxbBicBiaBebaABibacBi 對三種幾何形狀的第一特征值對三種幾何形狀的第一特征值1，以及公式，以及公式(3-34)、(3-35)中的中的A、B和貝塞爾函數(shù)提出了以下擬合公式和貝塞爾函數(shù)提出了以下擬合公式 左邊公式中的常數(shù)左邊公式中的常數(shù)見書中表見書中表3-2和表和表3-3中中 在表在表3-1中的第一類一階貝塞爾函數(shù)中的第一類一階貝塞爾函數(shù)J1(x)可根據(jù)遞推公式可根據(jù)遞推公式J1(x)= -J0(

14、x)這里這里J0(x)表示表示J0(x)對對x的一階導數(shù)的一階導數(shù)優(yōu)缺點：優(yōu)缺點：圖線法圖線法簡潔方便，但是受到分辨率的限制，影響計算精度近似擬合公式法近似擬合公式法便于計算機求解，可以免去迭代，計算量較大303.3.4 分析解分析解應用范圍應用范圍的推廣及的推廣及傅里葉數(shù)傅里葉數(shù)和和畢渥數(shù)畢渥數(shù)對溫度場的影響對溫度場的影響應用范圍：應用范圍：1. 物體的被物體的被加熱加熱或者或者冷卻冷卻都是用于該分析解；都是用于該分析解；2. 對于一維平板，還可應用于對于一維平板，還可應用于(1) 平板一側絕熱，另一側為第三類平板一側絕熱，另一側為第三類邊界條件；邊界條件；(2) 平板兩側均為第一類邊界條件

15、且維持相同溫度。平板兩側均為第一類邊界條件且維持相同溫度。傅里葉數(shù)和畢渥數(shù)對溫度場的影響：傅里葉數(shù)和畢渥數(shù)對溫度場的影響：傅里葉數(shù)的影響：傅里葉數(shù)的影響： 傅里葉數(shù)傅里葉數(shù)F0與時間與時間呈正比，物體中各點的過余溫度隨時間呈正比，物體中各點的過余溫度隨時間增增加而減少，因此各點的加而減少，因此各點的過余溫度隨傅里葉數(shù)過余溫度隨傅里葉數(shù)F0增加而減少增加而減少畢渥數(shù)的影響：畢渥數(shù)的影響： 介質溫度恒定的第三類邊界條件下的分析解，在介質溫度恒定的第三類邊界條件下的分析解，在Bi的極限情的極限情況下轉化為況下轉化為第一類邊界條件第一類邊界條件下的解，而在下的解，而在Bi0的極限情況下則與的極限情況下

16、則與集集中參數(shù)法中參數(shù)法的解相同。的解相同。31例題例題3-4 一塊厚度為100mm的鋼板放入溫度為1000的爐中加熱，鋼板一面受熱，另一面可近似認為是絕熱的。鋼板初始溫度為t0=20 。求鋼板受熱表面的溫度達到500 時所需要的時間，并計算此時剖面上的最大溫差。取加熱過程中的平均表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)h=174W/(m2K)，鋼板的=34.8W/(mK)，a=0.55510-5m2/s。已知：Bi=0.1時，1=0.3111rad；Bi=0.5時，1=0.6533rad；Bi=1.0時，1=0.8603rad；假設假設:(1) 一維問題;(2) 熱物性為常數(shù);(3)加熱過程表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)為常數(shù).分析分析

17、：這一問題相當于厚200mm平板對稱受熱情況，故可以應用一維 平板的分析解計算計算：對于此平板0 . 15 . 0/8 .341 . 0/1742xmkWmkmWhBi從圖3-8查得，在平板表面上8 . 0/mw32另一方面，根據(jù)已知條件，表面上的無量綱過余溫度為mwmwoooowwCCCCtttt000051. 01000201000500故得637. 08 . 0/51. 0/00mwwm根據(jù)m/0及Bi數(shù)之值，從圖3-7查的F0=1.2，故得hsa6 . 01016. 2/2 . 132另外，由m=0.6370得Cttom376637. 00故在剖面上的最大溫差為CCCtooo12437

