希望杯六年級真題及解析

1、第十三屆小學(xué)“希望杯”全國數(shù)學(xué)邀請賽六年級第 1 試試題2015 年 3 月 15 日上午 8:30 至 10:00以下每題 6 分，共 120 分.1. 計算：1+1+1+1+1_2481632【出處】2015 年希望杯六年級初賽第 1 題【考點】借來還去分?jǐn)?shù)計算【難度】31【答案】 32【解析】原式 = 12 + 14 + 18 + 161 + ( 321 + 321 ) - 321= 12 + 14 + 18 + (161 + 161 ) - 321= 12 + 14 + ( 18 + 18 ) - 321= 12 + ( 14 + 14 ) - 321= 12 + 12 - 321=

2、1 - 321= 32312. 將 99913 化成小數(shù)，小數(shù)部分第 2015 位上的數(shù)字是_【出處】2015 年希望杯六年級初賽第 2 題【考點】循環(huán)小數(shù)與分?jǐn)?shù)計算【難度】【答案】1【解析】 99913 = 0.013 ， 2015 ¸ 3 = 6712 ，所以數(shù)字為 1.13.若四位數(shù) 2 AB7 能被 13 整除，則兩位數(shù) AB 的最大值是_【出處】2015 年希望杯六年級初賽第 3 題【考點】整除問題數(shù)論【難度】【答案】97【解析】 13 2 AB7 Þ 13 AB0 + 2007 ， 2007 ¸135，所以 AB0 ¸138 ，13 AB5

3、， 利用數(shù)字謎或倒除法，可確定 AB = 97 。數(shù)字謎方法如下：根據(jù)乘積的個位，可確定第二個因數(shù)的個位為 5，因為構(gòu)造最大值，所以十位為最大為 7，積為 975131313´´5´75Þ65 Þ6591559754.若一個分?jǐn)?shù)的分子減少 20%，并且分母增加 28%，則新分?jǐn)?shù)比原來的分?jǐn)?shù)減少了_%【出處】2015 年希望杯六年級初賽第 4 題【考點】分?jǐn)?shù)應(yīng)用題應(yīng)用題【難度】【答案】37.5aa ´ 1- 20%)a55æ5ö(=´-¸ 1 ´ 100%= 37.5%【解析】設(shè)原分?jǐn)?shù)為

4、，則新分?jǐn)?shù)為，所以新分?jǐn)?shù)為原分?jǐn)?shù)的，ç 1÷bb ´ (1+ 28% )b88è8ø5. 若 a <1< a +1，則自然數(shù) a =_1+1+1+1+120112012201320142015【出處】2015 年希望杯六年級初賽第 5 題【考點】比較與估算計算【難度】【答案】402【解析】設(shè) x =1， x >1=2011= 4021x <1=2015= 403 ，所1+1+1+1+11´ 5551´ 552011201220132014201520112015以 4021< x < 40

5、3 ， a = 4025x3.14= 0.140.5= 0.5ì2015 ü+ì315 ü+ ì412ü=6.那么， íýíýý定義：符號 表示 x 的小數(shù)部分，如，í5î3 þî4 þîþ_（結(jié)果用小數(shù)表示）【出處】2015 年希望杯六年級初賽第 6 題【考點】高斯記號與循環(huán)小數(shù)計算2【難度】【答案】1.816ì 2015üì 315üì 412ü232【

6、解析】 íý+ íý+ íý=+= 0.6+ 0.75 + 0.4=1.81645345î 3þ îþîþ7. 甲、乙、丙三人共同制作了一批零件，甲制作了總數(shù)的 30%，乙、丙制作的件數(shù)之比是 3:4已知丙制作了 20 件，則甲制作了_件【出處】2015 年希望杯六年級初賽第 7 題【考點】比例應(yīng)用題應(yīng)用題【難度】【答案】15【解析】甲制作了總數(shù)的 30% ，乙、丙制作的件數(shù)是總數(shù)的1 - 30% = 70% ，乙、丙制作的件數(shù)之比是 3:4，則乙做了 30% ，丙做了 40

7、% ，則甲：乙：丙= 3 : 3 : 4 ，甲制作了 20 ¸ 4 ´ 3 =15 （件）。8.已知 9x ， 15y ， 14z 都是最簡真分?jǐn)?shù)，并且它們的乘積是 16 ，則 x + y + z =_【出處】2015 年希望杯六年級初賽第 8 題【考點】因數(shù)與分解質(zhì)因數(shù)數(shù)論【難度】【答案】21【解析】 9x ´ 15y ´ 14z = 16 ， 6 xyz = 9 ´ 15 ´14 ， xyz = 3 ´ 3 ´ 5 ´ 7 ，x 與 9 互質(zhì)，x 不含因數(shù) 3；y 與 15 互質(zhì)，y 不含因數(shù) 3,5

