高中數(shù)學(xué) 3.3.1 幾何概型同步學(xué)案 新人教A版ppt課件

1、3.3 幾何概型幾何概型3.3.1 幾何概型幾何概型自自 學(xué)學(xué) 導(dǎo)導(dǎo) 引引1.正確理解幾何概型的概念正確理解幾何概型的概念.2.掌握幾何概型的概率公式掌握幾何概型的概率公式.3.會(huì)根據(jù)古典概型與幾何概型的區(qū)別與聯(lián)系來判別某種會(huì)根據(jù)古典概型與幾何概型的區(qū)別與聯(lián)系來判別某種概型是古典概型還是幾何概型概型是古典概型還是幾何概型.課課 前前 熱熱 身身1.如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度(面積面積或體積或體積)成比例成比例,則稱這樣的概率模型為則稱這樣的概率模型為_,簡(jiǎn)簡(jiǎn)稱稱_.2.在幾何概型中在幾何概型中,事件事件A的概率定義為的概率定義為

2、_,習(xí)慣上習(xí)慣上,用用A表示事件表示事件A的區(qū)域幾何度量的區(qū)域幾何度量,用用表示試驗(yàn)的全部結(jié)果所表示試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成區(qū)域的幾何度量構(gòu)成區(qū)域的幾何度量.幾何概率模型幾何概率模型 幾何概型幾何概型 ( )AP A名名 師師 講講 解解1.幾何概型試驗(yàn)的兩個(gè)基本特征幾何概型試驗(yàn)的兩個(gè)基本特征(1)無限性無限性,在一次試驗(yàn)中在一次試驗(yàn)中,可能出現(xiàn)的結(jié)果有無限多個(gè)可能出現(xiàn)的結(jié)果有無限多個(gè);(2)等可能性等可能性,每個(gè)結(jié)果的發(fā)生具有等可能性每個(gè)結(jié)果的發(fā)生具有等可能性.2.幾何概型的計(jì)算公式幾何概型的計(jì)算公式幾何概型的試驗(yàn)中幾何概型的試驗(yàn)中,事件事件A的概率的概率P(A)只與子區(qū)域只與子區(qū)域A的幾何度的

3、幾何度量量(長(zhǎng)度長(zhǎng)度 面積或體積面積或體積)成正比成正比,而與而與A的位置和形狀無關(guān)的位置和形狀無關(guān).因因此有此有 AP A 構(gòu)成事件 的區(qū)域長(zhǎng)度 面積或體積實(shí)驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度 面積或體積3.幾何概型的計(jì)算步驟幾何概型的計(jì)算步驟(1)判斷幾何概型判斷幾何概型,尤其是判斷等可能性尤其是判斷等可能性,比古典概型更難于判比古典概型更難于判斷斷.(2)計(jì)算基本事件空間與事件計(jì)算基本事件空間與事件A所含的基本事件對(duì)應(yīng)的區(qū)域的所含的基本事件對(duì)應(yīng)的區(qū)域的幾何度量幾何度量(長(zhǎng)度長(zhǎng)度 面積或體積面積或體積).這是計(jì)算的難點(diǎn)這是計(jì)算的難點(diǎn),實(shí)際上教實(shí)際上教材重點(diǎn)不在于計(jì)數(shù)材重點(diǎn)不在于計(jì)數(shù),而在于如何利

4、用幾何概型而在于如何利用幾何概型,把問題轉(zhuǎn)化把問題轉(zhuǎn)化為各種幾何概型問題為各種幾何概型問題,為此可參考如下辦法為此可參考如下辦法:適當(dāng)選擇觀適當(dāng)選擇觀察角度察角度;把基本事件空間轉(zhuǎn)化為與之對(duì)應(yīng)的區(qū)域把基本事件空間轉(zhuǎn)化為與之對(duì)應(yīng)的區(qū)域;對(duì)立對(duì)立事件逆向思維事件逆向思維;利用概率公式計(jì)算利用概率公式計(jì)算.典典 例例 剖剖 析析題型一題型一 與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型例例1:取一根長(zhǎng)為取一根長(zhǎng)為5 m的繩子的繩子,拉直后在任意位置剪斷拉直后在任意位置剪斷,那么剪得那么剪得兩段的長(zhǎng)都不少于兩段的長(zhǎng)都不少于2 m的概率有多大的概率有多大?分析分析:從每一個(gè)位置剪斷都是一個(gè)基本事件從每一個(gè)位