18、6500max討論討論:下面根據(jù)公式(3-25)計算F0的值,由Bi=0.5可知，1=0.6533rad=37.43o故：得到：可以看出，由圖線法得到的結果與分析解相當一致7981. 04268. 0exp0701. 151. 00F196. 10F33利用圖表法求解非穩(wěn)態(tài)導熱問題方法總結利用圖表法求解非穩(wěn)態(tài)導熱問題方法總結0FaBihxx0mmmm00熱擴散率所需時間最大長度最大長度最大長度實際長度導熱系數(shù)表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)傅里葉數(shù)畢渥數(shù)長度比任意時刻中心溫差與初始溫差之比任意位置溫差與中心溫差之比任意時刻、任意位置任意時刻、任意位置的溫差與初始溫差之比的溫差與初始溫差之比343.3 半無限大物體

19、半無限大物體的非穩(wěn)態(tài)導熱的非穩(wěn)態(tài)導熱定義：定義：半無限大物體可以看作是半無限大物體可以看作是一維平板一維平板的一種的一種特殊情況特殊情況，就是從，就是從 X= =0 0界面界面開始可以向正向以及上、下方向上無限延伸，而在每開始可以向正向以及上、下方向上無限延伸，而在每 一個與一個與x x坐標垂直的界面上物體的坐標垂直的界面上物體的溫度都相等溫度都相等。重點：重點：分析解的應用分析解的應用 理解其所包含的物理概念。理解其所包含的物理概念。應用范圍：應用范圍：非穩(wěn)態(tài)導熱的初始階段擾動的影響非穩(wěn)態(tài)導熱的初始階段擾動的影響 僅局限在表面僅局限在表面附近而附近而未深入到平板內部中未深入到平板內部中 去時

20、，可有條件地把該平板視為該問題去時，可有條件地把該平板視為該問題353.4.1 三種邊界條件下半無限大物體溫度場的分析解三種邊界條件下半無限大物體溫度場的分析解 有一半無限大物體，初始溫度為t0，在初始時刻x=0側面突然受到熱擾動，分為以下三種邊界條件：1. 表面溫度突然變?yōu)閠w，并保持不變(第一類第一類)2. 受到恒定的熱流密度加熱(第二類第二類)3. 與溫度為t的流體進行熱交換(第三類第三類)36上述條件下，物體中溫度的控制方程和定界條件為三種邊界條件之一, 0, 00,022xtxtxtat控制方程控制方程定界條件定界條件三種邊界條件下，溫度場的分析解分析解可以表示為axtttxtww2

21、erf,0axxqaxaqtxt2erfc4exp2,0200ahaxahhxaxtttxt2erfcexp2erf,2200第一類邊界條件第一類邊界條件第二類邊界條件第二類邊界條件第三類邊界條件第三類邊界條件ax2erf其中，其中， 為誤差函數(shù)，為誤差函數(shù)， 為余誤差函數(shù)為余誤差函數(shù)axax2erf12erfc373.4.2 導熱量計算式導熱量計算式 以第一類邊界條件為例，推導從初始時刻初始時刻到某一特定時刻某一特定時刻之間，半無限大物體表面與外界的換熱量換熱量 通過任意截面處的熱流密度為axattxttxtqx4/experf200表面的導熱量為00002ttcAdattAdqAQwww從

22、以上兩式可知，表面表面上的熱流密度熱流密度與時間的平方根時間的平方根成反比反比，總的導總的導熱量熱量與時間的平方根時間的平方根成正比正比。此外，導熱量導熱量還與物體的吸熱系數(shù)吸熱系數(shù) 成正比正比，吸熱系數(shù)表示物體向與接觸的高溫物體吸熱的能力物體向與接觸的高溫物體吸熱的能力。c383.4.3 分析解的討論分析解的討論以上三個邊界條件下的解都包含有一個無量綱參數(shù)無量綱參數(shù)以及誤差函數(shù) ，誤差函數(shù)erf隨的變化趨勢如下圖所示。這是半無限大物體分析界的一個共同點。ax2erf從誤差函數(shù)曲線圖中可以得到兩個重要結論重要結論：1. 從幾何位置幾何位置來看，如果 ，則在時刻時刻x處處得溫度可以認為尚未發(fā)生變化尚未發(fā)生變化。2. 從時間上來看時間上來看，如果 ，則此時x處的溫度處的溫度可認為完全不變，