8、；z 與 14 互質(zhì)，z 不含因數(shù) 7；并且 x，y，z 均不能為 1（否則，必有假分?jǐn)?shù)出現(xiàn)），所以 y = 7 ， x = 5 ， z = 9 ， x + y + z = 7 + 5 + 9 = 219. 如圖一，有三只小老鼠發(fā)現(xiàn)一堆花生米，商量好第二天來平分第二天，第一只老鼠最早來到，它發(fā)現(xiàn)花生米無法平分，就吃了一粒，余下的恰好可以分成三份，它拿著自己的一份走了第二只和第三只老鼠隨后依次來到，遇到同樣的問題，也采取了同樣的方法，都是吃掉一粒后，把花生米分成三份，拿走其中的一份那么，這堆花生米至少有_粒圖1【出處】2015 年希望杯六年級初賽第 9 題【考點】分?jǐn)?shù)應(yīng)用題應(yīng)用題【難度】【答案】

9、253é æ2ö2ù227 a + 303a + 6【解析】設(shè)最后剩的兩份為 a，那么花生米總數(shù)為 ê ç a ¸+ 1 ÷¸+ 1ú¸+1=+ 1 =+ 3a + 4 ，ë è3ø3û3883a + 6 為 8 的倍數(shù)且為 3 的倍數(shù)，最小為 24，所以 a = 6，總數(shù)為3a + 6+ 3a + 4 =24+ 3 ´ 6 + 4 = 2588110. 如圖 2，分別以長方形的一條長邊的兩個頂點為圓心，以長方形的寬為半徑作 4 圓，若

10、圖中的兩個陰影部分的面積相等，則此長方形的長與寬的比值是_圖2【出處】2015 年希望杯六年級初賽第 10 題【考點】圓與扇形曲線形幾何【難度】【答案】 p : 2【解析】因為 S 2 = S4 ，兩個半圓的面積 S1 + S2 + S2 + S3 = S1 + S 2 + S3 + S4 與長方形面積相等。所以設(shè)長為 a ，寬為 b ， 14 pb 2 ´ 2 = ab ， pb = 2a ， a : b = p : 2S4S1S3S211. 六年級甲班的女生人數(shù)是男生人數(shù)的 109 倍，新年聯(lián)歡會中， 52 的女生和 13 的男生參加了演出，則參加演出的人數(shù)占全班人數(shù)的_【出處】

11、2015 年希望杯六年級初賽第 11 題【考點】分?jǐn)?shù)應(yīng)用題應(yīng)用題【難度】【答案】 197【解析】設(shè)女生人數(shù)為 10 份，男生人數(shù)為 9 份，則參加演出的人數(shù)為2´ 10 +1´ 9 = 7，占全班人數(shù)的7=75310 + 91912. 有 80 顆珠子，5 年前，姐妹兩人按年齡的比例分配，恰好分完；今年，她們再次按年齡的比例重新分配，又恰好分完已知姐姐比妹妹大 2 歲，那么，姐姐兩次分到的珠子相差_顆4【出處】2015 年希望杯六年級初賽第 12 題【考點】因數(shù)問題數(shù)論【難度】【答案】4【解析】設(shè) 5 年前妹妹的年齡為 x，那么5 年前今年妹妹xx + 5姐姐x + 2x

12、+ 75 年前與今年分別按照年齡的比例分配，且恰好分完，所以 2 x + 2 與 2 x +12 均為 80 的因數(shù)，且這兩個因數(shù)的差為 10，80 的因數(shù)有 1,2,4,5,8,10,16，20,40,80，所以只有 10 與 20 的差為 10，所以 2 x + 2 =10 ，x = 4 ，5 年前按照 4 : 6 的比例分配，姐姐分到 80 ¸ ( 4 + 6 )´ 6 = 48 （顆），今年按照 9:11 的比例分配，姐姐分到80 ¸ ( 9 + 11)´ 11 = 44 （顆），兩次分配相差 48 - 44 = 4 （顆）。13. 如圖 3，分