5、置剪斷都是一個(gè)基本事件,剪斷位置可以是剪斷位置可以是長(zhǎng)度為長(zhǎng)度為5 m的繩子上的任意一點(diǎn)的繩子上的任意一點(diǎn),其基本事件有無限多個(gè)其基本事件有無限多個(gè),顯然不能用古典概型計(jì)算顯然不能用古典概型計(jì)算,可考慮運(yùn)用幾何概型計(jì)算可考慮運(yùn)用幾何概型計(jì)算.解解:如圖所示如圖所示.記記“剪得兩段繩長(zhǎng)都不小于剪得兩段繩長(zhǎng)都不小于2 m”為事件為事件A.把繩把繩子五等分子五等分,于是當(dāng)剪斷位置處在中間一段上時(shí)于是當(dāng)剪斷位置處在中間一段上時(shí),事件事件A發(fā)生發(fā)生.由于中間一段的長(zhǎng)度等于繩長(zhǎng)的由于中間一段的長(zhǎng)度等于繩長(zhǎng)的 所以事件所以事件A發(fā)生的概發(fā)生的概率率1,51( ).5P A 規(guī)律技巧規(guī)律技巧:解答本類問題的關(guān)

6、鍵是將基本事件的全部及其事解答本類問題的關(guān)鍵是將基本事件的全部及其事件件A包含的基本事件轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的長(zhǎng)度包含的基本事件轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的長(zhǎng)度,進(jìn)而求解進(jìn)而求解.變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練1:某公共汽車站某公共汽車站,每隔每隔15分鐘有一輛車發(fā)出分鐘有一輛車發(fā)出,并且發(fā)并且發(fā)出前在車站?？砍銮霸谲囌就？?分鐘分鐘.(1)求乘客到站候車不超過求乘客到站候車不超過10分鐘的概率分鐘的概率;(2)求乘客到達(dá)車站立即上車的概率求乘客到達(dá)車站立即上車的概率.解解:如圖所示如圖所示,設(shè)相鄰兩班車的發(fā)車時(shí)刻為設(shè)相鄰兩班車的發(fā)車時(shí)刻為T1,T2,T1T2=15.設(shè)設(shè)T0T2=3,TT0=10.(1)記記“乘客到站候車不超過乘客

7、到站候車不超過10分鐘分鐘”為事件為事件A,則當(dāng)乘客到則當(dāng)乘客到站時(shí)刻站時(shí)刻t落在落在TT0上時(shí)上時(shí),候車時(shí)間不超過候車時(shí)間不超過10分鐘分鐘.故所求概率故所求概率 21 213( ).15TTP ATT(2)當(dāng)當(dāng)t落在落在T0T2上時(shí)上時(shí),乘客立即上車乘客立即上車,故所求的概率故所求的概率 021 231.155T TPTT題型二題型二 與角度有關(guān)的幾何概型與角度有關(guān)的幾何概型例例2:如圖所示如圖所示,在等腰在等腰RtABC中中,過直角頂點(diǎn)過直角頂點(diǎn)C在在ACB內(nèi)內(nèi)部作一條射線部作一條射線CM,與線段與線段AB交于點(diǎn)交于點(diǎn)M,求求AMAC的概率的概率.分析分析:在在AB上取點(diǎn)上取點(diǎn)C,使使A

8、C=AC,連接連接CC,則事件發(fā)生的區(qū)域則事件發(fā)生的區(qū)域?yàn)闉锳CC. A:ABACAC,CC,ACC67.5 .AACB18045267.53.90CM,ABM,4AMAC,90 ,67.5 ,P AA 解 在上取連接則設(shè)在內(nèi)部作一條射線與線段交于點(diǎn)則規(guī)律技巧規(guī)律技巧:射線射線CM隨機(jī)地落在隨機(jī)地落在ACB內(nèi)部?jī)?nèi)部,故故ACB為所有為所有試驗(yàn)結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域試驗(yàn)結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域,當(dāng)射線當(dāng)射線CM落在落在ACC內(nèi)部?jī)?nèi)部時(shí)時(shí),AMb0)的矩形內(nèi)畫一個(gè)梯的矩形內(nèi)畫一個(gè)梯形形,梯形上下底分別為梯形上下底分別為 ,高為高為b,向該矩形內(nèi)隨機(jī)投向該矩形內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn)一點(diǎn),則所投的點(diǎn)落在梯形內(nèi)部的概率為則所投的點(diǎn)

9、落在梯形內(nèi)部的概率為( )1132aa與1157.321212ABCD解析解析:由幾何概型知由幾何概型知,所求的概率為梯形面積與矩形面積之比所求的概率為梯形面積與矩形面積之比,即即 1132552.1212aabababab答案答案:C3.設(shè)設(shè)A為圓周上一定點(diǎn)為圓周上一定點(diǎn),在圓周上等可能地任取一點(diǎn)與在圓周上等可能地任取一點(diǎn)與A連接連接,求弦長(zhǎng)超過半徑的概率為求弦長(zhǎng)超過半徑的概率為( )1132.2343ABCD答案答案:D:,OB C,ABACOA,P3601202.3603BC,APOA.,解析 如圖所示 在上取點(diǎn) 使則當(dāng)點(diǎn) 在優(yōu)弧上時(shí) 弦由幾何概型知 所求概率為4.已知實(shí)數(shù)已知實(shí)數(shù)x,y

10、可以在可以在0 x2,0y2的條件下隨機(jī)取數(shù)的條件下隨機(jī)取數(shù),那么那么取出的數(shù)對(duì)滿足取出的數(shù)對(duì)滿足x2+(y-1)21的概率是的概率是( ).48162ABCD答案答案:B解析解析:如下圖所示如下圖所示,x,y的取值在正方形的取值在正方形OABD內(nèi)內(nèi),適合條件的適合條件的x,y在以在以(0,1)為圓心為圓心,半徑為半徑為1的半圓內(nèi)的半圓內(nèi).因此由幾何概型得因此由幾何概型得, 2112.2 28P5.(2009福建福建)點(diǎn)點(diǎn)A為周長(zhǎng)等于為周長(zhǎng)等于3的圓周上的一個(gè)定點(diǎn)的圓周上的一個(gè)定點(diǎn).若在該若在該圓周上隨機(jī)取一點(diǎn)圓周上隨機(jī)取一點(diǎn)B,則劣弧則劣弧 的長(zhǎng)度小于的長(zhǎng)度小于1的概率為的概率為_.AB 解

11、析解析:把圓周三等分把圓周三等分,每份的弧長(zhǎng)都等于每份的弧長(zhǎng)都等于1.如下圖如下圖,當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)B在優(yōu)在優(yōu)弧弧 上時(shí)都滿足題意上時(shí)都滿足題意,故所求的概率為故所求的概率為P= .CAD6.如圖所示如圖所示,在矩形在矩形ABCD中中,AB=3 cm,BC=2cm,在圖形上隨在圖形上隨機(jī)撒一粒黃豆機(jī)撒一粒黃豆,則黃豆落在圓內(nèi)則黃豆落在圓內(nèi)(陰影部分陰影部分)的概率是的概率是_.621.3 2,6:SPS圓矩形解析 由幾何概型得7.在在1000 mL水中有一個(gè)草履蟲水中有一個(gè)草履蟲,現(xiàn)從中隨機(jī)取出現(xiàn)從中隨機(jī)取出3 mL水樣水樣放到顯微鏡下觀察放到顯微鏡下觀察,則發(fā)現(xiàn)草履蟲的概率是則發(fā)現(xiàn)草履蟲的概率是_.

12、31000:,3.1000P 解析 由幾何概型知8.假設(shè)你在如圖所示的圖形上隨機(jī)撒一粒黃豆假設(shè)你在如圖所示的圖形上隨機(jī)撒一粒黃豆,則它落到陰影則它落到陰影部分的概率是部分的概率是_.12222:r,2rrr ,r ,R121.rP解析 設(shè)圓的半徑為 則陰影部分的面積為圓的面積為因此所求概率為能力提升能力提升9.如圖如圖,平面上一長(zhǎng)平面上一長(zhǎng)12 cm,寬寬10 cm的矩形的矩形ABCD內(nèi)有一半徑內(nèi)有一半徑為為1 cm的圓的圓O(圓心圓心O在矩形對(duì)角線交點(diǎn)處在矩形對(duì)角線交點(diǎn)處).把一枚半徑把一枚半徑1 cm的硬幣任意擲矩形內(nèi)的硬幣任意擲矩形內(nèi)(硬幣完全落在矩形內(nèi)硬幣完全落在矩形內(nèi)),則硬幣不則硬

13、幣不與圓與圓O相碰的概率為相碰的概率為_.120解析解析:由題意可知由題意可知,只有硬幣中心投在陰影部分時(shí)才符合要求只有硬幣中心投在陰影部分時(shí)才符合要求.28 1021.8 10P02 所以不與圓相碰的概率10.一個(gè)路口的紅綠燈一個(gè)路口的紅綠燈,紅燈的時(shí)間為紅燈的時(shí)間為30秒秒,黃燈的時(shí)間為黃燈的時(shí)間為5秒秒,綠燈的時(shí)間為綠燈的時(shí)間為40秒秒,當(dāng)你到達(dá)路口時(shí)當(dāng)你到達(dá)路口時(shí),看見下列三種情況的看見下列三種情況的概率各是多少概率各是多少?(1)紅燈紅燈;(2)黃燈黃燈;(3)不是紅燈不是紅燈. :,75.130, 25,3,302.75551.7515231.55解 因?yàn)榫G燈紅燈黃燈不停地交替 輪換一次需時(shí)間秒紅燈亮的時(shí)間長(zhǎng)是秒 故所求概率為黃燈亮的時(shí)間長(zhǎng)為 秒 故所求概率為不是紅燈的對(duì)立事件是紅燈因此不是紅燈的概率為品味高考品味高考11.(2009遼