13、別以 B，C 為圓心的兩個半圓的半徑都是 1 厘米，則陰影部分的周長是_厘米（ 取 3）EABCD圖3【出處】2015 年希望杯六年級初賽第 13 題【考點】圓與扇形曲線形幾何【難度】【答案】3【解析】BE,BC,CE 均為圓的半徑，所以 DBCE 等邊三角形，每個角均為 60 度，所以陰影部分的兩段圓弧均為 60 度的扇形所對應(yīng)的圓弧，所以周長為 36060 ´ p ´ d ´ 2 +1 = 16 ´ 3 ´ 2 ´ 2 + 1 = 3EABCD14. 一個 100 升的容器，盛滿了純酒精，倒出一部分后注滿水；混合均勻后，倒出與第一

14、次所倒出體積相等的液體，再注滿水，此時容器內(nèi)水的體積是純酒精體積的 3 倍，則第一次倒出的純酒精是_升【出處】2015 年希望杯六年級初賽第 14 題5【考點】濃度問題應(yīng)用題【難度】【答案】50【解析】設(shè)第一次到出酒精 x 升，所剩酒精為 (100 - x) 升，此時容器的空間為 x 升，則第一次倒入水時，酒精溶液濃度為 (100 - x)% ，再倒出 x 升酒精溶液，此時所剩酒精溶液體積為 (100 - x) 升，所剩酒精為(100 - x ) % ´ (100 - x) = 100 ´ 1 +1 3 ，所以 (100 - x)2 = 2500 ， x = 5015. 如

15、圖 4，甲，乙兩個圓柱形容器的底面半徑分別是 2 厘米和 3 厘米，已知甲容器裝滿水，乙容器是空的現(xiàn)將甲容器中的水全部倒入乙容器，水面的高比甲容器高的 23 少 6 厘米，則甲容器的高是_厘米甲乙圖4【出處】2015 年希望杯六年級初賽第 15 題【考點】圓柱立體幾何【難度】【答案】2722æ 2ö【解析】設(shè)甲容器高為 h，根據(jù)水的總量相等，得到 p ´ 2´ h = p ´ 3´ çh - 6÷ ，解得 h = 27è3ø16. 如圖 5，經(jīng)典童話一書共有 382 頁，則這本書的頁碼中數(shù)字 0

16、 共有_個109圖5【出處】2015 年希望杯六年級初賽第 16 題【考點】頁碼問題應(yīng)用題【難度】【答案】68【解析】1 382 中，個位每 10 個數(shù)中出現(xiàn)一個 0， 382 ¸ 10 = 382 ，每 10 個數(shù)中最后一個數(shù)個位為 0，6所以個位中共有 38 個 0，1 99 中十位上沒有 0，十位有 0 的有，100 109 ， 200 209 ， 200 309 ，共 30 個，所以共 38 + 30 = 68 （個）17. 如圖 6 所示的 7 個圓相切于一點，若圓的半徑分別是（單位：分米）：1,2,3,4,5,6,7，則圖中陰影部分的面積是_平方米（ 取 3）765432

17、1圖6【出處】2015 年希望杯六年級初賽第 17 題【考點】圓曲線形幾何【難度】【答案】84【解析】陰影面積為p ´ 12 + p ´ ( 32 - 22 )+ p ´ ( 52 - 42 )+ p ´ ( 7 2 - 62 )= p ´ 1 + p ´ ( 3 + 2 ) + p ´ ( 5 + 4 ) + p ´ ( 7 + 6)= 28p= 8418. 將一個棱長為 6 的正方體切割成若干個相同的棱長為整數(shù)的小正方體，若這些小正方體的表面積之和是切割前大正方體的表面積的 2 倍，則切割成的小正方體的棱長是_

18、【出處】2015 年希望杯六年級初賽第 18 題【考點】表面積問題立體幾何【難度】【答案】3【解析】若切割成若干個相同的棱長為整數(shù)的小正方體，所以平行于前面、右面、上面所切的刀數(shù)相同，由于切割后的表面積為切割前的兩倍，所以增加面積等于原表面積，所增加的部分為兩個前面、兩個上面和兩個右面，所以平行與三個面?zhèn)€切一刀，所以棱長為 6 ¸ 2 = 319. 有長度分別是 1 厘米，2 厘米，3 厘米，4 厘米，5 厘米的小木棍各若干根，從中任取 3 根組成一個三角形，則最多可以組成不同的三角形_個【考點】三角形三邊關(guān)系幾何【難度】【答案】227【解析】有序枚舉（1,1,1）（1,2,2）（1,3,3）（1,3,3）（1,4,4）（1,5,5）（2,2,2）（2,2,3）（2,3,3）（2,3,4）（2,4,4）（2,4,5）（3,3,3）